Суммарные функционалы качества итерационных двухканальных систем управления с эталонной настройкой и при случайных воздействиях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Рисунок 9

Рисунок 10

Оценка же частоты неудовлетворительна. Это свидетельствует о необходимости включения в фильтр второго каскада, как это сделано на рис. 4. Как показывают результаты моделирования, двухкаскадный фильтр полностью устраняет пульсации в оценке скорости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с целью статьи синтезированы аналого-дискретные адаптивные однокаскадный (рис. 2) и многокаскадный (рис. 4) наблюдатели, одновременно оценивающие проекции на неподвижный базис вектора (тока или напряжения) и скорость плоского вращения этого вектора на фоне больших и "неудобных" помех, обусловленных ШИМ. Наблюдатели совершенно не искажают фазы полезных составляющих выходных сигналов ПЧ, что наиболее важно, и слегка искажают их амплитуды только в быстротечных переходных процессах. Один каскад фильтра требует лишь 6 операций сложения' вычитания и 7 операций умножения' деления. Каждый последующий каскад нуждается лишь в двух операциях сложения /вычитания и четырех операциях умножения' деления. Таким образом, синтезированные фильтры устраняют все три проблемы потенциально возможных аналогов, приведенные во введении. В дальнейшем предполагается исследовать контуры регулирования тока и напряжения с синтезированными фильтрами при векторном управлении двигателями переменного тока.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Rosolovski E., Staszevski J. Recursive Method for Power System Frequency Measurement // Техшчна електродинамта. Тематичний випуск. - 2002. - Часть. 6. - С. 114-117.

2. Потапенко Е.Е. Определение скорости плоского вращения вектора, заданного его проекциями // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2002. - №1. - С. 143-146.

3. Потапенко Е.М., Потапенко Е.Е. Фильтрация многофазных нестационарных неопределенных гармонических сигналов // Электротехника // 2003. - №3. - C.55-57.

УДК 681. 514. 6

СУММАРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ КАЧЕСТВА ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ЭТАЛОННОЙ НАСТРОЙКОЙ И ПРИ СЛУЧАЙНЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ

А.А.Худяев

Розглядаеться побудова сумарних функщонал1в якос-mi для ощнки eфeктивностi та аналiзу процeссiв само-настроювання Шерацтнних двоканальних вiдтворюючих систем 1з заданими еталонними операторами каналiв керу-вання i при випадкових вхiдних впливах.

Рассматривается получение суммарных функционалов качества для оценки эффективности и анализа процессов самонастройки итерационных двухканальных воспроизводя-

щих cucmeM c 3adannuMu amanonnuMu onepamopaMu nanaMoe ynpaeMenua u npu CMynaunux exodnux eo3deucmeuax.

The determination of the quality functional equations for efficiency estimation and analysis of self-adjusting processes of the iterative type two-channel reproduction control systems with basic standard operators of channels and by random input actions is considered.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время ко многим системам автоматического управления, в том числе к воспроизводящим системам, предъявляются все более высокие требования в отношении полосы пропускаемых частот, порядка астатиз-ма, установившейся динамической точности, максимального ускорения и других динамических показателей.

Воспроизводящие системы, обладающие высокой динамической точностью, необходимы дня управления современными быстропротекающими производственными процессами, а также для создания разного рода информационно-измерительных и контролирующих устройств. Известно, что возможности системы в отношении динамической точности, в конечном счете, определяются предельными значениями координат и производных координат, характеризующих поведение входящих в систему элементов. В первую очередь, важны ограничения, наложенные на скорости и ускорения, а иногда, и на рывки привода системы. В одноканальных САУ эти ограничения часто не позволяют увеличивать динамическую точность системы и полосу пропускаемых ею частот до требуемых значений.

Для повышения точности воспроизведения полезного сигнала могут быть использованы многоканальные системы, работающие по замкнутому и разомкнутому циклам [1]. Последующее развитие таких систем привело к созданию многоканальных систем, построенных по принципу "грубого" и "точного" управления и получивших название итерационных многоканальных систем [2]. В классе итерационных многоканальных систем воспроизведение задающих воздействий осуществляется последовательными приближениями (итерациями), реализуемыми соответствующими каналами управления [2,3]. Это позволяет при стационарных воздействиях потенциально обеспечить максимально высокую заданную точность работы всей многоканальной системы со стандартной (эталонной) настройкой отдельных каналов и в большинстве случаев получать качество воспроизведения, недостижимое в одноканальных системах управления [4-6 ].

Преимущественное применение в промышленных автоматизированных электромеханических системах [7] получили системы управления унифицированными электроприводами с эталонной (или типовой) настройкой контуров управления и с возможностью перенастройки основных параметров регуляторов. Для синтеза таких систем используют метод эталонных операторов, развитый применительно к итерационным многоканальным САУ в работах [8, 10].

Особые требования предъявляются к качеству высокодинамичных итерационных воспроизводящих систем, работающих при случайных внешних воздействиях. При этом с точки зрения технической реализации наиболее просты двухканальные структуры итерационных САУ [5-7]. Однако, с изменением характеристик внешних воздействий (например, с изменением соотношения интен-сивностей помех: ф( /) - в точном и /( /) - в грубом каналах) с точки зрения достижения наиболее высокой точности воспроизведения системы желательно изменять соответствующим образом динамические свойства второго,

точного (или компенсирующего) канала , для чего нужно изменять (перенастраивать) его параметры.

Для формализации процессов самонастройки в работе [9] введен показатель качества итерационной двух-канальной системы, характеризующий эффективность использования второго, точного, канала в виде выигрыша в точности G . В работе [10] в рамках задачи синтеза двухканальной системы управления с самонастройкой точного канала определены необходимые функционалы качества и проанализировано влияние полосы пропускания второго (компенсирующего) канала и характеристик отдельных случайных внешних воздействий на точность итерационной двухканальной воспроизводящей системы с эталонной настройкой.

Используя результаты, полученные в [9,10], определим суммарные функционалы качества, позволяющие анализировать влияние формирующего параметра Г2 точного канала и характеристик случайных входных сигналов х(/) , /(/) , ф(/) на эффективность и процессы самонастройки итерационных двухканальных систем с заданными эталонными операторами каналов.

1 ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТОЧНОГО КАНАЛА

Пусть внешние воздействия х(/) и /(/) , ф(/) -полезный сигнал и две помехи, итерационной двух-канальной воспроизводящей системы управления представляют некоррелированные между собой центрированные стационарные случайные процессы, заданные типовыми спектральными плотностями Бх(ю) и */(ю) ,

5ф(ю) вида [2,8]

^(ю) = -ЗЮ0!_ ;

х ю2 (72 ю2 + 1)

/ ю)

ю2 + 1

ф Г2 ю2 + 1

(1)

(2)

где 5.(0), /0), 5ф(0) = р2/0) и Г± , Гг, Гф -

начальные (при ю = 0) значения спектральных плотностей и постоянные времени корреляции случайных процессов х(/) , /(/) , ф(/) ; х(/) - стационарный случайный процесс, соответствующий первой производной изменения полезного сигнала; р2 - заданный коэффициент соотношения интенсивностей помех в точном 0) и в грубом Б/( 0) каналах; ю = 2 яО -

угловая частота (скорость), рад/с.

Для оценки эффективности второго, точного, канала

в работе [9] введен выигрыш в точности G, равный

отношению установившихся значений дисперсий ошибок

первого, грубого (или основного) канала 52 и двух-канальной системы в целом е

О = 52 = (1 + |)-^--7 = —У) , (3)

е 2 V*-1 + Я/"1 +

тельному и апериодическому звеньям. Тогда реальные

где

О° = (1 + т°), _ 1 + _ 1

т° * о1 + *о/ + * о

1

= 52 = ^ 1 )

?х е- * °х- Ая] '

х

5ф

операторы каналов Ж *(р) , Ж* (р) , где р =

а

¿г

оператор дифференцирования по времени, и спектральные плотности внешних воздействий (1), (2) могут быть представлены в виде [1°]

(4)

Ж ** (р) =

1 , Ж* (р) = 2

52 52

т = = = т ° (1 - Ат), 1 = Ф = 1 ° (1 - А1); (5) §/2 5/

Г1р2 + 2 Х1 г1р + Г 2~' Г1Р + г ^ (°)

(8)

(6)

/ ю)

(ю) =

ю2 (у| г2 ю2 + 1)

ф °)

, ^ф(ю) = „ ф ^ 7 , (9)

у2 г2 ю2 + 1 ф уф Г 2 ю2 + 1 '

где

* = 5/ = * * = 5Ф = * ^ 1 ) (7)

8/ ~2 8°ЛТ-Щ , *ф л ф^Т^а*! .(7)

V Ф

Здесь обозначены: 52 52 , 5ф - дисперсии ошибок х I Ф

основного, грубого, канала Ж* при воздействии на него соответственно полезного сигнала х(г) или помехи /(г) , приведенной ко входу этого канала, или помехи ф(г) , приведенной ко входу дополнительного, точного, канала

Ж* ; ех2 , е2 и еф - составляющие дисперсии ошибки итерационной системы, обусловленные сигналами х(г) , /(г) и ф( г) соответственно.

Показатели и */■ характеризуют эффективность использования точного капала для компенсации ошибок по полезному сигналу х (г) и помехе /(г) ; соответственно *ф определяет нормированную дополнительную ошибку,

вносимую помехой ф(г) . Величины | , 1 характеризуют

относительную точность первого, грубого, канала. В (3)-(7) входят О^ ^ ^ /, *°ф - первые приближения к величинам О, ||, 1, , */, соответственно; А О, А|, А1, А*х, А */, А *ф - поправки, учет которых

позволяет при необходимости определять точные значения. Из (3), (5)-(7) видно, что значениями поправок можно пренебречь, если их модули достаточно малы по сравнению с единицей.

Нормированное уравнение (3), выраженное в безразмерных величинах, удобно для анализа влияния характеристик полезного сигнала и помех на показатель эффективности О и для оптимизации параметров второго, точного, канала при стационарном первом.

2 ПЕРВЫЙ (ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ) ВАРИАНТ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим случай, когда эталонные операторы первого и второго каналов различны и соответствуют колеба-

у

Г 1 = Г 2 = °2 О 1 = ю|2 , ю 1 = и/" Хэ;

1 1 Т = 01 % ю 1 ю х , °х = т± 1

Т/ = Г1 01 ю 1 = юг, 0/ = Т-1;

Т _ф = Г1 01 0" ф ю 1 = юФ, 0Ф = ^Тф1

(1°)

(11)

(12)

(13)

Здесь: Г1 , Г2 - формирующие параметры (масштабные множители) соответственно первого и второго каналов, имеющие размерность времени; в этом случае собственная -1

частота 0j = г1 , ( I = 1,2) определяет полосу пропускания соответствующего I -го канала с эталонной -1

настройкой, с ; "э - коэффициент демпфирования первого канала с эталонной настройкой. Из (1°)-( 13) следует, что безразмерный параметр г характеризует отношение полос пропускания точного и грубого каналов и определяется отношением их собственных частот; параметры ух и у/, Уф - отношение полосы пропускания основного (грубого) канала к ширине спектра производной полезного сигнала О- и спектров помех Ог, 0Ф

х ] ф

соответственно. Обычно для воспроизводящих систем выполняются следующие условия: полезный сигнал

узкополосен, т.е. Т^» Г1 и у-1 « 1 , а помехи /(х) , ф(г)

близки к процессам типа белого шума, т.е. Т^« г 1 ,

ТФ « Г1 и у/« 1 , уф « 1 .

Расчет и анализ показателей эффективности (составляющих выигрыша в точности О ) * х (6) и */■, *ф (7),

выполненный в [1°] при ° <" 1 < 1, показал, что компенсирующее действие точного канала на ошибки по

полезному сигналу х(/) и помехе Д/) тем выше, чем больше г (меньше значение параметра г 2), и при г > 1

величины gx, пропорциональны г2 . Вместе с тем,

показатель g^ с ростом г (г > 1) уменьшается,

поскольку величина gj пропорциональна г-1 .

Компенсация помехи Д/) эффективна при г > 1 , когда gf > 3 . Но для значений г > 1 показатель gx >Ух и при

У-1 = 0,01 (что имеет место в случае узкополосных полезных сигналов, характерных для большинства промышленных воспроизводящих САУ) gf> 100 , т.е. дисперсия ошибки по задающему воздействию благодаря наличию дополнительного компенсирующего канала уменьшается на два порядка и более, и может быть пренебрежимо малой. Кроме того, динамические характеристики основной (грубой) воспроизводящей системы обычно таковы, что дисперсии ошибок по полезному

Погрешность А О = (О1 - О) / О вычисления О по формуле (14) обратно пропорциональна интенсивности помехи ф(/) в точном канале. Влияние ф( /) можно оценить по величине ^ . Как правило, « 1 , однако для полноты оценки А О рассмотрим 4 случая: = 0 ; 0,01; 0,1; 1. Учитывая (15) и выбирая в (16) самый неблагоприятный случай g ^ = 1,33, для погрешности А О получим

А О=

т g-

g-1 +1 gФ1

Ъ,47 (или АО < 4, 7%) при 1»10 = 1

3

•) (т. е.

3

т. е. интенсивности помех

точном и грубом каналах одинаковы),

О,

^0,124 (или АО < 12,4) при 1»10 = 0,1

3

сигналу б2 и помехе б2 , имеют один порядок малости ,149 (или АО < 14,9%) при 1»10 = 0,01

^ (т.е. Бф( 0) = 0,1 0), р» 0,32),

(при сохранении неравенства б^ < б2 ), тогда согласно (5) 1 <|< 10 . Так, например, при Ух = 100 | = 5 . Тогда

А Л

составляющей (3) можно пренебречь («

« у^+^ф1 ); при этом

^ (т.е. Бф(0) = 0,010), р» 0,1),

3

р,152 (или АО< 15, 2%) при 1»10 = 0

3

^ (т.е. помеха ф(/) в точном канале

3

практически отсутствует).

(17)

О » О1 = (1 + I) -1+\ -1 g/1 + 1 g ф1

(14)

Для оценки погрешности такого представления выигрыша в точности О воспользуемся расчетными данными, полученными в [10]. Для X1 = 0,5 и Г1 = Г*1 = 0,1 с

при г > 1 , у-1 « 1 , 0 < Уу < 1 имеем

хУ-1 >1, gf»^ т»т0 =

8X 3г2 Бх(0)

Ух ¥0) ■

Так, при г = 1 , ут1 = 0,01 (Тх = 10с)

gx>Ух= 100, gf» 3, | = 5. (15)

Для показателя gф при г > 1, 0 <Уф< 1,

0 < gф< 1,33.

(16)

Соотношения (17) дают оценку погрешности сверху вычисления значений выигрыша в точности О по приближенной формуле (14) для г > 1 и при различных 1. С увеличением у-1 (у-1 < 1) погрешность А О возрастает и

при У-1 = 0,1 (Тх= 1 с) для г > 1 достигает А О < 0,395 (или А О < 39,5% ) уже при 1 = 1 .

Для того чтобы при У-1 = 0,1 (Тх = 1 с) и 0 < 1 < 1

погрешность А О не превышала значений, определенных формулой (17), безразмерный параметр г должен удовлетворять неравенству г >5,5 , а при У-1 = 0,5 (Т0,2с ) и 0 < 1 < 1 для г должно уже выполняться условие г > 18 .

Рассмотрим случай (при достаточно малых значениях У-1 и г > 1 ), когда составляющую ошибки итерационной системы от полезного сигнала можно не учитывать. Тогда выигрыш в точности О (3) с точностью до составляющей | gт1 будет определяться выражением

Кроме того, при X1 < 1 и ширине спектров помех, большей полосы пропускания основного канала (Уу, Уф< 1) выполняется: |А1| < 1 , и в первом приближении

О = О. Х-1-)

бф ( 0 ) ¥0 )

1»10 = ф) = р 2

Г1 = О01 ^Т^дО) ,

где с учетом (4), (5), (7)

О 01 = (1 +10) -7-7—7

g0/ + 10 goф

(18)

(19)

О = _-_х

1 1 + |0 (1 - А|)

■О О '

-Га&/ + Г10(А1 + % - А1Аф - т0Ат

(20)

Как отмечалось, для итерационных двухканальных воспроизводящих систем характерно У-1 « 1 , Уу« 1 , Уф « 1

и, как правило, г > 1 (что обеспечивается законо-мерным расширением полосы пропускания компенси-рующего канала по сравнению с основным). Тогда для модулей поправок А|, А1, Аgf, А^ , как показано в [10],

выполняется |А|| « 1 , |А1| « 1 , \Аgf[ « 1 и [Аф « 1

(при г < Уф1 ), и в качестве первых приближе-ний можно принять

- ^2

|»|0, 1»^0, 8у» & 0у = г2 + 2 X1 г + 1

» а = -1

£ ф

ф

2 X1 г'

(21)

Пусть в наиболее неблагоприятном случае помехи Д /) и ф( /) представляют собой белый шум, при этом [10]

Уу = Уф = 0 , А1 = а£/ = а&ф = 0

1 =10, = В 0у,

где

а? = ь 1

I = 10

1 + 4 X 2

1 + а 51 У-1

1 + 2 X1 У-1 + У-

8 X 3

(22)

(23)

(24)

При у-1 « 1 и 2у°1/2 <X1 < 1, как видно из (5), (23), (24), имеют место соотношения |Д|| « 1 и |« |0 , откуда для поправки А О1 согласно (20), (22) выполняется неравенство |Д 01 « 1 . Пренебрегая значениями

поправки А| в рассматриваемом случае и полагая | = 10 , получим

А 01 = 0 .

(25)

Тогда для оценки выигрыша в точности 01 из (18): (19), (21), (25) окончательно найдем

01 = (1 + 10)—

1 + 10

в -1 +10 в-ф 2 £ 110

г2 + 2 X12 + 1

2 X1 г 2 +

(26)

2 X11

На рис.1,а,б приведены графики зависимости величины 01 (1 + 10) 1 от параметров г и 10 при заданных значениях X1 = 0,5; X1 = 0,25 соответственно. Из графиков видно, что более глубокий экстремум выигрыша в точности 01 имеет место при достаточно малых 10 (10 < 0,3) , при которых оптимальное значение параметра гопт > 1 . Линия, соединяющая точки экстремума, определяет оптимальные значения гопт и О1опт( 1 + |0)"1 для различных значений 10 .

а)

а0 = 0,05

0 1 23456789 10

СО|

б)

Рисунок 1 - Графики зависимости величины 01 (1 + 10) 1 от параметров г и 10 при заданных значениях X1 = 0,5 (а) и X1 = 0,25 (б), и при

У/ = Уф = 0

В ряде практических случаев случайная помеха /(/) , воздействующая на основной канал, имеет относительно узкополосный спектр Бу( ю), ширина которого

(юу = 2 р Ту1) сопоставима с полосой пропускания основного каната (ю 1 = 2рг-1) [2, 8]. Полагая УуФ 0 и Уф = 0 , и используя результаты, полученные в [10], имеем

(2?1 + <у( 1 + аX "¡х-' > .) О

1 " 1• , 1 + Ц 1 ¡o' ) , 1 " 1«У +

и

gf- Н1- jt^ -

gj g0j'

(27)

где c -

Я Xi gf

gf 1 + 2 X1 gf

Тогда для выигрыша в точности G i согласно (14), (21), (27) получим

G,

1 + ц.

2 X11 о I1 + 2|j

(28)

(z2 + 2 X1z + 1 )(gfz + 1)

z (z2 + 2 X1 z + 1 )(gfZ + 1)-

2 x1 яо 2|

^ - j+^

W* (p) -

1 ТТЛ*, ч- Z2

, W2 (p) =-

автономных каналов в виде (29) для выигрыша в точности О при г > 1 и у-1 « 1 также выполняется допущение, аналогичное (14).

Параметры | и 1 характеризуют относительную точность первого (основного) канала, оператор которого

Ж* (р) (29) во втором варианте не изменился. Поэтому

результаты определения | и 1, полученные для первого варианта, полностью справедливы и для второго варианта задания операторов автономных каналов. Кроме того, при у/« 1 , у" « 1 и г > 1 для модулей поправок А*' и

А, как показано в [1°], также выполняются неравенства: | А*'/ « 1 и | А« 1 (при г < у"1 ). Тогдавкачес-тве первых приближений можно принять

m»mo, 1и1о, gj

о j

к X1 z ,

Заметим, что при X1 = const и gf - const характер изменения кривых зависимости G1 (1 + ц)-1 - Y(z, 1о) аналогичен характеру кривых на рис.1; а при gf - var (о < gf < 1) значения характеристик отличаются друг от друга незначительно.

3 ВТОР ОЙ (УПРАВЛЯЮЩИЙ) ВАРИАНТ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Предположим теперь, что структуры эталонных операторов первого и второго каналов одинаковы и соответствуют колебательным звеньям с одинаковыми

частотами собственных колебаний О^. = 0э = Т-1 = 1 ,

(I = 1,2) . Такое сочетание динамики каналов более характерно для итерационных двухканальных управляющих систем, выход которых связан с силовой нагрузкой (см., например, рис. 1.1°, 1.11 в [7]). Тогда операторы каналов (8) с учетом (1°) примут вид

gf » g' оf - X2z2 Х

bf z6 + bfz5 + bf z4 + bfz3 + bfz2 + bfz + bf

Х f_f!_f_f3_f._^ J6 (зо)

Of z6 + afz5 + z4 + afz3 + z2

U f t 1 Lift, 1 Lift, 1 Lift, 1 Lift,

/о f1 J 2 J3 J 4

где

af0 - 4X3tf , «/1 - 8X4( 1 + 2X1 gf)gf, f - X2[4X2 + 2X1 (1 + 8X2)gf + (1 + 16X2X22)gf],

f3 - X1 (1 + 4XL) + «x2gf + X1 (1 + 4XL )g;, f - X 2 (1 + 2 X1 gf);

Г1 p2+2 X1^p +1 r2 p2+2X 2zr1P +z2

, (29)

где Х1 = Х э1 , "2 = Хэ2 - коэффициенты демпфирования соответственно первого и второго каналов с эталонной

настройкой. При "1 = Х2 = ^2/2 » °,7°7 , г 1 = Тэ и

г = 1 операторы Ж* (р) и Ж* (р) (29) совпадают с оператором фильтра Баттерворта 2-го порядка.

Расчет и анализ показателей эффективности ¿х, *'/, , выполненный в [1°] при ° <"1 £ 1 и

° < Х2 < 1 , показал, что в случае задания операторов

(31)

f - b gfg2, bf1 - 2 X 2 bgf(1 + 2 X1 gf) + g , bf2 - 1 + 2X1 (1 + 4X2 )gf + (2«X2 - 1 )gf +

+ 4 X1 (bX - 2 X 2 + 1 )g3 + b^gf,

bf3 - 4X2[X1 + (bX - 2X22 + 1 )gf + 4X1 (X2 + X22)gf + + (bX - 2 X22 + 1 )gf + X1 gf4 ],

bf4 - bx + 4X1 (bx - 2 X 2 + 1 )gf + (2 «x2 - 1 )gf +

+2 x 1 (1+4X22 )g3+g4,

bf5 - 2 x 2 bgf( 2 x 1 + gf), bf6 - bgf;

% - 2(X2 + X2 + X2X2),

■2 л. X2

(32)

(33)

bx - 2 (2 X2 + X 2 - 1), bgf - 1 + 2 X1 gf + gf2. (34)

Полагая

далее m - m o, ^ - V g f - g' оf, g' j - g'

о j

из (14), (30) для оценки выигрыша в точности G получим

x 2 1 + m 0

G » G2 = (1 + m0)

_1_= 42

( s- 0/ 1 + X0 ( ¿0 j ) - 1 x1

1

0

\uf z6 + bfz5b z4 + bfz3 + bf z2 + bf z ' Uf I W0 f1 /2 f3 f4 f5 f6

Abf z7 + br z6 + b z5 + „ + bf\ z + „ + bA1

и f1 /2 ^^ 'з /4 ^+b L2+^+b L +

^0 V ^ 1I0 f\ X 1 ^

^ a

!/_+b Ь+

b) z3

(35)

В качестве примера, упрощающего функционал (35), рассмотрим достаточно типичный частный случай, когда эталонные операторы каналов соответствуют оператору фильтра Баттерворта 2-го порядка, а помехи Д/) и ф(/) представляют собой белый шум, при этом

У/ = уф = ^ X1 = X 2 = f, ^ = T э

(36)

Тогда согласно (31 )-(34), (36) выигрыш в точности G2 (35) примет вид

1 + m0 z3 + z2 + z + 1

G 2 =

10 z4 + z3 + z2 + z + -1

(37)

График зависимости величины О 2 (1 + 10) 1 (37) от

параметров г и при заданных X1 = X2 = "¡2 / 2 и Уу = Уф = 0 приведен на рис.2. Из рисунка видно, что,

как и в первом варианте задания эталонных операторов каналов, более глубокий экстремум выигрыша в точности О2 имеет место при достаточно малых значениях 10 (10 < 0,1) , при которых оптимальные значения

параметра г' > 3 г г опт

Рисунок 2 - График зависимости величины G^( 1 +1^) 1 от параметров z и 10 при заданных значениях У/ =gj = 0

Отметим, что во втором варианте эталонных операторов каналов при таком же задании X1 = Х2 = const, что и в первом варианте, для достижения экстремума выигрыша в точности G 2 требуется уже большее расширение полосы пропускания второго, точного канала по сравнению с первым каналом. Так, например, в первом

варианте при Xi = V2/2, lo = 0,05 имеем zonm = 2,5; —i

G (1 + = 4 ; а во втором варианте при i m ax 0

/2

X1 = Х2 — , Х0 = 0'05 полУчаем: Zonm = 4 ;

G (1 + цп)-1 = 3,3. ¿max г 0

ВЫВОДЫ

1. Для различных вариантов задания эталонных операторов автономных каналов управления итерационных двухканальных воспроизводящих систем при случайных входных воздействиях получены суммарные функционалы качества для оценки выигрыша в точности G таких систем по сравнению с одноканальными системами.

2. Показано, что при достаточно узкополосных полезных сигналах и широкополосных помехах в каналах составляющей ошибки итерационных систем от полезного сигнала можно пренебречь. Это позволяет значительно упростить функционалы качества без существенных погрешностей в оценке выигрыша в точности G .

3. Полученные суммарные функционалы (26), (28), (35) и (37) позволяют при заданном первом, грубом канале анализировать влияние полосы пропускания второго, точного, канала и характеристик входных сигналов на эффективность и процессы экстремальной самонастройки итерационных двухканальных систем при случайных воздействиях.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Клубникин П.Ф. Объединенные следящие системы с двумя приводами // Автоматика и телемеханика. - 1959. - Т.ХХ. -№ 2. - С.161-175.

2. Осмоловский П.Ф. Итерационные многоканальные системы автоматического управления. - М.: Сов. радио, 1969. -256с.

3. Следящие приводы: В 2-х кн./ Под ред. Б.К.Чемоданова. , -М.: Энергия, 1976. - Кн. Первая: - 480с.

4. Никольский А.А. Точные двухканальные следящие электроприводы с пьезокомпенсаторами. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 160 с.

5. Осмоловский П.Ф., Худяев А.А. Влияние запаздывания входных координат на динамическую точность двухканальной итерационной измерительной системы // Автоматика, - 1990. - Ж2. - С.35-42.

6. Двухякорный линейный синхронный привод обрабатывающего центра / Б.И. Кузнецов, А.А. Худяев, И.М. Некрасов, В.И. Русаев // Электротехника. - 1993. -№4. - С. 11-18.

7. Многоканальные итерационные системы управления: Учебное пособие / Б.И. Кузнецов, А.А. Худяев, И.Н. Богаенко и др. - К.: НПК "КИА", 1998. - 224 с.

8. Худяев А.А., Гвоздева Е.В. Автоматизированное проектирование итерационных многоканальных систем управления с эталонной настройкой каналов // Вестник ХГПУ. Сборник научных трудов. Тематический выпуск 113. - Харьков: ХГПУ, 2000. - С. 49-56.

9. Худяев А.А. Критерии эффективности итерационных двухканальных воспроизводящих систем при случайных

воздействиях // Электромашиностроение и электрооборудование, - 2002. - №58. - С. 92-96. 10. Худяев А. А. Влияние параметров входных воздействий и полосы пропускания точного канала на качество

итерационной двухканальной системы с эталонной настройкой // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2002. - №2, - С. 148-156.

УДК 681.511.46

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ В МНОГОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕРМИНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Е.А.Шушляпин, А.Е.Шушляпина

Запропоновано модифжащю методу юнцевих статв для синтезу керувань реального часу стосовно до бaгamомiрних нелiнiйних mермiнaльних систем з диферецшованими нелi-ншностями. Mодифiковaний метод застосовано для моде-лювання керування перехгдним процесом при включенш електродвигуна постшного струму послгдовного збудження.

Предложена модификация метода конечных состояний для синтеза управлений реального времени применительно к многомерным нелинейных терминальным системам с дифференцируемыми нелинейностями. Модифицированный метод применен для моделирования управления переходным процессом при включении электродвигателя постоянного тока последовательного возбуждения.

There was offered a terminal state method modification for synthesis real time controls in multidimensional nonlinear terminal systems with differentiable nonlinearities. The modified method was aplied for modeling of control a transient process on switching on a direct current electric motor of consequent drive.

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Управление нелинейными системами является одной из актуальных задач управления, поскольку иногда объекты управления функционируют в таких режимах работы, когда соответствующие линейные описания становятся неадекватными. Такие режимы имеют место при разгоне и торможении электрических машин, в химической кинетике, при управлении движущимися объектами, управлении потоками жидкостей и газов и в других отраслях. В ряде работ [1-6] развивается подход к синтезу управляющих воздействий для многомерных терминальных нелинейных систем с дифференцируемыми нелиней-ностями и аддитивными управлениями вида

dx

= v0

— = Ф(t, x) + B(t)u(t), (t e [t0,tß, x(10)) = x

x e Rn x 1, u e R

r x 1

J = J( x (tf,t))® J *

(2)

где ,/* - заданное значение, а целевая функция J(x) предполагается дифференцируемой.

Алгоритм расчета управления методом конечных состояний имеет вид

и(г) = О+/) • /30((/), г, J*)), ОТ

G = 5J(x) д x

G+(tf't} = ^ e Rr x 1,

= W(y ,x( t)) B (t) e R1 x r ,

= x (ft)

dW(J, t, ,x( t) ) = dJ

д Ф( J, x )

д x x = x (J,t)

W(J, t, ,x(t)), (3)

(1)

Упомянутый подход, названный методом конечных состояний, применяется для задач терминального управления с моделью (1) и критерием

dx( J, t) = F(J, t), dJ V '

J e [t,t], W(t,t,x(t)) = I, x(t, t) = x(t).

В алгоритме (3) I - единичная матрица, W - (и X n) -нелинейная весовая матрица, fj(J(tpt), t, J*) - правая часть скалярного дифференциального уравнения относительно так называемой критериальной функции J(tpt), обеспечивающего ее приближение при t ® tfr к J* . Критериальная же функция - это целевая функция критерия, где вектор состояния x (t) заменен вектором переменных конечного состояния x(tp t) . Переменные конечного состояния, как видно из (3), представляют собой прогнозные значения конечного состояния системы (1), находящейся в момент t в состоянии x(t) , когда на интервале J e [t,tp]