Расчет отрывных течений около конических крыльев малой толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м V 1974

№ 6

УДК 532.527

РАСЧЕТ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ОКОЛО КОНИЧЕСКИХ КРЫЛЬЕВ МАЛОЙ ТОЛЩИНЫ

Г. Г. Судаков

В данной работе на основе теории тонких тел и обобщении теории тонкого профиля Л. И. Седова построен численный метод расчета отрывных течений около конических треугольных крыльев малого удлинения для широкого класса поперечных сечений, которые описываются кривыми с радиусом кривизны в каждой точке, значительно большим размаха крыла. В качестве примера приведены результаты расчета отрывного течения около треугольного крыла с поперечным сечением, близким к ромбу, а также около треугольного крыла нулевой толщины с поперечным сечением в виде дужки параболы. Полученные результаты вполне удовлетворительно согласуются с имеющимися немногочисленными экспериментальными данными.

Экспериментальные исследования картины обтекания тонких треугольных крыльев достаточно малого удлинения показывают, что поток отрывается вдоль острых передних кромок крыла, образуя сложные вихревые системы, причем течение сохраняет коническую симметрию.

Первые теоретические работы в этой области, основанные на приближении теории тонких тел, относятся к случаю треугольного крыла нулевой толщины [3, 4], так как эффекты толщины являются вторичными и достаточно слабо влияют на основную картину течения. Тем не менее задача о влиянии толщины треугольного крыла в отрывном коническом течении является интересной и важной. В последние годы появилось несколько работ, посвященных этой теме.

Наиболее строгой является работа Смита [5], где построено отрывное коническое течение около толстого треугольного крыла малого удлинения А = о(1) под малым углом атаки а=0 (X), причем поперечное сечение крыла представляло собой ромб с относительной толщиной (отнесенной к хорде крыла) 1 = 0 (А). На основании численного метода [4] с помощью интеграла Кристоффеля—

Шварца Смит получил характеристики отрывного течения, доста* точно хорошо коррелирующие с экспериментальными данными. Однако применение интеграла Кристоффеля —Шварца ограничивает класс исследуемых тел конфигурациями, имеющими ромбовидное поперечное сечение.

Если отказаться от требования * = О(Х), то удается существенно расширить класс исследуемых тел. Так, например, в работе [6] было получено решение задачи об отрывном коническом течении около треугольного крыла ромбовидного поперечного сечения малой толщины. Однако этот метод допускает обобщение на случай крыла произвольного (с некоторыми ограничениями) поперечного сечения при условии х = о (X). Применение упрощенной модели течения Брауна и Майкла [3] не позволило получить в этой работе удовлетворительное согласие расчета с экспериментом.

В данной работе на основе численной схемы [1], которая описывает отрывные течения столь же детально, как и схема Смита [4], в приближении т = о(Х) построен численный метод расчета отрывного обтекания конических конфигураций, профиль поперечного сечения которых удовлетворяет следующим условиям: а) верхняя и нижняя поверхности профиля есть кривые, имеющие непрерывную первую производную; б) верхняя и нижняя поверхности пересекаются в острых кромках под нулевым углом. При этих ограничениях были рассчитаны течения около треугольного крыла малой толщины с поперечным сечением, близким к ромбу, а также около треугольного крыла нулевой толщины с поперечным сечением в виде дужки параболы. Результаты расчетов показывают удовлетворительное согласие с имеющимися немногочисленными экспериментальными данными.

Постановка задачи. Введем прямоугольную систему координат с центром в вершине крыла, причем ось Ог направлена вдоль центральной линии крыла, ось Ох — вдоль размаха, а ось Оу — перпендикулярно осям Ох и Ог. Крыло обтекается потоком газа со скоростью и/со на бесконечности под углом атаки а без скольжения.

В работе [7] Уордом была развита теория тонких тел с учетом толщины тела. Было найдено, что потенциал скорости течения <Р (х, у, г) на расстояниях Ух2+у2 порядка размаха крыла может быть выражен в следующем виде

ф {x,y,z) = w0

где

+ 9f(x>y, z),

у 1 — М2 if 2тг b0 (z) = S' (z) In-2—------2~) S" ^ sign ft*~Z)ln I г I d[l

при Moo <1 (Moo —число M набегающего потока, 5 (z) — площадь поперечного сечения крыла), и

у jvr _ 1 г

2 «Ь0 (z) = S' (г) In -—Ц------------------------------J S" ([*) In (z - ji) dp.

О

при Moo > 1.

Потенциал возмущения <р' (х,у, г) является гармонической функ-

цией

= О,

и при Ух*+у2 оо может быть представлен в виде

Кроме того, ‘ю00{\—г + ф'(х, у, г) удовлетворяет условию

непротекания на крыле и граничным условиям на пелене.

Если ввести переменную времени £ по формуле

t=‘X!W со, (1)

то для потенциала возмущения ?/(Л‘..У>0 получается плоская задача отрывного обтекания расширяющегося равномерно по времени тонкого профиля потоком несжимаемой жидкости (фиг. 1). Следует отметить, что функция Ь0(г) является существенной лишь при определении коэффициента давления Ср.

Введем комплексную плоскость о — х-\-1у и рассмотрим течение в произвольный фиксированный момент времени Ь (см. фиг. 1). Пусть конфигурация и интенсивность вихревых слоев и Чз заданы параметрическими уравнениями

С, = С, (Г, ^); 0<|Г|<|Г!(!1(0|;

Фиг. 1

с,(Г,*); о^ігкіг.лоі,

(2)

где Г — действительный параметр (циркуляция отрезка спирали ^ или Чз, отсчитанная от ядра), Г,, (£), Г* 3(£) — заданные числа (< — фиксировано). В предположении, что отрыв имеет место только с острых кромок профиля, получаем граничное условие:

СДГ.ЛО, 0 = Сз(Г*, (*),*) = а (<)• (3)

Возникает следующая задача: найти комплексно-сопряженную скорость течения ф (о, £), регулярную вне вихревых слоев 71, 7з и вне тонкого профиля, имеющую заданный скачок

[Ф+ (С, *) - Ф_ (С, *)Ьт.. тз = VI. 3 (С, /) - 1 / (Г, О

на заданных и 78 [см. формулу (2)], причем

® (°> ^)|*1 -»со ”*■ ~' 1^0'

где У0 = (Шсо . .

Кроме того, выполнено граничное условие непротекания на обеих поверхностях тонкого профиля и условие Жуковского

1ф(", *)|—±«<0 <°°-Потребуем еще, чтобы полная циркуляция скорости при обходе вокруг контура, охватывающего пелену и профиль, была равна нулю. После того как Ф(з, £) в данный произвольный момент времени построена, развитие вихревой пелены по времени определяется уравнением, полученным в работе [8],

-%і-(Г,о = Ф[£і,з(Г,*),*]; 0<|Г|<|Гм,з(0|. (4)

Граничное условие на профиле. Зададим поверхность профиля уравнениями

У±=*/±СМ), И<а(0> (5)

где знак плюс относится к верхней поверхности, а знак минус — к нижней, е — малый параметр.

Пусть функции /+ (х, удовлетворяют следующим ограничениям:

/± СМ) = 0(1); %-(*, 0 = 0(1); ^(М)=0(1);

/±СМ)>/-(М); 1*1 < я (0;

/+ [ гЬ а (^)> = О!

^ [± «(О, *] - % 1±а (*), *] = 0; < > 0.

(6)

*

Кроме того, пусть функции /± СМ) имеют непрерывные первые производные по переменным X, Ь.

Точное условие непротекания на профиле можно записать следующим образом:

Ие { Ф± (х + /е/± (х, <), 0 - и (х, о] / [1 +Ь ^ (*, *) } = 0; ) ^

|х|<а(/). ]

Следуя Л. И. Седову [2], разложим (7) по малому параметру е:

Г Г дФ. а/,

1ш[Ф±(х, ^)= - в ре |/± (х, 0 (М) + -^СМ)Ф±(М)

+

+ ^{х, о}; |дг|<л(<). (8)

Здесь и далее знак плюс будет относиться к верхней стороне отрезка [—а, а], а знак минус — к нижней.

Будем искать Ф (о, ?) в виде ряда

Ф(а,0=Ф0(М) + гФ1М)+--- • (9)

Тогда .

1т[Фо (х, *}] = 0; |х|<а(0, (М)

и мы приходим к задаче об обтекании пластины. Следующий член ряда дает

1т [Фг (х, 0] = - Ие [/± (х, Ь) (х, 0 + ^ С*. 0 Фо* (х, 0 ] —

(*,*); | х | -< а(/). (11)

Так как 1т [Фо1 (ас, £)] = 0; |х]<;а(^), а д/до = д/дх, то (И) можно

переписать в виде

1т [ФГ (х, *)] = - А [ф± {х> *)/± (*, <}] -%-(*, *); | (,2)

' ■ |ж|<а(^). I

Условие (12) есть приближенное граничное условие на тонком профиле. .

Построение решения. Задача определения Ф0(о, *) была решена в работе [1]

,1 г у.,зО*

(3< 0 2пГ ]

Фп

Ї1 + ЇЗ

а (О

1га

У а*—дз (7)

ТСІ

|_|_ Г -1.3 (С. <)*1 л,

I 2тсг ^ с _ х

*• Ті + ь________________-* •

У а? (і) -х*(х- о)

— а [I)

Ие

и *1.3 (С. *)<«

/С2 - а* Сі: '

■2кУ0

= 0; Ие

I

^1>3 (С, ОД

/С2-Й2 (0.

= 0.

(13)

ЇІ + ЇЗ 7.+ЇЗ

Последние два уравнения (13) являются следствием условия Жуковского на острых кромках и равенства нулю полной циркуляции скорости при обходе вокруг контура, охватывающего пелену и профиль.

Перейдем к задаче определения Ф^о, £). Обозначив через (х, і) выражение

^±С*. ЦФ±(х,4)\-д-%~{х, і)- |*|<а(0, (14)

найдем из (12), что ®і(а, і) удовлетворяет следующему граничному условию:

Іт[Ф±(х, і)\ — Р±(х, *); |х|<а(0, (15)

где Р±(х, і) — заданная функция, определяемая формулами (13) и (14).

Будем искать Фі(а, і) в виде

а (<)

ф,(«, і)= V"-*™ Г X*............................‘ Г

* ' ’ ' 2 ш 1 х — а 2 к J

*)йх

, (16)

-а (<)

—а (і)

где ^^(х, ?), ^^(х, ?) — некоторые действительные функции. Рассмотрим Ф,(о, £), определяемую (16), на отрезке [—а, а\.

а (/)

фt{x, 0 + фГ(*, о = IVа*(0 - X2V,!(х, о + 2¥ I **2 (*'•*)**'.

-а (<)

а (<)

Ф+(х, і) - Ф-(х, о = ^)-- ] + і\Ах, *);

. -« «)

|х|<а(г).

Тогда граничное условие (15) позволяет определить неизвестные

_ /%(*, 0 + Р.- (*, І) |

у*і(*> ' /а2 (/)-х2 ’ 1 (17)

у*2(л:, £) = /ч (*, І) — Г^(х, 0; |*|<а(*). '

Формулы (16), (17) определяют ®1 (а, Ь). Полное решение задачи можно представить в виде [см. (9), (13), (14), (16), (17)]

Ф(а, *) =

V1.3 (С. О Л

2 тл

Yi+Тз

а (О

1га

У а* — Ф (t)

2 Tii

rJ-

Ti + Тз

v13(£, t)dt, 4 ~x

dx

a (t)

ya2 — a2(()

2 it i

-a (t)

a (t)

+ 2^ j

"У«2 (0 - JC2 (ЛГ - <J)

F+(x. t)+F_(x, t)

Ya2 (t) — x2(x — a) F_(x, t)

+

dx

-a (<)

(18>

Полученная функция удовлетворяет условию непротекания на профиле с точностью до s и условию на вихревой пелене.

Из последних двух уравнений (6) следует, что вблизи х~а разложение функций f±{x, t) в ряд по х — а имеет вид

f±{x, *) = р(*)[х — д(^)]4-0(|л:-а|2).

Оценки Ф (а, t) из (18) показывают, что в этом случае комплексносопряженная скорость течения удовлетворяет условию Жуковского в точке о = а(/) с точностью до членов порядка е, причем одновременно из (4) получается асимптотика конфигурации пелены вблизи острой кромки:

С3 (Г, t) = a{t) + [1 + (/)] {X, (О [Г - Г*3 (*)] + А2 (t) | Г - Г„ (/)Н +

+ О (| Г — Г*312, е2), (19)

где Х^), Х2 [t) — действительные функции, причем Хь Х2 зависят от поля течения в целом. Аналогичное разложение имеет место и вблизи точки о = — a(t). Последняя формула приводит к выводу,, что и в данном случае вблизи острой кромки для конфигурации вихревой пелены сохраняется закон 3/2, который справедлив для пластины нулевой толщины (см. [1]).

Остается удовлетворить граничному условию на бесконечности и условию равенства нулю полной циркуляции. Разлагая (18) в ряд. в окрестности о = оо, найдем, что

Re

*1.3 (С. ОД

4- 2 тс V0

Ji+Тз

й (t) -J

F+(x, t) + F_{x, t) V a2 (t) — x2

dx-,

— a (t)

Re

/

LTl + Ts

Cvi.a (C, t) dl

a(t)

x [/^ (x, t) + F_ (x, Q] Vcfi (t) - x2

dx.

-a (t)

(20)

Следует отметить, что последнее уравнение в (20) в случае течения без скольжения удовлетворяется тождественно. Уравнения (18), (20)

являются обобщением уравнений (13). В заключение напишем формулу для

М*> ^) = ф+(*, *) — ф-(*, *); |*|<а(*),

которая легко получается из (18):

УсР(і)—л?

^2 (*, £) = — ІШ

.! К:

я/ т^2 — «2(о(с—х)

Ъ + Тз -

+

+ е

Я «)

/

-а (О

Ч г [/^+ (*, *)-/*_(*.'*)]

, |х|<а(^).

(21)

После этого преобразования (18) можно переписать в виде

Ф(о,

«-Й- /

1.3

а (<)

С-а

1

2 7и

— IV,

(22)

Ті + їз

-а (<)

Численный метод. Численный метод (метод установления) полностью аналогичен методу, использованному в [1], поэтому здесь производится лишь краткое его описание. .

Уравнения (3), (4), (20) — (22) решались численно, причем все интегралы вычислялись по формуле прямоугольников (метод дискретных вихрей). Число интервалов разбиения пелены (число -вихрей) было выбрано равным 70. Кроме того, были приняты меры, обеспечивающие устойчивость движения цепочки дискретных вихрей относительно возмущений с длинами волн порядка расстояния между вихрями.

При интегрировании по отрезкам пелены, примыкающим к точкам С = + а, наличие особенности в интегралах (20), (21) учитывалось при помощи найденной асимптотики (19).

Конфигурация вихревой пелены и,г (Г, () в силу уравнений движения (4), (22) имеет особенность при Г 0. Участок кривой вблизи Г — 0 будем называть ядром вихревой пелены. В данной работе, как и в [1], принята простая модель ядра, которая в случае конических течений эквивалентна модели Манглера и Смита [4].

Обсуждение результатов. В работе представлен пример расчета течения около тонкого треугольного крыла с 4а/л=1. Форма профиля поперечного сечения крыла конфигурация и безразмерная интенсивность вихревой пелены, а также коэффициент подъемной силы крыла с1Я приведены на фиг. 2. Конфигурация профиля близка к ромбовидной. Искажению подверглись лишь участки нижней и верхней поверхности вблизи х = 0 (чтобы обеспечить непрерывность производной) и участки верхней поверхности вблизи точек х = + а, ввиду необходимости выполнить условие равенства нулю угла между верхней и нижней поверхностями в точках л: = +а, как требует последнее уравнение из (6). Как видно из сравнения расчетов с экспериментальными данными по обтеканию конических крыльев ромбовидного поперечного сечения из работы [6], рассчи-

тайные по данной схеме координаты ядра вихревой пелены находятся в удовлетворительном согласии с экспериментом (см. фиг. 2). В заключение приведен пример расчета конического течения около треугольного крыла нулевой толщины с поперечным сече-дием в виде дужки параболы (фиг. 3), причем 4 а/Х = 1.

= 0 0062 0176

■О—данная работа (расчет); 8=0,031; Щ—є=0,176; ®—е=0,268-данные работы [6] (эксперимент)

Є 0 0,062 0,176

г *, (0 t а2 (0 4,66 4,56 4,44

CN 0,35 0,34 0,33

Фиг . 2

о; 0,2 0,3 Ofi 0,5 0,6 0,7 О,в 0,9 1,0 х/а

Конфигурация вихревой пелены: а = Ю°, Х=0,698

1’ *1 (<) <1 ' =4,05, сдг=0,30;

2-

а2 W

г *1 {t) t

а2 (0

Г*1 (t)t

a?(t)

=4,27,

=4,66, Фиг. 3

с N =

Сщ =0,35

Из представленных расчетов следует, что наличие малой ненулевой толщины приводит к ослаблению интенсивности вихревой пелены, хотя влияние это незначительно. Поперечная кривизна крыла нулевой толщины значительно более сильно изменяет характеристики течения.

Автор выражает благодарность А. А. Никольскому за полезные обсуждения и постоянное внимание к данной работе. •

ЛИТЕРАТУРА

1. Судаков Г. Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. „Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974.

2. Седо в Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики М., „Наука", 1966.

3. Brown С. Е. and Michael W. Н. Effect of leading-edge separation on the lift of delta wing J. A. S., vol. 21, 1954.

4. Smith J. H. B. Improved calculations of leading-edge separation from slender, thin, delta wings. Proc. of the Roy. Soc., ser. A., vol.

306, 1968.

5. Smith J. H. B. Calculation of the flow over thick, conical, slender wings with leading-edge separations, ARC R. and M. 3694, 1972,

6. Portnoy H. and Russel S. C. The effect of small conical thickness distributions on the separated flow past slender delta wings. ARC CP,

1189, 1971.

7. Ward Q. N Linearised theory of steady high-speed flow, Cambrige University Press, 1955.

8. Никольский А. А. О „второй* форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков), ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

Рукопись поступила 27III 1974 г.