CC BY
14
вывоДы
1. Приведенные в табл. 2 результаты подтверждают правильность предложенной методики расчета значений весовых коэффициентов СРНС, представляющих модели нелинейного объекта со степенными зависимостями матриц объекта. Относительная ошибка моделей не превышала 0,66 %.
2. При получении моделей на СРНС сложного объекта с произвольными нелинейностями (на примере тиристорного привода с двигателем постоянного тока последовательного возбуждения) установлено, что СРНС на рассматриваемых интервалах времени позволяют получить достаточно точную модель произвольного нелинейного объекта.
Авторы выражают благодарность профессору Запорожского национального технического университета Потапенко Е. М. за ценные рекомендации, во многом способствующие появлению статьи, а также полезные замечания при ее подготовке.
ПЕРЕЧЕНЬ ССыЛоК
1. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс, 2-е издание: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2006. -1104 с.
2. Baruch I. S., Palacios I., Flores J. M., Garrido R. An adaptive neural control system of a DC motor drive // 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control, Barcelona, Spain, 2002, Session Slot: T-Th-M04, Area Code: 3a.
3. Орловский И. А. Модель электропривода постоянного тока на рекуррентных нейронных сетях // Радюелек-трошка, ¡нформатика, управлшня. - 2006. - № 1. -С. 151-159.
4. Орловский И. А., Бут Ю. C. Поиск генетическими алгоритмами весовых коэффициентов в моделях тирис-торного электропривода на рекуррентных нейронных сетях // Искусственный интеллект. - 2006. - № 3. -С. 314-326.
5. P. Marino, M. Milano, F. Vasca. Linear Quadratic State Feedback and Robust Neural Network. Estimator for Field-Oriented-Controlled Induction Motors // IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 1999. - Vol. 46, No. 1, February. - Pp. 150-161.
6. Палис Ф., Филаретов В. Ф., Цепковский Ю. А, Юхимец А. А. Синтез прогнозирующих систем с нейрофаззи сетями для управления нелинейными динамическими объектами с переменными параметрами. Електромашинобу-дування та електрообладнання. - Кив: Техшка. -2006. - Вип. 66. - С. 357-360.
7. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. - 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 522 с.
8. Перельмутер В. М., Сидоренко В. А. Системы управления тиристорными электроприводами постоянного тока. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 304 с.
9. Булгар В. В. Теор1я електроприводу: зб1рник задач / ОНПУ. - Одеса: Пол1граф, 2006. - 408 с.
Надшшла 19.01.07
Для отримання моделей нелтшних oô'eKmie запропо-noeani степет рекурентт нейронт Mepeœi (СРНМ). Розроблена методика розрахунку таких мереж. Проееде-на neрeeiркa здiбнoсmeй СРНМ eiдoбрaжamи мoдeлi не-лтшних електротехтчних oб'eкmie.
Degree recurrent neural networks (DRNN) for reception of nonlinear objects models are offered. Methodic of calculation of these networks are received. Checks of ability DRNN are executed to reflect models of nonlinear electro technical objects.
УДК в81.514.в+в81.513.в
А. А. Худяев
ВЛИЯНИЕ НЕСЛУЧАЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА НА ТОЧНОСТЬ ИТЕРАЦИОННОЙ ДВУХКАНАЛЬНОЙ ВОСПРОИЗВОДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗМУЩЕНИЯХ
Paccмompeнo влuянue нecлyчaйнoй cocmaвляющeй no-лезтгм cuгнaлa нa moчнocmь umepaцuoннoй двyxкaнaль-тй вocnpouзвoдящeй cucmeмы c эmaлoннoй нacmpoйкoй кaнaлoв ynpaвлeнuя npu cлyчaйныx вoзмyщeнuяx. rpa-Ôrnec^ onpeдeлeн зaкoн caмoнacmpoйкu noлocы nponycкa-нuя вmopoгo, кoмneнcupyющeгo, кaнaлa ш мaкcuмaльнo вoзмoжнyю moчнocmь paбomы cucmeмы npu ^мененuu xapaкmepucmuк вxoдныx вoзмyщaющux вoздeйcmвuй.
© Худяев А. А., 2007
ВВЕДЕНИЕ
Повышение динамической точности воспроизводящих САУ с типовой настройкой контуров управления, работающих при случайных и неслучайных возмущениях, является одной из центральных задач разработки современных унифицированных автоматизированных электромеханических систем. Значительный эффект при этом может быть достигнут за счет введения
многоканальности воспроизведения полезного сигнала х(Ь) и применения итерационного принципа взаимодействия каналов управления многоканальной САУ [1, 2].
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В работах [3-6] введен критерий эффективности и выполнен анализ качества воспроизведения в классе так называемых неравноточных итерационных двухка-нальных систем с эталонной настройкой каналов при случайных входных воздействиях х(Ь), /(Ь), ф(Ь). Показано, что при различном задании эталонных операторов автономных каналов управления и параметров принятых типовых характеристик случайных воздействий [3] выигрыш в точности О двухканальной системы, получаемый за счет введения и использования
*
второго, точного (или компенсирующего), канала
~2 ~2
тем больше, чем больше показатель ц = 5х/8/ и меньше параметр = Бф(0)/Б/(0). Здесь 8х и 8/ - дисперсии ошибок первого, грубого (или основного), ка*
нала от действия на него соответственно полезного сигнала х(Ь) и помехи /(Ь), приведенной ко входу этого канала; Б/( 0) и Бф( 0) - начальные (при <в = 0) значения спектральных плотностей помехи /(Ь) и помехи ф(Ь), приведенной к входу второго, точного, канала.
В [4-6] сделан важный вывод о том, что при узкополосном случайном полезном сигнале х(Ь) и широкополосных помехах /(£), ф(Ь) (что характерно для большинства воспроизводящих систем) составляющей ошибки итерационной двухканальной системы от полезного сигнала можно пренебречь. При этом оптимальные значения Г2опт перестраиваемого безразмерного формирующего параметра (масштабного множителя) точного канала г2 определяются, в основном, соотношением интенсивностей помех Бф( 0)/Б/( 0) в точном и грубом каналах, а сама зависимость
г2ОПА) = г1гопт(^0)
(1)
определяет закон самонастроики реальной полосы пропускания компенсирующего канала
®2ОПА ) = 2п°Э2г2ОПА )
(2)
на максимально возможные показатели качества работы системы с принятой эталонной настройкой каналов. Здесь z = ri /r2 - оптимизируемый нормированный формирующий параметр двухканальной системы;
ri = ri = const - заданное значение безразмерного формирующего параметра (масштабного множителя)
основного канала; Оэ2 - эталонная собственная частота компенсирующего канала.
В работах [7, 8] показано, что в неравноточных итерационных многоканальных системах установившаяся динамическая точность повышается с ростом номера г канала воспроизведения Ш*, г = 1, N и может
быть существенно повышена по сравнению с однока-*
нальной системой Ш. Для двухканальной (N = 2) системы введен критерий эффективности воспроизведения системой неслучайной составляющей (или математического ожидания) тх(Ь) полезного сигнала х(Ь) в виде выигрыша в динамической точности
g д (t) = -дд
еД(t)'
(3)
равного отношению квадратов установившихся значений динамических ошибок одноканальной и двухканальной систем. Выполнена оценка динамической точности при синусоидальном входном сигнале тх(Ь).
Вместе с тем, вопросы учета влияния возможных динамических ошибок от неслучайной составляющей полезного сигнала тх(Ь) на оптимальные значения полосы пропускания точного канала < 2опт (2) и на суммарный выигрыш в точности ОЕ двухканальной системы при случайных мешающих возмущениях /(£) и ф(Ь) остались нерассмотренными и требуют анализа при решении задачи разработки адаптивной итерационной двухканальной системы с эталонной настройкой каналов.
2 СУММАРНЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОСТИ (ВЫИГРЫШ В ТОЧНОСТИ) ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
*
Пусть эталонные операторы первого Ш и второго
*
Ш2 замкнутых каналов управления итерационной двух-канальной воспроизводящей системы (рис. 1) различны и соответствуют колебательному и апериодическому звеньям с одинаковыми постоянными времени, равными эталонной постоянной времени Тэ. Тогда реальные опе-
* * А И
раторы каналов р), Ш2( р), где р = — - оператор
дифференцирования по времени Ь, и спектральные плотности случайных входных возмущений (помех)
/(Ь), ф(Ь) могут быть представлены в виде [4] *
Ш (р) =
1 2 2 2 * ' (ri) ту + 24irxT3p + 1
W (Р) =
r2 ТэР + 1 г\тэр + z'
2
(ю)
Sf (0)
9*299
у;(г 1) г2®2 +1
■ую) = -
■(0 )
9 2 2 2 '
тф(^)г2®2+1
(5)
где
*
Г1 Тэ г2 Тэ
О О*
2 ® 2 * = — , ю! = 2пО
ю*
Yf
®2 = 2 ПО2,
О э =
* *
г1Тэ
-1 Оf = Tf , Юf =
Тф Оэ
= _ф_ = э
* *
г1Тэ ^1Оф
-1 ОФ = Тф
фф , юф = ф
(6)
О 1
О
О1
Оф
(7)
(8)
Здесь Тэ - эталонная постоянная времени каналов управления, с; Tf и Гф - постоянные времени корреляции стационарных случайных процессов f(t) и ф(0, с; - эталонный коэффициент демпфирования первого
* * —1 1 канала; О1 = Оэ( Г1) и О2 = Оэ
_эУ. и --э-2 реальные соб-
ственные частоты, определяющие реальные полосы
пропускания ®1 и ®2, соответственно заданного (первого) и оптимизируемого (второго) каналов с эталонной настройкой, с-1.
Из (6)-(8) следует, что безразмерный нормированный параметр г характеризует отношение полос пропускания точного и грубого каналов двухканальной системы и определяется отношением их собственных
частот; безразмерные параметры yf и уф отношение полосы пропускания основного (грубого) канала к ширине спектров помех Юf и юф соответственно.
По аналогии с показателем эффективности (выигрышем в точности) О двухканальной системы, характеризующим эффективность введения и использования
*
второго, компенсирующего, канала Ж2 (см. рис. 1) при случайных входных возмущениях х(^, f(t), ф(0 [3, 5], при учете неслучайной составляющей полезного сигнала тх(€) введем суммарный выигрыш в точности О2, равный отношению квадратов суммарных ошибок
22 одноканальной 6Е( t) и двухканальной еЕ( t) систем:
Ое = Ц =
22
22 8д + 8сл
(9)
где = tX ^ ^(^ и ^л = 82, = ^ + еф - соответственно квадраты динамической и случайной составляющих ошибок основного канала и итерационной
системы в целом; 8f и - дисперсии ошибок двухка-нальной системы, обусловленные воздействиями помех и ф(t) соответственно.
Выигрыш в точности Ое (9) после преобразования удобно представить в виде
ОЕ =
= (1 + ^д)
д' -1 ^д ■
§2_ =
2 . 2. 2 ед + 8f + еФ
= Ое
■ д-1 + ^ф1
1
1 - аое
(10)
г =
2
э
*
2
е
е
У
ф
ф
ф
Рисунок 1 - Вариант структурной схемы итерационной двухканальной воспроизводящей системы:
и ^2 - первый и второй автономные разомкнутые каналы управления; ух, у* и г выходные (управляющие) сигналы соответсвенно первого автономного канала, второго автономного канала и двухканальной системы в целом
где
аое =
Оу 0 = (1 + Цд)
1 + Ц
д -1 , -1 . -1' Цд9д + 9of + Х090ф
1Т А9! + 77м + а^ф - аха^ф)
\-90f 9 0ф .
(11)
(12)
водящих системах, как правило, г > 1, что обеспечивается закономерным расширением полосы пропускания более быстродействующего компенсирующего канала по сравнению с основным. Тогда для (4)-(8), (13), (14) в наиболее неблагоприятном случае, когда помехи f(t) и ф(£) представляют собой «белый шум», выполняются равенства
Yf = Тф = 0, А9f — А 9ф = АХ = 0;
(15)
я2 с.2
6д 6f ( 1
9д — "2, 9f = =2 = 90f(ТГА9".),
"д "f 1
52
9Ф = = 90ф1^-А9
(13)
21
9f = 90f = г + 24эг + 1, 9ф = 90ф = 2|"г,
Х — Х,
0
(16)
Из (10)-(12), (15), (16) получим АОу — 0 и для оценки выигрыша в точности Оу окончательно найдем
Цд — 4 Х — зф — Х0 (1 - АХ).
(14)
В (10)—(14) обозначены: 5ф - дисперсия ошибки ос*
новного (грубого) канала при условном воздействии на него помехи ф(0, приложенной ко входу
*
компенсирующего (точного) канала W2; 9f — показатель эффективности (выигрыш в точности), характеризующий эффективность использования точного канала для компенсации ошибки по помехе ДО; 9ф и цд, Х — показатели, определяющие соответственно нормированную дополнительную ошибку, вносимую помехой ф(0, и относительную точность первого, грубого, канала; Оу 0 и АО у — первое приближение и относительная поправка к показателю эффективности Оу; 90^, 90ф, Х0 и А9р А9ф, АХ — соответственно первые приближения и поправки к показателям 9^ 9ф, Х, значения которых для случая (4), (5) получены в работе [4]. Из (10), (13), (14) видно, что значениями поправок можно пренебречь, если их модули достаточно малы по сравнению с единицей.
Обычно в воспроизводящих САУ полезный сигнал
тх(£) узкополосен, а помехи f(t), ф(0 близки к про**
цессам типа «белого шума», т. е. Tf« Г\ТЭ, Тф « Г\ТЭ, и Yf« 1, Уф « 1. Кроме того, в итерационных воспроиз-
— — 1 + Цд
Оу — Оу0 — 2 4 эХ0 2
г2 + 24эг + 1
+ г|( г2 + 24эг + 1) + -1— 24эХ0 / ^ 2 4эХ0
(17)
На практике часто случайная помеха f(t), воздей-
*
ствующая на основной канал может иметь относительно узкополосный спектр 5у(0), ширина которого
-1
<Bf — 2пTf сопоставима с полосой пропускания основ* * -1 ного канала Ю} — 2 п( ) . Полагая в этом случае
Yf * 0 и Уф — 0, вместо (15), (16) имеем [4]
А9f * 0, АХ * 0, А9ф — 0
9f — 90^
где
1 —^ | , Х — Х01 1 + ^
У^ + 1) 01 2 д'
9ф — 90ф,
с —
yf 1 + 2 4эlf.
(18)
Тогда из (10), (18) с учетом (16) для выигрыша в точности Оу получим
и
ф
2
2
X
8
5
X
и
Оу —
1 + Цд
( г 2 + 2 4 э г + 1) ( у г + 1 )
2 4эХ0| 1 +
24
(19)
24эХ0I1+24
+г
(г + 24э г + 1 Щг + 1) +
24э Х0| 1 +
24
[(Yf - с )г + 1 ]
Заметим, что полученные соотношения (17) и (19) для суммарного выигрыша в точности Оу с погрешностью до их динамических составляющих совпадают с соответствующими выражениями для выигрыша в точности О, полученными в работе [5] для случая (4), (5) при чисто случайных входных возмущениях. Кроме того, из (19) при выполнении условия Yf — 0 получаем выражение (17).
3 НОРМИРОВАННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ НЕСЛУЧАЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА
Не нарушая общности, будем полагать, что при расчете динамических ошибок двухканальной системы
можно ограничиться только ошибками по скорости
2
ёт( t) ё тх( О ит (t) — ——— и ускорению ат_(t) — --— вход-
dt
ного сигнала тх(Ь). Тогда для случая (4) с учетом (6) и результатов работы [8] получим следующие выражения для оценки динамических ошибок основного канала (при 0 < 4э « 1) 5д(t) и итерационной двухканальной системы в целом ед( t):
8д( t) —
(Г\)
— 5„(t) + 5а(t) — ит (t) + • ^ат (t); (20)
ки1 1
С 24э
*
Г<Г-,
*
"д(t) — "а(t) — Л-ат1 (t) — ^-Ч-ат(t), (21)
ка 1 Х
5„( *) — 2 4эТ10тг( t), Т1 — Г1 Тэ
(24)
Здесь Аит (t) — Т1ат (t) — приращение скорости входного сигнала тх(£) за период Т собственных колебаний основного (грубого) канала, рад/с; я — относительное приращение скорости.
Оценим величину ц. Пусть тх(£) — синусоидальный
сигнал с периодом Тт . Тогда тх(t) — Атзт2л Т^1. В этом случае из (24) получим для максимальных значений скорости и ускорения
Я — 2п-
— 2п-
О,
-1
При сигнале тх(£), частота которого От — Тт на
полтора — три порядка меньше собственной частоты ос*
новного канала имеем ц и (0, 005 + 0, 125).
Ошибку основного канала 5д(0 (20) с учетом (22), (24) можно представить в виде
8д(^ — 5„(t)(1 + ^я) .
(25)
Следовательно, для выигрыша в динамической точности 9д(0 из (3), (23), (25) получим
9д(t) = 9д —
1 )2 1 + 5ТэЦ) 2
д д 2
я
(26)
где 8Ц( t) и 5а( t) — составляющие динамической ошибки основного канала по скорости и ускорению;
* 1*1 ^ — 24этЭ' — Tэ,
(22)
— эталонные коэффициенты усиления по скорости со**
ответственно основного и компенсирующего каналов. Для ошибки ед( t) из (21), (22) найдем
Для дисперсии ошибки 5^ от широкополосной (Yf — 0) помехи ДО с учетом (4)—(7) найдем [3]
52 (0)
5—
4 4эТ1Тэ
где [1]
0) — 2ofTf;
(27)
(28)
(t) 2 4 э ( т 1Тэ ) 2 т "д( t) — -г-атх (t)
или с учетом (20)
^ — среднеквадратическое отклонение случайного процесса ДО. Тогда для показателя цд относительной динамической точности основного канала из (14), (25), (27) получим
"д( О — гц5„( ^,
где
Я = я(t) —
Аи тх (t- — Т 1а тх ( t ) и т .. ( ^ ит-( t) ,
(23)
22 (t) 522( t) 5и ( 0( + 1 ) 2
Цд ^Ц*( t) — Цг — 1Т11 + йГэя)
5f 5f
Цд, и( t)(1 + 2У
(29)
т
х
г
где, с учетом (24),
для Кт согласно (34) окончательно найдем
8,21(t) * 32ит (t) , ч
Цд,„(t) = = (2^1 Тэ) -Щ0У (30)
5
f
2
(36)
или, с учетом (28),
* 3ит (t) ^д,и(^ = (2^Тэ) -^у.
TfOf
Оценим показатели цд и(t) и цд(Пусть = 0, 5;
*
Г1 = 0,1; Тэ = 1 с. При синусоидальном сигнале -1
тх(V) = Лт8т2тсТт t, период Тт которого на полто-
*
ра - три порядка больше периода Т = ^Тэ собственных колебаний основного канала, для максимальных значений скорости ит (^ и ускорения ат (t) найдем
(при Лт = 1)
"тх = 2пТтХ «(0 06 * 1 4), рад/с; ат = 4п2Тт2 «(0, 00125 * 0, 5), рад/с2. (31)
Из (33)-(35) с учетом (13), (14) нетрудно видеть, что размерность величины af соответствует размерности ускорения ат , а ее значение численно равно тому значению ускорения полезного сигнала ат (t) = 22
= ё ат (t)/dt , при котором для г = 1 выполняется
тх
2 2 * равенство ед = 5f. В частности, при = 0, 5; Г1 =
= 0, 1; Тэ = 1 с; 0) = 10-6 рад2 • с из (35) найдем: af « 0, 224 рад/с2 « 12, 81 угл. град/с2.
Безразмерную величину Кт (36), определяющую
тх
на основании (33) влияние параметров компенсиру-*
ющего канала на динамическую точность итерационной системы, можно рассматривать как нормированное относительное ускорение неслучайной составляющей полезного сигнала тх(€).
Тогда из (29)-(30) при 0) = 10 6 рад2- с и 9 = 0, 05 для максимальных значений показателей цд и(t) и цд(^ получим
= 2 • 103 < «(7 * 4 • 103), цд = цди( 1 + 9)2 «(7, 7 * 4, 4 • 103). (32)
Так, например, при = 0, 6 рад/с и а = 0, 05 из
тх
(32) имеем цд и = 720, цд « 800.
Составляющую Цддд1 выигрыша в точности Ое в (17), (19) на основании (26), (29) можно представить следующим образом:
-1 2 1 -2 ^д = ^д,и9 - = Ктхг , гх
где, с учетом (24), (30),
2 . „,,3, * ,5атх()
Ктх -^тх(t) = ^д,и(t)9 = 16С(Г1Тэ) 1фу) ' (34)
Обозначая
af =
■К 0)
3 * 5 16^( г{Тэ)
4 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СУММАРНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Определим теперь из (17), (33) выигрыш в точности Ое в виде
О 1 + ^д
ОЕ = 21Х Х
г д 0 /< г 5 э )
где
3 12
г д0^г,У + г + Ктхд0^г,^э)]
gof( г,^э) = г2 + 2^г + 1.
, (37)
(38)
(33) Из (32), (34) при а = 0, 05 зададим примерный
диапазон изменения относительного ускорения Кт :
Кт « (0 * 10). На рис. 2, а, 6 приведены графики зави-
-1
симости величины (1 + цд) ОЕ от параметров г и Кт при = 0, 5 и заданных значениях ^ = 0, 3 и ^ = 1 соответственно. Графики иллюстрируют влияние учета динамической ошибки, характеризуемой относитель-
22
ным ускорением полезного сигнала Кт = ат /af, на вид экстремальных характеристик выигрыша в точнос-(35) ти Ое (37). Линии, соединяющие точки экстремумов, определяют оптимальные с точки зрения качества двух-
2
К
т
х
2
а)
Рисунок 2 - Графики зависимости величины (1 + ц.д) Ое от параметров г и Кт при = 0, 5 и заданных значениях ^ = 0, 3 и ^ = 1 и при yf = уф = 0
канальной системы значения гопт и (1 + цд) G^max для различных значений Xm .
Из графиков на рис. 2, а, 6 видно, что более глубокий экстремум выигрыша в точности Gs имеет место при достаточно малых Xm (0 < Xm < 1), при которых оптимальное значение нормированного параметра гопт < 2. С ростом ускорения am (Xm > 0) уменьшаются крутизна и максимальное значение характеристики Gs(z), система становится менее чувствительной к изменению полосы пропускания компенсирующего канала <»2. Вместе с тем, при неизменной интенсивности случайных помех в каналах (X0 = const) с ростом Xm (Xm > 1), т. е. с ростом удельного веса динамической составляющей ошибки в суммарном функционале качества Gs (37), соответствующие оптимальные значе-
*
ния полосы пропускания <»2опт = ®^опт существенно увеличиваются по сравнению с оптимальным значением, полученным при отсутствии учета влияния на выигрыш в точности Gs динамической составляющей gд(t) (3) (Xm = 0), что физически очевидно.
Оценим удельный вес динамической ошибки. Для отношения квадратов динамической и случайной составляющих ошибки итерационной системы с учетом (9), (13), (14) получим
X
8
22 8д = =8д 2 2,2
-1 ^ддд
—1 —1 82 + 8ф gf + X дФ
сл bf Ьф
или, согласно (15), (16), (33),
2^0
до f(z> 5 э)
2[ z-g0f( )+2^ ]
(39)
Отсюда и из рис. 2, а, 6 нетрудно видеть, что при Xm = const с расширением полосы пропускания компенсирующего канала <»2 (<»2 >®2опт) удельный вес динамической ошибки 8д двухканальной системы уменьшается, и одновременно увеличивается негативное влияние на точность системы некомпенсируемой высокочастотной помехи q>(t) в этом канале. При = 0, 5 и z = 1, когда с учетом (6) оба канала имеют практически равные полосы пропускания, из (38), (39) найдем
z + z + 1
"д = _'-x _
— X0 ' 2( 3, 2 1
82 0 z z + z + z + —
сл V X,
X
(40)
При изменении соотношения интенсивностей случайных помех в каналах Х0 от нуля [Бф( 0) = 0 ] до еди-
2
ницы [5ф(0) = Sf(0)] из (40) имеем = (3 + 4J X
В частности, при z = 1 и X0 = ;; « 0, 67 отношение
= Xm , и значения величины IXm определяют
есл
удельный вес динамической ошибки итерационной сис-
темы при наличии случайных помех в ее каналах.
2
2
z
8
сл
2
X
8
сл
2
Из (37), (38) после дифференцирования и преобразования результата к удобному для дальнейшего д Оу
анализа виду для —— получим
д О у — 1 + Цд
дг 24э Х
где
г [ P (г, 4 э, ) + L (г, 4 э, К т-) ] j z39of(г' 4э) + 2l"[г2 + Kmx90f(г' 4э)]
P(г' 4Э' Х0) = Х0г P0(г' 4э' Х0) =
= -г3[х.0(г2 + 24эг + I)2 - 4- г - l],
;, (41)
(42)
L(г, 4э, Km ) = (г2 + 24эг + 1 )2. (43)
Экстремальные значения параметра г могут быть определены из решения уравнения
г [ Р( г,4э,Х0) + Ь (г,4э,^тх)] — 0.
Отсюда находим гэкст 1 — 0, что не представляет практического интереса, так как с учетом (4), (6) соответствует случаю сужения полосы пропускания второго, компенсирующего, канала Ю2 до нуля и переходу от двухка-нальной системы к одноканальной. При этом Оу — 0. Экстремальное значение гэкст,2 = гопт — гопт(4э, Х0, Хт ), при котором (для заданных 4э, Х0, Хт ) достигается максимальное значение Оу тах, может быть определено из уравнения
р( г,4э,х0) = -L (г,4э,Кт.),
(44)
в котором параметры и Xm функционально разделены, что удобно для его графического решения.
На рис. 3 приведены результаты графического решения уравнения (44) относительно формирующего параметра итерационной системы г (гопт = гопт(Х0, Xm )), полученные из (42), (43) с учетом результатов работы [1] при = 0, 5 для значений ^ = 0, 1 + 1 и Xm = 0 + 10. Из рис. 3 видно, что с уменьшением ^ и увеличением Xm значения гопт возрастают. Учет влияния ускорения am неслучайной составляющей полезного сигнала приводит (при ^0 = const) к необходимости расширения полосы пропускания точного канала <»2 в несколько раз. Так, например, при Xm = 1 для 0, 3 < ^ < 0, 5
itipn üj л 'i;'- -
10 11
N». =
Рисунок 3 - График зависимости оптимальных значений гопт = гопт(^0' Km) пРи 4э = 0 5 и Yf = Уф = 0
раза, а для 0, 8 < Х0 < 1, 0 более чем в три раза, по сравнению со случаем, когда составляющая динамической ошибки не учитывается (Хт — 0).
2
Если отношение Хт (— ат (t)/аг может быть пря-
тх т х |
мо или косвенно измерено, то при известных неизменя-
*
емых параметрах основного канала (4э, Т1) зависимость
2опт
(Х0,Х
тх 1 опт
(Х0,Х
тх
t) (45)
определяет закон самонастройки формирующего параметра т2 компенсирующего канала на максимум суммарного показателя эффективности Оу итерационной двухканальной системы.
Подставляя полученные из графиков на рис. 3 (при 4э — 0, 5) оптимальные значения гопт — гопт(Х0, Хт ) в (37), найдем
G
I max 2
г
опт
1 + ^л
90 ^гопт )
где
3 * 1 2 *
гопт9 0f(гопт ) + гопт + Kmx9 0f( гопт)]
9 0f (гопт ) = г2пт + гопт + 1
(46)
(47)
На основании (46), (47) построим графики вели-
-1 *
чины (1 + Цд) Оутах — р (Х0' Хтх) (рис. 4), определяющей максимальные значения Оутах суммарного выигрыша в точности (37) при 4э — 0, 5 и заданном
значения <»2опт = Ю1гопт увеличиваются примерно в лва 144 ISSN 1607-3274 «Ралюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 1, 2007
<
э
х
0
значении показателя |д. Из графиков видно, что с увеличением параметров ^ и Кт максимальные значения ОЕтах уменьшаются. Так, для ^ = 0, 3 при Кт = 0
-1 -1 и Ктх = 5 имеем (1 + цд) ОЕтах « 1, 58 и (1 + |1Д) х
х ОЕтах « 0, 65; а уже для ^ = 1, 0 при тех же значе-
-1
ниях Кт соответственно получим (1 + |д) ОЕтах « -1
« 0, 97 и (1 + |д) ОЕтах « 0, 31. Эти результаты совпадают с результатами, приведенными на рис. 2.
Из (9), (46), (47) и из графиков на рис. 4 может быть рассчитано максимальное значение отношения
5Е
суммарных ошибок итерационной системы —:
У =
8 I VGE max,
max
при этом для диапазона значений ^ > 0, 1 и 0 <Кт < 1 выполняется неравенство
марной ошибкой основного канала 6Е = + 52л. Вместе с тем, это требует расширения полосы пропускания второго канала < 2 примерно в 2 раза по сравне-
*
нию с полосой пропускания первого ю.[ (при X0 = 0, 3, z^ и 2, 08; см. рис. 3).
Отметим, что в случае узкополосной помехи f(t), когда для возмущений системы выполняются соотношения Yf ф 0, Yф = 0, из (19), (33) найдем зависимость
(1 + ^д )—1ge = F (z,X0,Yf,Xmx),
характер изменения кривых которой для заданных значений Yf * 0 аналогичен характеру кривых на рис. 2. Однако, при Yf = const > 0 значения ординат —1 *
зависимости (1 + цд) Gzmax = F (X0'Yf, Xm) увеличиваются по сравнению со значениями ординат аналогичных кривых (при Yf = 0), приведенных на рис. 4, что физически очевидно. При Yf = yar (0 <Yf < 1)
и X0 = const значения характеристик величины —1
(1 + цд) GE = F (z, Yf, Xm ) отличаются друг от друга
незначительно! Это подтверждает выводы, сделанные в работе [6], и позволяет не учитывать параметр Yf в законе самонастройки (45).
ВЫВОДЫ
1. Получены экстремальные характеристики суммарного показателя эффективности Gs, и построены графики закона самонастройки (45) формирующего параметра Г2 второго, компенсирующего, канала, определяющие влияние неслучайной составляющей (математического ожидания) полезного сигнала mx(t) на точность итерационной двухканальной системы при наличии ошибок от случайных возмущений (помех) в каналах с принятой типовой настройкой.
2. Показано, что при учете mx(t) оптимальное значение полосы пропускания второго канала < 2опт зависит как от соотношения X0 = 0)/Sf( 0) интенсивнос-
тей широкополосных помех ф(0 и f(t) в компенсиру-**
ющем (точном) и основном (грубом) W ^ каналах, так и от величины нормированного относительного ус-22
корения Xm = am /af неслучайного полезного сигнала. При этом для заданного X0 = const значения
®2опт = ^пО^опт тем больше, чем больше значение параметра X m .
Для логического завершения выполненных исследований необходима разработка структурно-функциональной схемы адаптивной системы, позволяющей
-I >
8VJ 2 л/ X0
max
Например, при X0 = 0, 3; цЛ = 800 и Xm = 1 имеем
= 28, 44, т. е. суммарная ошибка итерацион-
„ „ [2,2
ной двухканальной системы еЕ = ^ед + есл при оптимальной настройке параметров компенсирующего канала уменьшается более чем в 28 раз по сравнению с сум-
Рисунок 4 - Графики зависимости максимальных —1 ^ *
^Emax = F (X0, XmX)
Y9 = 0
значений (1 + цд) GEm при \ъ = 0, 5 и Yf
E
перейти к рассмотрению вопросов практической реализации итерационных двухканальных воспроизводящих систем с самонастройкой второго, компенсирующего, канала управления.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Осмоловский П. Ф. Итерационные многоканальные системы автоматического управления. - М.: Сов. Радио, 1969. - 256 с.
2. Многоканальные итерационные системы управления / Б. И. Кузнецов, А. А. Худяев, И. Н. Богаенко и др. - К.: НПК «КИА», 1998. - 224 с.
3. Худяев А. А. Критерии эффективности итерационных двухканальных воспроизводящих систем при случайных воздействиях // Электромашиностроение и электрооборудование. - 2002. - № 58. - С. 92-96.
4. Худяев А. А. Влияние параметров случайных воздействий и полосы пропускания точного канала на качество итерационной двухканальной системы с эталонной настройкой // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2002. - № 2(8). - С. 148-156.
5. Худяев А. А. Суммарные функционалы качества итерационных двухканальных систем управления с эталонной настройкой и при случайных воздействиях // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003. -№ 1(9). - С. 142-149.
6. Худяев А. А. Экстремальные характеристики качества и законы самонастройки точного канала итерационной двухканальной системы управления при случайных
воздействиях // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003. - № 2(10). - С. 132-138.
7. Худяев А. А. Коэффициенты ошибок неравноточных итерационных многоканальных систем управления // Электромашиностроение и электрооборудование. -2003. - Вып. 60. - С. 54-60.
8. Худяев А. А., Гвоздева Е. В., Момот А. П. Оценка установившейся динамической точности итерационной многоканальной воспроизводящей системы // Вестник НТУ «ХПИ». Сборник научных трудов. Тематический выпуск «Проблемы автоматизированного электропривода. Теория и практика». В 2-х томах. - Харьков: НТУ «ХПИ», 2003. - Вып. 10. - Т. 2. - С. 351-355.
Надшшла 4.09.06
Розглянуто dim невипадковог складовог корисного сигналу на точтстъ ШерацшноЧ двоканалъног вiдтворю-валъног системи з еталонним настроюванням каналiв керування при випадкових збуреннях. Графiчно визначено закон самонастроювання смуги пропускання другого, ком-пенсувалъного, каналу на максимально можливу точтстъ роботи системи при змiнюваннi характеристик вхiдних збурювалъних впливiв.
The influence of setting (useful) signal nonrandom component on the precision of the iterative type two-channel control system with basic standard tuning of channels by random noises is considered. The law of second, compensate, channel bandwidth self-adjusting on the most possible precision of control system operation upon changing of input actions characteristics is graphically defined.
УДК 681.5.015: 681.511.4
Е. А. Шушляпин, Е. В. Виноградов
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ
Для нелинейных динамических систем со многими переменными во времени запаздываниями решена задача терминального управления методом конечного состояния.
ВВЕДЕНИЕ
Системы с запаздываниями являются достаточно распространенным видом управляемых систем, особенно при управлении на большом расстоянии либо при использовании сложной обработки измерительной информации. Имеются и другие области, где адекватными математическими моделями являются именно системы с запаздываниями. В арсенале современной теории автоматического управления имеется ряд подходов и методов, позволяющих управлять системами данного класса, но практически все они либо накладывают большие ограничения на модель объекта управления и параметры запаздывания, либо являются узко направленными
© Шушляпин Е. А., Виноградов Е. В., 2007
и предназначены для решения конкретной задачи. Одно из направлений - использование методов управления и анализа для систем без запаздываний. Здесь можно выделить два подхода: замена звеньев модели, содержащих запаздывание, апериодическими звеньями с подходящей постоянной времени либо игнорирование малых запаздываний. В работах [1-3] рассматриваются подходы, при которых строятся специальные прогнозирующие устройства или наблюдатели, но при Этом классы рассматриваемых систем имеют ряд существенных ограничений.
Среди достаточно общих методов, пригодных для синтеза нелинейных систем, выделим линеаризацион-ный метод А. Исидори (linearization I/O design method). Его обобщение на системы с одним постоянным запаздыванием и скалярным управлением предложено в [4], где, наряду с теоретической частью, приведен пример задачи терминального управления производи-
