Отрывное обтекание крыльев конечного удлинения с наплывом потоком сжимаемого газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIV 1 98 3 М3

УДК 629.735.33 532.526. 533.6.011

ОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛЬЕВ КОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С НАПЛЫВОМ ПОТОКОМ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

С. Б. Захаров, Г. Г. Судаков

Методом сращиваемых асимптотических разложений исследована задача об отрывном обтекании крыла конечного удлинения с наплывом (треугольная пластина малого удлинения) потоком сжимаемого газа. В качестве малого параметра был выбран угол при вершине наплыва. Построен алгоритм нахождения решения, равномерно пригодного во всех областях. Выявлено влияние величины на аэродинамические характеристики крыла. В качестве примера приведены результаты расчета аэродинамических Характеристик ряда крыльев с наплывами.

Крылья многих современных самолетов имеют в корневой части наплыв на переднюю кромку, который, как правило, представляет собой поверхность малого удлинения. В полете на боковых кромках наплыва образуется устойчивая вихревая пелена, которая вызывает существенное перераспределение давления на поверхности крыла. Задача об определении аэродинамических характеристик системы крыло — наплыв исследована в [1] методом дискретных вихрей в предположении об отсутствии сжимаемости потока. Учет сжимаемости является здесь новой серьезной проблемой. Имеется очень небольшое число работ, где предпринимались попытки учесть сжимаемость при отрывном обтекании крыльев. Так, в [2] методом сращиваемых асимптотических разложений исследована задача об отрывном обтекании прямоугольного крыла сверхзвуковым потоком газа, а в [3] с помощью панельного метода дан расчет отрывного обтекания крыла малого удлинения дозвуковым потоком газа. В последней работе для учета сжимаемости использовалось без каких-либо обоснований правило Прандтля (деформация продольной координаты в VI— М«), справедливость которого установлена для линейного (по углу атаки) приближения.

В данной работе построена асимптотическая теория отрывного обтекания крыла конечного удлинения с наплывом. В качестве малого параметра был выбран полуугол при вершине наплыва в1.

Показано, что при некотором предположении о длине наплыва I правило Прандтля справедливо и в следующем (нелинейном) приближении. Показано далее, что с точностью до первых двух членов разложения полную трехмерную нелинейную задачу можно свести к последовательности трехмерных, но линейных задач и нелинейной, но двумерной задаче. На основе асимптотического анализа построен численный метод решения задачи и дана асимптотическая оценка его погрешности.

1. Постановка задачи. Рассмотрим стационарное отрывное обтекание системы крыло—наплыв сжимаемым газом с числом Маха набегающего потока 0<Моэ<1. Плоское крыло конечного удлинения имеет произвольную форму в плане и нулевую толщину. Наплыв имеет треугольную форму в плане с углом при вершине 20! (рис. 1). Поток набегает на систему крыло—наплыв под углом

атаки а.. Единицы измерения выбраны так, что скорость набегающего потока и длина корневой хорды крыла равны единице. Отрыв имеет место только с передних кромок наплыва.

Предполагается, что 0, = о (1), а = 0(6,), 0, = 0(1), где 62 — полуугол при вершине крыла (рис. 1).

Относительно длины наплыва I предположим сначала, что / = 0(1). Пусть далее <р — потенциал течения, а — скорость звука, и, V, ю — составляющие вектора скорости по осям х, у, г.

Потенциал течения <р удовлетворяет уравнению [4]

[. м2\ д2<о . /1 и2 \ д29 /. т2\ д2 у

а2"] дх2 а2 ] <Эу2 ' а3 ) дг~ ’

(Ы)

п иь д" с? 0 иге <Э2 ср п VI!) <?2 ср _п

а2 дхду а2 дхдг я2 дудг '

условию непротекания на поверхности крыла и наплыва, граничным условиям на пелене (непрерывности давления и нормальной к пелене составляющей скорости течения), а также условию Жуковского на боковых кромках наплыва и задней кромке крыла.

2. Асимптотическое решение задачи. Обозначим через область с характерными размерами 0(1) и независимыми переменными

х^х/т, у1 = у, — т — У 1—М^,

где Моо—‘Число М набегающего потока.

В этой области при 6-^-0 наплыв изображается отрезком оси хх (— 1/т-^.х^О, где /— длина наплыва). Тогда в первом приближении в 9, имеет место трехмерная линейная

задача обтекания крыла конечного удлинения без наплыва. Ее решение имеет вид

9е1» = тхх 4- а<р<') (хь уи г:), где 9^ удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа, граничным условиям на поверхности крыла и условию Чаплыгина — Жуковского на задней кромке крыла.

Функция не удовлетворяет условию непротекания на поверхности наплыва и граничным условиям на пелене, сходящей с боковых кромок наплыва. Следовательно, необходимо рассмотреть внутреннюю область с поперечными размерами порядка поперечных размеров наплыва. Тогда переменные области 22 должны иметь вид

Х2 = х/1, у 2=у!(^1), 22 = 2/(01/).

Сращивание решений в ^ и 22 позволяет определить вид асимптотического разложения для потенциала в 23

?(*) = £*2 + 0*/?|Ч — 1<*2<0 (2.1)

и граничное условие для <р(2> при ]/у2 + г\ -> О

ЬКХ2^)-^^Х”

где И^^д^/ду^Хи 0, 0).

Функция ®[2) удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа по переменным у2, г.2.

Таким образом, в 22 имеет место плоская нестационарная задача об отрывном обтекании расширяющейся пластины с заданной скоростью на бесконечности, причем роль времени играет координата л;2 (закон плоских сечений). Следует отметить, что при / ^ со Р(х21/т)-> 1 по определению, поэтому ниже предполагается, что I~ 1 или 1.

Пусть уравнение для конфигурации вихревой пелены К\,2, сходящей с боковых кромок наплыва, на комплексной плоскости а2 = = г2 -}- 1у2 имеет вид С2 — С2 (Г,, х2), где Г2 = Г/(б? /), Г —циркуляция вихревой пелены. В соответствии с [5] комплексная функция (Го, х2) удовлетворяет нелинейному интегро-дифференциальному уравнению

1 ,

7 (г3. -Уз) (1г.2 1 Г _______________

_ (1+,з) - -(Г=* "2) к[2 (Г2 *>) - 5. *0

~1^(х2^), — 1 < ^2<0, (2.2)

где 6, у — плотность циркуляции присоединенных вихрей.

Используя результаты [6], можно показать, что при (— х{) 0

3(*1)~<\ (— хх)-п',

где ^—некоторая константа, а пх = я, (02) — некоторая функция, вычисленная и затубулированная в [6], причем 0<л,-<1/2 при 0<6„<я/2.

дх-<

(Гг> -^г)

1

2 тл

Таким образом, при (—х2) ->■ 0 последний член в (2.2) имеет особенность, поэтому необходимо отдельно рассмотреть область 23 с характерными размерами кх—Ду— Да: —- 0, (окрестность стыка наплыва с крылом), где возмущения продольной и поперечной составляющих скорости становятся одного порядка.

Введем независимые переменные 23 но формулам х9=*х/(т16,), у3 = у/(/0,), 23 = 2/(/0,).

Из условия сращивания решений в областях 2,, й2> 23 определяется вид асимптотического разложения для ® в 23

о(3) _ т1Ь{ д-3 + 62-». /' -«• (2.3)

где функция ф<3) удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа.

Из (2.2) и граничного условия на пелене (равенство нулю нормальной к пелене составляющей скорости течения) следует, что вихревая пелена, сформировавшаяся в 24, проходит область й3 в первом приближении без изменения своей конфигурации. Как следует из (2.3), возмущение скорости в й3 является величиной порядка б|а вихревая пелена в соответствии с (2.1) индуцирует скорости порядка б,. Тогда определение функции <р<3) сводится просто к решению линейной задачи о пространственном безотрывном обтекании окрестности стыка.

В соответствии с линейной теорией крыла функция »(3> перестает быть аналитической в окрестности боковых кромок наплыва <Ы3) даф ь (х3)

-Г-----------1 -Р-----7==. «3+1-0, (2.4)

дуз уаз ± 1 13 —

где г —мнимая единица, Ь (х3) — некоторая функция, получаемая в результате решения линейной задачи, <з3 = гъ 4- г'у3.

Это означает, что <?<3) не удовлетворяет условию Чаплыгина-Жуковского на боковых кромках наплыва, а разложение (2.3) несправедливо при |о3 + 1]-^0.

Таким образом, необходимо предположить, что существует

подобласть области й3 — область Й4 с характерными размерами х~т1Ъи у~Дг=2 + 0,/— 0\'1к^т\ где — &3 —некоторые числа, которые будут определены ниже. Вихревая пелена в 04 оказывает существенное влияние на характеристики возмущенного течения. Из (2.4) следует, что величина поперечных составляющих скорости в 24, индуцированной системой крыло — наплыв, имеет порядок

0(3- 1-2п,)2^(1_*.,_2п1)/2от-А3/2_ для уГла НЭКЛОНЭ ВИХрвВЫХ НИтеЙ СПра-

ведлпва оценка — б?*-1/*‘-1/га*»-1. Так как обе величины должны иметь одинаковый порядок, то

ь — 5 —2п, и 3 — Ъпх и __ 2

К\ ' 2 9 2 2 5 з — з •

Пусть далее циркуляция вихревой пелены, генерируемой в 94, является величиной —6х'1к‘гпк‘\ где — некоторые числа.

Тогда для скорости, индуцируемой вихревой пеленой, справедлива оценка — г,Приравнивая порядки скоростей, инду-

цированных вихревой пеленой и системой крыло—наплыв, получим

ь — 7~4/г» Ь — 3 - 4/г1 ь — —

/с4 гу ? о ) —“ о •

Итак, определились независимые переменные 94 х4 = Л/(0! 1т), у4 = _у/(0<5—2/1‘)/2 /(3-2л,)/2от2/3^ г4 = (г + /)/(6(5-2«.)/2 / (8-2В0/2 т2/3^

и вид первых членов асимптотического разложения для <?

ф(4) = 0, 1тХА 0(7—4я1)/3-/СЗ — 4Л!)/3 яг13 ср(4) (2.5)

Функция удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа по переменным _у4,24, и мы приходим к плоской задаче об отрывном обтекании полубесконечной пластины. Граничные условия при УЯТЩ — ос для этой задачи следуют из (2.4). Пусть и4 = ]Лз4 — конформное преобразование плоскости о4 = г4 + гу4 с разрезом по лучу [0, со) на верхнюю полуплоскость. Тогда уравнение (2.2) примет вид

2^4 (Г4, ^)^-(Г41 *«) = ЖоЫу

1 / Г й?Г.

^ (*4) + о-Г

2“' \х/, |и-4 (г4> л_4 ) ,и4 (Г4) х*)

йТ4

оо<х4<0, (2.6)

Ш (^4, х^ (Г4, х4)^

где г4 = Г/(0(17_4"‘)/3 /(3-4я’>/3 от1'3).

Необходимо отметить, что в Й4 может генерироваться циркуляция по порядку величины как больше, так и меньше величины циркуляции, рожденной на остальной части наплыва (область 9,). Это зависит от величины I и значения «, = «,(62). Характерным является предельный переход 6х /2 = 0(1), когда площадь наплыва и площадь остальной части крыла становятся одного порядка. При этом порядок величины циркуляции, рожденной в 24—ДГ— ^е(п-4я,)/б^ а в — дг.~03/2. Тогда ДГ|аХДГ|в, при любом пи О <;«!<< 1/2, и ДГ|а4.— ДГ|аз при я1=1/2, что соответствует 62==тс/2.

Из формулы (2.4) при (— л:4) О в соответствии с [6] имеем Ь(Хц) — с(— х4)“л=, где я2 = /г2(62) = «1(62/2 + 1г/2) + 1/2 (0</г2^0,20 при 0 -< 02 <; те/2). При этом решение (2.6) автомодельно

!А1 (Г4> Х.0 = (- *4)2 (‘-лз в (г4 (_ А-{)- /з).

3 — 2 (п1 — я2)

Отсюда следует, что при (— л:) — 0Х‘ /г* тгэ, где =---------1- - 2—,

1 — 2 («! — /г2) п.,

Гз =-----Г - 2п--- ’ Гз~—1 +“2п,. продольные и поперечные раз-

меры становятся одного порядка, и, следовательно, возмущения продольной и поперечной составляющих скорости также имеют одинаковый порядок. Это означает, что на указанном масштабе течение существенно трехмерно (область 20). В этой области потенциал течения представляется в виде

<р(5) = 0л 1п щГг ср{5) (д-5) уЬ) 2.)) (2.7)

где хъ=х/(ЪГ1 1г‘ т'*), уъ = у1(ВГ1 1г"- тг>), г5 = (г + &1 /)/(0? 1Г‘ тг*), а функция <р[5> удовлетворяет исходному нелинейному уравнению (1.1).

Легко видеть, что в области 25 величина всех компонентов возмущенной скорости становится порядка единицы. Прирост цир-

куляции в й5 в соответствии с (2.7) имеет порядок Ь['1г'.тг\ что намного меньше величины циркуляции, генерируемой в 94.

Рассмотрим поведение вихревой пелены в областях й8 и й4 при л>0. В силу сделанных предположений при х > 0 генерации вихревой пелены не происходит, и получается задача о движении вихревой пелены над плоскостью крыла. Как было сказано выше, вихревая пелена, сформировавшаяся в йг, проходит через область Й3 в первом приближении без изменения своей конфигурации.

В области Й4 при х4 > 0 так же, как и при л:4<0, справедлив закон плоских сечений, поэтому уравнение для конфигурации вихревой пелены К на комплексной плоскости з4 = г4гу4 имеет вид

. ^4, /р х ) — —— 1 _______________—_____________

’ 4 j с* (г;. JC4) — с. (Г4, Х4)

-2T,IW i> 0<л4<оо. (2.8)

^'Л-к Н (Г4> *i) - -4 (Г4> -*l)

Из условия непрерывности решения при я4 = 0 можно определить начальное условие для уравнения (2.8). Это уравнение имеет два интеграла

/, — 1ш \ С4(Г4, x4)dr4= const;

/2 = Real \ ) In 4(14^ dT< dV _ cQnst

U :л*и xj-b г4,*Л

(2.9)

Из (2.9) следует, что при х4 -+ оо характерные вертикальный и горизонтальный поперечные размеры вихревой пелены не меняются по порядку величины. Это означает, что (2.8) описывает эволюцию вихревой пелены С циркуляцией Г —^ 0^7—4"1)/3 /<3—4«,)/3/7г1/Э на всем участке 0<д:<1. В уравнении С4 = С4(Г4, х4) можно выделить слагаемое, которое не зависит от Г4 и соответствует боковому скосу пелены, возникающему в результате взаимодействия с крылом. Из (2.8) получаем, что при х4 -* со ИеаК4 — х4 — хЦв^т). Тогда независимые переменные области Й4 при 0<л-<1 перепишутся в виде

Х4 — т), у4 — У1(ЬГ2^ 3 /(3~2«,);3 т2/3^

г4 = (г + б? (1-л‘)'3 / 2я1/з т-т Ь{) (х))/(0(15~2л') 3 /(з-з«ж)/з тт)>

где Ь0(х) — некоторая функция, характеризующая боковой снос пелены.

Рассмотрим поведение вихревой пелены в области Й2 при О < х < 1. Уравнение для конфигурации вихревой пелены имеет вид, аналогичный (2.8):

дг„ I г 1 г аг,

(Г2, х2) — -2~г -JP у 7 /г---------------------ч-гЬ I ----^2Л0)

2 I,. J (J1 х \ — (Р IГ х2) £2(^21 -*2)

*1,2 1 ' «1, 2 4 '

дх

Таким образом, над поверхностью крыла имеется вихревая пелена, состоящая из двух участков. Первый имеет поперечные

размеры ~0,/ и циркуляцию ~ 017, второй — поперечные размеры

^ р(а-2п,).з цз-2п,);3 /и2/3^ циркуляцию ~ 0(7—4я0/3 /(3—4я1)/3 тЦЗ и ОТСТОИТ ОТ

плоскости симметрии на расстоянии —02(1_П1)'3/-2я1/з7?г-1/з> Асимптотические разложения для потенциала (2.1), (2.5) сохраняют свой вид при 0 < х < 1.

Рассмотрим вихревой след за крылом (1<л:<;оо). В области

2, при л>1 остается справедливым асимптотическое представление для потенциала (2.1), Начальные и граничные условия для следа за крылом определяются из условия непрерывности решения при х=1 и сращивания с решением в 2Х. Так как на задней кромке крыла должно выполняться условие Чаплыгина — Жуковского, то с задней кромки крыла должна сходить вихревая пелена К3. Плотность циркуляции Къ при л: = 1 -)— 0 совпадает в первом приближении с плотностью циркуляции продольных присоединенных вихрей при я: =1—0. Тогда для конфигурации вихревой пелены С2 = С2(Г2, хъ) имеем уравнение

Щг2, Х2)=~ Г -7-т--------------^----------1-£-р(хо—), (2.11)

дх3 и 2~а J г2 (т2,х2 -С2(Г2,*2) т}> ( >

• *1,2,3 ' '

где Кг, 2-—пара свободных вихревых пелен с интенсивностью -—01 /, рожденных на основной части наплыва, а р (х%) —д^[1\/ду1(хи 0, 0), > 1 /т. Функция <р<2> из (2.1) непрерывна в точке х — 1, в то время как д'л\2)/дх2 разрывна, так как уравнения (2.10), (2.11) имеют существенно разный вид. Отсюда следует, что существует еще одна облась 26 (окрестность задней кромки) с характерными размерами я— 1 — Сращивание решений в областях 22 и

Й6 позволяет найти вид асимптотического разложения для потенциала в 20

<р(6> = 0! 1тх6 4- 0? МЬ) (у6, 26) + 0? 1т?26) (х6, у6, г6), (2.12)

где х$ — (х 1 )/(0] 1т), ув=у/(^[), 2г6=2г/(01 /), ср<6> (у6, 26)=<р<2>(1, Ув> 26) удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа, а ^6) — трехмерному уравнению Лапласа.

Таким образом, в 2е конфигурация вихревой пелены и поперечные компоненты скорости в первом приближении правильно описываются с помощью закона плоских сечений [член в (2.12)], в то время как продольный компонент, а следовательно, и давление получается с помощью закона плоских сечений неверно уже в первом приближении. Для определения продольного компонента необходимо решить трехмерную задачу для ср!,6) при заданной конфигурации вихревой пелены.

Сращивание решений в областях 26 и 2;, (при х > 1) позволяет получить вид 3-членного разложения для потенциала в 2, при л: > 1:

ср(2> = 05 /х2 + 02 /срС2) (х2, у о, 22) + 02/т¥><2>(л;2, уг, г2),

где ср(2), ср<22) удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа по переменным у2, г2, при этом закон плоских сечений справедлив с точностью до О(0‘^/от).

Аналогичный анализ окрестности задней кромки крыла в области £24 приводит к необходимости рассмотрения новой области 27, причем

Х7 = (х — 1 )/(0(5-2«.)/3 /(3-2и,)/3 т5/3); у. __у/(0<5-2н,)/3 /(3—2«,)/3 ^2/3^

г7 = (^ + б'і (1~Иі)/3 /—2«!/3 т—1/3 (1))/(0І5~2/І‘>/3 /(з—2«і).3 т2/3),

а потенциал в 2; представляется в виде

ср(7) = 6(5-2л,)/3 /(3—2л,}/3 т5/3 0(7-4я1);3 /(3-4н,)/3 „г1/3 ^(7) (^ _)_

+ б3-2". (Х7, у-, 2-).

Функция удовлетворяет двумерному, а функция <р!,7)-— трехмерному уравнению Лапласа. Тогда в области следа 24 при х > 1 потенциал имеет следующий вид:

где <р^4) удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа по переменным у,, г:, и, следовательно, справедлив закон плоских сечений.

Перейдем к построению высших приближений к решению во внешней области 2,. В этой области внутренняя область Й2 представляется в виде луча осп х [—/, оо), на котором решение ®(1> должно иметь заданную особенность. Так, при — /<х<0 в 2, появляется отрезок диполей с интенсивностью ~6]/, при 0<х<1 — отрезок квадруполей С интенсивностью —0^/2 0? (? 4/г*)/3 /2 (3—4/г,)/3 т2/3

(последнее слагаемое порождено решением в области 24), и, наконец, при 1<х<оо имеется луч диполей с интенсивностью ~ 01/2 + 6?(7 4л,)/3/2(э—4л,)/зт2/3 Отсюда следует, что 5-членное разложение в 2( имеет вид:

Функции ф<11), ®у> являются решениями задачи при безотрывном обтекании. Функции отражают влияние отрыва на харак-

теристики течения в 2) и имеют заданные особенности на луче

— 1^Сх<^ оо оси х, причем у*1', удовлетворяют трехмерному уравнению Лапласа, а <р<1>, да^1)— уравнениям Пуассона, которые следуют из (1.1), (2.13). Так, например,

Отметим, что (х,, у1г гі) = <?М(хи — уи гх) в силу граничных условий непротекания на поверхности крыла и соотношения (2.14), поэтому третий член в (2.13) не дает перепада давления на поверхности крыла в члене —а2 и, следовательно, не дает вклада в суммарные аэродинамические характеристики. Тогда, если интересо-

?<4> - 0,1тх4 + 6(7-4«0/з р-ш,)із тмг ?(4, ^ ^ +

03-2«1/!-2літ<р(4)(Х4і уі> 24)5

(2.13)

ваться только перепадом давления на поверхности крыла и величинами су, тг с точностью до О (а2), задача (2.14) для <ру> может быть опущена.

Далее везде предполагаем, что 6,/2 = 0(1), т. е. площади поверхности наплыва и консоли имеют одинаковый порядок. В этом случае третье и четвертое слагаемые в (2.14) можно объединить. Функция при этом имеет как симметричное слагаемое, которое удовлетворяет неоднородному уравнению (2.14), не дает вклада в перепад давления с точностью до 0(6?) и может быть опущено, так и антисимметричное слагаемое, которое удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа и имеет заданную особенность на луче [—/, оо) оси х,. Таким образом, при я=0(61), /=0 (0Г1/а) правило Прандтля справедливо с точностью до 0(6?).

Перейдем к оценке сил и моментов, действующих на систему крыло — наплыв. Асимптотические разложения для о в областях Й,— Й7 дают возможность оценить вклад каждой в суммарные аэродинамические характеристики. Так, например, для вертикальной составляющей силы, действующей на крыло—наплыв, область й2 при —/<л<0 дает ДК■— б?/2, область Й4(х4<0) — ДУ ~

— (2 /2 (х т, области й2 и -4 при 0<л:<1 —ДК = 0 (в рас-

сматриваемом приближении), область й. — ДК—б\г'12гчп2г-, область 26 — ДК■—- /2, область й7 — ду~е?(7-4п‘)/,3/2<'-^>/3 те2'3, область й4—

ДУ ~ 6, Р + б?(7—4"1>/3 /2(1—4«,)/з т%ъ такИм образом, для коэффициента подъемной силы Су справедливо разложение

где с,—некоторое число, с2, съ — некоторые функции, а 5—площадь системы крыло — наплыв.

Аналогичное представление имеет место и для коэффициента продольного момента тг. Формула (2.15) выражает закон подобия по параметрам а, I, т, причем при изменении т подобие имеет место для конфигураций системы крыло—наплыв, полученных друг из друга с помощью преобразования Прандтля.

3. Численный метод. Ниже описан численный метод расчета исследуемой задачи, который позволяет получить решение для », равномерно пригодное во всех областях й, — Й7. Метод включает три этапа расчета.

На первом этапе определяется коэффициент Ь (х) (— /<!л:<0) при сингулярном члене разложения скорости в окрестности передней кромки наплыва при безотрывно.м обтекании (трехмерная линейная задача теории крыла). Для решения этой задачи используется метод дискретных вихрей с неравномерным (по косинусу) разбиением поверхности крыла как по хорде, так и по размаху [7]. У чет сжимаемости производится с помощью преобразования Прандтля.

На втором этапе но полученным значениям коэффициента Ь(х) определяются конфигурация и интенсивность вихревой пелены. Эта задача решается с помощью численного метода [8] и использует закон плоских сечений. Скорость на бесконечности в плоской задаче (область й2, —/<х<0) модифицируется таким образом, чтобы коэффициент Ь(х) в плоской задаче для безотрывного обтекания пластины совпадал с Ь (х), полученным на первом этапе.

Б Су — С]-а + Со

( а \ „о (7—4л,)/3

/2(1—4/М3 т2,3) (2.15)

Такая процедура обеспечивает получение решения в области 24 при л:<0, при этом в 22 (—I < л: < 0) модифицированная скорость

аппроксимации внутренней части вихревой пелены используется модель вихрь—разрез. Для интегрирования уравнений (2.8), (2.10) также используется метод дискретных вихрей, причем оба уравнения решаются одновременно без разделения на области 23 и ^

На третьем этапе по известной в последовательных сечениях конфигурации вихревой пелены с помощью прямолинейных отрезков дискретных вихрей выстраивается трехмерная вихревая пелена. Для следа используется цилиндрическое приближение. Затем решается трехмерная задача для уравнения Лапласа (после применения преобразования Прандтля для учета сжимаемости) с удовлетворением граничных условий неиротекания на поверхности крыла и наплыва в присутствии известной вихревой пелены, сошедшей с наплыва. Это делается при помощи распределенных по поверхности крыла и наплыва косых подковообразных вихрей с неравномерным (по косинусу) разбиением поверхности как по хорде, так и по размаху. При этом выполняется условие Чаплыгина — Жуковского по задней кромке крыла.

Описанная процедура позволяет получить скачок потенциала на поверхности крыла, но не сам потенциал, так как задача (2.14) в области 2! для уравнения Пуассона не решается. Тем не менее этого достаточно для определения перепада давления на крыле, а также сил и моментов. Решение для скачка потенциала на крыле является равномерно-пригодным во всех областях 25 — £27, кроме области 25, с точностью до членов, рассмотренных в п. 2. При этом предполагается, что 01/2 = О(1).

4. Результаты расчета. На рис. 2 приведены результаты расчета аэродинамических характеристик крыла с наплывом при МОо:=:0 (сплошная кривая — данная работа, пунктир — метод дискретных

на бесконечности отличается

в (2.2) на о(1). Для

(О < х < 1).

'Моа

Н

Рис.. 2

Рис. 3

вихрей [1], штрихпунктир—линей- ,J

ная теория), где cN, тг— коэф- Рис. 5

фициенты нормальной силы и продольного момента.

На рис. 3 даны результаты расчета для cN, тг, а также приращения ДсЛ,, Ьтг, вызванные наличием отрыва с передних кромок наплыва типичного крыла изменяемой геометрии при я =15° (с™11, OTfH — результаты расчета по линейной теории). Интересно отметить, что хотя cN, —тг растут с увеличением Ма, но \cк,—^mz падают, т. е. с ростом М» влияние отрыва уменьшается.

На рис. 4 приведены результаты расчета производной коэффициента нормальной силы сечения того же крыла по углу атаки (линейная теория) с^ по размаху крыла г, а на рис. 5 — коэффициента нормальной силы сечения сп при а =15°.

Эти данные указывают на то, что приращение ск с ростом Ма, происходит за счет сечений вне области вихря, т. е. в области 2j.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоцерковский С. М., Н и ш т М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М., „Наука”, 1978.

2. Никольский А. А. Нелинейный закон подобия для отрывного обтекания идеальным газом прямоугольного крыла со сверхзвуковой скоростью. .Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 6, 1972.

3. Kuhlman J. М. Analytical studies of separated vortex flow on highly swept wings. NASA CR — 3022, 1978.

4. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М. — Л., Гостехиздат, 1962.

5. Никольский А. А. О „второй* форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование вихревых отрывных потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

6. Medan R. Т. Aerodynamic load near cranks, apexes and tips of thin, lifting wings in incompressible flow. AGARD CR-204, 1977.

7. Lan С. E. A quasi-vortex-lattice method in thin wing theory.

„J. Aircraft', vol 11, № 9, 1974.

8. Судаков Г. Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. «Ученые записки ЦАГИ“, т. V,

№ 2, 1974.

Рукопись поступила 23(Х1 1981 г.