Асимптотическое решение задачи об отрывном обтекании треугольного крыла под малым углом атаки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XI 1 9 8 0 №2

УДК 532/533 517.944 532.7

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОТРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА ПОД МАЛЫМ УГЛОМ АТАКИ

Г. Г. Судаков

Методом сращиваемых асимптотических разложений исследуется задача об отрывном обтекании треугольного крыла малого удлинения X = о (1) под углом атаки а — о (А). Показано, что область отрыва в отличие от случая обтекания прямоугольного крыла имеет сложную многослойную структуру с разными масштабами по направлениям вдоль поверхности крыла и перпендикулярно к ней. Установлены законы подобия для интенсивности отрыва и приращения коэффициента нормальной силы, обусловленной наличием вихревой пелены.

При обтекании крыльев малого удлинения вклад в коэффициент нормальной силы крыла, обусловленный наличием вихревой пелены, составляет до 50%, а сама вихревая пелена занимает звачительные области над верхней поверхностью крыла. Несколько иначе обстоит дело при обтекании крыльев умеренного удлинения, где для практически встречающихся углов атаки вихревая пелена локализуется в окрестности острых передних или боковых кромок, а соответствующий вклад в аэродинамические характеристики крыла, обусловленный вихрями, можно рассматривать как поправку к характеристикам, полученным по линейной теории безотрывного обтекания. Таким образом, для построения теоретической схемы отрыва в этом случае уместно использовать асимптотический подход, когда угол атаки стремится к нулю. При этом поле течения разбивается на две характерные области: область внешнего безотрывного обтекания, где справедлива линейная теория, и область отрыва в окрестности острых передних кромок, при приближении к которой во внешнем решении появляются характерные сингулярности. Асимптотический анализ внутренней области (области отрыва) позволяет ликвидировать указанную выше сингулярность и получить соответствующие поправки к линейной теории.

Такая процедура была осуществлена для случая прямоугольного крыла как при дозвуковом [1], так и при сверхзвуковом [2] обтекании.

Ю

Однако в случае скользящей передней кромки крыла асимптотический анализ области отрыва оказывается весьма затруднительным из-за наличия немалой составляющей скорости, перпендикулярной к кромке. Область отрыва при этом в отличие от случая прямоугольного крыла имеет сложную многослойную структуру с разными масштабами по направлениям вдоль поверхности крыла и перпендикулярно к ней. Естественно начать анализ таких течений с задачи об отрывном обтекании треугольного крыла малого удлинения Х=о(1) в приближении а/1 = о(1). На примере этой задачи в данной работе выясняются характерные размеры области отрыва, устанавливаются законы подобия для Асдг (приращение коэффициента нормальной силы, обусловленной отрывом), интенсивности отрыва и других характеристик, получены уравнения, описывающие вихревую пелену в различных областях.

Показано, что, несмотря на то, что течение в области отрыва в случае треугольного крыла резко отличается от нее в случае прямоугольного крыла, для приращения коэффициента нормальной силы, обусловленной наличием вихревой пелены, имеет место один и тот же закон подобия ~а5/3л13. Этот факт дает основание предположить, что указанный выше закон подобия является универсальным.

1. Постановка задачи. Рассмотрим стационарное обтекание треугольного крыла с углом при вершине 20. На крыло набегает ноток газа со скоростью и«, на бесконечности под углом атаки а. Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в вершине крыла, осыо л, направленной вдоль линии симметрии на поверхности крыла, осыо у перпендикулярно поверхности и осыо г перпендикулярно осям д: и у. Пусть далее 0=о(1), а а/0 = о(1). Тогда справедлива теория удлиненных тел Мунка—Джонса —Уорда [3], которая сводит трехмерную стационарную задачу к двумерной нестационарной задаче об отрывном обтекании равномерно (по времени I — х/Иос) расширяющейся пластины потоком несжимаемой жидкости со скоростью аЯоо на бесконечности. Последняя задача автомодельна, так как имеется только одна размерная постоянная

В этом случае уравнение движения вихревой пелены, полученное в |4], и условие Жуковского могут быть записаны следующим образом [5]:

А'] 2

о | G | с*;

(О

М—1G*y Р) = 1;

Real

1,2

где ¡¿и — отнесенная к 6л: безразмерная комплексная координата вихревой пелены, обозначенной К\> К> на рис. 1; О — безразмерная циркуляция (отнесенная к В2ихх)', ^ — а/в — относительный угол

атаки, а ФоСрч Р) — регулярная вне отреза [—1 1] функция переменной [х, с помощью которой удовлетворяются граничные условия на пластине ¡а£[—1, 1] (условие непротекания) к на бесконечности фо('Л Р) - — Ф при ¡¡х| -> со.

В соответствии с предложенной схемой течения при (3-*0 имеем | (б, Р)+1|->0, | р-а(О, р)—1 | -> 0. Ограничиваясь рассмотрением

области отрыва вблизи точки ¡х = —1, предположим, что при р ■С 1 решение (1) имеет следующее асимптотическое представление:

МО, »+ 1-РА‘/(-^г)+°(РЧ И

где >ч, X, -- некоторые действительные числа, подлежащие опре-лению.

Тогда реализуется схема течения, изображенная на рис. 1: пространство вне крыла разбивается на область безотрывного течения

2] и области отрыва 02, локализованные вблизи кромок пластины.

Масштаб области й2 имеет порядок рх‘.

2. Построение асимптотического решения задачи. Рассмотрим область внешнего течения Ц (рис. 1). Очевидно, комплексная скорость Ф(1)({а, р) удовлетворяет в 2, следующим условиям: 1) функция Ф(1)({х, р) регулярна всюду вне отрезка [ — 1, 1]; 2) Ф(1)(!*> Р)->- —¿р при ¡¡а|^оо; 3) 1шФ±(!1, Р) = 0 при ¡а 6 [ — 1, 1], причем знак „плюс“ относится к верхней стороне отрезка, а знак „минус“ — к нижней. Решение поставленной задачи с наименьшей особенностью легко находится, при этом получаем одночленное внешнее разложение:

фго(!‘, Р)=-г?-4=г. (3)

У Iх2 —1

Следует отметить, что (3) содержит характерные сингулярности при ^-*+1, откуда следует необходимость рассмотрения внутренних областей

В области в соответствии с формулой (3) введем внутренние переменные

0>=р (4)

Тогда из (3) и принципа сращивания следует граничное условие

для комплексной скорости Ф,2> в области на бесконечности для

внутреннего разложения:

гг»(2) 1 Р1"^'2 ,

Перепишем уравнение движения вихревой пелены (1) во внутренних переменных (4)

-і +рх'^-?1'0!^- = ф„ы + [ -т

аи-у 2 ти .у. м-о

2 лг [Х2 — }Л2

Л1

(6)

и перейдем к построению Ф0 (р,2)' Во внутренних неременньгх (область й2) задача сводится к исследованию отрывного обтекания полубесконечной пластины, поэтому введем вместо переменной [Х2 новую переменную ш., по формуле

{12 = ш2- (7) В плоскости внешность полупластины отобразится на верхнюю полуплоскость и в силу граничных условий непротекания Ф0

сведется просто к действительной постоянной с и к интегралу по пелене, сопряженной относительно оси абсцисс, т. е. получим

ф(2)=-^

2о).і

С +

/ Г _____________________г сю2 У

2яІ I 3 Ш2 ----------- (02 3 --- ш2

к’і ' !.

(8)

Из граничного условия (5) с учетом (7) можно определить неизвестную константу с:

с —У 2 (9)

Итак, из (б) — (8) получаем

_ 1 + ^а>2 ( ш2 — 2в2 ~2 ] =

(¿Шо

сій«

2а>2

4-і

X

(10)

Условие Жуковского на острой кромке [см. (1)] замыкает уравнение (10):

х, г 2 1ш ш0

2гс

1-Х./2

12

(Ю 2 = 0.

(П)

Легко видеть, что в (10), (11) невозможно так подобрать действительные числа >м, Х2, чтобы все члены были одного порядка, следовательно, в существуют еще области неоднородности.

Наличие в (10) члена порядка единицы приводит к необходимости принятия схемы течения, воспроизведенной на рис. 2, а именно,

в Ї2г появляются область неоднородности 23, отстоящая от начала координат на расстоянии <и2Н!, и область неоднородности й4. Их переменные и соответствующие масштабы приведены ниже. Область 23: ш2 — ш2й. = рХзо>3, С, —С3<73*,

0<С2<С/З:і:, = 0(1).

Область Я2: 03*<02<02*, °** ~°3*=^рХ, = о(1),

О, = °2* “ 02

Область а4: G2*<G2<G,„ С*-~0з*- = ^ р = о(1),

и*

/> ^ А Г}Хк

‘ = Р “*•

Области fi3, 94 являются подобластями 02. Их появление следует из уравнения движения вихревой пелены £1>, как будет показано ниже. Числа — Х6 подлежат определению.

Рассмотрим течение в области й3. Из (10) следует, что в переменных S23 уравнение движения пелены принимает вид

сз* / Г dG'i Г_^;

ІІ I J Ш3 а>з J 0>3

\ к\ *!

'3

(12)

Из условия, что все члены в (12) одного порядка, следует

х3 = >.,-х,. (13)

Применяя принцип сращивания, получим, что течение в области 23 является течением от диполя, комплексная скорость которого выражается формулой

I &2(Х3—]

Ф —• (14)

2т. (ш2 - “г*)2 2ш2

Переходим к рассмотрению области Й2. В первом приближении из (10), (11) в переменных 22 получим

і , г. ^ ¿ш2 Г\

— г ~лг 2* “2 ~Уг~_ ’

AG 2ц. d(J 2

і х /2 а2<^*2—xi) « gx2-xi+x5—;хв

/2 р1-1"'2 _ І—--------------------4- - “-----------------------р, - О,

2л ojj 2я

(15)

где величина р2 дает вклад, соответствующий участку пелены из в условие Жуковского и выражается в виде

Г 2 1т ш, йй,

р2 = - А04> . (16)

^ ш4

К1

Требование, что все члены в (15) одного порядка, позволяет найти еще три уравнения, связывающие неизвестные Х1 — Х6:

Х4 = Х„ Х2=^-(1 + -^-х,), х5-х6 = ^-(1-А|. (17)

Первое уравнение в (15) легко интегрируется

= & У Со -г-с0, & = | , (18)

а второе дает связь между р, и /?>:

2т: 1/2— ^— р2 = 0. (19)

Константа с0 в (18) выбирается из условия сращивания с решением в области й4 и является, вообще говоря, комплексной. Выражение (18) не имеет особенностей, поэтому для него можно найти

еще один член разложения

ш2 = Ш21 (^г) + ? “22(^2) > (20)

где ш21 лается формулой (18).

Так как из условия сращивания выражение (18) с соответствующим из области 24 следует ш2~»0 при (?2^0, то необходимо, чтобы |с0| = о(1) при р -> 0. Тогда

«,. = * + 0(1). (21)

Итак, после подстановки (20) в (10) получим

- 1 + + 2 Ц,?>‘ <«„ + р1’«,.) х

2*

гОа1-К12 рх

у; ( I О*- ¿<¿22 \ __ 1

I ас., р с1д2 / 2<»21

у2 р1_х‘/2 —

(к — ю2,)2

(22)

Главный член в (22) обращается в нуль в силу (15). Далее полагаем, что последующие члены имеют одинаковый порядок. Тогда с учетом (13), (17)

1 2 1 1 1 1 1 2 } 1 1 2 /Г)0\

Х1— ^ , Х2—], Х3— —, Х4— — , Х5 Х6 — — , Х7 — — .(23)

Получающееся из (22) уравнение для ш22 интегрируется в квадратурах, и тогда двучленное решение для ю2 принимает вид:

X

+

«,2 = бУ + Со +Р2/3Х

1 I

УЪг + Со У2 4^2 (1-^52+с0)1/32+ Со

(24)

Рассмотрим подробнее вопрос об определении констант с0, с,. Очевидно, что 1шс0 = 0, 1ш ^ = 0 является решением, при этом свободная вихревая пелена в 22 отсутствует, а отрыв перемещается в область 23 (отрыв с гладкой поверхности). Как показали подробные численные исследования (см. ]7]), эта ветвь решения появляется при некотором критическом относительном угле атаки Р* = 0,044.

Перейдем к рассмотрению области 04 (рис. 2). Из общего уравнения движения вихревой пелены (10) в переменных Й4 имеем с учетом (19)

1 ■_ ^3+^-2Х° / Г Г \ ^ р2 (25

2ш4 2тЛ I .) Ш4 — 03^ ») ш4 — м, | 2ш+ 2л ’

откуда следует 2Х6 — Х6 = 1/3, и, возвращаясь к (23), получим окончательно

2

ЛС—-

>-5=1.

(26)

Тогда сращивание решения в 24 с решением в Й2 позволяет определить неизвестные константы с0 и с1 в (24), причем, очевидно,

с0 = о(1), с, = 0(1)

(27)

при р -> 0.

Наконец, с помощью формул (8), (9), (14), (21), (23) получим выражение для комплексной скорости в области У2:

Ф

(2)

32/Э

Гт/'2 —_____________-

\У z 2* (к-

со2)і

Рис. 3

Картина течения, которая следует из анализа полученных формул, приведена на рис. 2 и 3.

Сравнение членов в (24) показывает, что это решение несправедливо при С2 -> 1, так как при этом оба члена имеют один и тот же порядок. Найдем предел ш2(02) при <32 -*■ 1 непосредственно из

уравнения (10), для чего введем новые переменные С02 = + Р

62= 1 - Р1,3(7С.

1/3

(О

6>

Тогда из (10) получим

2 сі & сЮ(

Р і

4тт.к

— 1

Это уравнение интегрируется (<в6 - со6)( 1 — Рх

= С

(28)

и служит граничным условием для решения в области й3 при |ш3|-*оо, т. е. формула (28) описывает внешний виток вихревой пелены в 93. Неизвестная константа с3 в (23) определяется с помощью сращивания этого решения с (24).

Имея решение в области 22, можно с помощью принципа сращивания построить двучленное разложение в области 2, (рис. 1), для чего перепишем выражение для Ф(2) во внешних переменных (х для области 2, [см. (4), (7)].

Тогда для комплексной скорости Ф(1) в имеем разложение при ¡х+ 1 -* О

В силу сформулированной в данном параграфе граничной задачи для Ф(1) двучленное разложение должно иметь вид

Ф(1) = — ¿3

_ ¿з5/з У1е±

2к ({12 _ ])'

,3/2

Наконец, по известному полю скоростей получаем коэффициент нормальной силы сх:

<уб*_2*Э+21-А2/71р5'3.

(29)

3. Обсуждение результатов. Анализ численных результатов расчета течения около треугольного крыла [6], полученных в приближении а/6 = О (1), дает материал для оценки степени точности и пределов применимости асимптотической теории, развитой в п. 2.

Теоретические оценки предыдущего параграфа приводят к следующим законам подобия:

1 — Д0*/0* - А* р. д^/е2 = 2}/>1р5/з; |

1

V*

р, ДО,~р5/з, С.,~р.

(30)

Обработка результатов [6], воспроизведенных на рис. 4 и обозначенных треугольниками, показывает, что полученные законы подобия (30) очень хорошо подтверждаются численными расчетами при значениях р^0,6, а именно:

2 —„Ученые записки“ № 2

17

Ig-V* = P — 0,62 (обозначено цифрой „Iй на рис. 4), lg(l + z:,) = ~ lgp — 0,50 (цифра „2“),

lg AG* = х lg P + 0,05 (цифра „3“), lg G* = lg P + 0,55 (цифра „4“), lg -щп- = -g- lg P + 0,70 (цифра „5“).

Далее из первой формулы с помощью рис. 4 находим, что £ = «2 * — 0,56. Оценка k по второй формуле (30) дает то же самое значение. Наконец, для величины рх получаем /?, = 1,8. Тогда из (19) следует, что p.¿ = 3,1. По определению величины р2 (16) она представляет собой вклад в уравнение, выражающее условие

Жуковского — Кутта, соответствующий тем участкам вихревой пелены, которые прилегают непосредственно к кромке (область 24).

Найденная выше величина /?2 указывает на то, что этот вклад является существенным: в пределе в области Q2 получается те-

чение от диполя, но усло-0J Of 1,0 г/вх вие ограниченности скоро-

сти на кромке не выпол-ис‘ няется.

Интересно отметить, что похожая модель, но с выполнением условия Жуковского на кромке, была предложена Г. И. Тагановым в [8].

На рис. 5 показана конфигурация внешнего витка вихревой пелены, найденная по формуле (28) при с3 = —0,414 i (пунктирная линия) и с помощью расчетов, выполненных численным методом |6]. Согласование результатов вполне удовлетворительное.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного обтекания тел идеальными жидкостью и газом. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.

2. Никольский А. А. Нелинейный закон подобия для отрывного обтекания идеальным газом прямоугольного крыла со сверхзвуковой скоростью. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 6, 1972.

3. Ward G. N. Linearised theory of steady high-speed flow. Cambridge University Press, 1955.

4. Никольский А. А. О „второй“ форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование вихревых отрывных потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

5. Судаков Г. Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 2, 1974,

6. Smith J. Н. В. Improved calculations of leading-edge separation from slender, thin, delta wings. „Proc. Roy. Soc., A.“, vol. 306, 1968.

7. Bars by J. E. Separated flow past a slender delta wing at incidence, Aeron. Quartely, V, vol. 24, N 2, 1973.

8. Таганов Г. И. Исследование трехмерных отрывных течений с помощью математической модели. Труды ЦАГИ, вып. 1173,

1969.

Рукопись поступила 1211 1979 г.