Непараметрическая стохастических идентификация нелинейных систем на основе квадратичного критерия Текст научной статьи по специальности «Математика»

го критерия (в идеале ] = 0). Соответствующие результаты и их сопоставление с результатами применения линеаризационного алгоритма будут опубликованы в отдельной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача терминального управления нелинейными системами с запаздываниями вида (1). Опираясь на методику, изложенную в [5, 6] и результаты, полученные в работе [7], предложено обобщение метода конечного состояния на нелинейные системы с запаздываниями. Получено выражение (10) для определения управляющего воздействия, приводящего нелинейную систему с запаздываниями в заданное конечное состояние за заданное время.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Narendra K. S. Annaswamy A. M. Stable adaptive systems / Englewood Cliffs, Nj: Prentice Hall, 1989.- 494 c.

2. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1973. - 328 с.

3. Терновая Г. Н. Робастно-адаптивное управление нелинейным объектом с запаздыванием по состоянию с эталонной моделью // Труды VI Международной конференции SICPR0'07. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2007. - С. 587-594.

4. Wu Wei. Lyapunov-based design procedures for a state-delay chemical process // 14th World Congress of IFAC, 1999. - N-7A-05.

5. Шушляпин E. А., Шушляпина A. E. Управление нелинейными дифференциальными системами на основе

идентифицированных моделей конечного состояния // Труды III Международной конференции SICPR0'04. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2004. - С. 607-636.

6. Шушляпин E. А, Подольская О. Г. Управление нелинейными непрерывно-дискретными системами методом конечного состояния // Труды IV Международной конференции SICPR0'05. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2005. - С. 1495-1513.

7. Шушляпин E. А., Виноградов E. В. Модель конечного состояния для представления нелинейных систем с переменными запаздываниями // Труды V Международной конференции SICPR0'06. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2005. - С. 1376-1386.

8. Алексеев В. М. Об одной оценке возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Мос-ков. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. - 1961. -№ 2. - С.28 - 36.

9. Shushlyapin E. A. An Approach to the Design of Nonlinear Control System // Journal of Mathematics Science. New York:Plenum, 2001. - V. 103, № 1. - P.34-37.

10. Shushlyapin E. A. Alternative Form of Optimal Control for the Linear-Quadratic Problem // Journal of Mathematics Science. New York:Plenum, 2001. - V. 103, № 2. -P. 154-157.

11. Барабанов А. Т., Агранович Г. А. Линейные модели в оптимизации непрерывно-дискретных динамических систем // Динамические системы. - Киев: Вища школа, 1983. Выпуск 2. - С. 17-24.

12. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Нелепина Р. А. - М.: Наука, 1975. - 448 с.

Надшшла 11.01.07

Для нелтшних динам1чних систем з тлъкома зм1нними

у час1 затзнюваннями вирШена задача термталъного ке-

рування методом ктцевого стану.

A problem of terminal control was solved with the method of the terminal state for nonlinear dynamic systems with many time-variable delays.

удк 62-50

И. В. Щербань, В. А. Бертенев

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОГО КРИТЕРИЯ

В статъе рассматривается теоретическое решение задачи непараметрической идентификации стохастических систем. Найдено эффективное с вычислителъной точки зрения приближенное решение, обеспечивающее воз-можностъ идентификации в реалъном масштабе времени. Приведен пример, иллюстрирующий возможностъ практического применения предложенного подхода. Полученные резулътаты позволяют сделатъ вывод о высокой точности рассмотренной процедуры непараметрической идентификации и возможности ее практического исполъ-зования в реалъных системах.

ВВЕДЕНИЕ

До настоящего времени задача идентификации нелинейных динамических систем удовлетворительно решалась для различных случаев параметрической идентификации [1, 2]. В статье рассматривается проблема идентификации в целом всей динамической системы, описываемой нелинейным векторным стохастическим уравнением

x = f(x, t) + Wt,

(1.1)

© Щербань И. В., Бертенев В. А., 2007

где х - вектор состояния; /(х, Ь) - неизвестная (идентифицируемая) вектор-функция; ^ - белый гаусов-ский вектор-шум (БГШ) с нулевым средним и известной матрицей интенсивности О^Ь) с измерением на заданном конечном интервале времени Т = [ ] зашумленным измерителем

г = к (х, Ь) + V.,

(1.2)

где г - вектор выходных сигналов измерителя; к(х, Ь) -нелинейная вектор функция наблюдения; VI - БГШ с нулевым средним и матрицей интенсивности Dv(t). Указанная проблема в настоящее время остается нерешенной.

В [3] решена задача, но для локальной непараметрической идентификации. Это ограничивает возможность практического использования такого подхода при необходимости идентификации глобальных в смысле времени критериев оценивания на всем промежутке функционирования стохастической системы Т е [ ^ Ьк].

1 ФОРМУЛИРОВКА ИСХОДНЫХ

ПОЛОЖЕНИЙ

Для решения данной проблемы выберем в качестве критерия, обеспечивающего максимальную точность идентификации, классический метод наименьших квадратов (МНК), одновременно потребовав, в силу принципа Ферма, минимума квадратичной формы функции / на временном интервале Т (т. е. минимальной энергии системы (1.1)). Минимизируемый критерий ] в этом случае принимает вид

I = |{[г - к(х, Ь)]Т[г - к(х, Ь)] + /Т(х, Ь)/(х, Ь)}ёЬ. (2.1) Т

Так как идентификация (формирование функции /)

должна быть осуществлена на основании совокупности

наблюдений г, сделанных на интервале Т, то естествен-

но рассматривать синтез вектора / в функции не самого

стохастического вектора х, а вектора его оценки х, по-

лученной на основании одного из существующих мето-

дов фильтрации [1, 2, 3]. В качестве такого фильтра используем далее наиболее распространенный нелинейный гаусовский фильтр (как будет показано ниже, вид фильтра не оказывает принципиального влияния на существо рассматриваемого метода), уравнения которого для системы «объект-наблюдатель» (1.2) имеют вид

х = /(х,, Ь) + К (х, Ь)[ г - к (х, Ь)], К = к(| I Оу,

К = К

хо = М(хо), Ко = м[(хо -хо)(хо -хо~) ]. (2.2)

Так как для последующего решения задачи в уравнениях (2.2) основной интерес представляют составляющие, содержащие вектор /, то запишем данные уравнения в более компактной форме

х = /(х, Ь) + Сх (х, К, Ь),

Т

К =К (/ +ё К+°к (х,К, ь ), (2.3)

дополнительно отметив, что к форме (2.3) сводятся уравнения практически всех известных на сегодняшний день фильтров [1, 2, 3].

Таким образом, поставленная задача может быть сформулирована как задача поиска вектор-функции /, доставляющей минимум критерию ] и определенной на множестве решений системы (2.3).

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Для возможности использования в процессе решения аппарата современной теории оптимального управления необходимо предварительно трансформировать систему (2.3), где К - матрица, в единую векторную

х

систему относительно расширенного вектора у =

К(и)

где (и) - операция преобразования матрицы в вектор, введенная ранее в (2.2). При этом сделаем единственное упрощающее допущение относительно вектора /, считая, что все его компоненты могут быть представлены конечным разложением в ряд по некоторой заданной системе многомерных функций (ортогональных, степенных и т. д.) ..., \5}. Обозначив вектор-строку ..., = ^, представим далее аппроксимацию вектора / в виде

я х, Ь) = (Е / = \е/,

где / = /11.-^и /21./25 /м\.Ъ

N5

(3.1)

вектор коэф-

фициентов разложения, /(х, Ь) = ^ /^(Ь(х) - г-й

} = 1

компонент искомого вектора /.

Тогда система уравнений (2.3) может быть трансформирована в следующую:

х = \Е/ +

д/ Т

дхК + - КОУК Т

Ки = (Е ® К )1 ^х) / + (К ® Е) 8-\ / + сК.

(3.2)

Т

При использовании операций, ранее введенных в [4, 5],

Гд_Ув = /;

I дх ) дх

(v)

=й?| /

(А5С)М = (СТ ® А)5м,

(3.3)

и, следовательно, поставленная задача идентификации далее рассматривается уже как задача поиска вектора /, минимизирующего критерий (3.6) на решениях системы (3.5), и решается с использованием существующих методов теории оптимального управления. Для последующего синтеза вектора / сформируем гамильтониан Н для системы (3.5) в виде

где А, С, 5 - произвольные прямоугольные матрицы; символ «V» означает преобразование блочной матрицы

В

В =

= |В1' В2:...: в блочную матрицу

В

В

N

; символ

Т

«*», соответственно, матрицы В в матрицу Т

В

(1)

(л)

В

(2))

(л)

В

(N1

(л)

, где В- г-й столбец ВТ; ( л) -

(л)

операция, обратная операции (V); [я(и)] = Я символ кронекеровского произведения.

В окончательной (канонической) форме система уравнений расширенного вектора у может быть представлена следующим образом:

Н = (г - к)Т(г - к) + /Т\/ЕУЕ/ + ХТ(В/ + В0), (3.7)

где X - вектор сопряженных переменных. Из необходимых условий наличия экстремума последнего вытекает уравнение для оптимального вектора /

2 /Т^ЕТЕ + ХТВ = 0.

(3.8)

Из последнего уравнения определяется искомый вектор

1Г Т )

1

^ = -2 (УеУЕ) в х

(3.9)

Подстановка выражения (3.9) в систему канонических сопряженных уравнений

X = 2

дИ_ дХ

х уЕТВТX ■

= -2В (УЕ УЕ) + В0. ( - к)-22хтв(ет¥е)

^)Т - 1 ^Тв(е\е)|У)'

у( У = У0. Х( ) = 0

X;

(3.10)

Я

Уе

, ЗШЕ) эшЕ

\е ® я|| —^ i + (я ® е) —#

эх ) эх

/+

с,.

с'

(и)

, (3.4)

после интегрирования последней и формирования по результатам решения вектора (3.9) завершает, по существу, теоретическое решение поставленной задачи.

3 АНАЛИЗ ПУТЕЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

у = В(у, Ь)/ + В0(у, Ь).

При подобном представлении вектора /(х, Ь) выражение критерия ] также преобразуется к следующему виду:

/ = {|(г - к)Т(г - к) + /ТуЕ(3.

Интегрирование системы (3.10), представляющее собой решение двухточечной краевой задачи (ДТКЗ), (3.5) может быть осуществлено различными известными методами: пристрелки, квалинеаризации, инвариантного погружения и т. д. [2, 6]. С точки зрения вычислительных затрат, как показано в многочисленных исследованиях [2, 6], одним из наиболее эффективных является приближенный метод инвариантного погружения [6], позволяющий получить приближенное реше-6) ние ДТКЗ в реальном масштабе времени уже для существующих классов вычислителей. Его применение

Т

Т

т

0

0

х

или

к системе (3.10) приводит к следующему уравнению приближенной оценки у вектора у:

У= 2В .дБ,

ддк I

дх :

0

т

В =2В+В' -ж) + 1Б +

ду + 4 В\

(г - к) + Бо, у(tо) = Уо>

т

дБ

1 ^ ( т \

-1

д2к \

дхX '

: 0

(г - к) +

дк \

дх :

0

т дк I

дх)'

(4.1)

интегрирование которого может быть обеспечено современными вычислительными машинами в реальном масштабе времени.

Следует при этом отметить, что подобный подход позволяет, в отличие от остальных известных, сформировать в явной форме приближенную оценку / £ самого вектора /р в текущем времени. Действительно,

сравнивая правые части уравнений для у (4.1) и у (3.5) (в предположении соответствующего их совпадения, удовлетворяющего требованиям практической точности идентификации), имеем

Б (у, t)/о^ = 2 В

дк

д х

откуда

/о^ = 2Б В

дк :<

д х;

(г - к),

(г - к).

(4.2)

(4.3)

Формирование подобного явного выражения /^ может оказаться необходимым, например, при последующем решении задачи синтеза управления объектом (1.1).

Для иллюстрации возможности практического использования предложенного подхода рассмотрим следующий пример.

4 ПРИМЕР

Точность идентификации оценивалась для линейного объекта

х = -х? + абшt, хо = 0, а = 10 2, (5.1)

наблюдаемого квадратичным измерителем

г = х + V

(5.2)

на временном интервале [0,600] с, где V - БГШ

-1

с БГШ с нулевым средним и Вv = 10 .

В качестве функций разложения идентифицируемой правой части в ряд была выбрана система степенных

функций до 4-го члена разложения у = |1 х х х' что определило следующий вид функций Б и Б0:

2 3т

Б=

У

2к|0 1 2х 3х2

20 К х

; Б0 =

2 " 2 -40 К х

(5.3)

Использованная в процессе идентификации система уравнений, построенная аналогично уравнениям (4.1)

у = 4В • К

В = 40

22 -4К х -4Кхх

(г-х) + 20 • Кх В + 20В

+ 2 б(\/\\) БТ + 8 В

г + х 0

1

2К х К -4 К1 х

х -4К х 2 2

(5.4)

интегрировалась методом Рунге-Кутты 4-го порядка. По окончании моделирования оценка точности идентификации производилась путем вычисления ошибки между реальной координатой объекта и ее оценкой х с последующим усреднением ошибки на интервале [500,600] с. В результате численного моделирования было установлено, что средняя ошибка оценки не превышает 4 %.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные результаты позволяют сделать вывод о высокой точности рассмотренной процедуры непараметрической идентификации и возможности ее практического использования в реальных системах управления, связи и наблюдения - радионавигационных, телеметрических, астрофизических и т. д.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Казаков И. Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. - М.: Наука, 1975. -432 с.

2. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. - М.: Наука,1987. - 712 с.

3. Щербань О. Г. Решение задачи идентификации динамических объектов в условиях априорной неопределенности // Радиоэлектроника, информатика, управление. - 2004. - № 1. - С. 43-47.

4. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. - М.: Радио и связь, 1991. - 608 с.

5. Чернов А. А., Ястребов В. А. Метод оценки возмущений в алгоритмах решения навигационных задач // Изв. РАН. Косм. исслед. 1984. - Т. 22, № 3. - С. 361368.

6. Соколов С. В., Хуторцев В. В. Современные принципы управления и фильтрации в стохастических системах. - М.: Радио и связь, 2001. - 808 с.

7. Соколов С. В., Коляда Ю. И., Мельниченко Ф. В. Синтез оптимального управления наблюдениями нелинейных стохастических процессов // Автом. и выч. техника. - 1997. - № 6. - С. 5-8.

0

8. Первачев С. В., Перов А. И. Адаптивная фильтрация сообщений. - М.: Радио и связь. 1991. - 220 с.

Надшшла 14.06.06

У статт1 розглядаетъся теоретичне розв'язання за-дач1 непараметричноЧ 1дентиф1кацп стохастичних систем. Знайдено ефективне з обчислювалъног точки зору приблизне розв'язанния, що забезпечуе можлив1стъ 1ден-тифтацп у реалъному масштаб1 часу. Надано приклад, що 1люструе можлив1стъ практичного впровадження за-пропонованого тдходу. Отримат резулътати дозволя-ютъ зробити висновок щодо високоЧ точност1 розгляну-

mo'i npou,edypu HenapaMempmnoi ideHmu^iKau,i'i i Moxnu-eocmi ii npaKmmnozo 3acmocyeaHHM y peamnux cucmeMax.

In the article a principal theoretical solution of the problem of the nonparametric identification of the stochastic systems is considered. An efficient (from the computing point of view) approximated solution providing the identification feasibility in the real time scale has been found. An example illustrating the feasibility to apply practically the approach suggested has been given. The results obtained allow to make a conclusion on a high accuracy of the nonparametric identification procedure considered and on the feasibility of its practical application in the real systems.