Отрывное обтекание крыльев малого удлинения дозвуковым потоком сжимаемого газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ а А г и

Т о м XIII 198 2 №5

УДК 532.526.5 533.6.011 629.735.33

ОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛЬЕВ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ ДОЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

С. Б. Захаров, Г. Г. Судаков

Методом сращиваемых асимнтотических разложений исследована задача об отрывном обтекании идеальным газом крыла малого удлинения в нриближенин X = 0(1), а — О (X), 0<;Моо<1, где X — удлинение крыла, а —угол атаки, — число М набегающего потока. Проведен асимптотический анализ течения в особых областях: окрестностях носовой и кормовой частей крыла. Построен алгоритм нахождения композитного решения, равномерно пригодного во всех областях. Выявлено влияние величины Мот на аэродинамические характеристики крыла. В качестве примера нриведены результаты расчета аэродинамических характеристик отрывного обтекания треугольных крыльев в широком диапазоне чисел М.

В настоящее время имеется ряд работ, посвященных задаче об отрывном обтекании крыльев потоком идеальной несжимаемой жидкости (см., например, [1—4]).

В этой задаче учет сжимаемости представляет собой новую серьезную проблему. Имеется очень ограниченное число работ, где предпринимались попытки расчета отрывного обтекания крыльев сжимаемым потоком газа. Так, в [5] методом сращиваемых асимптотических разложений исследована задача отрывного обтекания прямоугольного крыла сверхзвуковым потоком газа, а в [6] с помощью панельного метода [2, 3] дан расчет отрывного обтекания крыла малого удлинения дозвуковым потоком газа. При этом для учета сжимаемости газа использовалось правило

Гетерта (деформация продольной координаты в V 1—М» раз), выведенное для случая безотрывного обтекания крыла и примененное в [6] для описания отрывного течения без каких-либо попыток обоснования.

В данной работе построена асимптотическая теория отрывного обтекания крыльев малого удлинения, включающая анализ особых областей течения в окрестностях носовой и кормовой частей

крыла, и показано, что в случае А = 0(1), а = О(>.) (К — удлинение крыла, о.—угол атаки) правило Гетерта справедливо в первом приближении. В работе с помощью численных методов [7, 8] построено композитное решение, равномерно пригодное во всех областях течения, и дана асимптотическая оценка погрешности этого решения.

1. Постановка задачи. Рассмотрим стационарное отрывное

обтекание крыла нулевой толщины сжимаемым газом с числом М набегающего потока 0<^Моз<[1, Пусть удлинение крыла Х = о(1), а угол атаки а = 0(К). Выберем систему единиц измерения таким образом, чтобы скорость набегающего потока и центральная хорда крыла были равны единице, и введем систему координат Ох1у1г1 с началом в вершине крыла, осью Охх, направленной вдоль хорды крыла, осью Ог1 ~ вдоль размаха и осью Оу1 — перпендикулярно осям Ох, и Огх. Предполагается, что поверхность крыла симметрична относительно плоскости 0^1 У и скольжение отсутствует. Допустим далее, что в потоке имеются вихревые поверхности (вихревая пелена) £1,3(х,, у,, ^)~ 0, сходящие с боковых кромок, а также вихревая пелена уи z1) = Of сходящая с задней

кромки (след). Предполагается, что отрыв с передней кромки (если она имеется, например, в случае прямоугольного крыла) отсутствует. Пусть далее ? — потенциал течения, а — скорость звука, и, V, т — составляющие вектора скорости по осям Охи 0\'и Огх. Потенциал течения о удовлетворяет уравнению [9]

дг <р

- дг\

0 иу <3-'у ит о МО д2у ._0 п

а2 дхх дуг " а2 дгх " а2 дух дгх ’ ■ '

граничным условиям вепротекания на крыле и на пелене (непрерывность давления) и нормальной к пелене составляющей скорости течения при переходе чеоез пелену.

2. Асимптотическое решение задачи. Обозначим через внеш-

нюю область с характерными размерами О(1)и независимыми переменными хх. у ¡, В этой области при X 0 крыло изображается

отрезком действительной оси 0<х,<1, и тогда разложение для потенциала в первом приближении описывает просто равномерный поток

<р(1) =Л'1 Ь аух —

Это решение не удовлетворяет граничным условиям на крыле, поэтому необходимо рассмотреть внутреннюю область 2, с продольным размером 0(1) и поперечными О (А). Тогда переменные области 2, должны иметь вид х2=хи уг = ух[к, г2 = г1/Х, и мы приходим к теории удлиненных тел [10].

В этом приближении потенциал в имеет следующее асимптотическое представление:

=х2 + А2 ср(2) |*2, у2, г2, -у-), где функция <р<2) удовлетворяет уравнению

-1-----------------— =0

,,2 Г = -2

ду(

?(2»---_з,2 -^^х,.

Исследование граничных условий на крыле и пелене приводит к следующему результату [10]: в Й2 имеет место плоская нестационарная задача об отрывном обтекании расширяющейся пластины несжимаемой жидкостью, причем роль времени играет координата хг. Решение этой задачи не зависит от и не содержит сингулярностей по переменной х2, поэтому для учета сжимаемости газа и выявления особых областей в окрестностях носовой и кормовой частей крыла необходимо построить следующее приближение в области 2,, которое, как ожидается, будет сингулярным.

Рассмотрим внешнюю область 2Г При Х-»-0 крыло вырождается в отрезок [0, 1] оси Охи а след за крылом — в луч [1, оо) той же оси. Потенциал течения <р(1> на луче [0, со) оси Охх имеет особенность, вид которой определяется с помощью принципа сращивания решений в областях 2} и 2.,. В результате получим, что

срП) + ау1 — Хх —X3 уГУ~г?.---тг-Ух* 0<х1<оо (2.1)

і сії

при їу\ ■+■ г\ -> 0, где р1 (л^) — функция, определяемая в результате решения внутренней задачи в области 2,.

Формула (2.1) определяет вид асимптотического разложения для потенциала в области 2,:

р(1) = х: + ау; — хх + X3 е*1',

і»

2

причем функция <р^> удовлетворяет уравнению

,, (Р 'Л>! д- д* с*/*

^^^Г + ^Г + -Ц~=° <2-2>

и имеет заданную особенность (2.1) на луче [0, оо) оси Ох¡. Введем новую независимую переменную х1 по формуле х1*=х1/$.

Здесь и далее ¡3—V 1 —М». Тогда решение задач (2.1), (2.2) имеет вид

15 4г. дг1

где А (44== А

I

Рі 0) ^

[{б-х~р-уЦ

Осуществляя повторное сращивание решений в областях 2, и 22, получим, что в 23 4-членное разложение для потенциала имеет вид

9(2) = Х2 + X2 <р<2 > + р2 х21п (р>0 ?<2> + ?2 х* ¥0), (2.3)

/>1 (^а)

4тс

у*.

Уг /М0) | РгО) рЛ °)

8» 1 4 1 1 — Хц -«2

— л (1) 1п (1 — *,) +

2р\ (х2) 1п У у\ + г\ —р'\ (0) 1п х2 — /?" (л:*) (1 + 2 1п 2) -Ь

+1 л (?) 1п |Е

х2^п(£ —*2)Л-----т-

р\з

У*-

(2.4)

Функция <р!,2) удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа

по переменным у2, г2, а функция рое следует из (1.1), (2.3):

г(2) . 'з

а*#

¿у,

+

= — 82-

уравнению Пуассона, кото-

2 „(Я)« УР>

+ м» «Г + 2М1 г42> + 2М1 ©Г ^ +

+ 2М1гМ}

ср<2>

(2)

(2) дЬ Где =

Следует отметить, что для описания потенциала течения в окрестности крыла (область 9а) с точностью до членов О ().4) для следа может использоваться цилиндрическое приближение.

Из формул (2.4) следует, что разложение (2.3) несправедливо в окрестности носовой части крыла (область 2В), если хотя бы одна из величин Л(°), Р\ (А) не равна нулю. В случае тре-

угольной вершины РхЩ=р[ (0) =0, р\(§) ф0, и в разложении для потенциала имеется лишь логарифмическая особенность. Рассмотрим случай р^ (0) ф 0, который соответствует прямоугольной вершине. Тогда введем переменные области 03 по формулам = дг./^р), Уз=_У1/^> 23 = 21/Х.

Сращивание решений в областях 22 и 03 позволяет получить вид асимптотического разложения для потенциала в 23:

9<3> = + 34 ®<3>,

Функция ф*31 удовлетворяет уравнению

йат<3) д=т‘,а)

+ _^Г

<Э*‘

=0

и граничным условиям непротекания на крыле. Так как предполагается, что с передней кромки отрыва нет, он должен быть локализован в области £23 в окрестности боковых кромок крыла. Тогда в 23 течение в первом приближении безотрывно, а задача

для есть задача линейной теории, причем в окрестности боковых кромок скорость течения сингулярна:

р.«

дг3 ду3 у %

при | <з8 + /1-и 0, где г — мнимая единица, а3 = 23 + гу3, /1 —полуразмах крыла при -= 0, отнесенный к X. Следует отметить, что

влияние сжимаемости в Й3 в этом приближении учитывается с помощью Деформирования продольной координаты в ¡3 раз (правило Гетерта).

Как следует из результатов работы [И],

а(х3)=с1хч, хг -» 0, д ~ 0,31. (2.6)

Очевидно, что при хв -* ОО

а(х3 ) = с„ (2.7)

где сх, — некоторые числа.

Так как условие Чаплыгина — Жуковского на боковых кромках для в области не выполняется, необходимо рассмотреть подобласть области 23 в окрестности боковых кромок (область £24), где локализована вихревая пелена, наличие которой обеспечивает выполнение условия Чаплыгина—Жуковского.

Рассмотрим течение в окрестности боковых кромок крыла в области (область Й4). Пусть ее характерные размеры имеют порядок

хх ~Хр, ~ X"' <\г1 = г! + и1 ~ X"'

где пи п2—-некоторые числа (/¿,>1), которые будут определены ниже.

В силу (2.6) поперечная составляющая скорости течения в 24 имеет порядок

| ЗД|(4) - |

Угол наклона вихревых нитей можно оценить следующим образом:

I т*У11-_ 1 в»*-».

Х1

Из условия, что обе величины имеют одинаковый порядок, получим

_ 5 _ 2

Л) — д , п% 2 .

Пусть далее циркуляция вихревой пелены в имеет порядок ЛГ1~Х1"1 ¡¡т'-. Тогда для поперечной составляющей скорости, индуцируемой вихревой пеленой, справедлива оценка

ДГ.,

І_________ Х”1*-В"!1—Лз.

Полагая, что

найдем

! Дгх + іух

1

7

да, =-3-, пи-

Итак, определились переменные области 24

*4 = ХцЩ), = У,/^3 ¿4 = Д 2,/(Х5/3 р®-3)

и вид асимптотического разложения для потенциала

<р<*) = Х£л:4 + Ь7/30,'3®(,4).

Функция <?[*> удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа по переменным уь, г4, следовательно, в области 24 имеет место плоская задача об отрывном обтекании полупластины потоком несжимаемой жидкости.

Пусть 0ц~х1-\-1уц, а ^1 = '|/о4 есть конформное отображение плоскости о4 с разрезом по лучу [0, оо) на верхнюю полуплоскость. Тогда уравнение движения вихревой пелены в 2* имеет вид [12]

2р.

А '

дх

*і А,

е*4 - г1*

(2.8)

где р* = (Г4, Ха) есть уравнение вихревой пелены /гг на комплексной плоскости = х,).

Исследуем поведение решения уравнения (2.8) при л:4-»0и хА -*■ оо. Прямой подстановкой можно убедиться, что для степенной функции а (де*) [см. (2.6), (2.7)] решение уравнения (2.8) автомодельно

<7~Н

1*4 (Г4, Хк) = X* ш[ ‘ 4Ї + 1 |, *4*^0,

_ (2‘9) 1*4 (Г4. = X,3 О) | ' £' І, X* СО.

С помощью первого автомодельного решения (2.9) можно

3—2ц 2д

показать, что при х1 ~ у, ~ Дг, ~Х1-21? ¡3 течение существенно трехмерно (область 25). Потенциал течения в области 25 представляется в виде

3—2д ^ 2д

2# р 1—2<? ^(5)^

где функция <рр> удовлетворяет уравнению (1.1).

Второе автомодельное решение (2.9) определяет начальное условие для уравнения движения вихревой пелены в области 22 при х3 -+ 0.

Повторное сращивание решений в областях 24 и 23 позволяет определить вид 3-членного разложения для потенциала в области 23

®<3> = Хрл-3 + X2 ©<3) + X8'3 Р ®<3>,

где функция 9^ удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа по переменным х3! у8, 2) и имеет заданную особенность на боковых кромках

М31 М3) _ . «, (Ха)

Влияние сжимаемости в этом приближении также описывается с помощью правила Гетерта. Функция а](лга) известна из решения задачи в области 04.

Рассмотрим окрестность кормовой части крыла при х1 -+ I

(область 26). Из анализа формулы (2.4) следует, что переменные

области 26 имеют вид

*в = (*1 - 1)/(^), Л = УА гв = 2,/Х,

при этом потенциал должен иметь следующее асимптотическое представление:

?№> = f X2 <р(,6>(у0) г0) + X3 рср<б) (хъ, у*, «„), (2.10)

а составляющие скорости течения

й(б) _ 1 + X! и$\ ■= Х^>, да<6> = Хи/<6>, (2.11)

где Ц6) = —ъ~— , *4 = —з--------» “>1 * = я, - •

^6

Функции удовлетворяют уравнениям

а»т(б) да т5®>

+ = и’ —г ^тг + -тз- = и-

ду26 дг\ ’ ду\ дг\

Рассмотрим граничные условия на пелене (непрерывность нормальной к пелене составляющей скорости и давления при переходе через пелену). В переменных области 26 с учетом (2.10) граничные условия на пелене (непрерывность нормальной к пелене составляющей скорости и давления при переходе через пелену) примут вид:

Ох,

: кт+кт

дхп 2

= 0.

а1, 3, №

(2.12)

Квадратные скобки во второй формуле (2.13) и ниже означают скачок заключенной в них величины при переходе через поверхность вихревой пелены. Поскольку

= -Ц- , [(<¥ + (<>)3] = (^+г>1Г)И°>1,

где Г6 — циркуляция (отнесенная к Х3р) внхревой пелены, рожденной в области 26, v$ — касательная к пелене составляющая скорости, знак плюс относится к верхней стороне поверхности вихревой пелены, а знак минус — к нижней, формулы (2.12) выражают тот факт, что в области 20 точки постоянной циркуляции движутся со скоростью, равной полусумме скоростей на верхней и нижней стороне поверхности разрыва, причем эта скорость берется из решения задачи в приближении теории удлиненных тел. Другими словами, уравнение движения вихревой пелены, справедливое в области 22. справедливо и в области 2в, а поперечные составляющие скорости в 20 описываются в первом приближении теорией удлиненных тел. Однако продольная составляющая скорости описывается теорией удлиненных тел неверно [см. (2.10), (2.11)], так как «(26) получается в результате решения трехмерной задачи.

Тогда решение для потенциала в области строится следующим образом. Сначала решается плоская задача об эволюции вихревой пелены. Затем при известной конфигурации вихревой пелены решается трехмерная задача для потенциала <р(8) в и удовлетворяется условие непротекания на крыле и условие Чаплыгина— Жуковского на задней кромке. Влияние числа Мт в этой задаче проявляется только через деформацию продольной переменной в ¡3 раз (правило Гетерта).

Область следа за крылом &7 имеет следующие характерные переменные, которые определяются с помощью сращивания решений в областях 26 и 27:

х7=х„ у. =. ухч > 1.

Одновременно определяется и вид асимптотического разложения для потенциала в Й7:

ср<7> = х7 + >.2 ср<7) + X3

Функции 9<7), ср^7) удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа по переменным уч, г7, т. е. в 27 с точностью до членов О (X3) справедлив закон плоских сечений.

Зная вид асимптотических разложений для потенциала в областях 21—£27, можно получить асимптотическое представление для коэффициентов нормальной силы и продольного момента крыла

Ся =С (4-) X* + тг =, с3 (-£-) х2 + (д-) Р>Л (2.13)

Формулы (2.13) выражают комбинированный закон подобия по параметрам а, Хг р, причем первые члены в правых частях (2.13) представляют собой результат теории удлиненных тел, а вторые дают поправку к нему, вызванную наличием особых областей в окрестностях кормовой и носовой частей крыла. Именно в особых областях в первую очередь проявляется сжимаемость среды, влияние которой, как показано выше, можно учесть с помощью правила Гетерта; прн этом ошибка для потенциала имеет порядок в области — о (X83р2;з), в области 24 — о(>.7;3р1;3), в области ав-о(Х»р);

3. Композитное решение. Ниже описан численный метод расчета отрывного обтекания крыльев малого удлинении, который позволяет получить композитное решение для ф, равномерно пригодное в областях — 20. Предлагаемый метод состоит из трех этапов.

На первом этапе определяется коэффициент Х!<1)

при сингулярном члене разложения скорости в окрестности боковой кромки крыла при безотрывном обтекании (задача линейной теории крыла [7]). Для ее решения используется метод дискретных вихрей с неравномерным (по косинусу) разбиением базовой плоскости крыла как по хорде, так и по размаху. Такое разбиение позволяет при том же количестве присоединенных вихрей, что и прн равномерном разбиении, более точно определять значения плотности циркуляции вблизи кромок крыла [13]. Для учета сжимаемости среды использовалось правило Гетерта.

На втором этапе по полученным значениям коэффициента а(хг) определяется конфигурация вихревой пелены, сходящей с боковых кромок крыла. Эта задача решается с помощью численного

метода [2], основанного на теории удлиненных тел, причем скорость на бесконечности в плоской задаче выбирается таким образом, чтобы коэффициент а(хг) а плоской задаче для безотрывного обтекания пластины совпадал с полученным на первом

этапе. Такая модификация скорости на бесконечности обеспечивает правильное описание течения в области 24, при этом в области модифицированная скорость на бесконечности отличается от я/Х [см. (2.4)] на величину 0(Х41пХ). В случае треугольной вершины, когда области 23, 24 отсутствуют, первый этап может быть опущен, а скорость на бесконечности в плоской задаче в соответствии с (2.4) равна а/Х.

На третьем этапе по известным в последовательных сечениях по хорде крыла конфигурациям вихревой пелены с помощью прямолинейных отрезков дискретных вихрей выстраивается трехмерная вихревая пелена. Как было указано в п. 2, отличие конфигурации следа за крылом от цилиндрической не влияет на потенциал течения в окрестности крыла вплоть до члена 0(Х4), поэтому для следа за крылом используется цилиндрическое приближение. Дальнейшее решение задачи сводится к удовлетворению условия непротекания на крыле при помощи распределенных по базовой поверхности крыла косых подковообразных вихрей. Для учета сжимаемости используется правило Гетерта.

Полученное решение является равномерно пригодным во всех областях 2, — 2е с ошибкой для потенциала о(Х3) — в области 2Ь О [X4 ра1п(Хр)]— в области 22, о (Х7/3 р1'3)—в области 24 (в случае прямой передней кромки), о (Хв/3 р2'3) — в области 23) О [X4 р21п (Хр)]— в области 2а. Ошибка в коэффициентах нормальной силы и продольного момента крыла имеет порядок о(Х3р).

В заключение сделаем следующее замечание.

Представим себе, что крыло обрезано в области Й3. Тогда анализ течения для областей 23, 24 сохраняется, а результат такого усечения проявится только в изменении функции а^;). Таким образом, описанный метод в качестве частного случая позволяет рассчитывать и отрывное обтекание прямоугольных крыльев конечного удлинения в приближении а = о (1). Последняя задача была впервые рассмотрена и исследована в [14].

4. Результаты расчетов. В качестве примера рассматривается симметричное отрывное обтекание плоских треугольных крыльев.

Так как композитное решение,полученное по данному методу, содержит внепорядковые члены, комбинированный закон подобия (2.13) должен быть проверен. Результат проверки приведен на рис. 1, где точками 1 изображены результаты расчета для крыла с Х = = 1,147, а = 15°, а прямая (2.13) проведена по двум точкам: при =0 (несжимаемая жидкость) и Мж = 1. Как видно из приведенных данных, закон подобия выполняется с достаточной высокой точностью. На рис. 2 изображена*зависимость коэффициента подъемной силы Су крыла с удлинением X = 1,147 от М«,, полученная по данному методу (сплошные кривые), в сравнении с экспериментом [15] (точки). Необходимо отметить, что аэродинамические характеристики крыльев малого удлинения слабо зависят от М».

На рис. 3 приведены зависимости рт угла атаки коэффициентов подъемной силы крыльев при Х=г 1,147 (точки /—эксперимент [15], соответствующая сплошная кривая—расчет по данному методу) и Х = 0,52 (точки 2—эксперимент [6], соответствующая сплош-

ная кривая—расчет по данному методу, пунктирная кривая—расчет по панельному методу [4], при этом Мао = 0,8. На рис. 4 дано распределение давления в поперечном сечении треугольного крыла дг1=0,561 при Х = 0,52, Моо = 0,8, а = 20,8° (точки—эксперимент [6], сплошная кривая—расчет по данному методу).

££ 20°

Рис. 2

Рис. 3

ал

Рис. 4

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоцерковскнй С. М., Н и ш т М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М., „Наука*, 1978.

2. Johnson F. Т. and Rubbert Р. Т. Advanced panel-type influence coefficient method applied to subsonic flows, AIAA Paper, 75-50. 1975.

3. Brune G. W., Weber J. A., Jonson F. Т., Lu P., Rubbert P. E. A three-dimensional solution of flows over wings with leading-edge vortex separation, Part I, NASA CR—132709, 1975.

4. К u h I m a n J. M. Load distributions on slender delta wings having vortex flow, J. of Aircraft, vol. 14, N 7, 1977.

5. Никольский А. А. Нелинейный закон подобия дли отрывного обтекания идеальным газом прямоугольного крыла со сверхзвуковой скоростью. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 6, 1972.

6. Kuhlman Т. М. Analytical studies of separated vortex flow on highly swept wings. NASA CR—3022, 19787. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях, М., „Наука“, 1975.

8. С у д а к о в Г. Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинепия. „Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974.

9. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М. — Л., Гостехиздат, 1962.

10. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного обтекания тел идеальной жидкостью и газом. .Ученые записки НАГИ*, т. 1, № 1, 1970.

11. Medan R. Т. Aerodynamic load near crankes, apexes and tips of thin, lifting wings in incompressible flow. AGARD CP 204, 1977.

12. Никольский А. А. О „второй" форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование вихревых отрывных потоков). ДАН СССР, т. 1J6, № 1957.

13. Lan С. Е. A quasi-vortex-lattice method in thin wing theory, „J. Airctaff, vol. II, N 9, 1974.

14. Молчанов В. Ф. Метод выделения главной части нели-нейпых характеристик прямоугольного крыла, обтекаемого идеальной жидкостью. »Ученые записки ЦАГИ“, т. XJ, № 1, 1980.

15. D a v е п р о г t Е. Е. and Huffman J. К. Experimental and analytical investigation of subsonic longitudinal and lateral aerodynamic characteristics of slender sharp edge 74° swept wing, NASA TN D — 6344, 1971.

Рукопись поступила 3jili ¡981