CC BY
14ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2004 Физика Вып. 1
Влияние поверхностного сцепления на фазовые переходы в феррохолестериках
Д-. В, Балдин, А. Н. Захлевных
Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
На основе континуальной теории исследовано влияние энергии поверхностного сцепления на характер фазовых переходов в гомеотропно ориентированном слое феррохолестерика. Изучен случай как положительной, так и отрицательной диамагнитной анизотропии жидкокристаллической матрицы в условиях слабого гомеотропного сцепления иглообразных магнитных частиц с матрицей.
1. Введение
Феррожидкие кристаллы представляют собой магнитные суспензии игольчатых частиц ферро-или ферримагнетика в жидких кристаллах (ЖК). Их характерной особенностью является наличие сильной ориентационной связи между анизомет-ричными магнитными частицами и жидкокристаллической матрицей. Внедрение магнитных частиц в жидкокристаллическую матрицу, предложенное впервые Брошар и де Женом, открывает возможность управления ориентацией суспензии с помощью слабого магнитного поля [1, 2]. Однородное магнитное поле вызывает поворот феррочастиц в суспензии и тем самым искажения поля директора матрицы [1-4]. Кроме того, ЖК ориентируется, как известно, также твердой границей. Эта ориентация феноменологически описывается поверхностной энергией, анизотропная часть которой называется поверхностным сцеплением и зависит от взаимной ориентации директора и оси легкого ориентирования (ЛО) на поверхности. В работах [3, 5] показано, что изменение поверхностного сцепления между молекулами холестерического жидкого кристалла (ХЖК) и границами слоя может индуцировать переход феррохолестерик (ФХ)
- ферронематик (ФН), а также привести к изменению характера фазового перехода. Такой переход отражает конкуренцию между приложенным магнитным полем, способствующим искажению исходного состояния феррохолестерика, и силами ориентационной упругости, стремящимися сохранить основное состояние системы.
В настоящее время достаточно хорошо изучены структура, ориентационные и магнитные свойства холестерических ЖК и ФХ в магнитном поле, перпендикулярном оси спирали [4 -9]. В этих работах
рассмотрены либо жесткие гомеотропные условия сцепления между молекулами холестерика и магнитными частицами [5], либо жесткие планарные [3, 4, 8]. В работе [10] исследовано поведение феррохолестерика в магнитном поле, направленном параллельно оси спирали феррохолестерика, но в слое с жесткими гомеотропными условиями сцепления. Таким образом, в большинстве выполненных ранее работ, посвященных влиянию магнитного поля на феррожидкие кристаллы, рассматриваются либо жидкокристаллические пленки с жестким сцеплением на ограничивающих поверхностях, либо очень толстые слои, чтобы не учитывать поверхностные эффекты, что в обоих случаях упрощает теоретический анализ поведения жидкого кристалла. В реальных жидких кристаллах сцепление с ограничивающими поверхностями имеет конечную энергию и поверхностными эффектами, вообще говоря, пренебрегать нельзя.
В данной работе исследуются структура и ориентационные свойства феррохолестерика и переход между феррохолестерической и ферронемати-ческой фазами во внешнем магнитном поле, параллельном оси спирали, в слое с мягкими гомео-тропными условиями сцепления.
Предполагается, что твердая фаза ФХ состоит из однодоменных иглообразных частиц ферромагнетика длиной /» а и диаметром й ~ //10, где а
- длина молекулы холестерика. Столь сильная анизометричность феррочастиц приводит к жесткой связи магнитного момента с телом частицы. Обработка частиц поверхностно-активными веществами (ПАВ) обеспечивает ориентационную связь их длинных осей с локальным направлением директора п. Тип применяемых ПАВ задает сцепление феррочастиц с матрицей, которое может быть достаточно сильным (жесткие ФХ) или слабым
© Д. В. Балдин, А. Н. Захлевных, 2004
(мягкие ФХ), а также характер сцепления: пленарный, при котором длинные оси феррочастиц ориентированы параллельно директору л (в отсутствие магнитного поля), либо гомеотропный, когда длинные оси феррочастиц направлены перпендикулярно л. В настоящей работе мы рассматриваем ФХ с мягким гомеотронным сцеплением магнитных частиц с матрицей.
Однородное магнитное поле Н вызывает поворот феррочастиц (дипольный механизм) и тем самым искажения поля директора матрицы. Такая ситуация соответствует т. н. коллективному поведению ФХ, при котором концентрация магнитных зерен должна превышать минимальное значение, определяемое характерным размером образца. Как правило [1], минимальная объемная доля мала:
/ т , п а I 0 ~ 6 . Меньшие концентрации магнитной фазы приводят лишь к локальным искажениям поля директора вблизи каждой частицы независимо от других. Но объемная доля частиц не может быть слишком большой (/ « 1 ) , т. к. это приводит к
их диполь-дипольному взаимодействию, что может вызвать коагуляцию частиц. В результате коагуляции образуются устойчивые агрегаты частиц, обладающие замкнутой конфигурацией магнитных моментов, что уменьшает объемную долю частиц, обеспечивающих магнитные свойства ФХ. Кроме того, учет диполь-дипольных взаимодействий значительно усложняет теоретический анализ поведения ЖК.
Помимо этого, в феррохолестерике, в отличие от геликоидального ферромагнетика, магнитные моменты частиц не закреплены в решетке и имеют возможность пространственного перемещения в холестерической матрице, накапливаясь в тех областях образца, где минимальна сумма их магнитной энергии и энергии ориентационной анизотропии в матрице. Этот эффект получил название эффекта сегрегации [1].
В данной работе изучается ФХ с мягким сцеплением гомеотропного типа между молекулами ЖК и магнитными частицами. В этом случае в отсутствие внешнего магнитного поля Я директор и намагниченность перпендикулярны. Если ХЖК
матрица имеет положительную анизотропию диа-
то
магнитной восприимчивости Ха > О > директор я и длинные оси т вытянутых магнитных частиц стремятся ориентироваться вдоль приложенного магнитного поля, оказывая конкурирующее действие на ориентационную структуру ФХ. Если же ХЖК матрица имеет отрицательную анизотропию диамагнитной восприимчивости %а < 0. то длинные оси т вытянутых магнитных частиц стремятся ориентироваться вдоль приложенного магнитного поля, а директор л - перпендикулярно внешнему полю.
Ниже исследуется влияние энергий сцепления магнитных частиц с матрицей и директора с границами слоя на ориентационное поведение феррохолестерика и фазовые переходы в слое.
2. Уравнения ориентационного равновесия феррохолестерика
Направим ось г перпендикулярно границам слоя, так что z = О соответствует нижней границе,, а 2 = 1 - верхней границе слоя. Внешнее магнитное поле направим вдоль оси z: И =(0, 0, # ) . Ориентационные искажения в слое феррохолестерика можно изучать в рамках континуальной теории, основанной на минимизации функционала свободной энергии [1 - 6]:
F=$FddV+JFsdS, (1)
где введены объемная плотность свободной энергии ФХ, помещенного в однородное магнитное поле
2 2 Щ = А [ Kn(divw) 2 +К22(п rot/i + <70)2 +
2
+ /Сзз(и х rot w) ] - М$ f т Н -
1 W k Т
2 a v
и поверхностная плотность энергии взаимодействия молекул ХЖК матрицы с ограничивающими слой поверхностями, записанная в форме Рапини
2
Fs^-finez)2. (2)
Здесь Ки - модули ориентационной упругости (константы Франка), qQ - волновой вектор невозмущенной спирали холестерика, Ms - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, v - объем частицы, d - ее поперечный размер, / - объемная доля магнитных частиц в суспензии, кв - константа Больцмана, Т - температура, Wn и WP - поверхностные плотности энергии сцепления молекул ХЖК со стенками ячейки и с поверхностью магнитных частиц соответственно, ez - орт вдоль оси z , задающей направление оси легкого ориентирования на поверхности. Слагаемое в квадратных скобках выражения Fj описывает плотность энергии упругой деформации поля директора л (потенциал Франка). Второе и третье слагаемые в (2) отвечают квадрупольному и дипольному механизмам взаимодействия ФХ с внешним магнитным полем соответственно (знак минус отвечает положительной анизотропии диамагнитной восприимчивости, а знак плюс - отри-
цательнои анизотропии диамагнитном восприимчивости). Слагаемое WPf{nm) Id представляет
собоИ плотность энергии сцепления магнитных частиц с матрицеИ; при Wp > О минимуму этого
слагаемого отвечает гомеотропное (т In) сцепление. Последнее слагаемое в (2) описывает вклад энтропии смешения идеального газа магнитных частиц. Объемная доля / магнитной примеси
предполагается малой, чтобы можно было пренебречь межчастичными диполь-дипольными взаимодействиями.
Будем считать, что энергии сцепления на обеих границах одинаковы и W„ > О, тогда Fs
минимизируется при n\\ez.
Пусть в отсутствие магнитного поля феррочастицы однородно распределены по объему V феррохолестерика с плотностью fo=Nv/V (N -число магнитных частиц), а их магнитные моменты вращаются вместе с директором п , так что т _L п, формируя спираль феррохолестерика с шагом р0 = 2п I <7о. Включение магнитного поля
вдоль оси спирали, т. е. по нормали к слою, вызывает искажения ориентационной и магнитной геликоидальной структуры, поэтому компоненты директора п и единичного вектора намагниченности т можно искать в виде
п = (cos 6(z) cos (p(z), cos 6{z) sin (p{z), sin 0(z)), (3)
m = (-sin f}{z) cosy{z\ - sin p{z) sin y(z), cos fi(z)).
Определим безразмерную координату z и безразмерную напряженность h магнитного поля соотношениями z = zL, Н = ZT1 (K33l\xa\J^2h U введем обозначения для безразмерных материальных параметров:
kx = Кх i/К33, k2 = К22/#33 , q = qoL,
4 = Msf0L(K33%a)-12,
22 (op = WPfoL2/(dK33), к = f0kBTL2/(vK33),
wn=WnL/K33.
на Ш определяется из условия баланса вклада в
(1) упругой энергии (« К33 II?) и диамагнитной I I 2
энергии («\й Щ ) • Наряду с ним в ФХ имеется
2
еще одно характерное поле Н'] » К33 1(Ь ИЯ/ц) . Оно определяется балансом упругой энергии директора («К33 II?) и энергии взаимодействия магнитных моментов частиц с полем (« ИЯ/цЩ) . Поле Щ будет определять поле перехода феррохолестерик - ферронематик, если раскручивание спиральной структуры осуществляется преимущественно дипольным механизмом. Нетрудно видеть, что параметр % = ЩяШд равен отношению этих двух полей и характеризует режим раскрутки спирали [3 - 5]: если £ » 1 , то раскрутка спирали осуществляется благодаря дипольному (ферромагнитному) механизму, а при £ «1 - благодаря
квадрупольному (диамагнитному) механизму. Параметр сор характеризует энергию сцепления магнитных частиц с ХЖК матрицей. Будем полагать (йр > 0, так что в отсутствие магнитного поля директор ориентируется перпендикулярно главным осям частиц т 1 л, обеспечивая гомеотропные условия сцепления. Параметр •мп > О представляет
собой энергию сцепления директора с поверхностью слоя. Смысл параметра к мы поясним ниже.
Уравнения ориентационного равновесия ФХ определяются из условия минимума свободной энергии (1), рассматриваемой как функционал относительно функций 0, <р, Р, у и/- Миними-
зация по/(%) проводится при условии постоянства числа N магнитных частиц в суспензии
jfdV=Nv. Уравнения равновесия имеют следующий вид (детали вычислений см. в [11]):
z = J ' A
Ж,
2 J » /Г/2< /0,
(4)
Поясним смысл введенных безразмерных параметров. Здесь к\ и к2 представляют собой отношения модулей ориентационной упругости, параметр q характеризует безразмерную толщину слоя. Три безразмерных материальных параметра к и а>р определяют поведение ФХ во внешнем магнитном поле. Введенное выше характерное поле Щq = 1~(К33 11 Ха \)"2 имеет порядок поля
2 2 к] cos 0 + sin 0
22 *i cos 0 + sin в
2 2 ,sin0m-sin0) - (5)
[(k2-\)cos2em+\)\(k2-\)cos20 + \)\
перехода феррохолестерик - ферронематик, если раскручивание спиральной структуры обеспечивается только квадрупольным механизмом. Величи-
d<p
к2Ч
П 2 2 . 2
к2 cos 0 + sin в
(?]
1
1
£/isin/? = u> sin 2(0-/7), у =
(7)
1 2 / = /0Z-exp|-Acos/?--Asin(A->5)| (8)
(здесь 0(? = 1/2)= Вт, e(z=0)=eo, f0=Nv/V, а нормировочная константа Z определена условием \fdV=Nv).
Граничные условия отвечают мягкому гомео-тропному сцеплению директора с поверхностью слоя и находятся из условий минимума полной свободной энергии (1):
(A, COS2 (9 + sin +^w„sm2e\,=0 = 0, (9)
и вследствие симметрии границ
-о. (10)
£ ?=]/2
Заметим, что выражение (9) описывает концентрационное распределение магнитной примеси по толщине слоя. Максимум этого выражения отвечает накапливанию магнитных частиц в тех областях слоя, где минимальна сумма их магнитной и ориентационной энергий в ЖК матрице. Это явление носит название эффекта сегрегации [1]. Параметр
2 VI
к = {Ы Л) , где Я = (уК33 /рквТ) , - так называемая сегрегационная длина [ 1 ], задающая характерный масштаб области концентрационного расслоения. При к »1 этот эффект несуществен [3 -5].
Сделаем несколько замечаний относительно используемого подхода [12]. Вследствие /«1 магнитную примесь в суспензии можно рассматривать как идеальный газ невзаимодействующих магнитных частиц. Тем не менее взаимодействия между частицами в суспензии имеются, однако, другой природы. Отдельные частицы искажают ориентационную структуру жидкокристаллической матрицы на расстояниях, которые много больше их размеров. Взаимодействия между частицами возникают тогда, когда области таких искажений перекрываются. Такой многочастичный ориентационный эффект, имеющий принципиальную важность для феррожидкого кристалла, получил название коллективного поведения [1].
Макроскопический (континуальный) подход к описанию феррожидкого кристалла, используемый в настоящей работе, применим только в том случае, когда в суспензии имеется коллективное поведение. При этом подходе директор и и единичный вектор намагниченности т являются независимыми макроскопическими векторными полями, связанными уравнением (7). Это означает, что концентрация магнитных частиц должна быть достаточно велика, чтобы ориентационные искаже-
ния, вызванные отдельными частицами под действием магнитного поля, могли "перекрываться" и потому вызывать деформации макроскопической структуры феррохолестерика. Другими словами, основной механизм, обеспечивающий ориентационный отклик феррохолестерика, связан с взаимодействием между частицами и жидкокристаллической матрицей, т. е. со способностью обеих компонент суспензии влиять на ориентацию друг друга. В рассматриваемом континуальном подходе соответствующими этому взаимодействию параметрами являются векторные переменные п и /и, связь между которыми обеспечивается уравнением (7).
Как показано в работах [13, 14], искажения,
вносимые отдельной частицей в жидкокристаллическую матрицу, из-за наличия других частиц экранируются на расстояниях, которые больше, чем
!К/(ЖРсЯ),
где К - модуль ориентационной упругости, Жр -
энергия сцепления частиц с матрицей, с = N1^ -концентрация магнитных частиц в суспензии, Я« ж dl - площадь поверхности частицы (/ -
длина частицы, d - ее поперечный диаметр). Для реализации коллективного поведения эта длина экранирования должна быть больше среднего расстояния с между частицами, что позволяет
написать условие, при котором коллективное поведение возможно:
К_
с «
т
7 -3
Для К «10 дин, Жр а 10 дин/см, /«0.5 мкм
и <Л«0.05 мкм находим с «10 3 CM ИЛИ
1 5 3
f = су«\ для V« 1 0 ~ CM (здесь V - объем частицы). В эксперименте [15] концентрация магнитных частиц составляла 10 см 3, так что указанное условие коллективного поведения выполнено.
3. Положительная диамагнитная анизотропия
3.1. Критическое поле перехода
феррохолестерик - ферронематик
В гомеотропной ферронематической фазе в сильном поле директор и намагниченность направлены вдоль оси 2, поэтому вблизи перехода в феррохолестерическую фазу можно записать
О = ¡-Бв, 60«И р«\.
В этом случае решение системы уравнений (4)—(10) можно получить аналитически:
w„ = Gtg(G/2),
V 2Ч/
гк-2соР
Эта система уравнений определяет зависимость поля перехода ФН - ФХ от энергий сцепления мп,
0)р, толщины слоя и материальных параметров
суспензии.
В случае абсолютно жесткого сцепления на стенках ^„ -> со) и слабого (2мр « %А) сцепления на частицах формула (11) принимает известный из работы [10] вид:
2 2
к = \кЦ -л +2сор .
(11а)
Для слабого сцепления на границах (кп «1) имеем
Ь-ЛШ -2w„ +2гуа>р №-2а>р) .
(116)
Для чистого (беспримесного) ХЖК (£ = 0) из (11) получаем соотношение
,2 2
”«=У(*2<7)"-и" ^ (\/2)у](к2д)2-к , (Не)
На рис. 1 и 2 показаны построенные по формулам (11) зависимости критического поля А(м~) перехода ФХ - ФН для £ = 0.5 (квадрупольный механизм) и £ = 3 (дипольный механизм) для безразмерной толщины слоя д = 10. Области под кривыми на рис. 1 и 2 отвечают спиральной структуре феррохолестерика, выше кривой - гомеотропному ферронематику. В случае мягкого сцепления (*« -> 0) зависимость поля перехода феррохолестерик - ферронематик от энергии сцепления описывается уравнением (116). При уменьшении энергии сцепления мп значение критического магнитного поля возрастает и стремится к значению
А = ^к2д)2 +2&а)р/(&-2а>Р) .
При мп »1 (жесткое гомеотропное сцепление с границами слоя) критическое поле перехода стремится к нулю при мп —> мп, где
™п =k2qtg(k2q/2).
При мп > мп (сильное сцепление гомеотропного типа) существование спиральной структуры феррохолестерика невозможно: при заданных энергии сцепления и толщине в слое имеется гомеотроп-ный ферронематик, а при уменьшении толщины слоя эта область существенно расширяется.
б и
О
Рис. 1. Зависимость напряженности магнитного поля А перехода феррохолестерик - ферронематик от обратной энергии сцепления с границами слоя 1 / м„ для £ = 0.5. Кривая 1 —
сор =0.4, 2 — й)р = 3, 3—й)р=\
совпадающее с результатами работы [6]. Для чистого ХЖК с жестким (м>„ -> со) гомеотропным сцеплением на поверхности это уравнение переходит в ранее известное (см. [16 - 18]).
Зависимость критического поля (11) от значений й)р определяется величиной и знаком выражения 2§го)р /(фг - 2й)р ), что видно из рис. 1 и 2.
б п
3
О б
Рис. 2. Зависимость напряженности магнитного поля А перехода феррохолестерик - ферронематик от обратной энергии сцепления с границами слоя 1/мп для £ = 3. Кривая 1 —
сор = 1, 2 — сор = 0.4, 3 — й)р=3
3.2. Критическая толщина слоя в отсутствие магнитного поля
В отсутствие магнитного поля (И = 0) соотношения (11)принимают вид
кп = (*2<7)18(*2<?/2)- (12)
При заданных значениях материальных параметров 'мп и к2 выражение (12) определяет такое
значение д = дс, что при д<дс в слое возможно лишь гомеотропное упорядочение. Иными словами, в тонких слоях из-за конечной энергии поверхностного сцепления w„ ориентация директора в слое навязывается ориентацией легкой оси на стенках ячейки, поэтому в достаточно тонком слое должна существовать гомеотропная фаза, при этом критическая толщина слоя зависит от величины энергии сцепления директора с границами слоя и констант ориентационной анизотропии.
Заметим, что в отсутствие поля директор и намагниченность гомеотропно связаны, поэтому рассматриваемому случаю отвечает ориентация директора вдоль оси z , а намагниченности - вдоль оси х (уравнение связи (7) допускает при ориентации директора по оси z ориентацию намагниченности в отсутствие поля как по оси г , так и по оси х).
б
0 -'------1------Г
Рис. 3. Зависимость критической толщины слоя дс от энергии сцепления жидкокристаллической матрицы с границами слоя ^п для к2 = 0.5
На рис. 3 показана зависимость критической толщины слоя Ьс (за толщину слоя отвечает, как уже отмечалось, безразмерный параметр д = д°Ь) от энергии сцепления холестерической матрицы с границами слоя 'м„ в отсутствие магнитного поля И. Ниже кривой находится область гомеотропного ферронематика, выше кривой существует кониче-
ская фаза феррохолестерика, так что при д>дс директор я отклоняется от оси г и закручивается в коническую спираль. Таким образом, переход через кривую при д = дс сопровождается фазовым
переходом ФН - ФХ.
В пределе 'мп -> оо (абсолютно жесткое сцепление с поверхностью слоя) выражение (12) дает дс = тг/к2 ; при м>п -> 0 (изотропное поверхностное сцепление) критическая толщина дс стремится к нулю.
При снижении значений к2 (напомним, что коэффициент к2 =Л22/Л33 представляет собой отношение двух мод ориентационных деформаций поля директора - кручения к продольному изгибу) уменьшается вклад упругого модуля кручения в критические характеристики перехода. С помощью полученных формул для пороговых полей (11) и пороговых размеров ячейки (12) возможно экспериментальное определение энергий сцепления 'М„
и со р.
3.3. Переход от спиральной структуры к конической
Уравнения ориентационного равновесия допускают решение, для которого 73 = в = 0 . В этом случае магнитные частицы ориентированы по полю Я, а директор п перпендикулярен Н . Иными словами, нет магнитной спиральной структуры, но есть спиральная структура ХЖК матрицы с собственным шагом РО = 2ж Iд0. Линеаризация уравнений ориентационного равновесия по малым /3 и е определяет поле И$, при котором эта структура разрушается и переходит в коническую:
^п = кхО \Н(012),
2 2 2" (Ор
^ д П + %Н*+2соР
Для чистого ХЖК эта формула совпадает с известной [17]. Результаты исследования зависимости порогового поля /75 от материальных параметров феррохолестерика приведены в работе [11].
3.4. Поведение феррохолестерика в тонком слое в слабом магнитном поле
Как уже отмечалось, в тонких слоях (д<дс) в отсутствие магнитного поля устойчиво гомеотроп-ное ферронематическое состояние, в котором единичный вектор намагниченности направлен вдоль оси х, а директор ориентирован вдоль оси г. При увеличении магнитного поля магнитные частицы стремятся повернуться по полю, а молекулы ЖК -
сохранить свою ориентацию в пространстве (вследствие Ха > 0 )> препятствуя повороту магнитных частиц вследствие конечного гомеотроп-ного сцепления частиц с матрицей.
В слабом магнитном поле можно положить
9 = л 12-89,89 «\, Р = л12-8р, 8Р«\, (13)
и система ориентационного равновесия (4)-(10) сведется к уравнению
d2'80
+ G '89 = -fr, G*=(k2q)-h' (14)
с граничными условиями (9), (10), решение которого имеет вид
89 = - ,+ W. cosGz +
[ ~GtgG/2-wn
(15)
и»
sin Gz \
G-wn ctgG/2
Полученное выражение описывает поведение директора при малых значениях напряженности магнитного поля h в тонком слое. Для угла р, определяющего ориентацию единичного вектора намагниченности, из уравнения связи (7) с учетом (13)находим
8р = 8в + (16) 2со,
Выражения (15) и (16) для 89 и 80 показывают,
что переход от гомеотропной ферронематической фазы к конической феррохолестерической фазе происходит беспороговым образом. При этом на поведение директора в слабом магнитном поле оказывают влияние условия сцепления с границами ячейки, а на поведение единичного вектора намагниченности, помимо энергии сцепления wn - и
сцепление жидкокристаллической матрицы с поверхностью магнитных частиц.
3.5. Влияние энергии сцепления на переход феррохолестерик - ферронематик
Интегральная система уравнений ориентационного равновесия (4) — (10) может быть решена только численно. Результаты численных расчетов представлены на рис. 4 и 5, на которых показаны зависимости угла 9т , описывающего ориентацию
директора п в середине слоя, от напряженности магнитного поля h при фиксированных параметрах q = 5 (рис. 4 и 5), wn =3 (рис. 4), w„ =10 (рис.
5). Для wn = 3 критическое значение параметра qc =3.9 5, вследствие этого используемое значение q = 5 соответствует толстому слою ЖК; для
’№п =10 критическое значение параметра
дс =5.21, так что значение толщины слоя близко к критическому. Кривые построены при различных значениях энергии сцепления магнитных частиц с ЖК матрицей сор =1, сор = 3, значениях параметра отвечающих как квадрупольному
(£ = 0.5), так и дипольному (£ = 3) режимам влияния магнитного поля на суспензию, а также значениям упругих модулей к\ =0.5 и к2 = 0.5.
тс/21
тс/4 -
0
О 5 h
Рис. 4. Зависимость угла 9т от напряженности магнитного поля h для q = 5, wn = 3, £, = 0.5,
к2 = 0.5. Кривая 1 - £ = 0.5, сор = 1;
2 - £ =0.5, о)Р=3
Рис. 4 отвечает толстому слою ФХ, в этом случае в отсутствие поля директор в центре слоя планарно ориентирован (9т = 0). Включение поля вызывает переход к конической структуре пороговым образом. В тонком слое (рис. 5) коническая структура имеется уже в отсутствие поля вследствие гомеотропного сцепления директора с границами.
Как видно из рис. 4 и 5, существуют области многозначности функции 9т (Л). В этом случае те ветви графиков, на которых угол 9т уменьшается при увеличении напряженности поля И, описывают неустойчивые состояния. Области многозначности кривых 9m(h) определяют области гистерезиса
фазового перехода первого рода из конической фазы ФХ в гомеотропную ФН фазу (роль параметра
2
порядка при переходе играет величина sin 9т). Критические значения напряженности поля h при 0т -> п\2 совпадают с критическими значениями
напряженности магнитного поля, полученными в работе [8].
Напомним, что кривые рис. 4 соответствуют толстому слою ФХ (д2.дс). При увеличении параметра сор (рис. 4, кривые 1 и 2) мягкое гомео-
тропное сцепление молекул ЖК на поверхности магнитных частиц сменяется жестким, в этом случае возрастает величина критического поля перехода ФХ-ФН. Вследствие того, что выбранное значение £ = 0.5 отвечает квадрупольному режиму ориентации суспензии приложенным полем (т.е. преимущественному воздействию магнитного поля на диамагнитную ХЖК матрицу) и толщине слоя длдс, магнитное поле стремится ориентировать директор л вдоль оси г, но при этом полем ориентируются также магнитные частицы, искажая ориентационную структуру феррохолестерика. Таким образом, при переходе от мягкого гомеотроп-ного сцепления ЖК на магнитных частицах к жесткому усиливается конкурирующее действие магнитного поля на суспензию, что приводит к увеличению значений пороговой напряженности магнитного поля.
метрах системы граничные слои оказывают все большее влияние на ориентацию директора в середине слоя, не давая спирали феррохолестерика полностью закрутиться, т.е. препятствуя переходу ЖК в геликоидальное состояние. При изменении значений энергии сцепления ЖК с поверхностью ячейки изменяется ширина области гистерезиса фазового перехода ФХ-ФН. Расчеты показывают, что в зависимости от значений констант ориентационной анизотропии и энергий сцепления магнитных частиц с матрицей и директора с границами слоя этот переход может происходить по типу перехода первого, либо второго рода. Изменение энергии поверхностного сцепления при неизменной толщине слоя или вариация толщины ячейки при постоянной энергии сцепления способны индуцировать фазовый переход феррохолестерик -ферронематик.
4. Отрицательная диамагнитная анизотропия
0
5
h
4.1. Поведение феррохолестерика в тонком слое в слабом магнитном поле
Пусть магнитное поле по-прежнему направлено вдоль оси 7, но феррохолестерик обладает отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости ха < О ХЖК матрицы.
Исследуем поведение феррохолестерика в тонком слое (д < дс) в слабом магнитном поле. В отсутствие магнитного поля намагниченность направлена вдоль оси д:, а директор - вдоль оси г, в этом случае при увеличении магнитного поля магнитные частицы стремятся повернуться по полю, а молекулы ЖК - выстроиться перпендикулярно полю (вследствие Ха < 0 )• Вблизи перехода от го-меотропной ферронематической фазы к спиральной конической фазе ФХ запишем
Рис. 5. Зависимость угла 9т от напряженности магнитного поля Н для д = 5, 'мп = 10, кх = 0.5, к2 = 0.5. Кривая 1 - £ = 0.5, сор = 1;
2 - £ = 0.5, сор = 3
Отметим тот факт, что энергия поверхностного сцепления а)р не оказывает влияния при данных
условиях на фазовый переход ФХ от планарной структуры к конической. Это объясняется тем, что при £ = 0.5 магнитное поле преимущественно воздействует на ЖК матрицу и при малых значениях напряженности поля гомеотропное сцепление не препятствует повороту директора.
Сравнивая рис. 4 и 5, отметим, что при увеличении энергии сцепления 'мп при заданных пара-
в = тс 12-59,89 «\ , /3 = л12-8/3, 8А«\.
В низшем порядке по малым отклонениям углов от их значения в ферронематической фазе уравнения ориентационного равновесия (4)—(10) дают
2
ё289
+ 0189 = -£И, 0‘=(к,д),+к,.(11)
С учетом граничных условий (9), (10) запишем решение для 89 в виде
89 = - 1 + - со8 Ог +
02 0tg0/2-wn
+ - ’ зт Ог
0^п ctgG/2
2
Это соотношение вместе с выражением 8р = 80 +
2со,
определяет поведение ФХ в слабых полях.
4.2. Поведение феррохолестерика в толстых слоях в слабом магнитном поле
Исследуем поведение феррохолестерика в толстом слое (толщина слоя больше некоторого критического значения) в слабом магнитном поле. В отсутствие магнитного поля намагниченность и директор находятся в плоскости (х,у), поэтому с ростом поля магнитные частицы стремятся повернуться по полю, а молекулы ЖК - сохранить свою ориентацию в плоскости (х,у), т.е. перпендикулярно приложенному магнитному полю (вследствие Ха < О ), препятствуя повороту магнитных частиц из-за конечной энергии связи сор . При слабых искажениях планарной ориентационной структуры можно записать:
9«\ , Р = к12-8Р, зр«\.
В низшем порядке разложения получаем выражение, описывающее поведение директора при малых значениях магнитного поля Н в толстом слое:
Зв = - сИ Ог +
к/^0/2^п
(19)
И|; shGz-l|.
kx0-wncig0l2
4.3. Переход от планарной к конической
спиральной структуре феррохолестерика
Если тонкий слой (д < • дс) ФХ находится в достаточно сильном магнитном поле, то в результате его действия магнитные частицы выстроятся по полю (вдоль оси г ), а директор ориентируется перпендикулярно направлению поля вследствие Ха < 0. В сильных полях система должна обладать спиральной структурой ЖК матрицы в отсутствие спиральной магнитной структуры. Вблизи перехода в это состояние в «1, р « 1 , так что
уравнения ориентационного равновесия (4)—(10) можно решить аналитически. Параметры перехода (критическое поле Н либо толщина слоя д = дЛЬ) удовлетворяют следующей системе уравнений:
wn =*lGthG/2,
О*_. Г /Г , 2 , 2(0Р& ) (20)
О * = 1 - /Г +д* +----------'
h
Выражения (20) определяют критические параметры (критическую напряженность магнитного поля при заданной толщине слоя или критическую толщину слоя при заданной напряженности магнитного поля) перехода от гомеотропной ферронемати-ческой фазы к планарной феррохолестерической фазе. Эта фаза обладает спиральной структурой поля директора, что видно из уравнения (6), которое вблизи перехода сводится к соотношению ¡1(р/&.=д, откуда <р = дг , что отвечает изменению угла <р с координатой.
На рис. 6 и 7 показана зависимость критической напряженности магнитного поля Н^~) от обратной энергии сцепления с границами слоя. Кривые Н^~]) построены для £ = 3 (дипольный механизм) и д = 1 (тонкий слой ЖК, рис.6) и д = 10 (толстый слой ЖК, рис.7) для различных значений энергии сцепления магнитных частиц с матрицей а)р=0.\; 1 и 10. Значение сор =0.1
соответствует мягкому гомеотропному сцеплению молекул ЖК с феррочастицами (свободное ориентирование на поверхности магнитных частиц), сйр = 10 отвечает жесткому сцеплению. В области
ниже кривой Н^~), т. е. при Н<Нс, ХЖК матрица имеет коническую спиральную структуру, т.е. директор и отклонен от оси х на некоторый угол и закручен вдоль оси г вокруг вектора намагниченности т . Магнитные частицы ориентированы по полю и отклонены на некоторый угол от оси г . В области выше кривой при Н > Нс феррохолестерик имеет планарную спиральную структуру: директор ЖК матрицы ориентирован перпендикулярно полю вследствие А а < 0 и закручен вокруг вектора намагниченности, образуя спиральную структуру вдоль оси г, так как магнитные частицы ориентированы преимущественно вдоль поля. В отсутствие магнитного поля (Н = 0) такое упорядочение возможно при w~ =2.16 (рис. 6) и w"1 =0.10 (рис. 7). Таким образом, варьируя энергию сцепления на границах слоя, можно менять ориентационную структуру феррохолестерика в отсутствие магнитного поля.
Уравнение (20) в случае wn »1 (жесткое сцепление на границах слоя) сводится к соотношению
2 0 2 , 2Мсоп
2wn=Н2+д2+- (21)
В этом случае критические напряженности полей перехода велики: Н » 1. При wn -> 0, т. е при
уменьшении энергии сцепления на границах слоя, напряженность критического магнитного поля
2
спадает и Н -» 0 при wn -> д 12.
Рис. 6. Зависимость пороговой напряженности магнитного поля Н от обратной энергии сцепления w"1 для д = \, #1 = 1, £ = 3. Кривая
1 - сор =0.1, 2-Фр =1, 3 - юр =10
6 1
0.09 Wft 0.10
Рис. 7. Зависимость пороговой напряженности магнитного поля Н от обратной энергии сцепления w~' для «7 = 10, = 1, £ = 3. Кривая
1 - юр =0.1, 2 - озр =1, 3 - юр =10
При увеличении энергии сцепления сор магнитных частиц с матрицей напряженность критического магнитного поля возрастает. При малых сор ЖК матрица слабо препятствует повороту
феррочастиц под действием магнитного поля, но при повышении жесткости сцепления для поворота магнитных частиц полю необходимо преодолеть сопротивление молекул ЖК, препятствующих переориентировке магнитной подсистемы. Отметим также, что при увеличении толщины слоя влияние энергии сцепления wn на фазовый переход ферро-
холестерика от коническои к планарной спиральной структуре ослабевает. В толстых слоях этот переход возможен лишь в случае значительной жесткости w„; при wn -> со нарастание напряженности магнитного поля в толстых слоях (рис.
7) более плавное, чем в случае тонкого слоя ЖК (рис. 6).
Работа выполнена при частичной поддержке грантов РЕ-009-0 CRDF и Е02-3.2-261 Минобразования Р Ф.
Список литературы
1. Brochard F., Gennes P. G. de. II J. de Physique. 1970. Vol. 31. P. 691.
2. Жен П. Ж. де. Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1974. 400 с.
3. Zakhlevnykh А. N.. Sosnin P. А. II J. Magn. and Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P. 103.
4. Захлевных A. H., Соснин П. A. II Вестн. Перм. ун-та. 1995. Вып. 4. Физика. С. 84.
5. Захлевных А. Я, Соснин П. А. II Там же. 1997. Вып. 2. Физика. С. 84.
6. Захлевных А. Н., Шавкунов В. С. II Там же. 1999. Вып. 5. Физика. С. 118.
7. Zakhlevnykh А. N.. Shaxkunov V. S. II J. Magn. and Magn. Mater. 2000. Vol. 210. P. 279.
8. Shavkunov V. S„ Zakhlevnykh A. N. II Mol. Cryst. and Liq. Cryst. 2001. Vol. 367. P. 175.
9. Zakhlevnykh A. N.. Shavkunov V. S. II Ibid. 1999. Vol. 330. P. 593
10. Petrescu E., Motoc С. II J. Magn. and Magn. Mater. 2001.Vol. 234. P. 142
11. Балдин Д. В., Захлевных A. Н. II Вестн. Перм. ун-та. 2003. Вып. 1. Физика. С. 77.
12. Zakhlevnykh А. N. II J. Magn. and Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238.
13. Chernyshuk S. В., Lev В. I., Yokoyama H. II JETP. 2001. Vol. 93. P. 760.
14. Lev В. I., Chernyshuk S. В., Tomchuk P. M, Yokoyama H. // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 021709.
15. Chen S.-H., Amer N. M. //Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 51. P. 2298.
16. Greubel W. // Appl. Phys. Lett. 1974. Vol. 25. P. 5.
17. Press M. J., Arrott A. S. // J. de Physique. 1976 Vol. 37. P. 387.
18. Зельдович Б. Я., Табирян Н. В. II Журн. экспе рим. и теор. физ. 1982. Т. 83. С. 998.
