Влияние параметров случайных воздействий и полосы пропускания точного канала на качество итерационной двухканальной системы с эталонной настройкой Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.514.6

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ И ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ ТОЧНОГО КАНАЛА НА КАЧЕСТВО ИТЕРАЦИОННОЙ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ЭТАЛОННОЙ НАСТРОЙКОЙ

А.А.Худяев

В рамках задачи синтеза двухканальной системы управления с самонастройкой точного канала определены необходимые функционалы качества и проанализировано влияние полосы пропускания второго (компенсирующего) канала и характеристик случайных внешних воздействий на точность итерационной двухканальной воспроизводящей системы с заданными эталонными операторами каналов.

У рамках задач1 синтезу двоканальног системи керування 1з самонастроюванням точного каналу визначет необх^дт функщонали якост1 та проанал1зовано вплив смуги пропус-кання другого (компенсуючого) каналу i характеристик випадкових зовтштх дш на точтсть терацшног двоканальног в^дтворюючог системи iз заданими еталонними операторами каналiв.

Within the limits of synthesis of the two-channel control system with self-adjusting of the precision channel the necessary quality functionals are defined, and the influence of the second (compensating) channel bandwidth and random external action characteristics on the precision of the iterative two-channel reproduction control system with determine standard operators of channels are analysed.

В классе итерационных многоканальных САУ воспроизведение задающих воздействий осуществляется последовательными приближениями (итерациями), реализуемыми соответствующими каналами управления [1,2]. Это позволяет потенциально обеспечить максимально высокую заданную точность работы всей многоканальной системы при стандартных (эталонных) настройках отдельных каналов и в большинстве случаев получать качество воспроизведения, недостижимое в одноканальных системах управления [3,4].

В работах [5,6] рассмотрена эффективность итерационных алгоритмов построения многоканальных воспроизводящих систем, и выполнена оценка точности итерационной двухканальной измерительной системы при случайных входных воздействиях. В [7] сформулирован метод эталонных операторов (ЭО) применительно к задаче синтеза итерационных многоканальных систем, на основании которого введены формирующие параметры ri

(i =1,2), определяющие полосы пропускания Qi = r-1 и

Q2 = r-1 первого, грубого (или основного) W\ и W2

второго, точного (или компенсирующего) каналов управления итерационной двухканальной системы. В работе [8] введены показатели качества, характеризующие эффективность использования второго, точного канала для компенсации ошибок по полезному сигналу х(t) и

помехам /(t) и ф( t), приведенным ко входам соответственно первого и второго каналов управления с эталонной настройкой.

Вариант структурной схемы итерационной двухканальной воспроизводящей системы приведен на рис.1, где

R

совокупности (цепи) регулирующих и

исполнительных элементов и устройств, входящих соответственно в первый и второй разомкнутые каналы управления.

Рисунок 1- Вариант структурной схемы итерационной двухканальной воспроизводящей системы

Естественно, что с изменением характеристик внешних воздействий х(t) , /(t) , ф(0 (например, с изменением

соотношения интенсивностей помех ф и /) с точки зрения достижения наиболее высокой точности воспроизведения желательно изменять соответствующим образом

динамические свойства точного канала , для чего

нужно изменять (перенастраивать) его параметры. В рамках задачи синтеза двухканальной системы управления с самонастройкой точного канала определим необходимые функционалы качества и проанализируем влияние формирующего параметра г 2 второго,

компенсирующего канала, а также характеристик случайных входных сигналов на точность итерационной двухканальной воспроизводящей системы с заданными эталонными операторами линейных каналов.

1. ПЕРВЫЙ (ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ) ВАРИАНТ ИТЕРАЦИОННОЙ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Пусть эталонные операторы первого и второго каналов различны и соответствуют колебательному и апериодическому звеньям. Такое сочетание динамики каналов управления более характерно для итерационных двухканальных систем, выход которых не связан со значительной силовой нагрузкой, или для систем, предназначенных для высокоточного измерения задающих воздействий х (t) [6, 9]. Предположим для простоты, что колебательное и апериодическое звенья имеют одинаковые частоты собственных колебаний, соответствующие

эталонной О : От, = П = О = Т-1 . Тогда согласно эк а э э

методу ЭО [7] операторы каналов РГ*(р) , Р*(р) примут

вид

Щ(р) =

1

С12Г1Р2 + С11Г1Р + 1

, Щ (р) =

1

С21Г2Р

+1

заданные пос-

г = г.* = (О.*)-1, г =1,2

11

Т. П* Ю<*

1 • ¡,¿1 ш1 .

у. = = —1- = -1- , О. = Т-1

'X * О г.л х х

г1* Ох «XX

х Г. * О• Ю^ х х

Тг О.* ю.* Уг = — = — = — , О, = Т-1 1 Г1* О, оу 1 1

= ^Р = °1-Г * О

ю„

О = Т-1

РР

(6)

о1* = 2пО1* , Ю/ = 2пО/, V/ = 2, х, / р,

запишем спектральные плотности входных сигналов [8] и операторы (1) в следующем виде:

¿х (Ю) =

¿х (0)

о2[ф? (г1*)2 о2 + г

) уо) р 2уо)

¿/Ю) = о . 1 о . . ., ¿»(Ю) =-—

У2 (Г1*) 2Ю2 + 1 р ур (Г1*) 2Ю2 + 1

(7)

(8)

^1*(р) =

(Г1*) 2р2 + 2 ^ г 1*р + 1

, ^2*(р) =

1

ГГ1 * р + 1

.(9)

,(1)

где СЦ 2^эС21 , с12 Тэ , С21 Т: тоянные коэффициенты эталонных операторов каналов;

- коэффициент демпфирования первого канала с эталонной настройкой; р = й/ dt - оператор дифференцирования по времени. При = 72/2 ~ 0, 707 и Г1 = Г2 = 1 операторы каналов Ж* (р) и Р* (р) (1) совпадают с операторами фильтров Боттерворта [1].

Учитывая, что при заданном значении Тэ =соп81, выбором значений формирующих параметров

(2)

можно обеспечить любую возможную динамику каналов с эталонной настройкой. Не нарушая общности, примем

Оэ = Т-1 = 1 . Приняв, далее, за базовую величину

значение формирующего параметра первого канала

Г1 = Г1* из (2) и обозначив

Г2 О1* 1* О2 2 Г = -1 = -¡Т- = -1- , ^ = Г-1 = -2-=-2- , \ = £э;(3) Г1* О2 о2 О* Ю,* 1 э

(4)

где (0), у 0), ¿ф(0) = р2у 0) и Тх , Ту, Тф -

начальные (при = 0 ) значения спектральных плотностей и постоянные времени корреляции стационарных случайных процессов хх(t) , /(t) , р(t) ; хх(t) - стационарный случайный процесс, соответствующий первой производной изменения полезного сигнала, что характерно для следящих систем; р - коэффициент пропорциональности.

Из (3)-(6) следует, что безразмерный параметр Г характеризует отношение полос пропускания первого и второго каналов и определяется отношением их собственных частот; параметры ух и у,, уф - отношение полосы пропускания первого канала к ширине спектра производной полезного сигнала Ю х и спектров помех оу, Юр соответственно. Обычно для воспроизводящих систем выполняются условия: полезный сигнал х( t) узкополосен, т.е. Т^» Г1* и у-1 « 1 , а помехи /(^ , р(t) близки к процессам типа белого шума, т.е. Ту« Г1* ,

Тф « Г1* и у,« 1 , уф « 1 .

1. Определим показатель g х [8], характеризующий эффективность использования точного канала для компенсации ошибок по полезному сигналу х( t) . Выигрыш в точности gx равен отношению установившихся значений дисперсий ошибок основного

(первого) канала 52 и двухканальной системы £2 ,

обусловленных сигналом х(Г) . После интегрирования gx с учетом (7), (9) получим

р

_ 52 _ 1 (г2 + 2§1 г + 1 Ху-1 г 1 )( 1 )

1х _ т2 _ г2'

(г+а )т-1 + аь\г+^

,1' -л

(72 + 2117 + 1)(7 + у-1)(1 + а 11 ут1)

у-2

с

(а 117 +1 1 + а 11

1

412 а 11

7 + 11 У -

(10)

-2

где

1 + 41 2

а 11 _ ИГ

(11)

После преобразований представим gх в виде, удобном для дальнейшего анализа,

где

g0 х

gх _ g0 х (1 - Agх )-1,

г2 + 211 г + 1 _ 7 2 + 21 17 + 1

_ 7 •

г- 1

к _

г2 (г + а 11 )У-1 (а117 + 1 )Ух

Agх _ КТ-1

г (г + а 11)(1 + а 11 у-1) + ' а121 - ^

(12)

(13)

(г + а 11 )(Ух"1 г + 1)(1 + а^ у-1)

-1

С1 72 + а 1 7 + 1

а 172 + (1 + а^у-1) 7 + у- г

--4----1---12---а---1-2--1---------1-------

а117 а11 х

С11 _

412 (1 + а 11 у-1)

(14)

Ух1 при 11=0,5, а также график первого приближения

g0ху-1 (13). Поскольку нх >0 (см. рис. 3), то goх <gх и

при 7 >1 у-1 < gх .

Таким образом, компенсация случайных ошибок по задающему воздействию х(t) тем лучше (больше gх ), чем относительно шире полоса пропускания второго, точного канала (больше 7 _ Ю1* ) и сравнительно уже спектр

производной полезного сигнала (меньше у-1 _ ю/ю 1* ).

«1

Рисунок 2 - График зависимости величины g0хУ-1 от параметра 7 и коэффициента демпфирования основного канала 11

Обычно у-1 « 1 . При достаточно малых у-1 , когда поправка Agх « 1 , в качестве первого приближения, как видно из (12), (14), можно принять gх ~ goх . Согласно (13) g0хух-1 зависит только от 7 _ г-1 и коэффициента

11 ; с увеличением 11 (11 _ 0, 1 ^ 1) улучшается

компенсирующее действие второго, точного канала по полезному сигналу (рис. 2).

График зависимости величины Нх от параметра 7 при

заданном значении 11 =0,5 и различных значениях у-1 приведен на рис.3. Из формул (14) и рис.3 видно, что при 11 =0,5, у-1 _ (0, 01 - 1) и 7 > 0,4 имеем: 0,5 < Нх <

3,0, т.е. поправка Agх имеет порядок у-1 .

На рис.4 приведены зависимости gхУ-1 от 7, рассчитанные по формуле (10) для различных значений

0.5

•1 =0,5

' \\ У11 =0,01; 0,1

7^=0,5; 1,0

/

1 2 3 4 5

7 8

9 10 0>2

г = -

й>!

Рисунок 3 - График зависимости величины Нх от параметра 7 при заданном 11 =0,5 и различных

-1

значениях ух1

Рисунок 4 - График зависимости величины gxУ-1 от параметра г при 4 1 =0,5 и различных значениях у-1, и график первого приближения gоXY-1

2. Определим показатель g/ [8], характеризующий эффективность использования точного канала для компенсации ошибок по помехе /(t) . Выигрыш в точности g (/) равен отношению установившихся значений

дисперсий ошибок основного (первого) канала 5у2 и

двухканальной системы £у , обусловленных действием

помехи /(t) . Интегрируя g(/) с учетом (8), (9), для двухканальной системы найдем

= 5/ = Г2 + 2 4 1Г + 1 ( 1 + 2 4 1 У/) ( Г + У/) =

£2 Г2 '

£/

(1 + 2 41 у/) г + у, (у^ + 1)(1 + 2 4. у,)

= (Г2 + 2 41Г + 1) ------^-

Ь1 ч? + 2 41 у- +1

или

где

g0 ,

gf = g0 X1 - Ag/) 1,

Г2 + 2 41Г + 1 2

(16)

= г2 + 2 41 г + 1

(17)

Н, =

241

2 41 г

у (Г + уу)( 1 + 2 41 у,) + 1)(1 + 2 41 у,)'

(18)

Обычно Yf« 1 . При достаточно малых у,, когда поправка Agf« 1 , в качестве первого приближения, как видно из (16), (18), можно принять gf ~ gоf. Заметим, что Agf имеет второй порядок малости по отношению к 1. График зависимости первого приближения g0у от параметра г при различных значениях 41 приведен на рис.5. Из рисунка видно, что при г=сош1 с увеличением 41 gоу увеличивается.

График зависимости величины Ну от параметра г при 41 = 0,5 и различных у, приведен на рис.6. При 41 = 0,5, у, = (0, 1 1, 0) и 1< г <10 имеем: коэффициент поправки 0, 25 < Ну< 2, 9 и сама поправка Дgf имеет порядок у2 . На рис.7 приведены графики -г = g/(г) (15) при 41 = 0,5 для различных у,, а также график первого приближения gоf. Поскольку величина Ну >0, то выигрыш в точности gоf < gf. При г =1 gf > 3 .

Таким образом, компенсация случайных ошибок по помехе Дt) , так же, как и по полезному сигналу х(t) , тем лучше, чем шире полоса пропускания второго, точного канала (больше г ) и чем уже спектр помехи Д t) (больше

Уу = ю1*/ю- ).

3. Определим показатель —ф [8], характеризующий

относительное декомпенсирующее действие помехи ф( t) . Показатель gф равен отношению установившегося

значения дисперсии ошибки основного (первого) канала 5ф при подаче на его вход помехи ф( t) к соответствующему значению дисперсии ошибки

(15) двухканальной системы £р , обусловленной действием помехи ф( t) на второй, точный канал, т.е. gф определяет нормированную дополнительную ошибку, вносимую помехой ф(t) . После интегрирования gф с учетом (8), (9) получим

= 5ф = ( 1 + 2 4 1 Уф ) ( Г + Уф ) =

-ф — ... е - . -. е - . . - . 2

Дgf = н-у2

£ф 2 41 (1 +2 41 Уф + уф) 1 ( Уф г + 1 ) ( 1 + 2 4 1 Уф ) г '2 4 1 ( 1 + 2 4 1 Уф + уф )

или

где

gф _ goф( 1 - Agф) 1,

ф

211 2117'

% _ кфУф,

(20)

(21)

_

- V + 21 1 Уф + 1 _ ( 1 + 2 11 Уф) 7 - У

(г + Уф)( 1 + 211 Уф) (1 + 211 Уф)(Уф 7 + 1)

ф . (22)

Из (20), (22) видно, что при уф (уф « 1) и 7 < Уф1 , когда |Agф « 1 , в качестве первого приближения можно принять gф ~ g0ф . На рис. 8, 9, 10 показаны графики соответственно первого приближения goф , величины кф и показателя точности gф , позволяющие оценить влияние параметров системы (7,11) и сигнала ф(^ [ £ф(0) , Уф ]

на величину дополнительной дисперсии ошибки £ф ,

обусловленной воздействием случайной помехи на второй канал.

Рисунок 5 - График зависимости первого приближения g0f от параметра 7 и коэффициента демпфирования

основного канала 11

2 = ^ *

®1

Рисунок 6 - График зависимости величины к^ от параметра 7 при заданном 11 = 0,5 и различных значениях у^

Помеха ф(t) на второй, точный канал оказывает декомпенсирующее действие и для ослабления ее вредного влияния необходимо сужать полосу пропускания второго канала (уменьшать 7, 7 <1), а также принимать возможные меры для уменьшения уровня помехи ф( t) , либо перейти к трехканальной итерационной системе.

Рисунок 7 - График зависимости выигрыша в точности gf■ от параметра 7 при 11 = 0,5 и различных значениях

у г, и график первого приближения go г

Из (24) видно, что при ^<0,6 и у^ > 1 , 0 < 1

имеем Нц < 0 и ц > ^ . Вместе с тем, при достаточно малых у-1 (у-1 « 1) и 2ух-0' 5 <41 < 1 , когда модуль поправки Дц « 1 , в качестве первого приближения можно принять Ц ~ Ц0 .

Для параметра X получим следующее выражение:

х

( 1 + а 4 1 У-1 ) ( 1 + 2 4 1 Уу + Уу2 )

( 1 + 2 4 ! У-1 + У- 2 ) ( 1 + 2 4 1 у-) '

где

Ц 0

843(г 1 *)2 ¿хх(0)

Нц = -

Ух ' /0), а 4 1 - 2 4 1 + 2 41 (а 41 - 2 4 1 ) Уу + ( а 4 1 + Ух) Уу2 ( 1 + 2 4 1 У-1 + У- 2 ) ( 1 + 2 4 1 Уу) ( 1 + 2 4 1 у У2

= 5ф = 2 ( 1 + 2 4 1 Уф ) ( 1 + 2 4 1 у- + / .

X = = р

5у2

(1 + 2 41 Уу)( 1 + 2 41 Уф + уф)

(25)

X = Х0(1 - ДХ), ДХ = Нх(Уф - Уу)

где с учетом (8)

Рисунок 8 - График зависимости первого приближения -0ф от параметра г и коэффициента демпфирования

основного канала 41

4. Определим параметры ц и X [8], характеризующие относительную точность воспроизведения первым, грубым каналом полезного сигнала х (t) и помехи ф( t) соответственно. Для величины ц найдем

= 51 = 843(г 1 *)2 ¿х(0)

ц " 5, " Ъ ' / °)Х

-1 2

Х0 = ¿ф(0) = О^ = р 2

0 / 0) о/ Тг р

Н X =

Уф + У/ + 2 4 1 Уф

( 1 + 2 4 , у-) ( 1 + ^ Уф + у2 .

(26)

При 41 < 1 и ширине спектра помех, большей полосы пропускания (собственной частоты) основного канала, т.е. у-, уф< 1, согласно (26) Н x< 1 и < Уф - У/, что может служить оценкой возможности пользования первым приближением X0 : X ~ Xо .

(23)

После преобразования ц (23) к виду, удобному для дальнейшего анализа, получим

ц = Цо(1 - ДЦ), ДЦ = НцУ-1,

(1 + 2 41 у-1 + у- 2)(1 + 2 41 У/)'

Рисунок 9 - График зависимости величины Нф от параметра г при заданном 41 = 0,5 и различных значениях уф

Рисунок 10 - График зависимости показателя точности gф от параметра 7 при 11 = 0,5 и

различных значениях Уф

2. ВТОРОЙ (УПРАВЛЯЮЩИЙ) ВАРИАНТ ИТЕРАЦИОННОЙ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Предположим теперь, что структуры эталонных операторов первого и второго каналов одинаковы и соответствуют колебательным звеньям с одинаковыми

частотами собственных колебаний О^ _ Оэ _ Т-1 _ 1

(г) _ 1, 2 . Такое сочетание динамики каналов характерно для различных итерационных двухканальных управляющих систем, выход которых связан с силовой нагрузкой (см. рис.1)[2,10]. Тогда операторы каналов

Жл*(р) , ^2*(р) (9) с учетом (3) примут вид

^*(р) _ ^*(р) _

1

(г1*) 2р2 + 211 г 1*р + Г 1

г2 (г .*) 2р 2 + 212 гг.* р + 1 '

, _ _ 12 [ 4 1 2 (21 1 + у-1 ) + у;-1 ] х gх (¿2)' V (1 + 211 у-1 + ух2)У71 Х

х Ь хбг6 + Ух5г5 + Ьх4г4 + Ьх3г3 + Ь\2 г2 + Ух х г + ^ _

а\4 г4 + а х 3 г3 + 2 г2 + а\ 1 г + а\0 _ 1 [ 41 2 ( 21 1 + у-1 ) + у-1 ] 7 2 х 12 (1 + 211 у-1 + у-2)ут1 Х

х У х076 + Ух 17 5 + Ух274 + Ух373 + Ух472 + Ух57 + Ь'х6;

х ; (28)

а\076 + а х 17 5 + а\ 274 + а\3 7 3 + а\4 7 2

_б/__ 1 2 ( 1 + 21 1У/) ВД г) _ 1 2 ( 1 + 21 1У/) х ^ ( ¿/ ) ' г2(1 + 211У/ + У/2)' г) г2(1 + 211У/ + у2)Х х Ь/ьг6+у /5г5 + Ь/4г4 + / г3 + /г2 + Ь/-1 г + / _

а'/4 г4 + а/3 г3 + а^ г2 + а/1 г + а/0 _ 1272 ( 1 + 21 1 У/) В/7) _ 1272 ( 1 + 21 1 У/) х 1 + 21 1 У/ + У/2 ' 7 ) 1 + 21 1 У/ + У/2 Х

6 + Ь'л 75 + Ь'^ 74 + Ь'^73 + Ь'^ 72 + Ь'л 7

1/2

Ь /-4

? /57 + Ь /6.

а^76 + а'^ 75 + а'/-, 74 + а'^73 + а\л 72

;(29)

/ 7

а /1

а/27

а/37

а /4

5 ф _ 12 ( г2 + 2 1 2 Уф г + уф ) ( 1 + 2 1 1 Уф )

(¿ф)'

¿ф- _

<ф, 11 (г + 212Уф)(1 + 211 Уф + уф)

_ 1 2 ( Уф 72 + 2 1 2 Уф7 + 1) ( 1 + 21 1 Уф -117(212Уф7 + 1 )(1 + 211 Уф + Уф )

или по аналогии с (12), (16), (21)

(30)

gх _ g0х'(1 - ^х')-1

' _ 1 2 [ 8 1 3 + ( 41 2 + 1 ) У-1 ] _

?0х _

_ 12 7 2

г2 ( 1 + 211 у-1 + у- 2 )У71

2 8 13 + ( 41 2 + 1) у-1

(1 +211 у-1+у-2 )УГ1'

(31)

(27)

gf _ gof(1 - )-1, gof_ Т2 • Ш _ 1272Ш ;(32)

где 11 _ 1э1 , 12 _ 1э2 - коэффициенты демпфирования соответственно первого и второго каналов с эталонной настройкой. При 11 _ 12 _ а/2/2 ~ 0, 707, г1* _ Тэ и

г _ 1 операторы ^*(р) и ^*(р) (27) совпадают с оператором фильтра Боттерворта 2-го порядка [1].

Выполнив интегрирование показателей gX , g/■, gф, с учетом (7), (8), (27), получим

gф, _ g0 ф'(1 - Agф,) 1, g0 ф' _ Т2" _ г2

12_г _ _1_2_ 1 1 1 1 7 ,

(33)

где

ах0 _ 412[ 1 + 21, (211 + У71)],

ах, _ 11 [ 1 + 412(1 +161? 12)] +

+ 2 (12 + 212 а 12 1 +11 (1 + 412 )уг 2,

а' х 2 _ 12 [ 1 + 412 (1 + 161212) + + 411 (1 + а, + 81212 )тх1 + 2 а^уг2 ],

х

а'х3 = 2 [ 2 43 (1 + 442) + (242«42 + 422 )Т-1 +

+ 41а42Ух-2 ],

а'х 4 = 42 [843 + (1 + 442 )у-1 ]у-1;

(34)

Ъхо' = ^^ Ъх1 = 242ьъ(241 + у-1),

Ъх2 = Ъ4 + 441(1 + Ъ4 - 242)У-1 + (2а42 - 1)у^2 + + 2 41 (1 + 4422 )у-3 + у-4, Ъх3' = 442[41 + (1 + Ъ4 - 2 42 )у-1 + 441 (42 + 42 )у- 2 + + (1 + Ъ4 - 242 )у-3 + 41У-4 ], Ъх4 = 1 + 241( 1 + 4422)У-1 + (2а42 - 1 )у-2 + + 441 (1 + Ъ4 - 242)У-3 + Ъ4У-4,

Ъх5 = 2 42 Ъ'Ух(1 + 2 41 у-1 )У-1, Ъх6 = Ъ'уД-2,

ЪЧ = 1 +2 41 у-1 + у-2;

ау0 =

= 442x2 , а/1' = 844(1 + 24//,

Ъ/0' = Ъ7/У/ , Ъ/1' = 242ЪУ/( 1 + 2 /,

Ъ/2' = 1 + 241 (1 + 4422)У/ + (2а42 - 1 )у/ + + 4 41 (Ъ4 - 2 42 + 1)/ + Ъу}, Ъ/3' = 442[41 + (Ъ4 - 2 422 + 1 )У/ + 441(42 + 422 )у/ + + (Ъ4 - 242 + 1)/ + 41У/4 ], Ъ/4 ' = Ъ4 + 4 41 (Ъ4 - 2 42 + 1 )У/ + (2а42 - 1 )у/ +

+ 2 41 (1 + 4422 )у3 + у4,

/ ' = 2 42 \(2 41 + /, /' = Ч ;

Д-/ = -

у2

1 1 + 2 41 У/'

=

Д-ф' = НфУф ,

- г2 + 2(41 - 42Г)у_ + 1

ф (г2 + 2 42 Уф г + У2)(1 + 2 41 Уф) г2 + 2 ( 4 1 г - 4 2 ) Уф г - 1 (Уф г2 + 2 4 2 Уф г + 1 )( 1 + 2 4 1 Уф)'

(41)

(35)

а/2' = 42[442 + 241 (1 + 8422)У/ + (1 + 1642422)У2], а/3 = 41 (1 + 4 42) + а^У/ + 41 (1 + 442 )у/ ,

а/4 = 42 (1 + 2 41 У/); (36)

(37)

а42 = 2(42 + 422 + 442422), Ъ4 = 2(242 + 242 - 1),

Ъу = 1 + 2 41У/ + у2. (38)

Поправки Д— ', Д-1 , Д— ', входящие в (31)-(33), х 1 ф

определяются выражениями

—х = (Ъ'х6Г6+Ъх5Г5 + (Ъх4 - а'х4)Г4 +

+ (Ъ' х3 - а 'х3)Г3 + (Ъ'х2 - а' х2 ) Г2 + + (Ъ'х1 - а'х1 )Г + Ъх0 - а'х0)/(Ъ'х6Г6 + Ъ'х5 х X Г5 + Ъ'х4г4 + Ъ'х3г3 + Ъ'х2 г2 + Ъ'х1 Г + Ъ'хо) =

= ((Ъ'х0 - а 'х0)г6 + (Ъ' х1 - а 'х1)г5 + + (Ъ'х2 - а'х2)г4 + (Ъ'х3 - а'х3)г3 +

+ (Ъ'х4 - а'х4)г2 + Ъ' х52 + Ъх6)/(Ъ'хог6 + Ъ'х1 X X г5 + Ъх2г4 + Ъ'х3г3 + Ъ'х4г2 + Ъ'х52 + Ъ' х&) ; (39)

(40)

Для модулей поправок Д—', Д—/ и Д—ф , как видно из

уф

(39)-(41) с учетом (34), (35), как правило, выполняется следующее |Д—х'| « 1 , |Д—/1 « 1 и |А—ф'| « 1 (при

2 < Уф1 ), ив качестве первого приближения можно

принять: —х'« —ох , —/ " —о/ , —ф'" —оф' , что позволяет воспользоваться для достоверного анализа эффективности двухканальной системы наряду с точными формулами (28)-(30) и их существенно более простыми приближениями (31)-(33).

Анализ качества итерационной двухканальной системы показал, что для второго варианта задания операторов автономных каналов вида (27) характер изменения

кривых показателей эффективности —х'у--1 , —/, —ф

аналогичен характеру кривых для первого варианта (9) (см. рис.4,7,10). Вместе с тем, количественные оценки эффективности двухканальных управляющих систем (второй вариант) несколько ниже, чем для измерительных систем (первый вариант).

Из анализа показателей эффективности — , — , —у,

—у , —ф , —ф при 0<41 <1 следует, что компенсирующее действие точного канала на ошибки по полезному сигналу х(t) и помехе /(t) тем выше, чем больше г (меньше значение параметра Г2). Для значений г >1 величина

—х > Ух и при у-1 = 0, 01 —х >100, т. е. дисперсия

ошибки по задающему воздействию благодаря наличию дополнительного компенсирующего канала уменьшается на два порядка и более и может быть пренебрежимо малой. Это говорит о возможности исключения -1

составляющей — из суммарного критерия качества итерационных двухканальных систем (выигрыша в точности О), введенного в работе [8] с целью его упрощения. Вместе с тем, показатели , —ф с ростом

г (г >1) уменьшаются, поскольку величины — ф, —ф

пропорциональны г-1 , что подтверждает вывод работы [1] о некомпенсируемости аддитивной помехи, приложенной к последнему каналу управления итерационных многоканальных систем.

Параметры ц и X, зависят во многом от изменения характеристик случайных внешних воздействий. Предварительно можно сделать вывод, что эффективность введения второго, точного канала будет тем выше, чем выше

ц0 « ¿х(0)/¿/(0) и меньше X0 = р2 = ¿ф(0)/¿/(0) .

ВЫВОДЫ

1. Для различных вариантов задания эталонных операторов автономных каналов итерационной двухканальной системы получены расчетные соотношения

для функционалов качества gх , gX , gf, g/■, , gф и параметров Ц и X, характеризующих точность системы при случайных воздействиях. Полученные соотношения позволяют оценить и проанализировать влияние формирующего параметра второго, точного канала

г2 _ г1*7-1 (или г2 _ г1*г) и характеристик внешних воздействий х(t) , /(t), ф( t) (интенсивностей спектральных плотностей Бх(0) , / 0) , Бф 0) и

постоянных времени корреляции Тх, Тг, Т. входных

х / ф

процессов) на точность и процессы самонастройки итерационной двухканальной системы в целом.

2. В результате анализа показано, что расширение

полосы пропускания точного канала О2 _ г-1 приводит к уменьшению ошибок двухканальной системы по полезному сигналу х( 0 и мешающему воздействию /({) и возрастанию ошибок по помехе ф(t) . Если статистические характеристики внешних воздействий меняются в достаточно широком диапазоне (0 < 0) < /0) или

1 <[ Т/Бх ( 0 )]/[ Т),Б( 0 )]< 100), то может оказаться

целесообразным осуществлять самонастройку параметров

(например, полосы пропускания Q2 ) компенсирующего

(точного) канала для достижения максимально высокого

качества работы системы.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Осмоловский П.Ф. Итерационные многоканальные системы автоматического управления. - М.: Сов. радио, 1969. - 256 с.

2. Следящие приводы. В 2-х кн. / Под ред. Б.К. Чемоданова. Кн. Первая. - М.: Энергия, 1976. - 480 с.

3. Никольский A.A. Точные двухканальные следящие электроприводы с пьезокомпенсаторами. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 160 с.

4. Худяев A.A. Алгоритм расчета дисперсий ошибок многоканальных итерационных систем методом рекуррентных уравнений // Автоматика. - 1986. - №6. - С. 43-52.

5. Худяев A.A., Московец В.И. Эффективность итерационных алгоритмов построения следящих систем с неидентичными входными координатами // Aвтоматизация технологических процессов и производств. - Харьков: XA^ 1988. - С. 130-143.

6. Осмоловский П.Ф., Худяев A.A. Влияние запаздывания входных координат на инамическую точность двухканальной итерационной измерительной системы // Aвтоматика. - 1990. - №2. - С. 35-42.

7. Худяев A.A., Гвоздева Е.В. Aвтоматизированное проектирование итерационных многоканальных систем с эталонной настройкой каналов // Вестник ХГПУ. Сборник научных трудов. Тематический выпуск 113. - Харьков: ХГПУ, 2000. - С. 49-56.

8. Худяев A.A. Критерии эффективности итерационных двухканальных воспроизводящих систем при случайных воздействиях // Электромашиностроение и электрооборудование. - 2002. - №58. - С. 92-96.

9. Оптические дисковые системы: Пер. с англ. /Г. Боухьюз, Дж. Браат, A. Хейсер и др. - М.: Радио и связь, 1991. - 280 с.

10. Двухякорный линейный синхронный привод обрабатывающего центра /Б.И. Кузнецов, A.A. Худяев, И.М. Некрасов, В.И. Русаев // Электротехника. - 1993. - № 4. - С. 11-18.