Расчет некоторых автомодельных трехмерных отрывных течений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м VI 1975

№ 2

УДК 532.527

РАСЧЕТ НЕКОТОРЫХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Г. Г. Судаков

Рассмотрено трехмерное автомодельное отрывное течение около крыльев, изогнутых по степенному закону и имеющих степенную форму в плане. С помощью численного метода [1] получены конфигурация вихревых слоев и распределение давления по поверхности крыла.

В работах [2,3] были получены основные уравнения, описывающие двумерные отрывные автомодельные течения несжимаемой жидкости около угла. В приближении теории тонких тел в [4] выводы работ [2, 3] были обобщены на случай пространственных течений жидкости или газа, а также получены основные законы подобия для трехмерных автомодельных течений около крыльев малого удлинения, имеющих прямоугольную форму в плане и изогнутых по степенному закону при условии, что местный угол атаки много меньше удлинения крыла.

В данной работе исследован случай автомодельного течения около крыльев, изогнутых по степенному закону и имеющих степенную форму в плане (фиг. 1). С помощью численного метода [1] получены основные характеристики течений рассматриваемого типа: конфигурация вихревых

слоев и распределение давления по поверхности крыла.

Постановка задачи. Рассмотрим крыло, образованное прямолинейными отрезками, параллельными оси Ох, причем длина отрезков изменяется по следующему закону Ц^оо

I — агт\ т >1/2, ~

а крыло изогнуто по закону

Ук = — агт\ т > 1/2,

где К, тп — некоторые безразмерные константы, а — некоторая размерная константа (см. фиг. 1).

В приближении теории тонких тел обтекание такого крыла потоком газа со> скоростью шна бесконечности эквивалентно (если положить г — двумерному потенциальному течению несжимаемой жидкости около пластины, расширяющейся по закону

1{1) = аЧт-, т >1/2 (1)

Фиг. 1

и движущейся со скоростью

Уо(0 = Ка'

где а' =

т > 1/2,

(2)

<11

Теория тонких тел справедлива при условии (г) у| —1 | = о (1), а

1 /"-О----- &Ук

также ак (г) у | — 1| =о(1), где ак (г) = =Кагт~1 — местный угол атаки.

Как легко видеть, оба условия не выполняются вблизи вершины крыла при

и на больших расстояниях от вершины вниз по потоку, если /и>1.

Таким образом, результаты данной работы относятся к областям течения вдали

1

от вершины крыла, если т <1, и к об-

ластям течения вблизи вершины, если /и>1. Случай т =1 представляет собой течение около треугольного крыла, который подробно исследован в работах [1, 7]. 4

Введем комплексную плоскость а = х-\-+ 1у (фиг. 2), связанную с пластиной. Пусть 7!, 73 — вихревая пелена, 72—отрезок оси Ох

-у-, -тр|. Пусть далее вихревая пелена

описывается параметрическими уравнениями

С! = с,(Г, 0; 0<|Г,<|Г,,(*)|; I

Сз = Са (Г, О; 0<|Г|<|Г*3(О|, I (>

где Г — действительный параметр (циркуляция отрезка пелены, отсчитанная от ядра), Г* ! ((), Г^з (0 — полная циркуляция 7Х, 73. При условии, что отрыв имеет место только на острых кромках пластины, справедливо граничное условие

Фиг. 2

/ (Л I (Л

?1 (Г*! (0. 0 = - -¥■; Сз (Г*з (0, О = • (4)

I (0

Потребуем еще, чтобы на комплексной плоскости а — х-\-1у в точках и= ± выполнялось условие Жуковского и условие равенства нулю полной циркуляции

I 1 1 о

скорости по контуру, охватывающему пелену и отрезок —. В соответствии с результатами работы [1] комплексно-сопряженную скорость течения можно представить в виде

Ф

1 Г <£Г

- 2*1 J 3(Г, 0

Т1 + Ге '

У в*— /а (р/4

1га

I А [~ 2 * 2

1ную ск

\± г__________*

Ь”Ч±ТзС1'з(Г’

11х

V

12 (0

(5)

■ X2 (х — о)

Легко проверить, что (5) удовлетворяет условию Жуковского, условию непроте-кания 1т [Ф (а, ()] " ' - . . ...

если справедливо соотношение

Ие

а также условию на бесконечности Ф(а, 0|а|->со ~ гг,о(0>

с1Т

[1

1-Т1+Тз

V с?* (Г,*)-<*(0/4

+ 2тс г/0 (0

= 0.

(6)

Равенство нулю полной циркуляции скорости при обходе вокруг контура 7 = 7! 72 + 7з дает еще одно уравнение

Не

С,3.(Г, /)Л

= 0.

«Ь(Г.0-Р(<)/4

Таким образом, (5)—(7) полностью бписывают течение при заданных 73. 110

Развитие вихревых слоев 71р 73 по времени ^ задается уравнением, полученным в работе [2]:

^13

-др(Г, /) = Ф(ГМ<3(Г, /), О- (8)

Рассмотрим симметричное течение около расширяющейся пластины, движение которой описывается формулами (1), (2) с единственной размерной константой а'. Из теории размерностей следует, что задача в этом случае является автомодельной. Если ввести безразмерные переменные по формулам

Tt /2(0 :

Ф' =

Ф-; 1(0 ’

Уо(0-< I (О

(9)

то решение задачи ^13(0) должно удовлетворять системе уравнений, которая является следствием (5)—(8):

Ие

Тх+Тз

+ 2 %К

- ^1,3

м-1,3 (°) _ (2/я — ')0 ~ш~ (°)

,3 (Р) ~ 4

= — ^ 2 я/ л

= 0;

Лв'

11+Т3

~ ^1,3(°)

Г 1 Г ■<ю' '

1/г“ Г р 1ш 2м 3 ^ (х13 (О') — ?

]/ ^1,3 (°) “ Т~ ( тгИз ■

-1/2

У+-

Л?

1/

-6*16- 1^1,3 (О)]

■ »/* 1гаГЙГ

*• Т1+ТЭ ’

<Ю

(О)-6

, 1*1.3(О)’

тг+Тз

/т-

(10)

Здесь и далее -у3— линии вихревой пелены на комплексной плоскости ц=а/Л Уравнение (7) удовлетворяется тождественно в силу симметрии течения.

Аналогично [1] можно получить формулу для распределения давления по пластине, которая в безразмерных переменных имеет вид

1 Г «оо*'

2 [ НО .

= _ {(2т - 1) Г (I) - тЧ Ие [Ф'(б)] + у (Ие [Ф' (6)])*} + *

|6|<-

(П)

где ср — потенциал течения, который соответствует комплексно-сопряженной скорости течения Ф' (|л) + 1К (см, (10)).

Численный метод решения. Численный метод решения полностью аналогичен методу, использованному в [1], поэтому здесь приводится лишь краткое его описание.

Уравнения (7) решались численно методом установления по нестационарным уравнениям (5) — (8), причем все интегралы вычислялись по формуле прямоугольников (метод дискретных вихрей). Число интервалов разбиения пелены (число

вихрей) было выбрано равным 70. Кроме того, были приняты меры, обеспечивающие устойчивость движения цепочки дискретных вихрей относительно возмущений с длинами волн порядка расстояния между вихрями.

При интегрировании по отрезкам пелены, примыкающим к точкам С = + //2, наличие особенности учитывалось при помощи известной асимптотики конфигурации вихревой пелены (см. [1])

С1 (Г, о = - + Хц (0 [Г - г*! (0] + х„(0 [Г - г., (013/2 + о (! г - гф11*);

Сз (Г3 0 = 4- + *31 (0 [г - г*з (0] + *32 (0 1Г - Г*з (0 I3'2 + О (IГ - Г*з Р).

Кроме того, конфигурация вихревой пелены ^з(Г, *)» согласно уравнениям движения (8), имеет особенность при Г 0.

Участок кривой вблизи Г = 0 будем называть ядром вихревой пелены. В данной работе, как и в [1], принята простая модель ядра, которая является обобщением модели Манглера и Смита [5] на случай неконических течений.

Результаты расчета. На фиг. 3 и 4 приведены результаты расчета течений около крыльев с параметрами К = 0,5 и 0,6</п< 1,1. В таблице представлены основные результаты расчета ([*с — координата ядра, б* — полная безразмерная

циркуляция вихревой пелены, (Зс—интенсивность ядра вихревой пелены). Как видно из таблицы, при т -» 1/2 витки вихревой пелены освобождаются от циркуляции, которая концентрируется в ядре вихревой пелены. Случай т— 1/2 был подробно разобран в работах [2, 6], где было показано, что пара дискретных вихрей является точным решением задачи.

Автор выражает благодарность Никольскому А. А. за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянное внимание к данной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Судаков Г. Г. Расчет Отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974.

2. Никольский А. А. О .второй* форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков), ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

3. Ни к'ольс кий А. А. О силовом воздействии .второй" формы гидродинамического движения на плоские тела (динамика плоских отрывных потоков), ДДН СССР, т. 116, № 3, 1957.

4. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного обтекания тел идеальными жидкостью и газом. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.

5. Mangier К. W. and Smith J. Н. в. A theory of the flow past slender delta wing with leading-edge separation, Proc. of Roy. Soc., ser. A, vol. 251, 1959.

6. Никольский А. А., Бетяев С. К., Малышев И. П. О предельной форме отрывного автомодельного течения идеальной жидкости, сб. .Проблемы прикл. мат. и мех.“, М., .Наука', 1971.

7. Молчанов В. Ф. О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла. .Ученые записки ЦАГИ*, т. V, № 2, 1974.

Рукопись поступила 27/V 1974

Ученые записки ЦАГИ № 2