Пороговые магнитные поля в ферронематике Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2003 Физика Вып. 1

Пороговые магнитные поля в ферронематике

А. Н. Захлевных

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Изучено влияние внешнего магнитного поля на ферронематик - разбавленную суспензию игольчатых магнитных частиц в нематическом жидком кристалле. Рассмотрен ферронематик с конечной энергией сцепления магнитных частиц с жидкокристаллической матрицей; вид поверхностного сцепления - гомеотропный - отвечает реальным ферронематикам. Показано, что с ростом напряженности внешнего магнитного поля в неограниченном ферронематике происходит своеобразный переход Фредерикса, при котором пороговым образом меняются условия сцепления на частицах от гомеотропных к планарным. Найдена зависимость пороговых полей (поля Фредерикса и поля насыщения) от материальных параметров ферронематика.

1. Введение

Как известно, в нематическом жидком кристалле (ЖК) ориентация директора п - направления, вдоль которого в среднем упорядочены длинные оси анизометричных молекул, является вырожденной. Это вырождение снимается внешними ПОЛЯМИ или границами ячейки, в которой находится жидкий кристалл. Внешнее поле (например, магнитное) ориентирует директор. Если анизотропия Ха диамагнитной восприимчивости жидкого кристалла положительна, директор п ориентируется в направлении магнитного поля Н, в противном случае - перпендикулярно Н. Таким образом, если жидкий кристалл неограничен, направление директора /I определяется минимумом магнитной части объемной плотности свободной энергии

Рша=-\ха(«1О2- (1)

Обычные ЖК являются диамагнитными средами, ИХ анизотропия восприимчивости Ха мала

(порядка 10-7 ед. СГСЭ). Магнитную восприимчивость ЖК можно увеличить на 3 - 4 порядка, если суспендировать в ЖК игольчатые магнитные частицы [1]. Полученная таким образом магнитная суспензия - феррожидкий кристалл (ферронематик, феррохолестерик или ферросмектик) - сохраняет все особенности ориентационного поведения ЖК, но приобретает весьма выраженные магнит-

ные свойства. Ниже мы будем иметь в виду ферронематик (ФН).

В ферронематике, наряду с указанным выше диамагнитным вкладом (1) в свободную энергию, имеется и ферромагнитный вклад, обусловленный влиянием магнитного поля на магнитные моменты феррочастиц

/>,0=-М,/т//. (2)

Здесь М3 - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, / - объемная доля частиц в суспензии, т - единичный вектор намагниченности М = М5/т ферронематика. Заметим, что диамагнитное взаимодействие (1) между директором и магнитным полем пропорционально Я2, в то время как ферромагнитное взаимодействие (2) линейно зависит от Н. По этой причине можно ожидать, что ферромагнитный (дипольный) вклад (2) доминирует в слабых полях, а диамагнитное (квадрупольное) слагаемое (1) - при высоких напряженностях поля. Слагаемое (2) станет порядка слагаемого (1) в поле Я«//0, где

#0 - М^ I Ха ■ Таким образом, при И < Я о существенен дипольный механизм воздействия поля на ферронематик, при Н > Я0 - квадрупольный.

В ферронематике переменные пит являются связанными, поскольку на поверхности магнитных частиц имеется сцепление с ЖК-матрицей. Это взаимодействие переменных и и т описы-

© А. Н. Захлевных, 2003

вается заданием в термодинамическом потенциале плотности энергии поверхностного сцепления [2]:

W 2

^anch ~ ~Т f(mn)

а

(3)

Параметр IV представляет собой анизотропную часть энергии поверхностного натяжения и называется энергией сцепления; ^ - диаметр частицы. При \У > О слагаемое (3) минимизируется при т 1 //, т.е. в отсутствие поля отвечает гомеотроп-ному сцеплению магнитных частиц с ЖК-матрицей. Конечные значения энергии сцепления И7 приводят к тому, что угол между векторами П и т меняется под влиянием внешних воздействий (ограничивающих поверхностей или внешних полей).

При положительной диамагнитной анизотропии >^) диамагнитное взаимодействие (1) стремится ориентировать директор п в направлении магнитного поля Я . Вместе с тем в направлении поля Я будут ориентироваться и магнитные моменты частиц вследствие ферромагнитного взаимодействия (2). Указанные воздействия являются конкурирующими вследствие гомеотропного (т±п) сцепления (3) магнитных частиц с ЖК-матрицей. Задачей настоящей работы является нахождение равновесного распределения векторов намагниченности и директора в возрастающем магнитном поле.

2. Пороговые поля

В неограниченном ферронематике в отсутствие поля Я директор п и единичный вектор намагниченности т являются пространственно однородными и т 1 п вследствие IV > 0 . Выберем плоскость векторов п и т в качестве плоскости (дг,у). Приложенное магнитное поле

Я = (О, Я ,0) вызывает искажение исходного состояния ФН, ориентируя магнитные частицы вдоль Я, но вследствие %а > О директор п тоже стремится установиться параллельно Я . Из-за гомео-тропных условий сцепления частиц с директором два указанных ориентационных механизма конкурируют, стремясь повернуть ориентационную структуру в противоположных направлениях. Искажение ориентационной структуры ФН может быть изучено в рамках континуальной теории, основанной на функционале свободной энергии [1, 2]. Опуская несущественную для неограниченного ФН плотность энергии неоднородности поля директора, запишем объемную плотность свободной энергии ФН в виде суммы вкладов (1) - (3);

-М^тН^атп)1. (4)

/ а

Ниже мы будем полагать анизотропию диамагнитной восприимчивости Ха положительной величиной.

Под действием поля Я = (О, Я,0) исходная

ориентационная структура ФН деформируется и векторы пит можно искать в виде

п = (cos <р, sin (р,0), т = (-sin ^,cos^,0).

(5)

(6)

Таким образом, угол между направлениями п и т не является фиксированным, но меняется под действием внешнего поля Я вследствие конечной энергии сцепления W .

Подставляя выражения (5) и (6) в (4), находим

F =-~Ха^2 sin2 (р-МsfH ZOS\f/ +

+ ^-fs\n2((p-y/). (7)

а

Выражение (7) удобно переписать в безразмерном виде. Выбирая в качестве единицы напряженности поля величину Нq — Мsf I ха ■> представляющую собой характерное поле [3] смены режима упорядочения от дипольного к квадрупольному, так что Н = HQh, где h - безразмерная напряженность поля, получаем

1 2 2 2

- — /г sin ср - h cos у/ + ст sin ((p-ys)

(8)

О

Здесь введено обозначение а = 1¥ха /(М5 /#) для безразмерной энергии сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей. Будем полагать сг > 0, так что в отсутствие магнитного поля директор ориентируется перпендикулярно главным осям частиц т 1п, обеспечивая гомеотропные условия сцепления.

Минимизация свободной энергии (8) по (р и у/ дает условия равновесия ФН:

дР 1д(р = дР/ду/ = 0. (9)

Подставляя в (9) явный вид свободной энергии (8), находим

1 2

- — h sin 2(р + сг sin 2{(р - у/) = 0,

(Ю)

(И)

h sin у/ - a sin 2{(р - у/) = 0.

Заметим, что уравнение (11) играет роль уравнения связи [2]: оно связывает ориентационные распределения п{г) и т(г), т.е. (p{z) и y/(z). Поясним его смысл. Минимизация функционала свободной энергии (4) по т(г) с дополнительным ус-

ловием т (г) = 1 приводит к уравнению для намагниченности. Определяя эффективное поле Не/ = Не/т, задающее ориентацию магнитных

частиц в ФН, формулой Н^ = -<ХР 1(р8т), получаем

Н= Н - Нап(пт),

(12)

где На = 2И7 /(М 5с1), р = М, V - объем частицы. Соотношение (12) показывает, что пространственное распределение т(г) зависит не только от внешнего магнитного поля Н , но и от внутреннего, параллельного директору п, поля анизотропии Иа. В равновесии векторы Н, п и т компланарны. При заданном Н уравнение (12) связывает ориентации т(г) и «(г), в скалярной форме оно имеет вид (11). Заметим также, что уравнение (12) совпадает с уравнением, описывающим равновесную ориентацию магнитного момента однодоменной частицы с одноосной магнитокристаллической анизотропией [4]. В этом случае ориентационная часть энергии магнитной частицы имеет вид

I/ = -М 5чтН - Кау(тп)2, где Ка - константа магнитокристаллической анизотропии, а вектор п задает направление оси легкого ориентирования. В отличие от одноосного ферромагнетика, в ферронематике осью легкого ориентирования (осью анизотропии) служит локальный директор п(г), который сам ориентируется внешним магнитным полем, а роль константы анизотропии играет величина IV / с! .

Система уравнений ориентационного равновесия (10), (11) имеет три решения, удовлетворяющие условиям минимума

\2

>0 (13)

д2Пд(р2> 0,

/ д2Р

дсрду/

и отвечающие однородным ферронемэтическим фазам. Перечислим эти фазы.

М.®

чин ТттптС щщшіиіі

іііі'штпі ____

фазаі фазаП фазаШ

Рис. 1. Ориентационная структура ферронематика

Фаза I, в которой ср = у/ = 0 , т.е. п = (1,0,0), т = (0,1,0). Эта фаза характеризуется гомеотроп-ным сцеплением магнитных частиц с директором, так как в ней частицы ориентированы по полю Н = (0, Н,0), директор ортогонален полю - см. рис.1. Гомеотропная ферронематическая фаза I устойчива при И < , где

/ь = а

-! + Л + -

(14)

Фаза И, в которой (р = <р0(И,сг), у/ = у/0(И,а) -т.н. угловая фаза. Здесь (р§ и у/§ - углы ориентации директора и намагниченности в однородной ферронематической фазе, значения которых зависят от напряженности поля и материальных параметров суспензии и определяются условиями минимума свободной энергии (9), (13) по ро и у/§\

БІП 2<р0 = ^$ту/0, п

(15)

. 2 Асу2И2 -(2а-И2)2 БИТ у/0 =----------г1--------—• (16)

4аИ (сг + 2)

Фаза II устойчива в диапазоне полей й Ь <, /іц, где

1 + л 1 +

(17)

Фаза III, в которой ср-п!2, у/=0, т.е. п = (0,1,0), т = (0,1,0). В этой фазе условия сцепления магнитных частиц с директором являются планарными, так как и директор, и магнитные частицы ориентированы по полю Н =(0, Я,0) - см. рис. 1. Эта планарная ферронематическая фаза II термодинамически устойчива при И > Ы .

Рис. 2. Фазовая диаграмма ферронематика на плоскости (И,сг)

Указанные выше ферронематические состояния на плоскости (И, а) изображены на рис. 2.

Заметим, что sin у/$ (формула (16)) обращается в нуль при h = Aj_ и h = /тц (см. рис.З) и имеет

1/2

максимум при h = (2а) , когда

sin2 y/Q =1-2 i(a + 2),

(18)

так что угол у/$ достигает значения к!2 лишь при а оо (абсолютно жесткое сцепление).

В случае сильного сцепления (<т »1) форму-

тг/2 -

%/ А -

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

А

ниями (15), (16) и являются функциями материальных параметров ФН и напряженности поля, при этом величины углов 0 < у/о,<ро <к!2 . В фазе II при увеличении напряженности поля функция <7?0 (И) монотонно возрастает от нуля при И -

до ж 12 при И = /2(|, в то время как угол у/о (И), начиная с И - , увеличивается, достигая макси-

Т у Л

мума (18) при И = (2сг) , а затем уменьшается до

нуля при А = й[| (см. рис. 3 и 4). Таким образом,

ферронематическое состояние II является результатом конкуренции дипольного (при котором т || Н ) и квадрупольного (п || Н ) упорядочения.

В этой ферронематической фазе происходит изменение условий сцепления магнитных частиц с матрицей от гомеотропных к планарным, т.е. директор поворачивается по направлению поля вследствие Ха > 0 и конечной энергии сцепления а . Заметим, что поле имеет смысл поля Фредерикса [5], так как при И = происходит своеобразный переход Фредерикса в неограниченном ферронематике. При А = /гц состояние II сменяется

состоянием III, в котором т || л || Н, т.е. в фазе III квадрупольный механизм проявляет себя в полной мере, наряду с дипольным. Поле йц имеет смысл

так называемого поля насыщения [5]. Заметим, что ширина переходной угловой фазы II йц -Л1 =2а

увеличивается с ростом поверхностной энергии сцепления а.

Рис. 3. Зависимость углов <р и у/ в ферронематической фазе II от напряженности поля h при сг = 1 / 4 (слабое сцепление)

лы (14) и (17) дают Aj_ «1, Ац«1+2сг,

cos <pq = 1 / h, т.е. возможными являются только ФН фазы типа I и II; ФН фаза III достижима лишь при h со. В пределе слабого сцепления

(а « 1): h±_ ~ (2с)1 ^ - а , /зц « (2ег)^2 + сг.

3. Ориентационная структура ферронематической фазы

Таким образом, в слабых полях (h < ) устой-

чиво ферронематическое состояние I (см. рис. 1 и 2), в котором т\\Н А. п, т.е. состояние с гомео-тропными условиями сцепления магнитных час-тиц с матрицей. Иными словами, любое сколь Рис 4 3ависимость углов ф и ¥ в ферронема-угодно слабое поле ориентирует ферронематик та-

КИМ образом, что вектор намагниченности т по- ^еасой фазе II от напряженности поля h при ворачивается в направлении поля. В этой фазе (сильное сцепление)

упорядочение- ФН осуществляется дипольным механизмом. При достижении полем h порогового значения hj_ это состояние сменяется фазой II, в которой векторы Н, т и п компланарны, а углы y/Q и <pq ориентации намагниченности и директора относительно поля Н определяются выраже-

В размерном виде пороговые поля (14) и (17) принимают соответственно вид

Ну =

W

Msd

-1 + J1 +

2/Mjd

WXa

(19)

Я, і =

W

Msd

1+J1+

2 fMlsd

WXa

(20)

В случае сильного сцепления эти формулы дают

Msf

И і =

Я|| = Я± +2W/(Msd). (21)

В пределе слабого сцепления имеем

(22)

Xad MSd

Xad Msd

Эти соотношения показывают, как зависят пороговые поля от концентрации / магнитной фазы и энергии сцепления IV .

Оценим пороговые поля. Полагая вслед за авторами работ [2, 6] для реальных ферронематиков

с1 *7-10_б см, М 3 « 500 Гс, /*10~5, *Й»Ю~7, ЙР«10“2-И0-3 дин/см, находим для параметра сг = \Уха /(М2 fd)« 10-5 тЮ-4, что отвечает достаточно слабому сцеплению. В этом случае разность значений пороговых полей

Я|,-Я1=2Ж/(М^), имеющая смысл поля анизотропии Яа (см. соотношение (12)), порядка нескольких эрстед, в то время как сами пороговые поля Я1 и Яц оказываются порядка сотни эрстед. Иными словами, описанные переходы между ферронематическими фазами I - III должны наблюдаться в реальных ферронематиках в достаточно слабых полях.

Заметим еще, что аналогичное поведение -смена условий сцепления магнитных частиц с матрицей - имеет место в ферронематической фазе раскрученных магнитным полем феррохолестериков [7-9]. В отличие от рассмотренного выше случая в этих системах в угловой ферронематической фазе II имеет место доменная структура. Возможность существования доменной структуры ферронематической фазы II содержится в формулах (15), (16), допускающих ориентацию магнитных частиц под углами +^о или к направлению магнитного поля Я. Эти два состояния (домен с ориентацией намагниченности под углом +1//0 и домен

-^о) разделены доменными стенками, в которых вектор намагниченности поворачивается от направления -цго до +у/0 (так называемая Ы-стенка [10], в которой поворот вектора намагниченности осуществляется на угол меньше п) либо от +^0

до (2/г-^о) (W-стенка; в ней намагниченность поворачивается на угол больше я).

В неограниченном ферронематике (так же, как и в неограниченном ферромагнетике) такая структура оказывается энергетически невыгодной по сравнению с однодоменным образцом. Иначе обстоит дело в ферронематической фазе II, полученной в результате раскручивания спирали феррохо-лестерического жидкого кристалла [7-9]. Упругая часть свободной энергии феррохолестерика содержит инвариант Лифшица п • rot п; по этой причине доменная структура раскрученной магнитным полем феррохолестерической фазы возникает в результате конкуренции в свободной энергии магнитной энергии, стремящейся создать однородную структуру, и упругой энергии кручения, описываемой инвариантом Лифшица, стремящейся произвести модуляцию структуры. Исследование доменной структуры такой фазы осуществлено в работах [7-9].

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РЕ-009-0 Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF), грантов 01-02-96476 Российского фонда фундаментальных исследований и Минобразования.

Список литературы

1. Brochard P., de Gennes P.G. II J. de Phys. 1970. Vol. 31, N7. P. 691.

2. Burylov S. V., Raikher Yu.L. II Phys. Rev. E. 1994. Vol.50,N l.P. 358.

3. Zakhlevnykh A.N., Sosnin P.A. // J. Magn. and Magn. Mater. 1995. Vol.146. P. 103.

4. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. 1032 с.

5. Blinov L.M., Chigrinov V.G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. Springer-Verlag, New York, 1994.

6. Chen S.-H., Amer N.M. II Phys. Rev. Lett. 1983. Vol.51.P. 2298.

7. Захлевных A.H., Шавкунов B.C. II Вестн. Перм. ун-та. 1998. Вып. 4. Физика. С. 89.

8. Zakhlevnykh A., Shavkunov V. // Mol. Cryst. and

Liquid Cryst. 1999. Vol.330. P. 593.

9. Zakhlevnykh A.N., Shavkunov V.S. II J. Magn. and

Magn. Mater. 2000. Vol.210. P. 279.

10. Дмитриенко B.E., Беляков В.А. И Журн. экспе-

римент. итеор. физ. 1980. Т.78, вып.4. С. 1568.