Стационарное и нестационарное отрывное обтекание комбинации крыло-фюзеляж малого удлинения Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII 19 8 1

№ 1

УДК 532.527

СТАЦИОНАРНОЕ И НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ КОМБИНАЦИИ КРЫЛО-ФЮЗЕЛЯЖ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

А. В. Воеводин

В работе описан единый подход к решению как стационарных, так и нестационарных задач отрывного обтекания тонких тел, форма которых может значительно отличаться от конической. Предложен метод расчета таких течений. В качестве примеров приведены результаты расчетов стационарного обтекания неконической комбинации треугольного крыла с фюзеляжем и плоского треугольного крыла, угол атаки которого меняется со временем.

Вслед за широким исследованием в рамках идеальной жидкости стационарного отрывного обтекания конической системы крыло— фюзеляж малого удлинения появился ряд работ, в которых на геометрию тела уже не налагалось требование коничности.

Это прежде всего работа [1], где течение около крыла с криволинейной передней кромкой исследовано с использованием модели „вихрь-разрез“. (В этой модели вся вихревая пелена, сходящая с острой передней кромки, представляется одним дискретным вихрем, соединенным разрезом с кромкой для преодоления неоднозначности потенциала скорости). В работе [2] вихревая пелена моделировалась дискретными вихрями, сходящими с кромки и движущимися вместе с жидкостью.

В основе большинства более поздних работ лежит модель вихревой пелены, состоящая из внешней части, которая представляется конечным числом дискретных вихрей, и внутренней — одного дискретного вихря, заменяющего свернувшуюся часть спирали. Дискретный вихрь соединяется разрезом с концом внешней части пелены.

В работе [3] в рамках такой модели получены характеристики плоских крыльев с криволинейной передней кромкой и неконических комбинаций крыла с фюзеляжем.

В работе [4] получены форма вихревой пелены и ее интенсивность в поперечных сечениях треугольных крыльев с искривленной передней кромкой. В работе [5] приведены примеры расчета отрывного обтекания плоского крыла с криволинейной передней кромкой и изогнутого треугольного крыла. При расчете обтекания

изогнутого крыла, местный угол наклона которого к направлению набегающего потока уменьшается с удалением от вершины, было обнаружено, что при значениях этого угла, близких к нулевым, вихревая пелена в поперечном сечении образует петлю, расположенную под крылом. Удалось рассчитать лишь начальный этап ее образования, после которого процесс вычислений терял устойчивость. Причиной неустойчивости является неприменимость при указанных условиях односпиральной модели пелены. Такая модель может быть использована, если на всей длине крыла от его вершины до рассматриваемого сечения постоянный знак имеет величина с1Т*/йХ, где Г* — полная циркуляция в попепечном сечении, а X — продольная ось системы координат OXYZ (рис. 1). Это

условие выполняется для конических крыльев, но может нарушаться в других случаях.

Как показано ниже, расчет стационарных неконических течений имеет много общего с расчетом нестационарного обтекания неконических крыльев и их комбинаций с фюзеляжем в случае, когда их удлинение X 1. Несмотря на это, такие нестационарные отрывные течения практически не исследовались, в то время как более сложная задача расчета нестационарного обтекания тонких крыльев конечного удлинения в значительной мере уже решена в [6].

В данной работе предлагается единый подход к решению как стационарных, так и нестационарных задач отрывного обтекания неконических тел малого удлинения. Этот подход основан на сведении, согласно закону плоских сечений, указанных задач к расчету однотипных двумерных нестационарных течений.

1. Рассмотрим обтекание комбинации крыло — фюзеляж малого удлинения несжимаемой идеальной жидкостью с отрывом потока от острых кромок крыла. Тело может быть достаточно произвольной формы, но необходимо, чтобы оно имело острую вершину.

Пусть в общем случае течение нестационарно. Источником неста-ционарности могут служить разные факторы, в частности: изменение углов атаки, крена или скольжения, изменение направления вектора скорости на бесконечности, изменение конфигурации обтекаемых поверхностей и т. д.

Пусть х<^1, a (t)— т и р(0— - — соответственно относительная толщина тела в начальный момент времени, угол атаки и угол скольжения; f — угол крена, а £/га — скорость набегающего потока. Если изменения зависящих от времени параметров достаточно малы, а форма тела плавно меняется вдоль оси X, то справедлив закон плоских сечений, и исследование исходного трехмерного нестационарного течения сводится к решению совокупности двумерных нестационарных задач об обтекании деформирующегося контура. Этот контур представляет собой поперечное сечение обтекаемого тела в некоторый момент времени и на определенном расстоянии от вершины. Необходимое число таких задач определяется желаемой подробностью описания течения, и каждая из них характеризуется своими начальными данными и особыми законами изменения параметров. В частном случае стационарного неконического течения необходимо решить только одну двумерную нестационарную задачу.

Такой подход во многом аналогичен методу искривленных тел [7], также базирующемуся на законе плоских сечений, но в котором понижение размерности осуществляется путем сведения трехмерной нестационарной задачи к совокупности трехмерных стационарных.

Пусть система координат OXYZ связана с начальным положением носовой части тела.

При исследовании стационарного неконического течения обозначим через Х0 координату того сечения, начиная с которого форма тела отличается от конической, а через Хн — характерную длину неконического участка. Введем переменную t = (X — X0)/Uco и параметры t0 = X0/Ux,, t„ = XJUcc. Характеристики обтекания в сечении X = const при Х^> Х0 определяются из решения двумерной нестационарной задачи. В качестве начальных данных используется соответствующее коническое решение, справедливое при

Рассмотрим характерные случаи, возникающие при расчете трехмерного нестационарного течения. Пусть до момента £ = 0 течение было стационарным. Тогда конфигурация вихревой пелены и ее интенсивность в любом сечении Х = const при ^<0 известны из решения стационарной задачи. Обозначим через tH характерное время изменения параметров, определяющих нестационарное течение. Кроме этого, характерной величиной размерности времени для сечения, находящегося при t == 0 на расстоянии Х0 от вершины, является величина t0 = XQ!Ux.

Для определения характеристик течения при t= t* в сечении, находящемся на расстоянии X* от вершины, необходимо в случае X* — Umt*>0 решить двумерную нестационарную задачу с начальными данными при ( = 0, представляющими собой решение стационарной задачи в сечении Х — Х0 = X* — Uca t*. В случае

X* — Uxt*< 0 (1)

введем новую переменную с размерностью времени 0=t —t*+ -\-X*/Uoo. Тогда начальными данными при 0 = 0 в сечении Х=Х0=0

будет решение стационарной конической задачи с параметрами, соответствующими вершине тела и моменту времени t — t* — — XIU".

Таким образом, исследование как стационарного неконичес-кого, так и нестационарного течения сводится к решению однотипных двумерных нестационарных задач об обтекании деформирующего контура потоком с заданным законом изменения скорости на бесконечности.

Из анализа размерностей величин, определяющих трехмерное нестационарное течение, можно записать Цр(Х, Y, Z, t)-Paa)

---------772—;--=РЛх 1, уи ги Т),

Рос

где р{Х, Y, Z, t) и рсо — давление на поверхности обтекаемого тела и в набегающем потоке соответственно, — плотность в набегающем потоке, хх = тЛ-т- , у, = J, , zx——~ , , Т = —.

иао1Л Ltyoo‘H Т<Лю‘н tH

Индекс „н“ указывает на зависимость рн от режима нестационарного обтекания, т. е. от законов изменения углов а, (3, ^ и формы' тела в зависимости от времени.

Для коэффициентов аэродинамических сил получим выражения

С 2 Г Г j/7 (X, Y, Z, t) —/> } dXdZ

Y - jj ------=С1Н(Г); (2)

Cz

С

2 jj \P(X, Y, Z, t)-pJdXdY

Г~ Pco

= С2Н(Г); (3)

' dYdX

-------= СЗН(П (4)

Poo UlbH

где b = s(X, Y, Z, t) — местный угол между нормалью к телу и плоскостью X = const, b — хорда.

Законы подобия (2) — (4) являются обобщением стационарных законов подобия [8] на случай нестационарных трехмерных течений. Их отличие состоит в том, что, кроме зависимости Clt С2 и С3 от формы несущей поверхности и от параметра Мте т = £=const при т—^0 и Моо>1, в нестационарном случае С1н, С2Н и С3н являются функциями времени и зависят от законов изменения параметров.

2. При выводе уравнений, описывающих эволюцию вихревой пелены, ограничимся рассмотрением симметричных течений (,3 = 0, f = 0). Тогда потенциал возмущенной скорости Ф^А', Y, Z, t) можно определить так, чтобы полный потенциал представлялся в виде £Уоо cos a -f £/оо g{X) + Ф', где первое слагаемое описывает вклад невозмущенного потока. Вид g'fA) зависит от формы тела и числа М набегающего потока. Эта функция приводит к одинаковым вкладам в давление на верхней и нижней поверхностях и потому не рассматривается. В силу применимости теории тел малого удлинения (т<^1, а — т) потенциал Ф' удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа и граничным условиям: затухание возмущений вдали от тела, непротекание на его поверхности, и условиям на пелене (непрерывность давления и нормальной составляющей скорости).

Как показано выше, исходная трехмерная задача сводится к решению набора двумерных нестационарных задач. Условия для нормальной составляющей скорости и давления в системе координат Zb Yu связанной с деформирующимся контуром, записываются в виде

дФ, d Y, dZ, . /r.

=------Lcosv--------Lsinv, (5)

rl-f- ' /

dn dt * dt

/3 rfr \

(6)

дФх дДФ, / dYx . . dZx дФх

1 — 1 ' 1 - sin x -f-----— cos-/ —

где

•составляющие скорости по нормали и по ка-

dt да \ dt ~ dt ' да

дФ, ЙФ)

---— И ------

дп да

сательной к пелене (касательная составляющая берется в смысле главного значения); ДФ, = Г— разность значений Ф1 на внутренней и внешней сторонах пелены; у —угол между касательной к пелене

в точке Zb Yx и осью Z,; производная ~j берется для точек с постоянной Г; Ф, — потенциал возмущенной скорости в системе

координат Zx, Yx.

Так как Ф1 — гармоническая функция, введем комплексный

потенциал течения W(t, Zx-\-iY-[) так, чтобы Real(U^) = ®1. Составляющие скорости связаны с потенциалом формулой

**• I ^ = ____е‘г. (7)

дз |т дп. d (Z2 + і Y\)

Введем безразмерные переменные T=t/tQ и z(T, q) — х + iy: z(r- 9)=7ГГШі1Г' ^

где q= I —

(t + to)*U0

г

« + /0)^и^в(Т) ’

Г*

0(Т) =----- ----5-,

здесь Г* — полная циркуляция вихревой пелены, и пусть

Ш (Т, г) =---- ----о • (9)

(< + <0 )^и1

Тогда, подставляя значения составляющих скорости из (5) и (6) в соотношение (7) и учитывая (8) и (9), окончательно получим уравнение эволюции вихревой пелены:

г+(1 + 7')#+(1-л^-{1+(1 + п4-#}--^. (ю)

В случае (1) аналогичное рассмотрение приводит к уравнению - . -г, дг , ,, . дг |. . Т dG ) dш . лгич

* + тж + ^ - Ч)-ьГ I1 + -ант) = ^7 ’ (10а)

здесь Т— 0/£н.

Для определения интенсивности вихревой пелены используется условие Жуковского на острой кромке крыла.

Потенциал ш, удовлетворяющий условию непротекания на теле и условию на бесконечности, можно построить, воспользовавшись преобразованием внешности контура поперечного сечения тела на внешность отрезка, расположенного по направлению скорости набегающего потока. Пусть это преобразование задается формулой ц = (д. (Т, г), причем 1 при У х2 у2 -» оо, и кромки крыла

переходят в точку \і.е=.ще. Тогда искомый потенциал в плоскости [а = ; + щ определится выражением

і

ш = — г‘аэф (Т) № + [ 1п Лц + СО! (Т, г),

М й Р + Iі (Я)

где аэф — эффективный относительный угол атаки, равный отношению скорости набегающего потока в системе координат Z1, У,. к произведению тб'а,; с^ (Т, г) — дополнительный потенциал, связанный с деформацией контура поперечного сечения тела вдоль оси X.

Так как на кромках крыла = 0, то условие Жуковского

примет вид

1

+ г^-)“ч~о. (и.

О

3. Для численного решения задачи используется модель вихревой пелены, состоящая из внешнего конечного участка, отходящего от передней кромки, дискретного вихря (ядра), заменяющего внутренний участок пелены, и соединяющего их разреза. Для определения движения ядра уравнение (10) заменялось условием отсутствия силы, действующей на систему „вихрь — разрез11:

+ и + ^ + + (12)

или в случае (1)

~ I -г дг . — 4(1 ! Т <1й \

гс + Т ~дт Ь (гс — £дг) |1 | -д ат j — йг , (12а)

где £с—координаты ядра, — последняя точка внешнего участка пелены, уУ—число представляющих его точек.

Дискретизация вихревой пелены и конечно-разностное представление уравнений (10) — (12) полностью аналогичны описанным в [9] для конических течений и поэтому далее не приводятся.

Если известна форма и интенсивность вихревой пелены, то

(10) — (12) можно рассматривать как систему уравнений для опре-

деления дг/дТ и йв/дТ. Так как значение сЮ/аТ заранее неизвестно, то решение этой системы проводится итерационным способом. По найденным значениям дг/дТ методом Эйлера определяются координаты точек пелены на следующем шаге по времени, после чего вычисляется значение коэффициента подъемной силы в сечении С}-сеч и распределение давления по размаху ср.

Как показано В. Ф. Молчановым [10], проблема отыскания движения тангенциального разрыва сводится к решению задачи Коши для уравнения Лапласа, которая является некорректной. В [10] предложен регуляризирующий оператор, и с его помощью получено устойчивое решение задачи об отрывном обтекании треугольного крыла.

Иной подход к решению задачи в данной работе не позволяет применить регуляризацию в том виде, как она описана в [10]. Поэтому используется иной способ устранения неустойчивости, а именно, на каждом шаге по времени Т, после вычисления координат точек пелены, ее форма аппроксимируется по методу на-

именыпих квадратов функцией г = /(<?), которая строится с использованием полиномов, попарно ортогональных с заданными весами на множестве точек пелены. Эти полиномы выбираются таким образом, чтобы в окрестности кромки

Д<7) = + Рх я + /Я <?3/2 + О (?3),

где ге — координаты кромки, Р1 и Р„ — вещественные коэффициенты.

Сглаживающее действие такой аппроксимации зависит от соотношения количества ортогональных полиномов и числа точек пелены, а также от шага ее разбиения.

Максимальное число полиномов, при котором счет становится устойчивым, выбиралось в процессе вычислений. При N =30 и <7дг = 0,4 для исследованных режимов это число равно 12. Сравнение в этом случае решения задачи о стационарном отрывном обтекании треугольного крыла с решением, полученным методом итераций без сглаживания, показывает, что в диапазоне относительных углов атаки 1<а/о-<3, где 8- полуугол при вершине крыла, отличие координат точек пелены, ее интенсивности и коэффициента подъемной СИЛЫ Су сеч/82 не превосходят 0,1%.

4. В качестве первого примера рассмотрим обтекание комбинации плоского треугольного крыла с фюзеляжем (см. рис. 1). За величину относительной толщины тела примем полуугол при вершине крыла 8. Изменение относительного радиуса фюзеляжа вдоль оси X описывается формулой /т!/с>Х = т, где

0,5,

0,25 — ах Р + Щ — аз !■ + й4> Х0 < X < Х0,

^ 0,25 — а6/3— а61, Х0,

0,25 — а, Р — а-21"- — а31 — а.(, Х^ X Х0,

0 Х0 ^ X,

I = - (А'~ Хо)-----, а1 = 9/4, а2 — 27/8, а3 = 27/16,

Х0 2

а4 = 9/288, аъ = — 9/2, а6 == 9/8.

т, , , „ - йт (Р т ^

Коэффициенты а выбраны так, чтобы т, ■ ^ ■ и были

74.3

непрерывны при X = Х0, -д-А0> “з^^о. Угол атаки равен

1,58.

Расчет проводится до сечения X = 4Х0, где характеристики течения мало отличаются от соответствующих конических. На рис. 1 показаны форма вихревой пелены и картина распределения

з

давления. При X <С — Х0 два пика давления обусловлены близостью пелены к поверхности крыла и фюзеляжа. Зависимость интенсивности пелены и коэффициента подъемной силы в сечении от координаты X представлена на рис. 2. Коэффициент подъемной силы всей комбинации находится интегрированием по формуле

Рис. 2

При эта зависимость представлена на рис. 2.

Во втором примере рассматривается отрывное обтекание треугольного крыла, которое в момент времени г! = 0 начинает менять угол атаки посредством вращения вокруг оси, расположенной на поверхности крыла на расстоянии Хт от его вершины. При переходе к двумерным нестационарным задачам об обтекании расширяющейся пластины эффективный угол атаки определяется выражением

+^(Т-1ПТ0

где второе слагаемое обусловлено вращением крыла. При некоторых режимах вращения эффективный угол атаки может оказаться близким к нулю или даже отрицательным. Поэтому закон изменения угла атаки и положение оси вращения должны выбираться так, чтобы на всей рассматриваемой длине крыла была применима односпиральная модель пелены. В рассматриваемом примере изменение угла атаки задается в следующем виде:

1,5

1,75 + а, I3 -

- ао I ~ “I- а31 -

— — | 1,75 + а:> 1Л + а61,

1,75 -I- а ^ 1*“ ~~Н ^ з ^ ^74,

2,0,

-

3

2^н

3

<*<

где 1 — -т----—общее время изменения угла атаки, которое

выбирается равным Хг\и^ коэффициенты а определяются из условия непрерывности а/8, с?/^(а/о) и ^2/с?/2 (а/8) в точках £ = 0,

24/3, Их числовые значения такие же, как в предыдущем при-

з

мере. Расчет проводится до сечения X = Ь = -к- Хг

Для описания течения при X — 6,оо£>0 решаются уравнения (10) —(12) с начальными данными при — 0 для девяти значений ъх

Х0 — —^п, где п — 1, 2, ..., 9. Для одинаковой подробности

описания течения при X—Uxt<C,0 решаются уравнения (10а), (11) и (12а) с начальными данными при 0//н = 0, представляющими решение конической задачи с углом атаки

«эф = <* [п — а [п ~Ц~^~ > где й = 0, 1, • • • , 6,

= 3/20.

При от вершины крыла до сечения Х = их(?—tн) уста-

навливается коническое течение.

На рис. 3 показаны форма вихревой пелены и распределение давления в пяти сечениях крыла в момент времени t = 0,2b|Uoo. При ^>0,8 Ь/иоо течение мало отличается от конического.

Обработка результатов расчета двумерных нестационарных задач позволяет определить характеристики течения как в сечениях, расположенных на фиксированном расстоянии от вершины, так и крыла в целом. На рис. 4 и 5 показаны зависимости от времени величин й и СУсеч/82 в пяти сечениях крыла. Нижняя кривая соответствует их значениям для конического стационарного течения при углах атаки, равных их эффективному значению в вершине вращающего крыла.

Расположение оси вращения в средней части крыла приводит к тому, что в сечениях, находящихся вверху по потоку от оси, эффективный угол атаки может уменьшаться, несмотря на увеличение геометрического угла атаки. Аналогично для сечений, находящихся внизу по потоку от оси вращения, эффективный угол

атаки может значительно превышать геометрический. Этим обусловлено отличие кривых на рис. 4 и 5 для сечений Х<ХГ и Х>ХГ.

Посредством интегрирования при фиксированном времени можно определить коэффициент подъемной силы крыла. Зависимость Су/о2 от времени представлена на рис. 5 пунктиром.

На рис. 6 показаны линии, вдоль которых перемещается со временем ядро вихревой пелены в пяти сечениях крыла и в его вершине.

Положение ядра в зависимости от угла атаки для стационарного течения показано пунктиром. При удалении от вершины для t<Ctll отличие координат ядра от стационарных становится значительным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Smith J. Н. В. A theory of separated flow from the curved

leading edge of a slender wing ARC R and M, N 3116, 1957.

2. Sacks A. H., Lundberg R. E., Hanson C. W. A theoretical investigation of the aerodynamics of slender wing-body combinations exhibiting leading-edge separation. NASA CR-719, 1967.

3. W e i М. H. Y., Levinsky F. S., Su F. Y. Nonconical

theory of flow past slender wing-bodies with leading-edge separation.

NASA CR-13446, 1970.

4. Jones I. P. Leading-edge separation from nonconical slender wings at incidence. „Numerical methods in fluid dynamics". Proc. of the fourth internat conference, lune 24-28, 1974. Univ of Colorado, Berlin and oth. 1975.

5. Clark R. W. Nonconical flow past slender wings with leading-edge vortex sheets. ARC. R and m, N 3814, 1976.

6. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывные течения и нелинейные характеристики тонких несущих поверхностей в несжимаемой жидкости. .Итоги науки и техники", сер. „Механика жидкости и газа", т. 11, 1978.

7. Лунев В. В. Метод искривленных тел в задачах нестационарного гиперзвукового обтекания тонких тел. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, № 5.

8. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.

9. Воеводин А. В. Исследование неединственности решения задачи об отрывном обтекании'системы крыло—фюзеляж малого удлинения. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 10, М° 1, 1979.

10. Молчанов В. Ф. О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, Яг 2, 1974.

У1

°А

0,3

0,2

- 1 У' j 0,4 1 ( У' 0,4

- 1 V \ 0,3

- \ °,2 0,2

J__________________________L.

0,7 0,8 х 0,7 0,8 х

Рис. 6

0,7 0,8 х

Рукопись поступила 25\1Х 1979 г.