CC BY
9ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2004 Физика Вып. 1
Ориентационные переходы в ферронематике с бистабильным сцеплением
А. Н. Захлевных, О. Р. Семенова
Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
В рамках континуальной теории изучаются особенности индуцированного магнитным полем ориентационного перехода в слое ферронематика, на одной из границ которого имеется го-меотропное сцепление, а на другой создано двукратное вырождение оси легкого ориентирования, допускающее как гомеотропное, так и планарное сцепление. Показана возможность ориентационного перехода между гомеотропным и гомеотропно-планарным состояниями при изменении магнитного поля.
1. Введение
В последние годы большое внимание уделяется исследованию ориентационных и структурных переходов в бистабильных жидкокристаллических ячейках. В таких ячейках устойчивыми являются две различные конфигурации поля директора, а внешнее поле прикладывается только для переключения ориентации между двумя состояниями, но не для поддержания каждого из этих состояний. По этой причине бистабильные ячейки являются менее энергозатратными, чем моностабильные, что важно в практических приложениях к портативным устройствам отображения информации.
В настоящей работе исследуются переходы в бистабильной ячейке ферронематика. Предполагается, что одна из ограничивающих ячейку поверхностей создает абсолютно жесткое гомеотропное сцепление с поверхностью, другая допускает бис-табильную ориентацию. На этой бистабильной поверхности возможна как планарная, так и гомео-тропная ориентация директора (единичного вектора и, характеризующего среднюю ориентацию молекул жидкого кристалла); каждое из этих состояний директора на поверхности является локально устойчивым и обладает одинаковой энергией поверхностного сцепления. В случае планарной ориентации директор расположен на поверхности ячейки, при гомеотропной ориентации директор ортогонален к поверхности. Планарное и гомео-тропное состояния разделены потенциальным барьером конечной высоты, который может быть преодолен (мягкое сцепление) воздействием
внешнего поля на директор. Целью работы является исследование влияния внешнего магнитного поля, направленного по нормали к слою, на биста-бильную ориентацию ферронематика.
2. Уравнения равновесия
Ферронематик представляет собой разбавленную суспензию игольчатых феррочастиц в немати-ческом жидком кристалле [1]. Отличительной его особенностью является то, что в нем, наряду с характерным для жидких кристаллов квадрупольным (диамагнитным) механизмом воздействия поля, имеется еще и дипольный (ферромагнитный) механизм влияния поля на магнитные моменты фер-рочастиц, внедренных в нематическую матрицу. Эти механизмы взаимозависимы, так как поворот магнитной частицы в матрице влечет за собой изменение ориентации директора п матрицы и наоборот. Дипольный механизм линеен по полю, и именно он определяет поведение ферронематика в слабых полях. По этой причине ферронематики весьма чувствительны к приложенному магнитному полю и ориентируются, в отличие от обычных жидких кристаллов, достаточно слабым магнитным полем.
Рассмотрим ферронематик в слое толщины Ь. Пусть на верхней границе слоя ^ = Ь) директор п
фиксирован и направлен по нормали к поверхности (жесткое гомеотропное сцепление), в то время как на нижней границе слоя (г = 0) имеется вырождение оси легкого ориентирования, так что устойчивым может быть как гомеотропное, так и планарное сцепление директора л с границей. В
© А. Н. Захлевных, О. Р. Семенова, 2004
такой ячейке в отсутствие приложенного магнитного поля может быть устойчивым одно из двух возможных состояний. Первое из них отвечает однородному гомеотропному упорядочению, при котором директор во всем объеме слоя ортогонален к обеим границам. Второе - гибридному гомеотроп-но-планарному упорядочению, при котором в объеме имеется градиент ориентации от планарного (или близкого к нему) упорядочения на нижней границе слоя до гомеотропного упорядочения на верхней границе. Задачей настоящей работы является исследование переключения ориентации директора между указанными состояниями в ячейке с бистабильным сцеплением.
2.1. Свободная энергия
Объемная плотность свободной энергии фер-ронематика определяется выражением [1,2]
Fv = ^ Ш 1 <"
2 * к22 (я го1 я )2 +
агзЗ (пхю^Па^пН)2-
- МШИ + /(тп/к1+'Т-/\п/ . (1)
й V
Здесь К\ 1, К-22 и А"зз - константы Франка ори-ентационной упругости жидкого кристалла, %а -анизотропия диамагнитной восприимчивости жидкого кристалла (<т = 1 для Za ® и Для Ха < 0), Я - напряженность внешнего магнитного поля, М^ - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, V - объем частицы, / -объемная доля частиц в суспензии, т - единичный вектор намагниченности М = М/т ферро-нематика, й - диаметр частицы, Т - температура, kg - постоянная Больцмана. Параметр Жр представляет собой анизотропную часть энергии поверхностного натяжения и называется энергией сцепления магнитных частиц с нематической матрицей. Мы полагаем Жр > 0, что отвечает мягкому гомеотропному сцеплению магнитных частиц с нематической матрицей, при котором в отсутствие внешних полей шШ.
В случае положительной диамагнитной анизотропии %а матрицы ее директор п и длинные оси вытянутых магнитных частиц стремятся ориентироваться вдоль приложенного магнитного поля. Однако если на поверхности магнитных частиц созданы гомеотропные условия, при которых директор л ортогонален длинным осям частиц, указанные ориентационные механизмы являются конкурирующими. При Ха 0 дипольный и квадру-
польный механизмы ориентации ферронематика полем усиливают друг друга.
Слагаемое в квадратных скобках в выражении (1) представляет собой плотность энергии искаженного состояния поля директора (потенциал Франка), последующие два вклада описывают квадрупольный и дипольный механизмы взаимодействия магнитных моментов частиц 0: = М^т
и диамагнитной нематической матрицы с магнитным полем Я, соответственно. Предпоследнее слагаемое описывает поверхностное взаимодействие частиц с директором [2]. Значение Жр выбирается положительным, так что в отсутствие поля минимуму энергии соответствуют гомеотропные условия на частицах, при которых их длинные оси перпендикулярны директору т п
-3 -1
{Жр~Ю -ИО дин/см). Вследствие малой концентрации / « 1 магнитных частиц в суспензии магнитное диполь-дипольное взаимодействие между ними полагаем отсутствующим. Последнее в (1) слагаемое описывает вклад энтропии смешения идеального газа магнитных частиц.
Направим магнитное поле по нормали к слою: Я = (О, О, Я). Если директор и намагниченность
остаются в плоскости (x,z) бистабильных ориентации, то их компоненты можно искать в виде
П = (сов <р, 0, вт <р), т = (-в1п у/, 0, еовА),
(2)
\Ъ
/п
т
Рис. 1. Ориентация директора п и единичного вектора намагниченности т относительно напряженности магнитного поля Н = (0,0, Я)
где p(z) - угол ориентации директора относительно ограничивающей поверхности ячейки, y/(z) - угол ориентации намагниченности относительно поля Я (см. рис. 1).
+
Будем полагать сцепление на верхней границе (2 = Ь) абсолютно жестким, тогда
Это позволяет записать объемную плотность (6) свободной энергии ферронематика в виде
(3)
Пусть на нижней границе слоя имеется двукратное вырождение по ориентациям, описываемое поверхностным потенциалом вида
2 2 Р=4Ж0[\-(пе*) \[1-(пег)
где ех — (1,0,0) к ег = (0,0,1) - единичные векторы, задающие направления двух осей легкого ориентирования на нижней границе слоя. Используя соотношение (2) для директора п, получаем
Р
2
81п(2<р0).
Здесь <р0 = <р(г)\г=а. Такой поверхностный потенциал имеет два минимума: при ф§ = 0 (п \\ ех) и q>Q=7tl2 (п\\ег). Первый из них отвечает пленарному сцеплению директора с нижней границей слоя, второй - гомеотропному сцеплению. Параметр WQ > 0 известен как энергия поверхностного сцепления и является мерой глубины минимумов Р§. Поверхностный потенциал (4) анализировался
ранее применительно к нематическим жидким кристаллам с учетом флексоэлектрического эффекта [3] и холестерическим жидким кристаллам [4].
Равновесная конфигурация поля директора (2) и намагниченности определяется условием минимума полной свободной энергии
Р
\Р-йУ+$Р^З,
(5)
включающей как объемную, так и поверхностную части. Здесь Ру и Р$ определены соотношениями 0) и (4).
Подставляя в (1) соотношения ( 2 ) , находим для объемной плотности свободной энергии
= лпСв^2 д> + К33зт2 tp™j
1 2 2
~Г\Ха\Н "т
<Р-М5/Нооиу/ +
+ Л/8т2(Л-Л)-ЬМ/т/.
(6)
Определим безразмерную координату 2 соотношением г = гЬ (здесь Ь - толщина слоя), безразмерную напряженность магнитного поля Н -соотношением
. 2 + • 2 /«>)
ксаз р + зт
1 о I /
— аН б1п (р-%Н—со&л +
2/ Г°/ + б1п ((р-ц/) + к -1 — 1п/}, (8)
1°
1°
где введены следующие обозначения для безразмерных комбинаций материальных параметров:
(4)
мрь
33 \Ха
К_Ь/ШТ_
УК33
2
Ь/р/УР К33й
(9)
Здесь /2=^/У представляет собой среднюю концентрацию магнитных частиц в суспензии, N
- число частиц, У - объем ферронематика. Смысл параметров £ и к обсуждался ранее в работах [5
- 7]. Параметр £ представляет собой [5] отношение двух характерных полей: % = Н1 Нй. Здесь
Н = К33/(Мз/2Ь ) - поле, при котором происходит искажение директора под действием только
Ь/2
дипольного механизма; На = Ь~\К33/ #А) -
характерное поле, вызывающее искажение директора под действием квадрупольного механизма. Если £ » 1 , то ориентационные деформации происходят благодаря дипольному механизму, а в случае £« 1 - квадрупольному. Тем самым параметр £ характеризует режимы влияния внешнего
2
поля на ферронематик. Параметр К = (Ь1 Я) , где
Я — (уК331 /окдТ) - так называемая сегрегационная длина [1], задающая характерный масштаб области концентрационного расслоения. Параметр к ответствен за сегрегационный эффект (см. ниже); в пределе к »1 этот эффект несуществен.
2.2. Уравнения равновесия
Свободная энергия (5) представляет собой функционал относительно углов ориентации директора и намагниченности <р(г), ¡/г(г) и концентрации /(2). Минимизация (5) по //{г) дает так называемое [2] уравнение связи
%Нзту/ = к>Р &\п 2 ( 9 ? - л ) (10)
между ориентациям и директора (ц>(г.)) и намагниченности (у/(г)). Минимизация (5) по /(г) приводит к распределению концентрации вида
зз
а
V
£h . wp . 2 / = /о£?ехр — 0OSA—~Sin vP-¥)k) (H) к к
где величина 0 определяется соотношением нормировки
/й¥ = (12)
представляющим собой условие постоянства числа частиц в суспензии. Выражение (11) описывает так называемый эффект сегрегации [1], заключающийся в концентрационном перераспределении магнитной примеси по образцу, так что магнитные частицы накапливаются в тех местах, где минимальна сумма их магнитной энергии во внешнем поле и ориентационной энергии в нематической матрице.
Минимизация по <p(z) приводит к уравнению
ъ cos - ф+Д
ф
(pi-+ dz2
h s'm2p+wp —sin2{cp-y/), (13)
которое интегрируется с помощью уравнений (10) и (11) и может быть записано в виде
~=4А(.ФМФ))>
г * г и А
kcos
I+sn
(14)
(15)
<р
Здесь С - константа интегрирования. Интегрируя уравнение (14) по толщине слоя, находим уравнение для С :
Ш2
\ A~ dq> = \.
- [А
о
1/2
expi—COS^
I*
-K- sin (<p-ij/)\d<p.
(16)
Минимизация поверхностной части полной свободной энергии (5) по q>0 = p(z)\z=Q приводит к
уравнению
2 2
(Асов <Р + з\п рК? =2w0sin4Л0 (17) dz г=0
для (PQ = 9>(1)\~=° . Здесь введено обозначение
ы0=Ж0Ь/К33 (18)
для безразмерной энергии сцепления директора с поверхностью слоя.
Подставляя (11) в (12) и переходя от интегрирования по координате I к интегрированию по углу ф с помощью (14), находим
(19)
Таким образом, полная система уравнений равновесия ферронематика содержит уравнения (2),
(10), (11), (14) - (17) и (19). Напомним, что намагниченность ферронематика определяется формулой М = Msfт и представляет собой комбинацию ориентационного (2) и концентрационного
(11) распределений.
Заметим, что диамагнитные (квадрупольные) взаимодействия между внешним полем и директором пропорциональны квадрату напряженности поля, в то время как ферромагнитное (дипольное) взаимодействие между магнитными частицами и полем линейно по Н. По этой причине можно ожидать, что ферромагнитные взаимодействия будут доминирующими в слабых полях, а диамагнитные взаимодействия - в сильных. При положительной анизотропии магнитной восприимчивости диамагнитные взаимодействия будут стремиться ориентировать директор вдоль поля, способствуя переходу ячейки в гомеотропное состояние. Ферромагнитные взаимодействия ориентируют магнитные частицы по полю, и (вследствие гомео-тропного сцепления с ними директора) частицы опосредованно ориентируют его перпендикулярно полю, т.е. в планарном направлении. Таким образом, ферромагнитные взаимодействия стабилизируют гомеотропно-планарную фазу и дестабилизируют гомеотропную фазу, в то время как диамагнитные взаимодействия стабилизируют гомео-тропную фазу и дестабилизируют гомеотропно-планарную фазу. Иными словами, при Ха 0 Ука" занные взаимодействия конкурируют. В случае Ха < 0 дипольные и квадрупольные взаимодействия усиливают друг друга.
3. Ферронематик в отсутствие поля
Найдем решение уравнений ориентационного равновесия ферронематика в отсутствие поля. В этом случае уравнение связи (10) дает с учетом (8) соотношение y/(z) = (p(z), так что ml п. Выражение (11) для концентрации приводит к / = /о > 6 = 1. Уравнение (13) показывает, что в этом случае имеется однородное решение <p(z) = const. Из условия на верхней границе слоя находим значение константы интегрирования, откуда получаем P(Z) = K/2. Это решение отвечает гомеотропной фазе (рис. 2). Другое решение уравнений равновесия (14)—(17) соответствует гомеотропно-планарной фазе (рис. 3), в которой угол q> зависит от координаты z, так что на верхней границе
Q
Т
в
3.1. Двухконстантное приближение
Ш1Щ
ттгп
У
н
А
Ш
7ГПТП
111111/
/ПИП
о
Рис. 2. Гомеотропная фаза
Рис. 3. Гомеотропно-планарная фаза
<р = я 7 2 , а на нижней границе 0> = Po(wo>^) > где
<Po(wo,k) определяется уравнением ,-л 7 2 .-
yjkcosz<po +sin + sin2p =
= 2w0 sin 4Л,. (20)
Сама зависимость <p(z) неявно задана уравнением яг/2 ,---,--
z | dp-^kcos q> + sm <р = jd<p*k cos q> + s\n q>
(21)
которое так же, как и предыдущее, можно записать в терминах эллиптических функций, однако в таком виде оно удобнее для анализа.
Рассмотрим вначале предельный случай уравнений (20) и (21), отвечающий значению А = 1-т.н. двухконстантное приближение.
Одноконстантное (К\ \ = К22 = прибли-
жение часто используется в физике жидких кристаллов, так как приводит к существенному упрощению уравнений ориентационного равновесия и в некоторых случаях позволяет получить результаты аналитически. Заметим, что в реальных жидких кристаллах константа кручения К22 существенно меньше двух других и в тех конфигурациях поля директора, которые содержат деформацию кручения, одноконстантное приближение является достаточно грубым. В анализируемой нами ситуации деформация кручения отсутствует, имеются только моды поперечного и продольного изгибов поля директора, описываемые константами Франка Kj j и £33 Эти константы сопоставимы по величине, что и делает двухконстантное (К\ \ = р& * К22 или k = 1) приближение оправданным в рассматриваемой ситуации.
В отсутствие поля (И = 0) уравнения ориента-ционного равновесия имеют два решения. Одно из них <p(z) = nl2 отвечает гомеотропной фазе (рис. 2), другое
(22)
описывает гомеотропно-планарную фазу (рис. 3). Это решение при z = 1 дает <р(\) = п12, а при z = 0 <р(0) = 0>о . Само значение gjQ как функция энергии сцепления WQ определяется из уравнения (20) и удовлетворяет соотношению 7T/2-<pQ Щ = 2sin4j которое было получено ранее в работе [3] при решении другой физической задачи. Зависимость
w
Ло( о) показана на рис. 4 (кривая 2). Из рисунка видно, что в случае слабого сцепления при M>Q < WQC = 0.5758 гомеотропно-планарная фаза отсутствует, устойчиво только гомеотропное состояние и рассматриваемая ячейка не является бистабильной. Поскольку WQ =WQL/ то при
заданной энергии сцепления WQ соотношение (23) определяет критическую толщину слоя LC, так что в тонких слоях при L<> LC = 0.5758/Сзз / WQ имеется лишь решение, отвечающее гомеотропной фазе. В достаточно толстых слоях (L>LC) или при достаточно больших энергиях сцепления (WQ > WQC) В слое, наряду с гомеотропной фазой {Щ = к12), возможна фаза с гибридным гомео-
(23)
nil -
1 ™ 2 ™ о
Рис. 4. Зависимость угла 1р0 ориентации директора на нижней границе слоя от энергии сцепления с поверхностью в отсутствие
поля. Кривая 1 - к = 2/3, 2 - к = 3 -к = 2.5. Прямая 4 отвечает гомеотропному сцеплению на нижней границе слоя
тропно-планарным упорядочением (22), при котором в объеме слоя имеется градиент ориентации, так что ориентация директора в слое меняется от гомеотропной {(р = п12) на верхней границе слоя
до ориентации, близкой к планарной (<р&0), на нижней границе. Из рис. 4 видно, что наличие ори-ентационно-упругих деформаций поля директора в гомеотропно-планарном состоянии приводит к тому, что на нижней границе слоя ориентация директора лишь близка к планарной при больших значениях , так что <р0 * 0. Штриховой кривой на
рис. 4 показаны неустойчивые состояния. Зависимость щ (Ж0 ), приведенная на рис. 4, показывает, что в рассматриваемой системе имеется возможность перехода между гомеотропным и гомео-тропно-планарным состояниями.
В действительности директор не достигает пла-нарного состояния на нижней границе при конечных значениях энергии сцепления те0, поскольку в этом гибридном состоянии ячейки имеется поверхностный момент сил, действующий на директор из-за упругих искажений в объеме ячейки, вызванных жестким гомеотропным сцеплением на верхней границе. Однако если энергия w0 достаточно велика, поверхностного момента сил на нижней границе хватает для уравновешивания упругого объемного момента, вследствие чего гибридное гомеотропно-планарное состояние на нижней границе оказывается устойчивым. Если же
энергия WQ мала, то объемный момент нарушает планарное сцепление и ячейка спонтанно переключается в гомеотропное состояние.
3.2. Ориентационная анизотропия
Вернемся теперь к уравнению (20), которое учитывает ориентационную анизотропию.
На рис. 4 показана зависимость 0>o(wo)> определяемая уравнением (20). Как легко видеть, это уравнение при любых значениях энергии сцепления WQ имеет решение щ = /г/2 (прямая 4 на рис. 4), отвечающее гомеотропной фазе (рис. 2). Однако если энергия сцепления w0 превышает некоторое критическое значение, то, наряду с решением g)Q = ж 12 , имеется еще решение, для которого <PQ близко к нулю. Оно описывает гибридную гомеотропно-планарную фазу (рис. 3) и показано сплошными кривыми 1 - 3 на рис. 4. Штриховыми кривыми на рис. 4 изображены решения уравнения (20), отвечающие термодинамически неустойчивым состояниям. Из рис. 4 видно, что при WQ -» 00
(абсолютно жесткое сцепление на нижней границе слоя) <р0 -» 0 и директор на нижней границе будет планарно ориентирован. Кривые 1 - 3 на рис. 4 демонстрируют учет ориентационной анизотропии, когда все три константы Франка различны. Для большинства жидких кристаллов значения констант Франка лежат в интервалах \/3£Кп/К33 £2.5, 4/15 лл22/л33 л Щ-
Кривая 1 отвечает значению к = 213 , что соответствует нематическому жидкому кристаллу Е7, для которого К 1КЪЪ «2/3 и К22 1К™ * 1/2 [8]. Кривая 3 отвечает другому предельному значению допустимого интервала значений параметра к . Из рис. 4 видно, что с ростом параметра к = К\\1 £33
кривые смещаются вправо, так что критическое значение WQ растет. Сравнение кривых 1 и 3 с кривой 2 показывает, что уменьшение значений k = K\\lK33 смещает область бистабильного поведения ферронематической ячейки в сторону меньших значений энергии сцепления на нижней границе слоя. При значениях WQ меньше критического значения устойчивой является только гомео-тропная фаза и бистабильное поведение ячейки не наблюдается. Заметим еще, что при бистабильном переходе между гомеотропным и гомеотропно-планарным состояниями ориентация ячейки меняется скачком, что свидетельствует о переходе первого рода (роль параметра порядка при переходе
играет величина sin VQ).
4. Ферронематик в магнитном поле
При h = 0 это уравнение переходит в (23).
Ниже рассмотрим поведение ферронематика в магнитном поле в отсутствие сегрегации (к »1). В этом случае выражение (15) принимает вид
9 9 9 ч
А
С-А sin ф-2% hcosy/ + 2wP sin (ф-у/)
Л cos <р + sin q> (22)
В частном случае жесткого сцепления магнитных частиц с нематической матрицей wp = со и, как
это видно из выражений (6) и (10), у/(г) = ф(г), так что функция
2 2
a_C-h2 sin2 ф-24 ACQS ф
2 2 Acos ф + s'm ф
4.1. Гомеотропная фаза в слабых полях
Посмотрим, как влияет слабое поле на гомео-тропную фазу. В отсутствие поля в гомеотропной фазе ф(г) = я7 2, ф° =я/2, y/(z) = к!2. В слабом поле решение ищем в виде ф(г) = ж 12-8ф, 8ф«\, y/(z) = п12-8ц/, 8ц/ «1 и воспользуемся уравнениями ориентационного равновесия. В результате находим
к
--фо^+фо
где
2 2(l + 8w0)' Ц/(г) = ф(г) +
2w,
(24)
(25)
(26)
4.2. Гомеотропно-планарная фаза в слабых полях
В отсутствие поля зависимость ф(г) определя-
w
ется выражением (21), где л>о( о) следует из соотношения (20). В слабом поле имеем
4.3. Сильные поля
В сильных полях магнитные частицы и директор должны быть направлены вдоль поля, т.е., как это следует из выражения (2), ф(г) = я/2,
у/(г) = 0. Как видно, такое решение удовлетворяет
уравнениям равновесия (10), (11), (14) - (17). Пороговое- поле, выше которого как магнитные частицы, так и директор ориентированы по полю, находится из указанной системы уравнений и имеет вид
1 + 11 +
В этой фазе условия сцепления магнитных частиц с директором являются планарными, так как и директор, и магнитные частицы ориентированы по полю Я = (0,0, Я). Эта ферронематическая фаза
термодинамически устойчива при АЛАц, и поскольку в ней W || л || Н, то квадрупольный механизм проявляет себя в полной мере, наряду с ди-польным [11, 12]. Поле Ац имеет смысл так называемого поля насыщения [8].
В размерном виде поле Ац имеет вид
яи =•
Msd
1 + J1 +
(20)
WPXA
Заметим, что пороговое поле Яц не зависит от
толщины слоя Ь, концентрации магнитной примеси /о, а также материальных параметров £33 и
ха-
В случае сильного сцепления получаем
ха
Msd
(21)
В пределе слабого сцепления имеем
-<р0 2+ф0+-
(х/2-ф0У
z + (1-г^тф° -sin -~<РО р + Ро ,(27) где ф§ (vv0 ) определяется теперь уравнением
—фо \+-)
(7Г/2-ф°)
х \ (1 - sin ф°) ~1 — - ф° I cos ф° \ = 2wq sin 4ф° .(28) порогового поля Ям величину порядка нескольких
Xa
Msd
(22)
Эти соотношения показывают, как зависит пороговое поле от концентрации /о магнитной фазы и энергии сцепления ЖР.
Полагая вслед за авторами работ [2, 10] для
6
реальных Ms « 5 0 0 Г с,
ферронематиков </«7-10~ см
J - 7
/о * 10-
7 - 2
Ха * Ю~' , Wp * Ю 2 4-Ю
К33 «Ю дин, дин/см, находим для
к
Я
Я
десятков - сотни эрстед. Иными словами, описанная ферронематическая фаза должна наблюдаться Я/2 в реальных ферронематиках в достаточно слабых полях. Заметим еще, что пороговые поля в ферро- <?о нематике, обусловленные изменениями сцепления на частицах, изучались в работах [6, 7, 11, 12].
4.4. Результаты расчетов
На рис. 5 и 6 изображены кривые гомеотропно-планарной фазы для положительной анизотропии диамагнитной восприимчивости и значения параметра £ = 0.5. Расчет сделан для к = 2/3 (рис. 5),
что отвечает ферронематику на основе нематиче-ского жидкого кристалла Е7, и к = 2.5 (рис. 6). Изучим воздействие магнитного поля на гомео-тропно-планарную фазу (кривые 1 на обоих рисунках), схематически эта фаза изображена на рис. 3. Для £ = 0.5 диамагнитные взаимодействия являются определяющими и будут стремиться ориентировать директор вдоль поля и тем самым дестабилизировать гибридную фазу. По этой причине с увеличением напряженности поля кривые смещаются вправо, что соответствует увеличению <РО для заданного значения энергии сцепления ЖО . С ростом поля соответствующее решение перестанет существовать при заданном ЖО , что и вызовет переход первого рода в гомеотропную фазу.
На рис. 7 показан случай отрицательной диамагнитной анизотропии матрицы (ха <0). Параметр £ = 5, что соответствует доминирующей роли ферромагнитных зеемановских взаимодействий магнитной суспензии с полем. В отсутствие поля возможными являются гомеотропная фаза (кривая 5) и гибридная гомеотропно-планарная фаза (кривая 1). Пусть энергия сцепления на нижней границе ЖО < ЖОС , где М>Ос - нижняя граница устойчивости гибридной фазы. С ростом поля графики зависимости Ао("о) смещаются влево, эффективно смещая в меньшую сторону величину ЖОС . Иными словами, гибридная фаза может стать устойчивой при w0 < ЖОС (переход первого рода между го-меотропной фазой и гибридной гомеотропно-планарной фазой), однако при выключении магнитного поля произойдет обратный переход из го-меотропно-планарной фазы в фазу гомеотропную.
5. Основные результаты
В работе исследован индуцированный внешним магнитным полем переход в бистабильной ферро-нематической ячейке. Для модели бистаб ильного поведения предложен вид потенциала поверхностного сцепления (анизотропной части поверхностного натяжения), отвечающего двукратному вырождению оси легкого ориентирования на одной
%/4-
1
Ж
о
Рис. 5. Зависимость угла наклона директора <PQ на нижней границе ячейки от энергии сцепления ЖО для к = 2/3, о~ = \, £ = 0.5. Гибридная гомео-тропно-планарная фаза: кривая I — й = 0, 2-Н = 2, 3 - Н - 4. Гомеотропная фаза - прямая 4
71/4
Рис. 6. Зависимость угла наклона директора <PQ на нижней границе ячейки от энергии сцепления ЖО для к = 2.5, а = 1, £ = 0.5. Гибридная гомео-тропно-планарная фаза: кривая 1 - Н = 0, 2 -Н = 2, 3 - Н = 4. Гомеотропная фаза - прямая 4
из поверхностей слоя ферронематика. Построен функционал свободной энергии ферронематика, включающий как объемную, так и поверхностную части, минимизацией которого получена система уравнений, описывающая ориентационное и магнитное состояния ферронематика в условиях слабого бистабильного поверхностного сцепления.
Ориентационные переходы в бистабилъном ферронематике
71
я/2 -
Рис. 7. Зависимость угла наклона директора <Ра на нижней границе ячейки от энергии сцепления Жа для к = 2 / 3 , о~ = -\, £ = 5. Гибридная го-меотропно-планарная фаза: кривая 1 - Н = 0,2 - Н = 0.\, 3 - Н — 0.2, 4 - Н — 0.3. Гомеотропная фаза - прямая 5
Найдено основное состояние ферронематика в отсутствие магнитного поля и определены пороговые значения энергии поверхностного сцепления, ниже которых устойчиво лишь одно из состояний бистабильной ячейки. Рассмотрено приближение абсолютно жесткого сцепления молекул жидкого кристалла на магнитных частицах ферронематика. Исследованы аналитически случаи нулевого и слабого магнитного поля. В случае конечных напря-женностей поля задача решалась численно. Для слабого поля получено хорошее соответствие численного и аналитического решений.
Исследована возможность перехода первого рода из гибридной гомеотропно-планарной фазы в гомеотропную фазу и обратного перехода при различных значениях материальных параметров суспензии.
Работа выполнена при частичной поддержке грантов РЕ-009-0 CRDF и Е02-3.2-261 Минобразования РФ.
Список литературы
1. BrochardF., Gennes P. G. de II J. de Phys. 1970. Vol. 31. P. 691.
2. Burylov S. V., Raikher Yu. L. II Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 358.
3. Davidson A. J, Mottram N. J. II Ibid. 2002. Vol. 65. P. 051710.
4. Захлевных A. H., Шавкунов В. С. II Вестн. Перм. ун-та. 2000. Вып. 6. Физика. С. 50.
5. Zakhlevnykh А. N., Sosnin P. А. II J. Magn. and Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P. 103.
6. Zakhlevnykh A., Shavkunov V. II Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593.
7. Zakhlevnykh A. N.. Shavkunov V. S. II J. Magn. and Magn. Mater. 2000. Vol. 210. P. 279.
8. Blinov L. M, Chigrinov V. G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. Springer-Verlag, New York, 1994.
9. Brasselet E., Doyon В., Galstian Т. V., Dube L. J. II Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. P. 031706.
10. Chen S.-H., Amer N. M. II Phys. Rev. Lett. 1983. Vol.51. P. 2298.
11. Захлевных A. H. II Вестн. Перм. ун-та. 2003. Вып. 1. Физика. С. 81.
12. Zakhlevnykh А. N. II J. Magn. and Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238.
