Модификация метода конечного состояния для синтеза управления реального времени в многомерных нелинейных терминальных системах с дифференцируемыми нелинейностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

воздействиях // Электромашиностроение и электрооборудование, - 2002. - №58. - С. 92-96. 10. Худяев А. А. Влияние параметров входных воздействий и полосы пропускания точного канала на качество

итерационной двухканальной системы с эталонной настройкой // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2002. - №2, - С. 148-156.

удк 681.511.46

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ В МНОГОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕРМИНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Е.А.Шушляпин, А.Е.Шушляпина

Запропоновано модифжащю методу анцевих статв для синтезу керувань реального часу стосовно до бaгamомiрнuх нелiнiйнuх mермiнaльних систем з диферецшованими нелi-ншностями. Mодuфiковaнuй метод застосовано для моде-лювання керування перехгдним процесом при включенш електродвигуна постшного струму послгдовного збудження.

Предложена модификация метода конечных состояний для синтеза управлений реального времени применительно к многомерным нелинейных терминальным системам с дифференцируемыми нелинейностями. Модифицированный метод применен для моделирования управления переходным процессом при включении электродвигателя постоянного тока последовательного возбуждения.

There was offered a terminal state method modification for synthesis real time controls in multidimensional nonlinear terminal systems with differentiable nonlinearities. The modified method was aplied for modeling of control a transient process on switching on a direct current electric motor of consequent drive.

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Управление нелинейными системами является одной из актуальных задач управления, поскольку иногда объекты управления функционируют в таких режимах работы, когда соответствующие линейные описания становятся неадекватными. Такие режимы имеют место при разгоне и торможении электрических машин, в химической кинетике, при управлении движущимися объектами, управлении потоками жидкостей и газов и в других отраслях. В ряде работ [1-6] развивается подход к синтезу управляющих воздействий для многомерных терминальных нелинейных систем с дифференцируемыми нелиней-ностями и аддитивными управлениями вида

dx

= v0

— = Ф(t, x) + B(t)u(t), (t e [t0,tj\, x(10)) = x

x e Rn x 1, u e R

r x 1

J = J( x (tf,t))® J *

(2)

где ,/* - заданное значение, а целевая функция J(x) предполагается дифференцируемой.

Алгоритм расчета управления методом конечных состояний имеет вид

и(г) = О+(у) • ¡3(у), J*)), оТ

G = 9J(x) д x

G+(tf'° = ^T e Rr x 1'

= W(tf,t,x(t))B (t) e R1 x r ,

= x (ft)

dW(J, t, ,x(t) ) = dJ

д Ф( J, x )

д x x = x (J,t)

W(J, t, ,x(t)), (3)

(1)

Упомянутый подход, названный методом конечных состояний, применяется для задач терминального управления с моделью (1) и критерием

dx( J, t) = F(J, t), dJ V '

^ е [г,г], Ж(г,г,х(г)) = I, х(г, г) = х(г).

В алгоритме (3) I - единичная матрица, Ж - (и X п) -нелинейная весовая матрица, ^(^(},{), г, J*) - правая часть скалярного дифференциального уравнения относительно так называемой критериальной функции J(гpt) , обеспечивающего ее приближение при г ® гу к J* . Критериальная же функция - это целевая функция критерия, где вектор состояния х (г) заменен вектором переменных конечного состояния X (г у, г) . Переменные конечного состояния, как видно из (3), представляют собой прогнозные значения конечного состояния системы (1), находящейся в момент г в состоянии х(г) , когда на интервале Ф е [г,г^

управление обнулено. Одним из возможных видов дифференциального уравнения для желаемой критериальной функции может быть

йЛг,г) J р) аг Т

(4)

При этом J(г^г) по экспоненте с постоянной времени Т

приближается к заданному значению критерия J* , а в силу равенства переменных состояния и переменных конечного состояния при одинаковых значениях первого и второго аргументов целевая функция критерия также будет близка к J* . Параметр Т влияет как на точность приближения к J* , так и на энергию управления (чем меньше Т, тем выше точность, но больше энергия и наоборот). Как и в других методах терминального управления, заданное значение J * может оказаться недостижимым, что проявляется в отклонении фактического поведения критериальной функции от экспоненциального (4). При этом можно идти двумя путями: подбирать достижимое значение J* , удаляя его от желаемого значения, либо оставить желаемое значение, согласившись с отклонением фактического поведения критериальной функции от желаемой траектории. Опыт применения метода конечного состояния показывает, что чаще более предпочтителен второй путь, особенно при наличии амплитудных ограничений на компоненты вектора управлений.

Из (3) видно, что для расчета управления в каждый момент времени г требуется интегрировать систему дифференциальных уравнений порядка п( 1 + п) на интервале [г, (р] . В распространенном на практике частном случае неотрицательно определенной квадратической целевой функции J = хт(гр)Ех(гр) с диагональной матрицей ^ , а

также раздельного вхождения компонент вектора управляющих воздействий в уравнения (1), количество требуемых столбцов весовой матрицы равно размерности г вектора управлений. В этом случае порядок системы (3) может быть снижен до п (1 + г) . Поскольку моментов г , в которые рассчитывается управление, бесчисленное множество (практически - десятки и сотни), то затрачиваемое на расчет управлений время относительно велико. Поэтому часто данный подход неприменим для синтеза управлений, т.е. для расчета сигналов обратных связей, формируемых управляющим компьютером в реальном времени. В настоящей статье предлагается приближенная процедура расчета управлений, пригодная для их синтеза в реальном времени. При этом предполагается, что весь вектор состояния известен (т.е. измеряется) в каждый момент времени.

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ СОСТОЯНИЙ

Совместная система уравнений для определения нелинейной весовой матрицы Ж и переменных конечного

состояния X в (3) представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений с дифференцируемыми функциями правых частей без внешних воздействий. Это соответствует системе вида

а $

К,о($,У($)),$ е [г,г], у(г) = уг, у = {у,}

' = 1, 2, ...п ,

(5)

где компоненты вектора у - требуемые для расчета управления столбцы весовой матрицы, а также переменные конечного состояния, К, о - непрерывные и дифференцируемые функции своих аргументов. Начальные условия уг - это в соответствии с (3) единицы либо нули для элементов весовой матрицы и х (г) для переменных конечного состояния.

Предположим, что непрерывные и дифференцируемые раз по всем своим переменным правые части системы

(5) таковы, что существуют сходящиеся тейлоровские разложения

Кго($,у($)) = Кго(г,у(г)) + Кг 1 (г,у(г))($ - г) + ... К1к((г,у(г))($ - г)к' + ..., , ¿¡кК

Кк(г,у(г)) = к!^Т'к = 1'2'...к'.

(6)

Составим дифференциальные уравнения для К.к($, у($)) , получив предварительно из (6) выражения для коэффициентов. Для сокращения записей аргументы покажем только в первом соотношении.

аЯ. о($, у($)) ЭК, 0 ($, у ($))

К11 ($, у ($)) = ,0 'У ' = ' 0 - - -+

а $

а$

ЭК'о ( у ( $ ) )¿у( $, у ( $) )

Эу

а$

= 1 а%, = 1 ^+к ау

'2 2 $2 2 а$ 2^ а$ ау а$ ,

а3 к

К'3 3 ! $3

г о = 1 а_

3!$ 3!а$

4 $( 2 К, 2) =

Эк,.0 эК

= 1 ^

2 ау

3^ э^ Эу аЗ ,

л = 1 ^-о = 1 ^^ _±А(3!л )-

г4 4! Ф4 4!Ф • г3

= 1 + Щз ^

4^ ЭФ Эу Ф

Л = к -1) + лу

гк к) ЭФ Эу Ф

Из (7) следует система дифференциальных уравнений для тейлоровских коэффициентов (вновь аргументы запишем только в первом из них)

ЭЛ.0(Ф, у(Ф))

ЭФ

^ 1 (Ф, У (Ф))

'Л.,

гк.

dR .л dR.^

—- = 2Л.0, —- = ЗЛ.о,..., -г = (к. + 1 )Л

dФ 12 dФ г 3 'Ф г г (к1 +1)

Система (8) - незамкнута, поэтому для ее практического использования обнулим правые части кг -х уравнений для каждого г . Основанием для этого является то, что для сходящихся тейлоровских разложений при к > кг коэффициенты Лгк » 0 . В итоге получится система

Простые с виду формулы (10) на самом деле составляют главную трудность применения данного подхода, поскольку трудоемкость безошибочного определения аналитических выражений для производных высокого порядка в силу уравнений (5) лавинообразно возрастает с ростом к. Заметим, что однажды полученные аналитические выражения для начальных условий системы (9) в дальнейшем

(7) без всяких изменений используются для всех моментов г. Указанные выражения в конечном счете зависят от вектора состояния х (г) управляемой системы (1). Следует отметить, что данный способ преобразования нелинейной системы в линейную систему увеличенного порядка в принципе можно использовать и непосредственно для моделей вида (1), представляя тейлоровскими разложениями элементы вектор функции Ф . Отметим также, что

(8) система вида (9) не является приближенным эквива-... лентом исходной нелинейной системы вида (5). Эти системы эквивалентны только при определенных, рассчитываемых по (10), начальных условиях.

Для расширенной система (9) нетрудно получить аналитическое решение, которое для первых его компонент имеет вид

'у, (Ф, г)

dR

го

= л,

dФ dR

= Лг - (Ф, у (Ф)),

г 1

dR

^V- а , -= 2Л-о, —— = 3Л■ о,...,

dФ г 1 dФ г 2 dФ г 3

dR

гк,

dФ

о, Фе Щ,

г = 1,2,...п.

Номер кг зависит от г , так как для каждой из нели-

нейностей количество учитываемых членов тейлоровских разложений может быть различно. Таким образом, общий

п

порядок системы (9) - п + ^ к-. Систему (9) назовем

г = 1

расширенной, а ее вектор состояния обозначим через

У = \ 1'у2'-'-'Уп'Л 10'---'Л1к1'---'Лп0'---'ЛпкП1 Т'

Отметим также то, что разложение (6) здесь используется лишь для приведенного выше обоснования способа перехода от незамкнутой системы (8) к замкнутой системе (9).

Для расчета начальных условий при Ф = г расширенной системы воспользуемся (7).

ух (г) = у],

Лг -(г) - известно,

1 (к -1). Д (к -1

Л (г) = + V Ч

гк( ) к] ЭФк ^ 1 (ду,)к 1 'Ф

} = 1 *

к = 1, 2, ...кг, г = 1, 2, ...п.

Ф = г

у- (г у) = у-(г) +1 (кгТ)7Лгк(г)(г/- г)к +1, гг =1, 2 ... п. (11)

к = о

Остальные компоненты могут быть также получены, однако для расчета управления они не нужны и выражения для них мы не приводим.

(9) В сравнении с исходным алгоритмом (3), где при расчете каждого текущего значения управляющего вектора требуется интегрировать систему дифференциальных уравнений порядка п( 1 + п) на интервале [г, г^] , в

модифицированном методе в каждый момент времени требуется:

1) рассчитать у (г) по аналитическим выражениям (10);

2) определить по выражению (11) конечные (при Ф = г^-) значения переменных конечного состояния и

столбцов весовой матрицы;

3) определить вектор управления по первым трем соотношениям из (3).

Неизвестные заранее количества кл с теоретической точки зрения должны задаваться достаточно большими, однако практически это лимитировано возможностью определения аналитических выражений для начальных условий расширенной системы (9). Кроме того, при этом увеличивается порядок расширенной системы, однако этот фактор менее важен.

ПРИМЕР

Для демонстрации возможностей модифицированного (10) метода конечных состояний рассмотрим пример из [2], где метод конечного состояния в форме (3) применялся для управления разгоном электродвигателя постоянного тока последовательного возбуждения с приведенной ниже математической моделью

1ла+гл'л+к,'л ю =и, -зыа+км ю = ¥А, (12)

где 'л - ток якоря, ю - скорость вращения, и -управляющее напряжение на выводах двигателя, Гл, Ьл - сопротивление и индуктивность якоря, к 1, к2 - электрическая и механическая постоянные, км - коэффициент пропорциональности момента нагрузки и скорости, Jм - момент инерции, приведенный к валу двигателя. В процессе разгона начальные значения переменных нулевые, а конечные значения определяются из установившегося стационарного режима и удовлетворяют уравнениям

«л )3+'л ^ -"~ Щ2 = о-ю* = ('л)2 £•<*>

где ином - номинальное значение напряжения двигателя.

Элементы представления (1) для модели (12) следующие:

Кю = а^' А + а^' АЮ, Коп = Ю + а0А'

Ф

^ к\'л ю

= 3 к 3

Ч км ^ к2 .2Ч

^ - — Ю + — 1

м

Jм^

5=$

1о1

х=

Ю

J = ^('л(гр) - ,л)2 + Рю(ю(гг) - ю*)2 ® J*

2 ТрА А <1 №11 + ^^21

Агл = /А(р /) - 'А*, Аю ° ю(гр, г) - ю*, Ж, 1 ° Ж' 1 (г/;г,х(г)), ' = 1, 2, х = ('А, ю)т,

11' А "12 'А

2о

22

12

21' А >

К3о = "11№11 + "12(Ю№11 + 'ЛЖ21) ,

К4о = 2"211Л№11 + "22 Ж21,

л

1

-к

а11 ' , а12 г ,

ь л Ь

____м

21 ч , "22 з .

зM зM

(14)

(15)

(16)

лл

Элементы расширенной системы (9) при к = 1,

/' = 1..2 следующие:

_ - т

у =('л,ЮЖ 11,^21,К 1о,К2о,К3о,К4о,К 11 ,К21 ,К31 ,К41) ,

п = 4 .

Найдем по выражениям (1о) начальные условия. у1 (г) °'л (г, г) = 'л (г), у2 (г)°ю( г, г) = ю( г), у3(г) ° Ж11 (г,г,х(г)) = 1, у4(г) ° №12(г,г,х(г)) = о, у5(г)° К 1о( г) = а11 'л + а12 гА( г)ю( г),

у6 (г)° К2о( г) = "21 г;4(г) + "22,

у7 (г) ° К 3о( г) = а11 Ж11(г,г ,х (г))+ "12 (ю( г) № 11 (г,г ,х (г))+

+А (г) №21(г,г ,х (г))) = а11+ "12ю( г),

у8 (г) ° К 4о( г) = 2 а 21'л (г)№11 (г,г,х (г))+

+"22№21 (г,г ,х (г)) = 2 "21 гА( г),

у9 (г) ° К 11( г) = "11 К1о (г)+" ^л (г)ю( г) +л (г) (К 2о( г)),

(17)

Как и в [2], цель управления отобразим квадра-тическим терминальным критерием с неотрицательными коэффициентами ^а, :

у 1о( г)° К21(г) = 2 "21 'л(г )К1о(г) + " 22К2о( г)

А'л = 'Л (гр) - 'л, Аю = ю( гр) - ю ,

где 'л, ю* определяются из нелинейных уравнений (13).

Управление по методу конечных состояний (частный случай (3))определяется выражением [2]

Ьл J* - ^ А/А - ^юАю2 и( г) = —

2о

у11(г) °К31 (г) = "ИК (г)+ " 12(К2о(г)№11 (г,г,х(г))+ +ю(г) К3о (г) + "12( К 1о( г) №21 (г,г ,х (г))+'л (г)(К 4о( г))= =" ия (г)+ " 12( К 2о( г)+ю( г )К3о (г) + 'А (г)(К4о (г)), у 12( г) ° К 41(г )=2 "21 [К 1о (г) №11 (г,г,х( г))+ 'А (г) К 3о (г) ] +

+ " 22К4о (г) = 2 "21 [К1о( г)+'А(г) К 3о( г)] +" 22К4о( г).

Рассчитанные по этим формулам значения подставляются в выражение (11), из которого определяются все требуемые для расчета управления (16) данные, а именно:

'л(г/ г) @у1 (гр), ю(гр, г) @ у2(гр),

№ц(г/,г,х( г)) @ у3 (гг), №21 (грг,х (г)) @ у4 (гр).

Графики переходных процессов системы (12) для различных режимов коммутации приведены на рисунке 1.

где желаемое J = о , что соответствует точному приведению фазовых координат к заданным значениям согласно критерию (15), Т - постоянная времени желаемого экспоненциального поведения критериальной функции (см. пояснения к алгоритму (3)). Как следует из (16), в данном случае нужны переменные конечного состояния

' л, ю и первый столбец нелинейной весовой матрицы 1,' = 1, 2. Отсюда следуют представления векторов у и Ко модели (5):

у = ('л, ю, №11, №21 )Т,

Рисунок 1 - Переходные процессы по току и скорости при рагоне двигателя

Зависимости получены для следующих параметров двигателя мощностью 5 кВт и алгоритмов управления:

гА = 20м , ЬА = 3Гн , к1 = 0, 1 Ом • с , к2 =1н -м • А~2 , Ои = 1, 05 кг •м-2, км = 0, 7 н •м •с, Т = 0, 01 с ,

г^- = 0, 4 с , 7* = 0 . Интегрирование дифференциальных уравнений выполнялось методом Рунге-Кутта 4 порядка на интервале [ 0, г у] с управлением (16) и далее продолжалось до 1,5 с при номинальном входном напряжении и =ином=1105 . Весовые коэффициенты Ед = Ев = 1 , Ею = 25 , что объясняется желанием в большей мере управлять скоростью двигателя. Управляющие напряжения ограничивались значением итах = 500В . Номинальные значения тока и скорости, определяемые уравнениями

(13), для перечисленных значений параметров равны: *

гд = 8, 66А, ю =106, 58с-1 .

Кривые 1 соответствуют неуправляемому режиму коммутации, когда на двигатель подается постоянное питающее напряжение, равное номинальному. Кривые 2, 3 получены для управляемой коммутации по алгоритму (16), (11), (17) с различным количеством учитываемых членов тейлоровских разложений (6), а кривые 4 -управляемой коммутации по алгоритму (3). В последнем случае управление также рассчитывалось по выражению (16), однако переменные конечного состояния и весовые функции определялись многократным интегрированием системы уравнений (см. комментарии к алгоритму (3)). По кривым 2 и 3 хорошо видно, как использование большего количества членов тейлоровских разложений приближает процессы к точной реализации (3) метода конечных состояний, представленной кривыми 4. Так, кривые 3, соответствующие учету членов Л-0 и Л-1 , практически совпадают с кривыми 4, в то время как при учете только одного члена Л-0 (кривые 2) наблюдается заметное различие. Конечные значения тока и скорости для режима коммутации, соответствующего кривым 4,

равны: г а (г у) = 8, 7А , ю( г у) = 106, 7с-1, что весьма

близко к значениям для номинального режима. Время переходных процессов по току и скорости равно г^ = 0, 4с , что более чем в три раза меньше времени

переходного процесса при неуправляемой коммутации. Недостатком алгоритмов управляемой коммутации является увеличенное до 27А пиковое значение тока, что больше

соответствующего значения 14А при включении постоянным напряжением.

И наконец, сравнивая базовый (3) и модифицированный (16), (11), (17) алгоритмы по времени, приведем следующие данные: моделирование 1,5с работы системы (12) с базовым и модифицированным алгоритмами управления на компьютере класса 4860X66 заняло

соответственно 2,5с и 0,6с машинного времени. Отметим также, что модифицированный алгоритм содержит 46 операций умножения и деления, 26 операций сложения и вычитания и несколько логических операций. Приведенные данные свидетельствуют, во-первых, о существенном уменьшении времени расчета модифицированного управления в сравнении с временем расчета базового управления, и, во-вторых, о возможности реализации модифицированного управления в реальном времени.

Следует отметить также, что достаточное количество учитываемых членов тейлоровского разложения (6) в данном случае оказалось весьма малым.

ВЫВОД

Предложенная в настоящей статье модификация метода конечного состояния намного проще и требует меньших вычислительных ресурсов при реализации, чем базовый алгоритм (3). Из рассмотренного примера видно, что данная модификация может использоваться для управления достаточно быстрыми процессами в реальном времени при использовании в качестве управляющих персональных компьютеров малой производительности.

ПЕРСПЕКТИВЫ

Алгоритмы управления на основе модифицированного метода конечного состояния имеют большие перспективы для практического применения ввиду их достаточной универсальности, несложной подготовительной работы и возможностей использования в реальном времени. Самостоятельную ценность представляет способ линеаризации, на основе которого получен модифицированный метод. Возможность приближенной замены нелинейной модели линейной с рассчитываемыми по исходной модели начальными условиями для дополнительных переменных открывает большие перспективы для использования достижений теории линейных систем в теории и практике управления нелинейными системами вида (1).

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Шушляпин Е.А. Синтез линейных и нелинейных систем управления конечным положением на основе моделей конечного состояния // Проблемы управления и информатики. - 1997. - №3. С.10-16.

2. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Синтез управления переходными процессами в нелинейных системах электропривода // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 1999. - №1. - С.136-140.

3. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Модели конечного состояния для непрерывно-дискретных систем // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 1999. - №2. - С.129-132.

4. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Синтез терминального управления методом конечного состояния // Известия вузов "Электромеханика". - 2000. - №1. - С.72-75.

5. Шушляпин Е.А. Терминальное управление системами с дифференциально-алгебраическими ограничениями методом конечного состояния // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2000. - №1. - С.166-172.

6. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Терминальное управление возбуждением синхронного генератора методом конечных состояний // Известия вузов "Электромеханика". - 2002. -№2. - С.69-72.