Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том V ' 1974

№ 2

УДК 532.527

РАСЧЕТ ОТРЫВНОГО ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ТОНКОГО ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

Г. Г. Судаков

В работе рассмотрено стационарное обтекание треугольного крыла идеальной жидкостью или газом при наличии отрыва потока с острых передних кромок в приближении теории тонких тел. Непрерывная вихревая пелена моделируется дискретными вихрями, причем приняты меры, обеспечивающие устойчивость движения цепочки дискретных вихрей. Ядро вихревой пелены описывается моделью Манглера и Смита, обобщенной на случай неконических течений.

С помощью ЭЦВМ методом установления рассчитана конфигурация вихревых слоев, коэффициент подъемной силы и распределение давления по поверхности треугольного крыла под углом атаки и при наличии скольжения.

Хорошо известно, что поток около треугольного крыла, обтекаемого под углом атаки, отрывается вблизи острой передней кромки как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях набегающего потока при условии, что компонент скорости набегающего потока, перпендикулярный к передней кромке крыла, является дозвуковым.

В простейшей модели течения такого типа отрыв имеет место только на острой передней кромке даже при очень малых углах атаки.

По причинам, указанным в работе [1], при Иеоо разумно использовать невязкую модель отрывного течения. При этом сдвиговые слои вырождаются в поверхности тангенциального разрыва скорости. В этом случае трехмерная стационарная задача обтекания треугольного крыла сводится к анализу двумерного нестационарного течения в плоскости поперечного сечения крыла, причем время I выражается через координату х (ось Ох направлена вдоль центральной линии крыла) в виде t — x|ua2.

Манглер и Смит [2], а затем Смит [3], используя следствие теории тонких тел о коничности течения около треугольного крыла малого удлинения, построили численный метод для расчета отрывных течений такого типа. Их модель включает в себя вих-

Ю

ревую пелену с распределенной интенсивностью, которая соединена разрезом с дискретным вихрем, моделирующим ядро вихревой пелены.

В численном методе Смита [3] пелена разбивалась на сегменты, причем требовалось, чтобы давление и нормальная к пелене составляющая скорости течения были непрерывны в середине каждого сегмента. Отсутствие силы, действующей на систему дискретный вихрь — разрез, а также условие Жуковского на острой кромке замыкают нелинейную систему уравнений для определения конфигурации и интенсивности вихревой пелены.

Другой подход, также основанный на теории тонких тел, был развит Сэксом и др. [4]. Их метод не содержит требования конич-ности течения и может быть применен к тонким телам достаточно общей формы. Подход Сэкса состоит в замене непрерывной вихревой пелены системой дискретных вихрей, число которых увеличивается на единицу на каждом шаге по времени М. Интенсивность вновь появляющегося вихря определяется из условия Жуковского на острой кромке. Коническое течение около треугольного крыла получается здесь методом установления. Расчеты Сэкса [4] показали, что предложенная схема является неустойчивой: вихри сильно разбрасываются, особенно во внутренних витках вихревой пелены. Тем не менее такие интегральные характеристики течения, как коэффициент подъемной силы крыла см , коэффициент давления ср и т. д., получаются вполне удовлетворительными.

Данная работа примыкает к методу Сэкса [4], но в отличие от него нами приняты меры, обеспечивающие устойчивость движения цепочки дискретных вихрей; введено ядро вихревой пелены, которое является просто обобщением модели Манглера и Смита [2] на случай неконических течений; для определения интенсивности каждого вновь появляющегося вихря используется асимптотика конфигурации вихревой пелены вблизи острой кромки.

Данный численный метод был применен к расчету течения около треугольного крыла под углом атаки. Результаты расчета хорошо согласуются с данными работы Смита [3]. Кроме того, было рассчитано течение около треугольного крыла под углом атаки и со скольжением. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными показывает, что при наличии скольжения вторичный отрыв оказывает более сильное влияние на поле течения, чем в случае течения без скольжения.

§ 1. Постановка задачи. Введем прямоугольную систему координат с центром в вершине треугольного крыла. Пусть ось Ох направлена вдоль центральной линии крыла, Ог — расположена в плоскости крыла, а Оу — перпендикулярно плоскости. Пусть далее иоо—скорость набегающего потока. На основании теории тонких тел (см. [1], [5]) полные уравнения газовой динамики для случая стационарного отрывного обтекания тонкого треугольного крыла малого удлинения Х = 0(1), под углом атаки а = 0(Х) и при наличии скольжения £) = С)(Х) сводятся к двумерному уравнению Лапласа для потенциала течения <р(х, у, г) при условии К —

= X 1^| М^э — 1 | = 0(1). С точностью до членов порядка К2

д2 ? , _ п дгг "Г" ду* '

Если ввести переменную времени Ь по формуле ¿ = х1ит, то стационарная трехмерная задача обтекания тонкого треугольного

крыла сводится к нестационарной двумерной задаче обтекания равномерно (по времени £) расширяющейся пластины (фиг. 1).

Введем комплексную плоскость а = г + гу и рассмотрим течение в произвольный фиксированный момент времени t (см. фиг. 1). Пусть конфигурация и интенсивность вихревых слоев ?! и ?3 заданы параметрическими уравнениями

^ = {), 0<|Г|<|Г,,(*)!; Сз = Сз(Г, *), 0<|Г|<|Г.8(*)|, (1)

где Г — действительный параметр (циркуляция отрезка спирали или 7з, отсчитываемая от ядра), Г*^), Г* 3 (¿) — заданные числа

(t — фиксировано). В предположении о том, что отрыв имеет место только с острых кромок пластины, получаем граничное условие (см. фиг. 1):

СЛ-Гв1(0, *] = —a(i); С3[Г*3(г), t] = a(t). (2)

Пусть далее т2 — отрезок действительной оси [—а, а]. Возникает следующая задача: найти комплексно-сопряженную скорость течения Ф(о, t), регулярную вне f = Yi + т2 + Тз. имеющую заданный скачок

[Ф+(С,*)-Ф-(С, 0Ьг„тз-=Чз(С, 0=1 /5г

на заданных ^ и -[3, причем Ф(о, -+—iV0(t). Кроме того, Im [Ф (р, (условие непротекания) и | Ф (а, t) |e_*±a«) < оо (ус-

ловие Жуковского).

Будем искать Ф (а, t) в виде

•(«. ’-¿г! стте + + ■’<«• Р)

Ti~f“Ta * ~~а (ч

где c(t), v* (5, t) — неизвестные действительные функции. Очевидно, условие

[Ф+ (С, 0 - ф_ (С, 0W. Тз = vi,3 (С, t) = 1 для формулы (3) выполняется.

<Чз

дГ

Взяв мнимую часть от этого равенства и используя условие непротекания на 72, получим

1т

*) = —2-

1

2 тй

Г ¿Г

Су (Г, 0-5

Тх + Тз

(4)

Формулы (3), (4) дают решение, удовлетворяющее условию непротекания на ?2 и условию Жуковского, так как оценка показывает, что

, | Ф (а, /) ] -> СОПв1:<[ оо; а-*+а(£).

Остается выполнить граничное условие на бесконечности. Для этого представим (3) в виде

а (О

1 {* ИГ 1 ‘

Ф|' ' ' ■ 2” -1т

' К о - ¿г [ + Ш 1 (5>

Т1+ъ 1,3 —«М

где У2(?, 0 = Ф+(1, 0 — ф-(£, 0. 5 6 72) причем должны выполняться следующие соотношения:

1т

Ие

Vа2 (О - £2

I

(IГ

Т1+Гз

/ С*з (Г, 0-в»(0 [С1,з(Г, 0-5]

151С а (/),

I

Т.+Тз

йГ

V С?,з (Г, О - в* (<)

■ 2тг 1/0 (¿)

0.

; (б>

(7)

Формула (7) является просто формулировкой условия Жуковского *.

' Потребуем еще, чтобы полная циркуляция скорости при обходе "вокруг контура 7 = 71 + 72 + 73 была равна нулю, т. е. | йТ -|~

’ Т1+Тз

а «)

■+ [ ^(^>0^ = 0. Из (6), меняя порядок интегрирования, легко

— а (О

получим

Яе

■ С13(Г, ОД

. ) V С?,з(Г, Г)—а?(^\

Т1+ТЗ

= 0.

(8)

Таким образом, при условии конечности скорости в точках з = +а(^) и условии равенства нулю полной циркуляции скорости

* Соотношения (5) — (7) справедливы и при наличии скольжения [У0(0— комплексна], при этом в (3) с(0 =— 1т [МО]-

функции Си = Си (Г, 0 не могут быть произвольными, а должны удовлетворять интегральным соотношениям (7), (8) в каждый момент времени ¿.

Развитие вихревой пелены по времени t описывается уравнением (см. [6]), которое является следствием непрерывности давления и нормальной составляющей скорости течения при переходе через пелену:

Таким образом, имеется четыре уравнения (7), (8), (9а) и (96) для четырех неизвестных функций С, (Г, £), С3(Г, £), Г#1(^), Г^^) ¡соотношение (6) определяет ч2(£, ¿)]. Граничное условие (2) замыкает систему. Уравнения (7) — (9), (6) и (2) полностью определяют развитие вихревых слоев по времени I, если заданы начальные условия Си (Г, 0), удовлетворяющие (7), (8).

§ 2. Ядро вихревой пелены. Конфигурация вихревой пелены Си (Г, 0 в силу уравнений движения (9) имеет особенность при Г -► 0. В дальнейшем участок кривой вблизи Г = 0 будет называться ядром вихревой пелены. В данной работе принята простая модель ядра, которая является обобщением модели Манглера и Смита [2].

Ядро аппроксимируется изолированным вихрем,интенсивность которого Ге = Ге(*) является заданной функцией времени [вид функции Гс(<) определен в § 3]. Координата ядра Сс определяется из условия отсутствия силы, действующей на систему вихрь — прямолинейный разрез, соединяющий ядро с концом непрерывной вихревой пелены Се.

Как следует из уравнения Лангранжа, скачок давления при ' переходе через разрез представляется в виде

Полная сила, действующая на систему ядро — разрез, в соответствии с классической формулой Жуковского имеет вид

где Фс — комплексно-сопряженная скорость течения в точке <з = Сс за вычетом скорости, индуцируемой самим ядром.

.Условие отсутствия силы, действующей на систему ядро — разрез, приводит к уравнению

(9а)

0<|Г|<|Г.,(0

(96)

0<[Г[<|Г„(0|.

р — /и ' Сила, действующая на разрез, равна

С

Рр-~і (С, - У Ар = ¿Р (С, - у.

§ 3. Описание численного метода.

а) Аппроксимация интегралов. Расчет производился по формулам (7) —(9), (6) и (2), причем интегралы вычислялись по формуле прямоугольников. Так, например, правая часть (9а) 'представлялась в виде (штрих у знака суммы означает, что член с £ = п пропущен)

Ф

, N г(1) N г(3) Р v<2),

,<i) = V' k 4- — V k 4- — V k

n 2ni ¿j И1) _rO> 2 ni Z- r<3>_____________________________r(1> ^2 ni Zd

Ç0)-rU) 2ni ^ ‘ ¡««і fa

iV0, n= (11)

где N—число интервалов разбиения свободной вихревой пелены, т. е. число свободных дискретных вихрей (отсчет ведется от ядра вихревой пелены), Р — число отрезков разбиения пластины [—а, а] (было выбрано Р = 50), a v<,2> — значение v2(S, t) из (6) в середине отрезка разбиения пластины lk. Исключение составили уравнения (7) и (8), так как здесь подынтегральные функции имеют особенность типа 1/1/С + а.

При интегрировании (7) и (8) по отрезкам пелены, примыкающим к точкам С = + в подынтегральное выражение подставлялась функция С1,з(Г, t) в виде первого члена ряда разложения по Г:

|Г(1)— С(1) I

С, (Г, t) = - а (¿) + ' * "-1'- [Г - Г,, (t)}-

ln

i r(3>_■ I

C3 (Г, t) = а (f) + 1 " г(зГ [г - Г*з т

Тогда уравнения (7), (8) определяют интенсивности вновь появляющихся вихрей Г$,

б) Расчет движения ядра. Закон движения ядра определяется формулой (10). Функция Ге(0 в (10) определена следующим образом: при yV<7Vmax, где A^max — заданное максимальное число вихрей

свободной пелены, — 0. Однако по мере увеличения t число

вихрей N увеличивается на единицу на каждом шаге по времени

dY Г

Ы. При N=Nmm.+ \ полагаем , где Г2 — ближайший

к ядру вихрь, аппроксимирующий вихревую пелену, При этом Г2 исчезает из потока, а число вихрей поддерживается равным Nmах.

в) Расчет движения вихревой пелены. Движение вихревой пелены определяется формулами (9). Интегралы в правой части аппроксимируются системой дискретных вихрей в соответствии с пунктом „а“ данного параграфа. С учетом (11) конечноразностная аппроксимация (9а) примет вид [аналогичная формула имеет место и для (96)]

dt

где Л0 — среднее расстояние между вихрями.

Исследование формулы (12) показывает, что она неустойчива, причем наиболее быстро растут возмущения с длиной волны 2Л0.

Чтобы устранить этот эффект, в правую часть формулы (12) добавлю 2

лены члены порядка иЛ0 [9]:

ЗЕЇ»

■ф.а)+4-

7(1) _оТ(1)4_

Сл+1 2д^+с-1. + (фО) 1 _ 2 ф(1) + ф^)

= Фл*; л = (1, 2, А').

<и

(13)

Так как в процессе счета к0 = О(Ы), то в правую часть добавлены члены О(/г0) и О(Ло). Интегрирование (13) производилось методом Эйлера.

Оценка комплексно-сопряженной скорости течения при а^-)-а(^) из формул (3), (4) дает возможность получить асимптотику конфигурации вихревой пелены вблизи острой кромки *:

7Ь = МгЖ. + я(*)|3/2 + 0(|£, + а|2); 1 % = М№-~«(0}3/2 + О(|£3-а|2), )

где ^ С8 = 13 + Щз-

Асимптотика (14) используется для вычисления координат АЛх и (Л^—1)-х вихрей. Неизвестные коэффициенты Х1? Х3 вычисляются по заданным координатам (А/ —2)-х вихрей, после чего -»¡-координаты А/'-х и ^ — 1)-х вихрей определяются по формулам (14). При этом ^-координата Л/-х (вновь появляющихся) вихрей

остается фиксированной и равной (Л— длина отрезка

разбиения пластины), 1-координаты (А/'— 1)-х вихрей вычисляются по уравнениям (13). Такой подход вызван необходимостью избежать вычисления вертикальной компоненты скорости непосредственно у острой кромки, так как она получается с большой

ошибкой.

г) Вычисление коэффициента давления и подъемной силы крыла. Формула для коэффициента давления следует из известного результата теории тонких тел

с __ _ 2 ду _1 Ф I 2 I 2 I 02

Ср »2 й „2 I а + Р >

СО СО

где Ф — комплексно-сопряженная скорость течения [см. формулы (5), (6)], <р — соответствующий ей потенциал, а — угол атаки, (3—угол скольжения.

Сила, действующая на пластину в плоской задаче (фиг. 1), получена контурным интегрированием аналогично работам [7], [3]:

У(/)=р-|-Не{^0(Ол2(0- 1 / С2з(Г, 1)-аЦ1) ¿г|.

Ті + їз

Полагая ^==л:/исо и интегрируя последнюю формулу по х от О до I, где I— длина крыла, найдем нормальную составляющую силы, действующей на крыло.

Формулы (14) впервые были получены А. А. Никольским и С. К. Бетяевым.

§ 4. Обсуждение результатов. В работе представлен пример расчета симметричного течения около треугольного крыла с удлинением А = 0,698 и под углом атаки а =10°. На фиг. 2иЗ показаны результаты расчета в сравнении с результатами Смита [3] и экспериментальными данными Финка [8]. Совпадение следует признать вполне удовлетворительным.

А = 0,698', сс=?0°; р = 0

с данные [.?]

/ N і

г О •> 1 / 1

/ 1 \

и

г/е

0,8

06 ОЛ

Фиг. 2

ОЯ

I

а

О*

0,2

*.= 0,608; Сс = 10°•, р = О

Для коэффициента нормальной силы, действующей на крыло,

Г і

и полной безразмерной циркуляции вихревой пелены были

Г £

получены значения сы = 0,35, -^- = 4,66, что согласуется с результатами Смита [3]: Суу —0,36, -^- = 4,68.

Кроме того представлен пример расчета течения около треугольного крыла са скольжением при следующих параметрах: <*— 10°, ). = 0,698, Р = 5°, где ¡3 — угол скольжения (фиг. 4 и 5).

\ = 0,698-,ъс = 10о-,£,=5а‘

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 О 0,2 0Ї 0,6 0,8 2/а

Фиг. 4

В данном случае для коэффициента нормальной силы, действующей на крыло, и полной безразмерной циркуляции вихревой

I Г I I

пелены (см. фиг. 1) было получено: ¿^ = 0,35, '—**1 = 5,50,

^=3,85.

Из фиг. 5 видно, что данная теоретическая модель ведет к необходимости существования резкого неблагоприятного градиента давления по поверхности крыла вблизи острой кромки,что должно привести к возникновению здесь вторичного отрыва. Это,.

2—Ученые записки ЦАГИ № 2

17

в свою очередь, ведет к сглаживанию пика давления. Так как данная простая модель не учитывает наличия вторичного отрыва, то предсказанный пик давления оказывается сильно завышенным.

Тем не менее влияние вторичного отрыва на поле течения, особенно в случае симметричного течения, невелико, так что рассматриваемая модель правильно отражает основные черты течения.

Автор выражает благодарность А. А. Никольскому за предложенную тему и внимание к данной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного обтекания тел идеальными жидкостью и газом. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.

2. Mangier К. W. and Smith 1. Н. В. A theory of the flow past a slender delta wing with leading-edge separation, Proc. of the Roy. Soc., Ser. A., vol. 251, 1959.

3. Smith J. H. B. Improved calculations of leading-edge separation from slender, thin, delta wings, Proc. of Roy Soc., Ser. A., vol. 306, 1968.

4. Sacks A. H., L u n d b e r R. E. and Hanson C. W. A theoretical investigation of the aerodynamics of slender wing-body combinations exhibiting leading-edge separation, NASA CR —719, 1967.

5. Adams М. C. and Sears W. R. Slender body theory-review and extension, Journ. of the Aeron. Sc., vol. 20, No 2, 1953.

6. Никольский А. А. О „второй* форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков), ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

7. Никольский А. А. О силовом воздействии „второй“ формы гидродинамического движения на плоские тела (динамика плоских отрывных потоков), ДАН СССР, т. 116, № 3, 1957.

8. F i n k Р. Т. Some larly experiments on vortex separation, ARC R. and М., No 3489, 1967.

9. Молчанов В. Ф. О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла, (Печатается в этом номере).

Рукопись поступила 20/ VI 1973 г■