Обобщение метода конечного состояния на нелинейные системы с переменными запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

перейти к рассмотрению вопросов практической реализации итерационных двухканальных воспроизводящих систем с самонастройкой второго, компенсирующего, канала управления.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Осмоловский П. Ф. Итерационные многоканальные системы автоматического управления. - М.: Сов. Радио, 1969. - 256 с.

2. Многоканальные итерационные системы управления / Б. И. Кузнецов, А. А. Худяев, И. Н. Богаенко и др. - К.: НПК «КИА», 1998. - 224 с.

3. Худяев А. А. Критерии эффективности итерационных двухканальных воспроизводящих систем при случайных воздействиях // Электромашиностроение и электрооборудование. - 2002. - № 58. - С. 92-96.

4. Худяев А. А. Влияние параметров случайных воздействий и полосы пропускания точного канала на качество итерационной двухканальной системы с эталонной настройкой // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2002. - № 2(8). - С. 148-156.

5. Худяев А. А. Суммарные функционалы качества итерационных двухканальных систем управления с эталонной настройкой и при случайных воздействиях // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003. -№ 1(9). - С. 142-149.

6. Худяев А. А. Экстремальные характеристики качества и законы самонастройки точного канала итерационной двухканальной системы управления при случайных

воздействиях // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003. - № 2(10). - С. 132-138.

7. Худяев А. А. Коэффициенты ошибок неравноточных итерационных многоканальных систем управления // Электромашиностроение и электрооборудование. -2003. - Вып. 60. - С. 54-60.

8. Худяев А. А., Гвоздева Е. В., Момот А. П. Оценка установившейся динамической точности итерационной многоканальной воспроизводящей системы // Вестник НТУ «ХПИ». Сборник научных трудов. Тематический выпуск «Проблемы автоматизированного электропривода. Теория и практика». В 2-х томах. - Харьков: НТУ «ХПИ», 2003. - Вып. 10. - Т. 2. - С. 351-355.

Надшшла 4.09.06

Розглянуто dim невипадковог складовог корисного сигналу на точтстъ ШерацшноЧ двоканалъног вiдтворю-валъног системи з еталонним настроюванням каналiв керування при випадкових збуреннях. Графiчно визначено закон самонастроювання смуги пропускання другого, ком-пенсувалъного, каналу на максимально можливу точтстъ роботи системи при змiнюваннi характеристик вхiдних збурювалъних впливiв.

The influence of setting (useful) signal nonrandom component on the precision of the iterative type two-channel control system with basic standard tuning of channels by random noises is considered. The law of second, compensate, channel bandwidth self-adjusting on the most possible precision of control system operation upon changing of input actions characteristics is graphically defined.

УДК 681.5.015: 681.511.4

Е. А. Шушляпин, Е. В. Виноградов

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Для нелинейных динамических систем со многими переменными во времени запаздываниями решена задача терминального управления методом конечного состояния.

ВВЕДЕНИЕ

Системы с запаздываниями являются достаточно распространенным видом управляемых систем, особенно при управлении на большом расстоянии либо при использовании сложной обработки измерительной информации. Имеются и другие области, где адекватными математическими моделями являются именно системы с запаздываниями. В арсенале современной теории автоматического управления имеется ряд подходов и методов, позволяющих управлять системами данного класса, но практически все они либо накладывают большие ограничения на модель объекта управления и параметры запаздывания, либо являются узко направленными

© Шушляпин Е. А., Виноградов Е. В., 2007

и предназначены для решения конкретной задачи. Одно из направлений - использование методов управления и анализа для систем без запаздываний. Здесь можно выделить два подхода: замена звеньев модели, содержащих запаздывание, апериодическими звеньями с подходящей постоянной времени либо игнорирование малых запаздываний. В работах [1-3] рассматриваются подходы, при которых строятся специальные прогнозирующие устройства или наблюдатели, но при этом классы рассматриваемых систем имеют ряд существенных ограничений.

Среди достаточно общих методов, пригодных для синтеза нелинейных систем, выделим линеаризацион-ный метод А. Исидори (linearization I/O design method). Его обобщение на системы с одним постоянным запаздыванием и скалярным управлением предложено в [4], где, наряду с теоретической частью, приведен пример задачи терминального управления производи-

146

ISSN 1607-3274 «Радюелектронжа. 1нформатика. Управлшня» № 1, 2007

Е. А. Шушляпин, Е. В. Виноградов: ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

тельностью химического реактора с рециркуляциеи вещества.

Предлагаемое в настоящей статье исследование посвящено развитию альтернативного метода управления нелинеИными системами с запаздываниями, основанного на так называемом «методе конечного состояния».

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В ряде работ нами предложен и развит метод управления, названный «методом конечного состояния», ко-торыИ предназначен для решения непрерывных, дискретных и смешанных терминальных задач для нели-неИных систем (см., например, [5-6]). Метод основан на представлении систем так называемыми «моделями конечного состояния», где в качестве переменных (переменных конечного состояния, сокращенно ПКС) используются зависящие от текущего момента времени и состояния в этот момент конечные состояния неуправляемой системы.

Рассмотрим нелинеИную дифференциальную систему с запаздываниями

= Ф(Ь, X(Ь)) + В(Ь)• и(Ь),

йЬ

X(Ь) = со1оп(х°(Ь), х\Ь),..., хЫ(Ь)), хт(Ь) = х(Ь- кт{Ь)), т = 0, ..., Ы, Н°(Ь) = 0, Ь е [Ьо, Ь(], х(Ьо) = х(Ььо), Ььо = (-», Ьо], (1)

где и(Ь) - (г х 1) - вектор управляющих воздеИствиИ; Нт - неотрицательные непрерывные и дифференцируемые функции времени; х (¿ь) - и-мерныИ вектор начальных условиИ, заданныИ на полубесконечном интервале. Переменные конечного состояния х(Ьр, т, х(т)) как функции первого аргумента, а также формула связи между конечным состоянием, начальными условиями и внешними воздеИствиями и (Ь), полученные в работе [7] на основе формулы В. М. Алексеева [8] и приведенных в одном из отчетов о НИР результатах Ю. И. Томина (для линеИных нестационарных систем), определяются выражениями

х(Ьр) = х(Ьр т, х(т)) + | W(Ьf, Ь, х(¿Т))В(Ь)и(Ь)йЬ,

т

йх(Ь, т, х(¿т))

аЬ

= Ф(Ь, X(Ь,т, х(¿т))),

(2)

dW(Ь, т, х(¿т)) N _

-=^Ат(Ь, X(Ь, т, х(1т)))^т (Ь, т, х(¿т)),

т = 0

йЬ

Ат(Ь, Х(Ь, т, х(¿т))) =

= дФ ( Ь, X)

Wm(Ь,т, х (¿т)) = W (Ь - Нт( Ь), т), Ь е [т, Ьр],

W(т, т, х(¿ )) = I, W(Ь, т, х(¿т))| = 0,

1ь < т

х(т, т, х(¿т)) = х(Lт), (3)

д х

X = X(Ь, т, х(X,))

где I - единичная матрица.

Для целеИ управления важны, следующие из (2), уравнения, определяющие ПКС как функцию второго аргумента

ах(Ьв т, х(¿т)) „ ч

р а т т = W(Ьг,т, х(¿т))В(т)и(т), (4)

которые мы и называем моделью конечного состояния. Использование в наименованиях ПКС и модели (4) понятия «конечного состояния» обусловлено тем, что х(Ьр, т, х(¿т)), как это следует из (2), есть конечное состояние неуправляемоИ на участке [т, Ьр] системы, возбужденноИ в момент т начальным условием в виде текущего состояния х( ¿т).

Использование моделеИ конечного состояния применительно к задачам терминального [9] и оптимального [10] управления оказалось достаточно плодотворным, что позволило получить ряд новых алгоритмов.

Для метода конечного состояния центральную роль играют соотношения вида (2) вместе с определениями ПКС как функциИ второго аргумента, т. е. моделями конечного состояния. Заметим, что соотношения вида (2) для линеИных систем разного рода широко известны и используются в различных задачах (преимущественно как средство вывода математических соотношениИ). Так, для линеИных дифференциальных систем соответствующая формула носит название «формула Коши» (Коши - Лагранжа, Грина). Известны подобные формулы для линеИных непрерывно-дискретных систем, систем с постоянными запаздываниями, интегро-дифференциальных систем [11, 12].

Настоящая работа посвящена решению терминаль-ноИ задачи вида

*

] = Лх(Ьр))^ ] , = Ф(Ь, X(Ь)) + В(Ь)• и(Ь),

аь

X(Ь) = со1оп(х0(Ь), х1(Ь), ..., хЫ(Ь)), хт(Ь) = х(Ь- Нт(Ь)), т = 0, ..., Ы, Д Ь) = 0, Ь е [Ь0, Ьр], х(Ь0) = х(), ¿Ь0 = (-«>, Ь0], (5)

где Л - целевая функция критерия, зависящая от век*

тора состояния, Л - желаемое значение целевоИ функции.

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Рассмотрим терминальную задачу (5) и определим управление на основании обобщения формулы Алексеева (2). Для этого получим дифференциальное уравнение для переменной конечного состояния как функции второго временного аргумента. С этой целью продифференцируем (2) по аргументу т. Поскольку левая часть от т не зависит, слева будет нуль. Справа же, применяя правило дифференцирования по нижнему пределу определенного интеграла, получим

¿х(Ь, т, х(Ьт)) 0 = —- ' й ^т, х(Ьт))В(т)и(т).

Переставив члены и заменив т на Ь, получаем

¿х(Ь(, Ь, х(Ь))

р ¿Ь Ь- - = Ьр Ь, х(Ь%))В(Ь)и(Ь).

(6)

Систему уравнений относительно переменных конечного состояния как функций второго аргумента можно трактовать как модель системы управления -«модель конечного состояния». Ее особенность - отсутствие ПКС в правой части (6). В то же время терминальная задача (5) может быть сформулирована и через ПКС, так как Л(х(Ьр)) = Л(х(Ьр, Ьр, х(Ь ))).

Таким образом, в новых переменных эквивалентная (5) задача имеет вид

Л = Л(х{Ьр, Ьр, х(Ьр)))^ /,

йх(Ь, Ь, х(Ь))

Р ¿Ь Ь - - = Ьр, Ь, х(Ьт))В(Ь)и(Ь),

Ь е [Ьо, ЬрЪ х(Ьо, Ьо,х(ьь0)) = х(Ьо) = х°. (7)

Для получения управления определим вначале так называемую критериальную функцию времени Ь.

Л(Ь) = Л(х(Ьр, Ь, х(ЬЬ))).

Продифференцируем критериальную функцию по времени в силу уравнений (7). Тогда

¿Л( Ь) = дЛ (х- _ йх ( Ьр Ь х ( Ь ь) - = ¿Ь дх ¿Ь

= Ьр, Ь, х(Ьт))В(Ь)и(Ь),

(8)

где

дЛ( х -дх

градиент целевой функции (вектор-строка)

критерия с подставленными вместо аргумента х( Ь) ПКС х(Ьр, Ь, х(Ь)). Зададим желаемое поведение критериальной функции (КФ) во времени, но не в явном

виде, а посредством дифференциального уравнения с желаемым решением

Л = цл ( Ь )).

Например, задав Ц(Л (Ь)) =

= Л - Л (Ь)

(9)

, получим экс-

поненциальный переход КФ от некоторого значения,

определяемого начальными условиями, к желаемому *

значению Л с постоянной времени Ти. При переменном во времени Ти = Ьр - Ь критериальная функция зависит от времени. Приравняв правые части (8) и (9), получаем

дЛ (х)

дх

~ = х(Ьр, Ь, х(ЬЬ)) Вводя обозначение

Ж(Ьр, Ь, х(Ьь))В(Ь)и(Ь) = Ц(Ь).

О = дЛ(х -

дх

-- х( Ь^, Ь, х(ЬЬ))

Ш(Ь, Ь, х(ЬЬ))В(Ь)

и используя операцию псевдообращения для матрицы О, можно получить выражение для управляющего воздействия

-Т

О

и (Ь) = Л Л (Ь)).

(10)

ОО

Следует отметить, что алгоритм применим и в случае, когда матрица коэффициентов при управлении В зависит от вектора состояния системы, т. е. В = = В(Ь, х(Ь)). Алгоритм (10) реализован в виде расширенной версии специализированного пакета для расчета терминального управления нелинейными системами методом конечного состояния и проверен на нескольких моделях систем с запаздываниями. Одной из таких моделей являлась модель химического реактора с рециркуляцией [4], представленной системой дифференциальных уравнений третьего порядка с одним постоянным запаздыванием. Результаты моделирования подтвердили работоспособность метода как при управлении каждой из координат, так и при управлении тремя координатами с использованием квадратичного критерия вида

Л(х( Ьр)) = Р1 (х1(Ьр) - х1) + F2(х2(Ьр) - х2) +

+ Р3(хз(Ьр) - хз)^ Л ,

где х1, х2, хз - желаемые конечные значения коорди-*

нат, Л - желаемое достижимое значение терминально-

148

1607-3274 «Радюелектронжа. 1нформатика. Управл1ння» № 1, 2007

и

И. В. Щербань, В. А. Бертенев: НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОГО КРИТЕРИЯ

го критерия (в идеале Л = 0). Соответствующие результаты и их сопоставление с результатами применения линеаризационного алгоритма будут опубликованы в отдельноИ работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача терминального управления не-линеИными системами с запаздываниями вида (1). Опираясь на методику, изложенную в [5, 6] и результаты, полученные в работе [7], предложено обобщение метода конечного состояния на нелинеИные системы с запаздываниями. Получено выражение (10) для определения управляющего воздеИствия, приводящего не-линеИную систему с запаздываниями в заданное конечное состояние за заданное время.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Narendra K. S. Annaswamy A. M. Stable adaptive systems / Englewood Cliffs, Nj: Prentice Hall, 1989.- 494 c.

2. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1973. - 328 с.

3. Терновая Г. Н. Робастно-адаптивное управление нелинейным объектом с запаздыванием по состоянию с эталонной моделью // Труды VI Международной конференции SICPR0'07. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2007. - С. 587-594.

4. Wu Wei. Lyapunov-based design procedures for a state-delay chemical process // 14th World Congress of IFAC, 1999. - N-7A-05.

5. Шушляпин E. А., Шушляпина A. E. Управление нелинейными дифференциальными системами на основе

идентифицированных моделей конечного состояния // Труды III Международной конференции SICPR0'04. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2004. - С. 607-636.

6. Шушляпин E. А, Подольская О. Г. Управление нелинейными непрерывно-дискретными системами методом конечного состояния // Труды IV Международной конференции SICPR0'05. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2005. - С. 1495-1513.

7. Шушляпин E. А., Виноградов E. В. Модель конечного состояния для представления нелинейных систем с переменными запаздываниями // Труды V Международной конференции SICPR0'06. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2005. - С. 1376-1386.

8. Алексеев В. М. Об одной оценке возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Мос-ков. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. - 1961. -№ 2. - С.28 - 36.

9. Shushlyapin E. A. An Approach to the Design of Nonlinear Control System // Journal of Mathematics Science. New York:Plenum, 2001. - V. 103, № 1. - P.34-37.

10. Shushlyapin E. A. Alternative Form of Optimal Control for the Linear-Quadratic Problem // Journal of Mathematics Science. New York:Plenum, 2001. - V. 103, № 2. -P. 154-157.

11. Барабанов А. Т., Агранович Г. А. Линейные модели в оптимизации непрерывно-дискретных динамических систем // Динамические системы. - Киев: Вища школа, 1983. Выпуск 2. - С. 17-24.

12. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Нелепина Р. А. - М.: Наука, 1975. - 448 с.

Надшшла 11.01.07

Для нелтшних динам1чних систем з тлькома зм1нними

у час1 затзнюваннями вирШена задача термтального ке-

рування методом ктцевого стану.

A problem of terminal control was solved with the method of the terminal state for nonlinear dynamic systems with many time-variable delays.

УДК 62-50

И. В. Щербань, В. А. Бертенев

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОГО КРИТЕРИЯ

В статье рассматривается теоретическое решение задачи непараметрической идентификации стохастических систем. Найдено эффективное с вычислительной точки зрения приближенное решение, обеспечивающее возможность идентификации в реальном масштабе времени. Приведен пример, иллюстрирующий возможность практического применения предложенного подхода. Полученные результаты позволяют сделать вывод о высокой точности рассмотренной процедуры непараметрической идентификации и возможности ее практического использования в реальных системах.

ВВЕДЕНИЕ

До настоящего времени задача идентификации не-линеИных динамических систем удовлетворительно решалась для различных случаев параметрическоИ идентификации [1, 2]. В статье рассматривается проблема идентификации в целом всеИ динамическоИ системы, описываемоИ нелинеИным векторным стохастическим уравнением

x = f(x, t) + Wt,

(1.1)

© Щербань И. В., Бертенев В. А., 2007