Управление терминальными нелинейными дискретными системами методом конечного состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

изменении интенсивности мешающих воздействий f( t) и р( t) в каналах управления итерационной двухка-нальной системы. При этом максимальные значения выигрыша в точности тем больше, чем больше

параметр ¡10 и меньше параметр Я0 .

2. Показано, что при заданных параметрах первого, грубого,

канала ( ^ = = const, ^ = const ) и широкополосной помехе р( t) в точном канале оптимальные значения перестраиваемого параметра точного канала г2опт , г\опт , определяющие оптимальную полосу пропускания двухканальной системы, зависят в основном от соотношения ^ = Sp (0) / Sf (0) интенсивностей помех в точном и грубом каналах и практически не зависят от постоянной времени корреляции Tf случайной помехи

f(t) в грубом канале системы.

3. Приведены результаты экспериментальных исследований, подтверждающие эффективность перестройки параметров точного канала для достижения максимальной степени компенсации ошибок итерационной двухка-нальной системы управления при изменении внешних воздействий.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Осмоловский П. Ф. Итерационные многоканальные системы автоматического управления. - М.: Сов. радио, 1969. - 256 с.

2. Худяев А. А. Критерии эффективности итерационных двухканальных воспроизводящих систем при случайных воздействиях //Электромашиностроение и электрооборудование. - 2002. - № 58. - С. 92 - 96.

3. Худяев А. А. Суммарные функционалы качества итерационных двухканальных систем управления с эталонной настройкой и при случайных воздействиях // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003. -№ 3(9). - С. 142-149.

4. Худяев А. А., Гвоздева Е. В. Автоматизированное проектирование итерационных многоканальных систем с эталонной настройкой каналов // Вестник ХГПУ. Сборник научных трудов. Тематический выпуск 113. - Харьков: ХГПУ, 2000. - С. 49-56.

Надшшла 11.03.2003 Шсля доробки 15.10.2003

Розглядаються екстремальт характеристики показника ефективност1 i закони самонастроювання смуги пропу-скання другого, точного, каналу iтерацiйно'i двоканально'( системи керування при змiнюваннi iнтенсивностi випад-кових завад в каналах.

Extreme responses of efficiency index and laws of second, precision channel bandwith self-adjusting of the iterative type two-channel control system upon changing of random noise intensity in channels are considered.

УДК 681.511.46

Е.А. Шушляпин, О.Г. Подольская

УПРАВЛЕНИЕ ТЕРМИНАЛЬНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ

Предложена модификация метода конечных состояний для синтеза управлений многомерными нелинейными дискретными по времени терминальными системами с дифференцируемыми нелинейностями. Рассмотрен пример.

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Многие модели динамических систем имеют описания в виде систем нелинейных конечно-разностных уравнений. Такие модели особенно характерны для описаний сложных систем, в частности, экономических процессов. В качестве примеров можно привести модели из работ [1 - 3]. Для управления подобными системами широко используются методы конечномерной оптимизации (математического программирования), поскольку в дискретных по времени задачах количество искомых значений управляющих воздействий конечно. Тем не менее, зачастую размерность таких задач чрезмерно велика даже для современных компьютеров и существует необходимость разработки более быстродействующих методов. Для решения задачи такого рода используются несколько подходов. Для задач с дискретными мно-

жествами состояний существуют методы, объединенные названием "методы последовательного анализа вариантов", когда ищутся процедуры отбраковки на ранних стадиях просмотра неконкурентоспособных подмножеств вариантов. К ним относятся такие известные методы, как динамическое программирование, ветвей и границ и другие [4]. Задачи с непрерывными состояниями также можно приближенно решать этими методами, вводя дискретизацию состояний. Другое направление - замена тем или иным образом многомерной задачи математического программирования совокупностью задач меньшей размерности. Зачастую здесь существенную роль играют частные свойства моделей систем и постановок задач их оптимизации.

В данной работе предлагается метод, относящийся к последней из упомянутых групп, ориентированный на терминальные задачи вида

J = J(xN ) ^ J ,

x. =Ф(j, x, j) + B.u., j = 1,2..., N, x0 = x0,

где х, и - соответственно п - и г - мерные векторы состояния и управления, х0 - известный вектор начальных условий, ] - индекс, указывающий на номер дискретной точки по оси времени, Ф - непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка вектор-функция, В - (п X г) - матрица коэффициентов при г -мерном векторе управления и(t) .

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ

СОСТОЯНИЙ

Для решения аналогичных (1) задач в непрерывном времени нами предложен терминальный метод, названный "метод конечного состояния" [5-10], основанный на использовании интегрального соотношения В.М. Алексеева [11]. В этом соотношении, как и в методе конечного состояния, центральную роль играют так называемые переменные конечного состояния и соотношения, их определяющие. Так, для непрерывного аналога задачи (1)

3 = 3(х(у, 0) ^ 3, йх

йг

= Ф(г, х) + В(г)и(г), г е [г0, гу ], х(г0 ) = х'

(2)

йШ(Ь,г, х(г))

йЬ

йх(Ь,г, х(г)) йЬ

дФ(Ь, х)

дх

= ф(ь,г),

х=х(Ь,г,х(г))

• Ш(Ь,г, х(г)),

(4)

Ь е [г, г у ], Ш(г, г, х()) = /, х(г, г, х()) = х(г).

хг,,-1 (х,_! ) = ф0 - 1, хг_1,,-1 (х,- », г = '',' + _ 1),

ХЯ,И (хУ_1 ) = ху _1.

(5)

Следующая идея непрерывного аналога метода конечного состояния - замена аргумента в целевой функции критерия: вместо конечного состояния х(tj) подставляется переменная конечного состояния

х(у, г, х(У) как функция второго аргумента. В результате вместо исходного критерия получаем критериальную функцию времени, которую в непрерывном случае

обозначали 3(г) = 3(х(гу, г,х()) . В силу свойства х(г, г, х(г)) = х(г) при любом t задача (2) эквивалентна

задаче 3(г у) ^ 3 . Аналогичную операцию выполним для дискретной задачи (1), определив ее критериальную функцию следующим образом:

3= 3(хм .(х,-)) .

(6)

Для критериальной функции времени задаем желаемую траекторию во времени как решение конечно-разностного уравнения с некоторой правой частью 3, которая, собственно, и определяет траекторию:

соотношение Алексеева имеет вид:

J

х(гу) = х(гу,г,х()) + (гу,т,х(т))В(т)и(т)йт , (3)

г

где х(гу, г, х(г)) и есть упомянутая выше переменная конечного состояния, отображающая конечное состояние системы (2) в предположении, что в момент t система

(1) имеет состояние х(t) и на интервале те [,г у] управление нулевое.

Уравнения, определяющие переменные конечного состояния и переходную матрицу W как функции первого аргумента для (2), получены Алексеевым и имеют вид

= ^ (3- _1)

Так, если задаться

¡3 = 3, _1 + к(3 * _ 3,

(7)

(8)

то решение (7) с увеличением индекса ] будет по экспоненте с постоянной времени 1/ к приближаться к 3* .

Дальнейший этап в применении метода конечного состояния для непрерывных систем и задачи (2) -получение векторно-матричного дифференциального уравнения для переменной конечного состояния как функции второго аргумента. Вычисляя производную по времени от (3) в силу системы (2), получаем

йх(у, г, х(г)) йг

= ш (г у, г, х(г))в(г)и(г)

(9)

Опираясь на непрерывный аналог определения переменной конечного состояния из (4) как решение неуправляемой системы, следующей из (2) при и(t) = 0, определим переменную конечного состояния для дискретной системы (1) как функцию первого индекса

Получим аналогичное конечно-разностное уравнение для задачи (1). Из (1) и (5) следует

,_1 (х;_1) = ф0' _ \ х,_1,,_1(х,_1)) =

= фО _1 х- _1> = х- _ в}и} =

= ху,, (x^ > _ '', } = 1,2.....N.

Отсюда получаем

0

I

х;, 1 Сx}) - х.,.-lСx}-1) = В]и], ] = 1,2.....N.

(10)

+1,

(х,) = Ф( 1,х,. .(х,)) .

Х+1,,-1(Х}-1) = ф(. , х.,.-1(х;-1)) =

= ФО, Ф(. -1, х.-1,1-1>> = Ф(., ФО -1, х.>> .

Вычитая (12 из (11), получаем

Ч+1,

(х/> х]+1, ] -1(х/ -1) =

= ФО, х,) -ФО,ФО -1, х.-1>)

X. +2,] (х, > - X.+2,]-1 (х.-1) = Ф(/ + 1, ФО, х] >> --Ф(. + 1,Ф(Ф(. -1, х.-1») =

Полученное соотношение не является аналогом (9), поскольку в нем первый и второй индексы зависимы в отличие от (9), где аргументы tf■ и t могут изменяться независимо друг от друга при соблюдении ограничения t0 < t < tf. Общим же между (9) и (10) является то, что

в обоих выражениях управление определяется через переменные конечного состояния как функции второго аргумента (индекса).

Начиная с выражения (10), аналогии между непрерывным и дискретным случаями заканчиваются и далее процедура получения терминального управления имеет особенности, характерные только для дискретного случая.

Исходя из определения (5) и выражения (10), получим последовательность аналогичных (10) выражений для увеличивающихся на единицу значений первого индекса.

Первое слагаемое левой части (10) с увеличенным первым индексом получим, полагая в (5) г = ) + 1 и сдвигая на единицу индекс ]

= Ф. +1[2](х;)-Ф

[3]

.+1

(х. -1).

В общем случае получаем

+к,}ул} '

(х/> - х..+к ..-1СX/-1> =

-Ф + к-1[к](х;>-Ф. + к-1[к+1](х; -1).

Из последнего выражения при к = N -) следует

XN,. (х} > XN,.-1 Сx}-1 > =

= Ф N-1[N - .](х; >-Ф N -1^ - .+1](х; _1),

(15)

Заменяя в правой части (15) х^ правой частью (1), получаем

(х. ) - х„^(х,^ = ФN_1[N-^(ФО-, х,г> +

+ В.и. >-Ф N^-.+1](хм>.

(16)

(11)

Второе слагаемое левой части (10) с увеличенным первым индексом получим, полагая в (5) г = ] + 1 :

(12)

(13)

Для сокращения последующих записей введем обозначение

Ф /к](х) = Ф(у,Ф0 - 1,ФСу- 2,...ФСу- к + 1,х)...)) ,(14)

где Ф имеет к рекурсивных вхождений, начиная с Ф ^(х) = ФО, х> и перепишем (13) в виде

^ > - X.+1,. -l(X} -1) = Ф. L1J(X}>-ф} ^(х. -1).

Для того, чтобы увидеть закономерность, произведем еще одно увеличение на единицу первого индекса

Выражение (16) является дискретным аналогом модели конечного состояния (9). Отметим одно важное принципиальное отличие (16) от (9): если в модели (9) управление в правую часть входит в виде сомножителя векторно-матричного произведения, то в (16) - на самом нижнем уровне рекурсии относительно вектор-функции Ф . Это обстоятельство подтверждает относительную сложность дискретных задач в сравнении с непрерывными, которая отмечена и в других задачах анализа и синтеза (например, в дискретном принципе максимума).

Вернемся к методу конечного состояния. В его непрерывном аналоге управление определяется из соотношения, получаемого приравниванием производной от критериальной функции по времени в силу уравнений (9) желаемой производной критериальной функции, которую по аналогии с (7) обозначим fJ(х0/,t, x(t>>>, т. е. Ы (х)

дх х=х(г^,г,х(г>>

х w , /, хСОЖОиО) = ! (J (x(tf, /, х(0)),

откуда с помощью псевдообращения может быть определен вектор и (t). В дискретном случае приравняем (8),

где J = J(XN/-1(x/-1>>, выражению для критериаль-

ной функции в силу конечно-разностного уравнения (16)

Л-1 + Ш * -1-1> =

= J(XN,}-l (х.- > + ФN-1^^^О, ху-1 > +

+ В и, > -ФN-1[N-}+1]Сx;-1>>.

Нелинейное относительно управления и у уравнение (17) и является тем соотношением, из которого определяется искомое управление дискретным методом конечного состояния. В отличие от непрерывного случая, где управление получается в явном виде, здесь для его определения в каждый дискретный момент у необходимо решать скалярное нелинейное уравнение с г неизвестными (по числу компонент вектора и ), т. е. фактически - г -мерную задачу нелинейного программирования. Сравнивая с традиционным способом решения задачи (1) методами математического программирования, когда размерность оптимизационной задачи равна N • г, видим, что расчет МКС-управления в общем случае производится намного быстрее. Однако при этом усложняется подготовительная работа, поскольку "ручное" формирование уравнения (17) для сложных функций правых частей при достаточно большом N практически нереально. Выходом из этой ситуации является их автоматической формирование на компьютере с использованием рекурсивных процедур. При этом нет необходимости формировать эти уравнения в аналитическое виде, если включить численный расчет рекурсий как составную часть метода решения нелинейного уравнения (17).

Xv. j-1 + k(J" - xNi-_!) = xN j- + Ф[2] (Ф(х0 ) +

N. j -1

N. j-1

+ B1U1) _Ф[3](хо ).

В последнем выражении xN ,_1 сокращается.

Ф[1](х02 + Ml) - (х02 + щ)2 . ф[2](х02 + м1) -- Ф(Ф[1](хо2 + Ml)) = (хо2 + Ml)4 Ф[1](хо) = хо

0 1 0 Ф[2](хо) = Ф(хо2) = х4 . ФИ(хо) = Ф(Ф[2](хо2)) = = (х4)2 = х0 . х1.0 = х0 . х2.0 = (х1.0) = х0 . х3.0 = (х2.0) = х0 .

Окончательное уравнение для определения ы, имеет вид

(х0 + M1 )4 _ х8 _ k(J* _ х0 ) = 0 .

Решение этого уравнения и1 = -1,66 , а х1 = х2 + и1 = = 22 - 1,66 = 2,34 .

Остальные уравнения составляются и решаются аналогично.

ПРИМЕР

Для демонстрации особенностей расчета дискретного МКС-управления рассмотрим простой пример. Пусть частный вид системы (1) следующий:

х- = х--1 + MJ.

j = 1.2.3; х0 = х0

(18)

МКС-управление дискретной системой: xj = (xj_1)2.+ u

k : = 0.5 N := 3 x0 := 2 Jz := 30 u1 := 0 u2 := 0 u3 := 0

Расчет МКС - управления ul, u2, u3

Given (x02 + uO - x08- k. (jz - x08)«0

2

u1 = find(u1 ) u1 =-0.542 x1:=x0+u1 x1 = 3.458

Given I ,2

- x14- k. (jz - x14)«0

Требуется определить Ui . Ы2 и Ы3 такие. чтобы к

дискретному моменту j = N = 3 переменная xN = Х3

стала равной желаемому значению J* . Ниже приведен листинг программы на языке MathCad. предназначенной для решения данной задачи. В указанном листинге функции Find и Minerr предназначены для решения систем алгебраических уравнений вида (17). записанных после служебного слова Given (Find - точного решения. Minerr - приближенного. с минимальной невязкой). на графиках показаны фактическое (сплошной линией) и теоретическое (пунктирной линией) поведение критериальной функции. которая в данном случае взята

в виде (7). (8) при J - = xN^ - (х-) . поскольку целью является приведение координаты к заданному значению J* = 30 (в листинге обозначено Jz).

Следуя (17). выпишем последовательно уравнения для N = 3 и j = 1, 2, 3 без нижних индексов для Ф .

так как правая часть (18). где Ф = х2.B = 1 . от j не зависит. Для j = 1 имеем

и2:=йпа(и2) и2 = -2.658 х2 := х1 +- и2 х2 = 9.301

2

и3 :=ш1пегг(и3) и3 =-28.25 х3 := х2 ^ и3 х3 =58.25

Фактическое поведение переменной конечного состояни как функции второго аргумента г, j=0,1,2,3

г : = [ х08, х 14, х 22, хЗ1 ]

Желаемое поведение переменной конечного состояния как функции второго аргумента гТ, j=0,1,2,3

гТ: = [х0Т, х1Т, х2 Т, хЗТ]

х0Т:=х08 х1Т:= х0Т4-к.(^-х0Т) х2Т := х1Т + к(^- х1Т) х3Т := х2Т + к.(^- х2Т) ]:=0..М

300

J 100

1 2 J

2

zJ 200

0

3

На приведенном выше графике видно, что теоретическое и фактическое поведение критериальной функции, заданной в виде XN,j , полностью совпадают, а значение х33 = х3 = 30 равно заданному значению.

ВЫВОДЫ

1.Получена модель конечного состояния (16) для дискретных систем вида (1).

2.Получена модификация метода конечных состояний (17) для синтеза управлений многомерными нелинейными дискретными по времени терминальными системами с дифференцируемыми нелинейностями (дискретное МКС-управление).

3.Дискретное МКС-управление реализуется в виде последовательности из N г -мерных задач математического программирования в отличие от решения данной задачи "в лоб", когда решается одна задача математического программирования размерности N • г .

4. В отличие от метода динамического программирования, где также многомерная задача заменяется последовательностью задач меньшей размерности, при расчете дискретного МКС-управления нет необходимости сохранять промежуточные результаты как функции состояния в дискретные моменты времени.

5.Для относительно сложных задач необходимо автоматическое формирование уравнений типа (17), поскольку соответствующая "ручная" операция весьма трудоемка и чревата ошибками.

ПЕРСПЕКТИВЫ

Предложенный подход в совокупности с соответствующим программным обеспечением для автоматического формирования уравнений дискретного МКС существенно ускоряет процесс расчета терминальных управлений для задач вида (2) в сравнении в известными методами. Перспективным направлением развития метода является его обобщение на смешанные системы с математическим описанием в виде совокупностей нелинейных дифференциальных и конечноразностных

уравнений. Последний вид моделей применяется в случае компьютерного управления нелинейными непрерывными динамическими объектами как для социально-экономических, так и технических систем.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Маевский В. И., Каждан М. Я. Эволюция макрогенераций // Экономика и математические методы.-1997.-№ 4.-С.153-164.

2. Абакумов А. И., Гиричева Е. Е. Моделирование демографических изменений при экономических ограничениях / / Экономика и математические методы.-2002.-№ 4.-С.110-114.

3. Малыхин В. И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие.-М.: Изд-во УРАО, 1998.-160с.

4. Зайченко Ю. П. Исследование операций.-К.: Вища школа, 1979.-392с.

5. Шушляпин Е. А. Синтез линейных и нелинейных систем управления конечным положением на основе моделей конечного состояния // Проблемы управления и информатики . - 1997. - № 3. С.10-16.

6. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Синтез управления переходными процессами в нелинейных системах электропривода // Радиоэлектроника. Информатика. Управле-ние.-1999.-№ 1.-С.136-140.

7. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Модели конечного состоя-ния для непрерывно - дискретных систем//Радиоэлектро-ника. Информатика. Управление.-1999.-№ 2.-С.129-132.

8. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Синтез терминального управления методом конечного состояния // Известия вузов "Электромеханика". - 2000. - № 1. - С.72-75.

9. Шушляпин Е.А. Терминальное управление системами с дифференциально-алгебраическими ограничениями методом конечного состояния // Радиоэлектроника. Информатика. Управление.-2000.-№ 1.-С.166-172.

10. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Терминальное управление возбуждением синхронного генератора методом конечных состояний // Известия вузов "Электромеханика". -2002. - № 2. - С.69-72.

11. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Москов. унта. Сер.1. Математика, механика. - 1961. - №2.-С.28- 36.

Надшшла 22.09.2003

Запропонована модиф1кащя методу ктцевих статв для синтезу керуванъ бaгamомiрнuмu HeëimÛHUMu дискретними у часг meрмiнaлънuмu системами з диферецшованими нeлi-ншностями. Розглянутий приклад.

There was offered a terminal state method modification for synthesis controls in multidimensional nonlinear terminal discrete systems with differentiable nonlinearities. The example is considered.