Экстремальные характеристики качества и законы самонастройки точного канала итерационной двухканальной системы управления при случайных воздействиях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681. 514. 6

А.А. Худяев

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАЧЕСТВА И ЗАКОНЫ САМОНАСТРОЙКИ ТОЧНОГО КАНАЛА ИТЕРАЦИОННОЙ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Рассматриваются экстремальные характеристики показателя эффективности и законы самонастройки полосы пропускания второго, точного канала итерационной двух-канальной системы управления при изменении интенсивности случайных помех в каналах.

Для повышения точности воспроизведения полезного сигнала при наличии существенных аддитивных помех, приводимых ко входу канала управления, может быть использован итерационный принцип "грубого" и "точного" воспроизведения сигнала, реализуемый с помощью многоканальных, в частности двухканальных, систем управления, получивших название итерационных [1].

В работе [2] введен критерий качества итерационных двухканальных систем управления при случайных входных воздействиях, характеризующий эффективность использования второго, точного, (или компенсирующего) канала, в виде выигрыша в точности О, равного отношению установившихся значений дисперсий ошибок

первого, грубого, (или основного) канала 52 и двух-

канальной системы в целом £2 : О = 5 2 / £2 . х(г) и

/(г), ) полезный сигнал системы и две помехи, приведенные ко входам соответственно первого и второго каналов управления, представляют некоррелированные между собой стационарные случайные процессы, заданные типовыми спектральными плотностями Бх(о) и Бг(о) , 8ф(а>) вида

В работе [3] на основании введенного критерия G определены суммарные функционалы качества, позволяющие анализировать влияние полосы пропускания Qj второго, точного, канала и характеристик входных

сигналов x(t), f (t), p(t) на эффективность и процессы экстремальной самонастройки итерационных двухка-нальных систем с различными заданными эталонными операторами каналов. При этом в случае, когда эталонные операторы первого и второго каналов различны и соответствуют колебательному и апериодическому звеньям (первый вариант итерационной двухканальной системы), а помехи f(t) и p(t) представляют собой белый шум (Т^ = Tp = 0 ), реальные операторы каналов W * (р) , W2* (р) и выигрыш в точности G имеют вид

W (p) =

1

W (p) = ■

G = G1 =

r1 p + 2^1r1 p +1 ' r1 p + z

1 + А0 z 2 + l^z +1

,3 , „2 . 1

z + 2£j z2 + z +

(2)

(3)

2^Ло

а в случае, когда эталонные операторы каналов одинаковы и совпадают с оператором фильтра Боттерворта 2-го порядка (второй вариант двухканальной системы), соответственно получено

Sx (а) =

Sx (0)

a2(T2a2 +1):

Sf (а) =

Sf (0) T2fa2 + Г

Sp{a) =

Sp(0)

Tpa2 +1

(1)

К (p) = -

1

W (p) =

где Sx (0) , Sf (0) , Sp(0) и T^ Tf , Tp - начальные (при а =0) значения спектральных плотностей и постоянные времени корреляции случайных процессов x(t), f (t), p(t); x(t) - стационарный случайный где процесс, соответствующий первой производной изменения полезного сигнала; щ = 2nQ - угловая частота (скорость), рад/с.

G = G2 =

1 + А

Л)

rj2 p2 + 42г1 p +1

r2 p 2 +42zr1 p + z 2

z3 + z 2 + z + 1

4 3 2

z4 + z + z 2 +

1+2

z + -

z = =02=а л = Sp(0) ■

r2 Q1 щ ' 0 Sf (0);

(4)

(5)

z

2

z

1

ßo =

S, (0) Г, Sf (0);

=#

тк Q1 с 1

Y= = о =—> Q, = T-. r Q- CO- 1 1

(7)

Здесь: r^ , Г2 - формирующие параметры (масштабные множители) соответственно первого и второго каналов, имеющие размерность времени [4]; в этом случае

собственная частота Qi = r— ( i = 1,2 ) определяет полосу пропускания соответствующего г-го канала с эталонной настройкой, с-1; коэффициент демпфирова-

д

ния первого канала с эталонной настройкой; p = dldt -оператор дифференцирования по времени.

Для удобства анализа влияния параметров входных воздействий на качество итерационной системы с заданным первым каналом (r^ = const ) спектральные плотности (1) могут быть представлены в виде

Si C) =

Si (0)

Sf (0)

c2(Y ri2c2 +1)' Sf (C) = yj-r1&2 +1

с , л Sf (0)

sp(c) = 222 , ' YP K® +1

(8)

где

Yf

Q1 Q f

Cf

Qr= T

f '

v = Tp=Q^ = C r1 Qp Cp

, Q = T "p 1 p

(9)

1 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ G И ЗАКОНЫ САМОНАСТРОЙКИ ФОРМИРУЮЩЕГО ПАРАМЕТРА г2 ТОЧНОГО КАНАЛА

Формулы выигрышей в точности (3) и (5) и результаты их предварительного анализа, полученные в [3], позволяют оценить целесообразность осуществления

= Гц_ = Q 2 , где r1 = (Qj ) 1 = const , и определить

r2 Qj

законы самонастройки. Самонастраивающаяся система, работающая по тому или иному принципу, должна обеспечить настройку параметра компенсирующего (точного) канала z на оптимальное значение показателя эффективности Gmax при заданном оптимальном значении

j

формирующего параметра основного канала r1 = r1 . j

Выбор значения r1 может быть осуществлен в результате решения задачи последовательного синтеза каналов итерационной системы [4].

Для более сложных структур оператора точного канала, отличающихся от эталонных, может иметь место несколько перестраиваемых параметров zi. При этом для настройки параметров точного канала может быть применен метод градиента, при котором, в общем случае,

z(t) = C ■ gradG[z(t), p(t), A(t)] , где C - вектор скалярных множителей; z (t) - вектор функции скоростей изменяемых параметров; M(t) = M[Mo(t), Yx(t), Yf (t)] и Z(t) =A[Ao(t), Yf (t), Yq>(t)] - параметры-функции, характеризующие относительную точность первого (основного) канала.

Для рассматриваемых случаев функционалов качества (3) и (5) с одним перестраиваемым параметром z и /и(t) = , Мt) = ^о составляющая gradG будет равна.

Для первого варианта (3):

W*

* /гл*\ — 1

самонастропкп точного канала W2 по одному параметру

*

;

z

Из (6), (7), (9) следует, что безразмерный параметр г характеризует отношение полос пропускания точного и грубого каналов и определяется отношением их собственных частот; параметры у, и /, ур - отношение полосы пропускания основного (грубого) канала к ширине спектра производной полезного сигнала О^ и спектров помех О у , Ор соответственно. Обычно для воспроизводящих систем полезный сигнал х (t) узкопо-лосен, т. е. Т, » т^ и у-1 « 1 , а помехи /(t) и р(t) близки к процессам типа белого шума, т. е. Т/» Г1 ,

ТР » Г1 и /« ^ Ур « 1.

Используем полученные результаты для подготовки решения общей задачи синтеза адаптивной итерационной двухканальной воспроизводящей системы с эталонной настройкой каналов управления. Для этого в рамках статьи рассмотрим экстремальные характеристики показателя эффективности О и получим законы самонастройки формирующего параметра Г2 точного канала при изменении интенсивности мешающих воздействий /(t) и р(t) в каналах двухканальной системы.

3G1 1 + ß0

Pq( z, Я0)

dz 2#1Л0

\2

z3 + 2# z 2 + z +

2#Л

(10)

0

где

Po (z, Ло) = — z 4 — 4# z3 — 2(1 + 2#2)z 2 +

#1

Л - #

\Ло

z +--1

Л0

Оптимальное значение г = гтт , при котором достигается максимальное значение ^ , может быть

определено из уравнения Р0(гтт,Я0) = 0 . Для графического решения уравнения последнее удобно представить в виде

—1

r

1

1

1 = 1+-

Л

zLn+454»+2(1+2S2)z;

3

^опт

■2\ 2

+

1

451 Т

1+ 1 z

й а

-. (11)

Из (11) видно, что при й > 0,5 экстремум имеет место для значений Л0 < 1, т. е. при интенсивности помех в компенсирующем канале меньшей, чем в основном Sp (0) < Sf (0) . Заметим, что в рассматриваемом случае при \x=const оптимальные значения zonm , определяющие закон самонастройки точного канала -1

(r

2опт

= z.

опт

r1 ),

зависят только

от

отношения

Л0 = Sp (0)/ S f (0) спектральных плотностей мешающих воздействий p( t) и f( t) на входе соответственно второго и первого каналов. Соответствующие графики зависимости zonm от Л0 при й = 0,1; -72/2 приведены на рис. 1, а (кривые 1). Из (3), (11) найдем экстремальное (максимальное) значение G* =Gin,„v, зависи-

1 1 ^max

мость которого ( 1 + А0)Gimax от Л0 при

Й1 = 0, 1 л/2/2 приведена на рис. 1, б (кривые 1). Для второго варианта (5)

3G2 _ 1+ А0

Q0 (z,^)

dz

Л0

4 3 2 si 2 1

z 4 + z + z 2 + (1 + —)z + — Л0 Л0

где

Q0 (z, Л0) = -z6 - 2z5 - 3z4 - 4

'1 Л

Л0

z3 -

- 3

1-

3Л

z2 -2

0

'1 -±л Л0

v

1

z - -1 . Л0

Решив уравнение Q0(z'm¡,Л0) = 0 , найдем оптимальное значение z = z' , при котором достигается максимальное значение G2max . Уравнение удобно представить в виде

1 _ 1 + i^mm ) + 2(zmm ) + 3(zmm ) 2(zmm ) + 2

Л0

4(zunm ) + 5(z unm ) + 2zt>nm 1

(12)

Yp = Y f

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Sp (0)

Л 0 =-

0 Sf (0)

a)

G i max (1 + А0 )1Gtmax (i = U) (ПРИ А0 = 5 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Л = Sp (0)

б)

Рисунок 1 - Графики экстремальных зависимостей

zonm = zonm(Л0) ' z опт = z опт(Л0) - (а) и

( 1 + А)-1G1 max = ¥1 (Л0) » ( 1 + А)1 G2max = = ¥2 (Л0) - (б) для первого (кривые 1) и второго

(кривые 2) вариантов задания эталонных операторов итерационной двухканальной системы

Если отношение Л0 может быть прямо или косвенно измерено, то при известных неизменяемых параметрах

основного канала

f W

r1 ) зависимости

Из (12) следует, что в данном случае, при принятых й = Й2 = 72/2 экстремум имеет место также для значений Л0 < 1, т. е. при Sp (0) < Sf (0) . Однако, в отличие от первого варианта, это условие выполняется уже только при Zonm > 0, 3 . Графики зависимостей

оптимальных значений z\nm и ( 1 + А)-1 G2max от Л0 приведены соответственно на рис. 1, а (кривая 2) и рис. 1, б (кривая 2).

r2onm = zolm (Л0 >r1 , r20nm = [zоппДЛ0)] ' r1* , определяют законы самонастройки формирующего параметра точного канала итерационной двухканальной системы для соответствующих рассмотренных вариантов задания ее эталонных операторов.

Из рис. 1 следует, что эффективность введения точного канала W2 , оцениваемая по оптимальному значению выигрыша в точности Gimax (¿=1,2), повышается с уменьшением Л0 (с уменьшением интенсивности помехи p(t) во втором канале) и с увеличением А для обоих

z , z

опт '

z

опт

5

4

3

2

0

30

5

24

4

2

2

6

0

0

5

рассмотренных вариантов. Так, например, при = ^2 = л/2/2 , Яо = 0, 2 и /Но = 5 имеем:

G1 max = 10> 5 ; G2max = 8' 1 , т. е. дисперсия о0иб-ки итерационной системы при оптимальной настройке параметров точного канала уменьшилась более чем в 10 раз (для первого варианта) и более чем в 8 раз (для второго варианта) по сравнению с дисперсией ошибки основного канала. Вместе с тем, в первом случае такое повышение точности имеет место при полосе пропускания второго канала, примерно равной полосе пропускания первого (при Яо = 0, 2 zonm ~ 1 ), а во втором случае - требует расширения полосы пропускания второго канала более чем в 2 раза по сравнению с первым

(прп Ло = 0, 2 Zo

2, 2 ).

G =-

2#1 Л

1 + •

2#1

•{( z 2 + 2#1 z +1) x

x (yfz + 1)}/{z( z 2 + 2#1 z + 1)(Yf z +1) +

2#Л

1 + •

If 2#1

—1

[(Yf — cr )z +1]}

где

ß = ßo

(2#1 +c7/ )(1 + a#1 )

2#1 (1 + 2#y—1 + y—2):

c Y „ =

'У f

2#1 Y f

1 + 2#1Yf '

a #1 =

1 + 4#2 8#3

dG1

~дГ

1 + ß

2#1Л0

1 +

2#1

V 'V

[Q( z,Лo,Yf) —

— P(z, Л), Yf )Ш yf z 4 + (1 + 2#1 yf)z3 + (2#1 +Yf )z2 +

(13)

1 +

2#Л

1 + ■

"iL 2#1

—1

(Yf — CYf )

z +

В связи с этим желательно, чтобы при узкополосном полезном сигнале х( t) и широкополосной помехе /(t) (О1 « О у ) что имеет место в рассматриваемом случае,

основная система (первый канал) обеспечивала бы достаточно хорошее сглаживание помехи, при котором

$} < §1 и ^0>1.

Практический интерес может представлять и случай, когда ширина спектра О у помехи /(t) в основном канале сопоставима с полосой пропускания канала Оу . Тогда, полагая Yf ^ 0 и Yр = 0 , для выигрыша в точности О1 вместо (3) получим [3] 1+ М „_2

2#1Л0

1+•

If 2#1

(14)

где

Q( z,ko,Yf) =

2f

Ло (1 + 2#1 Yf +Yf)

Yf 2

——z +

4#1 #

+ lYf z + 2(1 + #1 Yf)

(15)

P( z, Лo,Yf) = yfz6 + 2Yf (1 + 2#1 Yf) z5 +

+ 2

- + 4#1 Yf + (1 + 2#12)y:2

+ 4#1

1+

— + 2#

Yf + Yf

+ 2

1 + 2#j2 + 4#1Yf +1 у2

z 4 +

z3 +

2

z —

— {#o(1 + 2#1Yf + y2f)]—1 — —2(2#1 + Yf )}z — -L + 1 .

Оптпмальное значенпе zonnl = ^Bi(#1,^),Yf) может быть определено пз уравненпя

Q( z,A),Yf) = P( z,Лo,Yf)

(16)

Из (14) - (16) видно, что при Yf =-QL = o

Q f

Qf ) и Я0 =Я0 = const , когда Q(z,Xj,Yf) = 0 , уравнение (14) совпадает с (10), а уравнение (17) - с (11), и zonm может быть определено графически

точками пересечения функции P( z,X0) с осью абсцисс. При Yf =Y*f = const Ф 0 zonm определяется уже абсци-

После дифференцирования (13) и преобразования результата к удобному для дальнейшего анализа виду для найдем

+

2

—1

+

x

x

+

о

*

ссами точек пересечения функций Q( z, Л0, ff)

P(zX,ff) .

Z * опт

9 _ — 0,5

8 ■ u/f f—0

7 - , v\\4/f f — 0,3

6 • Л f — 0,5

5 - ^tf f — 0,7

4 Г XV f f — 1

3 -

2 1 - r f— 24

1 i ■ i i * i *

0 0.1 0.3 0.5 0.7 , s ф (0) Х 0 — 0 sf (0)

Рисунок 2 - График зависимости zQnm = zonm(X0, f) при £ = 0, 5

(1 <1mm:

■ — 0 — 0,5

3

\%r f — 0,5

2 ' Vv^ff — 1

— >

1 I.I. i J i i

о 0.1 0.3

0.5

Хп —

4(0) Sf (°)

Рисунок 3 - График зависимости (1 + ¡0)-iGiтах = F(Ao,rf) при ^ = 0 5

На рис. 2 и рис.3 приведены результаты решения уравнения (17), полученные при ^ = 0, 5: графики

оптимальных значений Zonm = zonm(^о f) (см. рис.2) и соответствующие максимальные значения величины (1 + ¡¿о) 1 Gi = F(^o, f) (см. рис.3), определяю-щей выигрыш в точности (13). Из графиков видно, что при Х° — const с увеличением ff zQnm уменьшается, что

физически очевидно. С ростом у^ спектр сигнала, который должен воспроизводиться на выходе компенсирующего канала, сужается и это позволяет соответствующим образом уменьшить его полосу пропускания □ 2 Вместе с тем, легко заметить, что влияние у^ несущественно для значений 0< у^ <1. При ширине спектра помехи Д ?), превышающем полосу пропускания основной системы (□ < □ у), имеет место закономерность: чем

больше Л , тем ближе г к его значению при белом 0 ' опт г

шуме (у^ = 0).

Обобщая, можно сказать, что слабая зависимость экстремальных характеристик функционала качества О от у^ (см. рис.2,3) существенно облегчает решение

задачи создания самонастраивающейся двухканальной системы, ибо изменение физических параметров второго, точного канала может производиться только в зависимости от одной относительной величины Л0 , в основ-

ном определяющей влияние изменения интенсивности

помех на оптимальные значения формирующего пара*

(Л )г

опт

метра точного канала г2опт — Zonm

2 РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Экспериментальное исследование итерационной двух-канальной воспроизводящей системы с самонастройкой точного канала выполнено на аналоговой электронной модели согласно структурной схеме, приведенной в

работе [4] (см. рис.2), для первого варианта (2) задания

„, * *

операторов автономных каналов Wl , W'1 и мешающих воздействий А?), ), определяемых равенствами (8).

При этом г = г* = 0,1 с; £ = 0,5 ; Г/ =7<р= 0,33 .

На рис.4 приведены осциллограммы изменения переходных характеристик итерационной двухканальной системы (выходной величины у(?)) по задающему воздействию х (?) при изменении формирующего параметра * -1 *

точного канала г2 = %0пт Г в рабочей области экстремальных характеристик системы: г опт = 1 (вторая осциллограмма); г опт = 3, 3 (третья осциллограмма); г опт = 10 (четвертая осциллограмма); (время развертки равно Т 3 = 9с). При этом на вход системы подавалась последовательность прямоугольных импульсов длительностью Ти = 1, 5 с, которая при г опт — 10 практически без искажений воспроизводилась на выходе

у(?). На первой осциллограмме показана ошибка

* *

Ох () = £1Х () = [1 - (р)] х(/) основной системы ^ ,

поступающая для отработки на вход второго, точного *

канала W2 .

и

Рисунок 4 - Осциллограммы изменения переходных характеристик итерационной двухканалъной системы при различных настройках второго, точного канала

На рис.5 показаны осциллограммы случайных процессов ошибок у ) = -ф*( р) у (/) и

* с*

еу (^) = [1 — ^2 (р)]§у ) итерационной системы по случайной помехе /({) при различных гопт . Первая осциллограмма представляет внешнее воздействие /(t) ; вторая (при гопт = 0 ) соответствует ошибке однока-

нальной (грубой) системы () = е-у () ; третья, четвертая, пятая и шестая - ошибке итерационной двухканальной системы е/( t) при гопт = 1 ; 2; 5; 10

(время развертки равно Траз = 9 с). Видно, что при 2опт — 0 ошибка е/( t) от действия помехи /(t) на выходе системы практически отсутствует.

Рисунок 5 - Осциллограммы ошибок §/( t), е/1) итерационной двухканалъной системы по случайной помехе /(t) при различных гопт

Рисунок 6 - Осциллограммы ошибок 6j( t), £f t) итерационной двухканальной системы по помехе в виде f( t) последовательности прямоугольных импульсов при x(t) = 0, (p(t) = const и при различных zonm

На рис.6 показаны осциллограммы для ошибок 6f( t) и £f(t) итерационной системы, характеризующие процесс компенсации детерминированной помехи f( t) в виде последовательности прямоугольных импульсов той

же длительности Tu = 1, 5 с при перестройке формиру-

f

ющего параметра точного канала r2 (при этом x (t) =0,

((t) = const ): первая осциллограмма - при zonm = 0 (первый, грубый канал); вторая, третья и четвертая -при значениях zonm = 1 ; 2; 5.

Приведенные осциллограммы динамических процессов и другие результаты экспериментальных исследований подтверждают возможность компенсации ошибок и эффективность перестройки физических параметров точного канала итерационной двухканальной системы при изменении характеристик внешних воздействий. При этом возможная цепь самонастройки сравнительно проста и должна включать в себя два измерителя дисперсий сигналов f(t) , ((t) и делитель (определяющий их отношение), напряжение, с выхода которого может использоваться для изменения параметров настройки точного канала. Такое изменение параметров в процессе самонастройки не приводит к нарушению устойчивости двухканальной системы (если сохраняется устойчивость точного канала), а также не сопряжено с необходимостью параметрического или сигнального воздействия на основную систему (грубый канал), которая может иметь значительное усиление по мощности.

ВЫВОДЫ

1. Определены экстремальные характеристики показателя эффективности G и получены законы само-

настр°пкп Г2опт=2о1т(Л0)r* > r\onm= [z'опт(Л0)] V1 формпрующего параметра Г2 точного канала прп

изменении интенсивности мешающих воздействий f( t ) и р( t ) в каналах управления итерационной двухканальной системы. При этом максимальные значения выигрыша в точности тем больше, чем больше

параметр ß0 и меньше параметр Я0 .

2. Показано, что при заданных параметрах первого, грубого,

канала ( ^ = = const, ^ = const ) и широкополосной помехе р( t) в точном канале оптимальные значения перестраиваемого параметра точного канала г2опт , Г2onm , определяющие оптимальную полосу пропускания двухканальной системы, зависят в основном от соотношения Я = Sp (0) / Sf (0) интенсивностей помех в точном и грубом каналах и практически не зависят от постоянной времени корреляции Tf случайной помехи

f(t) в грубом канале системы.

3. Приведены результаты экспериментальных исследований, подтверждающие эффективность перестройки параметров точного канала для достижения максимальной степени компенсации ошибок итерационной двухканальной системы управления при изменении внешних воздействий.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Осмоловский П. Ф. Итерационные многоканальные системы автоматического управления. - М.: Сов. радио, 1969. - 256 с.

2. Худяев А. А. Критерии эффективности итерационных двухканальных воспроизводящих систем при случайных воздействиях //Электромашиностроение и электрооборудование. - 2002. - № 58. - С. 92 - 96.

3. Худяев А. А. Суммарные функционалы качества итерационных двухканальных систем управления с эталонной настройкой и при случайных воздействиях // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003. -№ 3(9). - С. 142-149.

4. Худяев А. А., Гвоздева Е. В. Автоматизированное проектирование итерационных многоканальных систем с эталонной настройкой каналов // Вестник ХГПУ. Сборник научных трудов. Тематический выпуск 113. - Харьков: ХГПУ, 2000. - С. 49-56.

Надшшла 11.03.2003 Шсля доробки 15.10.2003

Розглядаються екстремальт характеристики показника ефективност1 i закони самонастроювання смуги пропускания другого, точного, каналу iтерацiйио'i двоканальног системи керування при змiиюваииi iитеисивиостi випад-кових завад в каналах.

Extreme responses of efficiency index and laws of second, precision channel bandwith self-adjusting of the iterative type two-channel control system upon changing of random noise intensity in channels are considered.

УДК 681.511.46

E.A. Шушляпин, О.Г. Подольская

УПРАВЛЕНИЕ ТЕРМИНАЛЬНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ

Предложена модификация метода конечных состояний для синтеза управлений многомерными нелинейными дискретными по времени терминалъными системами с дифференцируемыми нелинейностями. Рассмотрен пример.

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Многие модели динамических систем имеют описания в виде систем нелинейных конечно-разностных уравнений. Такие модели особенно характерны для описаний сложных систем, в частности, экономических процессов. В качестве примеров можно привести модели из работ [1 - 3]. Для управления подобными системами широко используются методы конечномерной оптимизации (математического программирования), поскольку в дискретных по времени задачах количество искомых значений управляющих воздействий конечно. Тем не менее, зачастую размерность таких задач чрезмерно велика даже для современных компьютеров и существует необходимость разработки более быстродействующих методов. Для решения задачи такого рода используются несколько подходов. Для задач с дискретными мно-

жествами состояний существуют методы, объединенные названием "методы последовательного анализа вариантов", когда ищутся процедуры отбраковки на ранних стадиях просмотра неконкурентоспособных подмножеств вариантов. К ним относятся такие известные методы, как динамическое программирование, ветвей и границ и другие [4]. Задачи с непрерывными состояниями также можно приближенно решать этими методами, вводя дискретизацию состояний. Другое направление - замена тем или иным образом многомерной задачи математического программирования совокупностью задач меньшей размерности. Зачастую здесь существенную роль играют частные свойства моделей систем и постановок задач их оптимизации.

В данной работе предлагается метод, относящийся к последней из упомянутых групп, ориентированный на терминальные задачи вида

J = J(xN ) ^ J ,

x. =Ф(j, x, j) + B.u., j = 1,2..., N, x0 = x0,