CC BY
9
ВЫВОДЫ
В статье были разработаны алгоритмы робастиого управления синхронным двигателем с постоянными магнитами и на их основе создана математическая модель привода.
Результаты моделирования показывают, что предложенный алгоритм обеспечивает модальную робастность по отношению к неопределённостям параметров двигателя и момента инерции приведённой к валу двигателя системы.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Glumenau A., Hamy M, Lanier C., Moog C. Robust control of a brushless servo motor via sliding mode techniques. // International journal of control. - 1993.- Vol. 58, №.5.- P. 979-990.
2. Yu-Sheng Lu, Jian-Sshiang Chen. Design of a global sliding mode controller for a motor drive with bounded control. // International journal of control. - 1995. - Vol. 62, №.5. -P.1001-1009.
3. Козарук A.E. Высокоэффективный бесконтакторный электропривод с цифровым векторным управлением. // Электротехника. - 1996.- №7.- С. 12-16.
4. Козаченко B.A. Основные тенденции развития встроенных систем управления двигателями и требования к микроконтроллерам. // Chip News - 1999, №1 (34).- С.2-9.
5. Денисов К., Ермилов A., Карпенко А. Способы управления машинами переменного тока и их практическая реализация на базе компонентов фирмы Analog devices. // Chip News 1997. - №7 - 8. - C.18-24.
6. Уткин В.И, Системы с переменной структурой: состояние, проблемы, перспективы // Автоматика и телемеханика.-1983.- №9.-С. 5-25.
7. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. // Москва. - Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1981. -С.368.
8. Corless M., Leitman G. Continuous state feedback guarantied uniform ultimate bounded for uncertain dynamic systems // IEEE Trans. оп automatic Control.- 1981. - Vol. 26. - №10. - P. 1139-1144.
9. Садовой A.В., Сухинин Б. В., Сохина Ю. В. Системы оптимального управления прецезионными электроприво-дами.//Киев. - ИСИМО, - 1996. - 298с.
10. Мюдж С.К., Поттон Р. Дж. Улучшенная оценка робастности регулятора самолёта, работающего в режиме скольжения / /Аэрокосмическая техника. - 1989. - №9. - С.113-122.
11. Mostafa O., Oz H. Chatter elimination in variable structure control maneuvring of flexible spacecraft // J. Astronaut. Sciences. - 1989. - Vol. 37, - №4. - P. 529-550.
12. Hui S., Zak S. H. Robust control synthesis for uncertain/nonlinear dynamical systems // Automatica. - 1992. - Vol.28, -№.2. - P.289-298.
13. Дацковский Л.Х. и др. Современное состояние и тенденции в асинхронном частотно-регулируемом приводе (краткий аналитический обзор)// Электротехника. - 1996. - №10. -С.18-28.
14. Беспалов В.Я., Зверев К.Н. Импульсные перенапряжения в обмотках асинхронных двигателей при питании от ШИМ -преобразователя // Электротехника. - 1999.- №9.- С.56-59.
15. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация.// М.- Наука,- 1977.- 248с.
16. Потапенко Е. М. Сравнительная оценка робастных систем управления с различными типами наблюдателей // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1995. - №1. -С.109-117.
17. Потапенко Е. М. Робастные комбинированные системы управления с наблюдателями // Проблемы управления и информатики (Киев). - 1995. - №2. - С.36-44.
18. Потапенко Е. М. Исследование робастности систем управления с наблюдателями // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1996. - №2.- С.104-108.
19. Потапенко Е. М. Синтез и анализ системы управления с переменной структурой // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1996. - №3. - С47-50.
20. Потапенко Е. М. Робастные системы управления с наблюдателями второго порядка // Автоматика и телемеханика.-1996.- №2.- С.100-108.
21. Потапенко Е. М. Синтез и сравнительный анализ робастных компенсаторов пониженного порядка // Автоматика и телемеханика - 1998. - №4. - С.65-74.
22. Бичай В. Г., Потапенко Е.М. Об общности альтернативных робастных систем управления // Проблемы управления и информатики. - 1998. - №5. - С.27-30.
23. Потапенко Е.М., Бичай В.Г. Синтез и анализ робастной системы управления маневрирующего космического аппарата // Космические исследования. - 1998. - Т.36, - №4. -С. 399-406.
24. Потапенко Е. М., Бичай В.Г. Робастное управление маневрирующим упругим космическим аппаратом // Проблемы управления и информатики 1998.- №4.- С. 72-85.
25. Потапенко Е.М., Савранская А.В. Синтез и анализ робастной системы управления роботом. // Вютник Кш'вського педагопчного ушверситету.- 1999.- №8. -С. 56.
Надшшла 17.02.2000 Шсля доробки 21.02.2000
УДК 681.5.015.42
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ
СОСТОЯНИЙ
Е. А. Шушляпин
Предложен метод терминального управления системами, представленными совокупностями нелинейных дифференциальных уравнений с гладкими правыми частями и алгебраических уравнений. Метод основан на применении промежуточного описания в виде моделей конечного состояния. Модель конечного состояния строится на основе переменных, отображающих в каждый момент времени прогноз конечного состояния системы в предположении, что от текущего до конечного моментов времени управляющие воздействия отсутствуют. Приведен практический пример из гидромеханики.
Запропоновано метод термгнального керування системами,
якг представлено сукупностями нелиншних диференцгальних ргвнянь з гладкими правими частинами та алгебра'(чних pie-нянь. Метод засновано на застосуваннi пpомiжного опису у виглядi моделей кiнцевого стану. Модель кiнцевого стану бу-дуеться на основi змiнних, вiдобpажаючих у кожний момент часу прогноз кiнцевого стану системи у припущент, що вiд поточного до кнцевого моментiв часу упpавляючi впливи вiд-сутт. Наведен практичений приклад з гiдpомеханiки.
The method of terminal control for systems, described by nonlinear differential equations with smooth right parts and algebraic equations, is offered. Method is based on using an intermediate description in the form of terminal state's models.
The terminal state's model is built on the base variables, that reflect a forecast of terminal state at each moment of the time in the suggestion that control action are absent from the current to the terminal moment. The practical example from hydromechanics is cited.
ВВЕДЕНИЕ
Задача терминального управления, т.е. приведения всех или части координат системы в заданное положение за заданное время, имеет важное практическое значение. Поскольку в большинстве случаев точное приведение невозможно, часто в качестве цели управления используют минимальное взвешенное расстояние между достигнутой и заданной точками фазового пространства. Это учитывается квадратическим критерием с неотрицательно определенной матрицей весовых коэффициентов. Традиционные подходы к решению данной задачи применительно к нелинейным системам весьма трудоемки как при формировании, так и при компьютерной реализации соответствующих алгоритмов. В статье предлагается метод терминального управления (метод конечных состояний) нелинейными системами, позволяющий при минимальной подготовительной работе, достаточно простом алгоритме и за вполне приемлемое время рассчитать терминальное управление нелинейными системами, описываемыми совокупностями дифференциальных и алгебраических уравнений. Дополнительные ограничения в виде алгебраических уравнений часто имеют место в электротехнических и других моделях. Для сведения таких моделей к чисто дифференциальным используют искусственные приемы, приводящие к увеличению порядка системы дифференциальных уравнений. В предлагаемой статье метод конечного состояния обобщается на системы с дифференциально-алгебраическими ограничениями. Техника применения предложенного метода подробно иллюстрирована на примере практической задачи из гидромеханики.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу терминального управления, где х* - желаемое конечное состояние, Г - неотрицательно определенная матрица весовых коэффициентов, ]* - некоторое достижимое значение критерия ] .
J = (*(tf) - x*)TF(x(tf) - x*)^ J*,
— = f(t, x, v), dt n ' ' J'
Ф(x, v) = 0,
x, f = (n x 1 ), Ф = (m x 1 ), v = (s x 1 ), s > m, t e [ to, tf], x( to) = x0.
де дифференциальных и алгебраических уравнений. Алгебраические уравнения при этом отображают неявную связь между вектором переменных состояния х через компоненты вектора управляющих воздействий V . Подобные задачи возникают в электротехнике, гидромеханике и других областях, где используются различные законы сохранения, выраженные в алгебраической форме.
Для определения управления V применим метод конечного состояния, основы которого изложены в [1]. Для применения этого метода требуется, чтобы вектор-функция / была непрерывной вместе со своей частной производной по вектору х , а управляющие воздействия были аддитивными (линейно входящими). Предположим также, что уравнения связи Ф(х, V) = 0 дифференцируемы относительно переменных х и V .
Поскольку между V и х имеется связь, разобьем вектор V на два подвектора - свободный Vе ибазисный vб . Далее свободный подвектор будет представлять независимые управляющие воздействия, а базисный - зависимые. Для Vе введем дополнительные дифференциальные уравнения, определяющие их через аддитивные управляющие воздействия и . Тогда
J = (x(tf) -x*)TF(x(tf) -x*)^ J*,
(2)
(1)
Особенность (1) - смешанная система ограничений в ви-
— = /(Ь, х, Vе, vб), сИ
d е
—Vе = и, М
Ф(х, Vе, vб) = 0,
х, / = (п х 1), Ф = (т х 1), V = (5 х 1), Vе, и = (те х 1), vб = (т х 1), те + т = 5, Ь е [ ¿о, Ь^], х(Ьо) = х0.
Если векторное алгебраическое уравнение связей имеет аналитическое решение
Vб = Ф-1(х, Vе) ,
то (2) сводится к обычному виду, для которого и(Ь)
(или непосредственно Vе(Ь)) может быть найдено любым из известных методов. Однако такой путь может быть применен лишь при достаточно малых т . В общем же случае наличие неизвестной или очень сложной аналитической зависимости Ф-1 не позволяет напрямую применять методы, требующие вычисления якобиана от /. Рассматриваемый в данной работе метод конечных состояний как раз использует якобиан, поэтому требуется определенная его модификация.
Схема метода конечных состояний [1] применительно к задаче (2) следующая.
Вначале для (2) записывается промежуточная модель конечного состояния через переменные х (Ь^ Ь) , значения которых определяют прогноз неуправляемого конечного состояния системы, находящейся в момент Ь в состоянии х(Ь) ; переменные конечного состояния определяются через матрицу нелинейных весовых функций Ш(Ь^ Ь, х(Ь)) уравнениями
с
С-х(Ь, Ь) = Ш(Ь/, Ь, х(Ь))В(Ь)и(Ь), Ь е [ Ьо, Ьр], х(Ьр, Ьо) = х0
(3)
Нелинейная весовая матрица определяется как функция первого аргумента уравнениями [2]
Ь,х (Ь)) = х)]
6 е [Ь, Ьр], Ш(Ь, Ь, х(Ь)) = I,
Ь, х(Ь)),
х = х(6, Ь)
(4)
где / - вектор правых частей, х - полный вектор состояния системы, I - единичная матрица. Как видно из (4),
якобиан д//Ъх при этом вычисляется через значения функций первого аргумента переменных конечного состояния. Последние же определяются через исходную систему с обнуленными управляющими воздействиями. Применительно к (2) совместная система для определения Ь, х(Ь)) , х(6, Ь) имеет вид
с
Ь, х(Ь)) =
С 6
х, Vе, vб) —Ш, х, Vе, vб) Э х" дvеl
—х(6, Ь) = /[6, х(6, Ь), Vе(6, Ь), vб],
С 6
vб = Ф-1 (х(6, Ь), Vе(6, Ь)), —
С 6
Ш(6, Ь, х(Ь)),
х = х(6, Ь) Vе = Vе(6, Ь)
Vе(6, Ь) = 0,
6е [Ь, Ь/], Ш(Ь/, Ь, х(Ь)) = I, х(Ь/, Ь) = х(Ь), vе(Ь, Ь) = vе(Ь)
(5)
Система (5) интегрируется многократно для каждого значения Ь процесса численного интегрирования системы (2). При этом в (3) используются конечные (при 6 = Ь/) значения Ш .
Матрица В(Ь) коэффициентов при управляющих воздействиях в (3) применительно к (2) имеет структуру
В (Ь) =
(6)
В (5) и (6) 0ах ь , 1ах ь обозначены соответственно нулевая и единичная матрицы размерности а х Ь .
Для упрощения выкладок исходная модель (1) записана без аддитивно входящих воздействий. Если же таковые на самом деле имеются, нетрудно модифицировать (5), (6) с учетом этого случая.
Следующий шаг применения метода конечных состояний - замена критерия задачи (2) эквивалентным критерием, выраженным через переменные конечного состояния [1].
У(Ьг, Ь)\ = (х(Ь, Ь) -х*)ТГ(х(Ь, Ь) - х*)| ^ У* .(7)
I Ь = Ь, ' ' Ь = Ь,
Эквивалентность У и У(Ь/, Ь) имеет место при Ь = Ь, в
силу начальных условий из (5).
Далее вычисляем производную по времени эквивалентного критерия.
сЬУ(Ь/, Ь) = 2(х(Ь/, Ь) -х*)ТР—х(Ь/, Ь) = = 2(х(Ь/, Ь) -х*)ТГШ(Ь/, Ь, х(Ь))В(Ь)и(Ь).
Последний шаг перед получением выражения для искомого управления - формирование дифференциального
уравнения для желаемого поведения У( Ь/, Ь) . Поскольку
конечное значение эквивалентного критерия совпадает со значением исходного критерия, необходимо выбрать такое дифференциальное уравнение, чтобы при любых начальных условиях его решение стремилось к заданному достижимому уровню У* . Данный момент - наиболее неопределенный в рассматриваемом методе. Во-первых, часто неизвестно У* (согласно (1) и (7) его теоретическое минимальное значение - нуль, однако оно может быть недостижимо). Во-вторых, неизвестно поведение У(Ь/, Ь) , приводящее к У* . Тем не менее, во многих случаях можно задаться уравнением
—У (ЬР ь) = Т (У* - У (Ьр Ь)),
(8)
решение которого, как известно, имеет вид экспоненты с постоянной времени Т, приближающееся к У* при Ь . При этом уже при Ь* > 3Т У(Ь/, Ь*) ~ У* . Неизвестное У* можно подбирать, начиная от его нулевого
значения. Критерием достижимости заданного У* является совпадение траекторий фактического и желаемого У(Ь/, Ь) , определяемых соответственно (7) и (8).
0
0
е
ее
т х п
т х т
Приравнивая два последних выражения и выполняя свойствах функций f и Ф .
псевдообращение, получим
и (Ь) = ЛТ(ЛЛТ) я,
Л = (х(Ь^ Ь) - х*)ТГШ(Ь^ Ь, х( Ь))В(Ь),
1
Я = - (х(Ь, Ь) - х*)ТГ(х(Ь, Ь) - х*)).
—ДА, х, Vе, об) = —ДА, х, Vе, об) + дVе дvе
+ д р (А, х, Vе, vб )■— vб. дvб дvе
д Юб = -Г-^Ф(х, Vе, Vб)l 1 ■ —Ф(х, Vе, vб) . (11) lдvб J дvе
,б = дvе LЭv
—ДА, х, Vе, vб) = — ДА, х, Vе, vб)
дVе дvе
Пример. Рассмотрим пример из гидромеханики. Имеется трубопроводная сеть, граф которой изображен на рисунке 1.
(9)
Как видно из приведенной схемы метода, его можно отнести к группе методов обратной задачи динамики [3]. Его особенность - использование для построения управления эквивалентной модели конечного состояния. Данная схема успешно использовалась для построения терминального управления в ряде прикладных задач [4], [5], [6]. Специфика модели (2), требующая модификации приведенной схемы, заключается в трудностях непосредственного вычисления частной производной дf/дvе , входящей в (5), из-за наличия связи между vб и Vе .
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Вычисляя частную производную вектора правых частей дифференциальных уравнений (1) по вектору независимых управлений с учетом "двойной" зависимости р от Vе - непосредственно и неявно через vб , получим
(10)
Для устранения необходимости непосредственного дифференцирования обратной зависимости vб = Ф-1 найдем частную производную уравнения связи по Vе .
—Ф(х, Vе, vб) = —Ф(х, Vе, vб) + дvе д Vе
+ _^Ф(х, Vе, Vб)■— vб = 0. дvб дVе
Предполагая невырожденность якобиана связей ЭФ/Эvб , что должно иметь место при корректно заданных связях, получаем
Рисунок 1
Предполагается, что геометрические уровни вершин 1, 2, 3 г1=г2=г3=0, уровни вершин 4, 5 г4=г5=5м. В вершинах 1 и 3 имеются напорные насосы. Трубы 2-4 и 3-5 -цилиндрические емкости высотой 5м, - предназначены для долговременного хранения питьевой воды. Емкость 2-4 имеет диаметр 3м, емкость 3-5 - диаметр 5м. Остальные трубы диаметром 1м и длиной 10м каждая предназначены для подвода воды (труба 1-2) и соединения емкостей (трубы 2-3 и 4-5). В вершине 5 предполагается свободный выход воды через трубу, которая в рассматриваемую систему не входит. Целью управления является прокачка воды через емкости с помощью насосов таким образом, чтобы вода в каждой емкости обновлялась каждые два часа.
Модель данной системы без учета процессов перемешивания строится на основе уравнений Бернулли [7] для неустановившегося напорного движения несжимаемой жидкости в предположении абсолютной жесткости стенок труб. Система уравнений Бернулли для рассматриваемой задачи имеет вид
ч
Нг + гг = Н] + *] +
' И° д Ж
г]
(г, ])е {(1, 2),(2, 4),(4, 5)} ,
и223
¿23 23
¿2 + г2 = Н3 + г3 - АН3 + Ц23~2~д + а0— dЬ
(13)
и35
¿35 ^
¿3 + г3 + АН3 = Н5 + г5 + ^35"2дТ + а0~~д~ ' —Ь
35
д dЬ
Подставляя (11) в (10), получаем искомую др/ЭVе .
(12)
--^-ЛА, х, Vе, vб) ■ Г-А_Ф(х, Vе, vбЛ 1 ■ —Ф(х, Vе, vб). дvб LЭvб J д Vе
Входящие в (12) и в (5) частные производные правых частей дифференциальных уравнений и уравнений связи существуют в силу указанных выше предположения о
Здесь Нг, Н] - пьезометрические напоры в г-й и ]-й вершинах сети, иг] - средняя скорость потока в трубе г-], ¿г] - длина трубы г-], д = 9, 807 м ■ с-2 - ускорение свободного падения, а0 е [ 1, 03;1, 05] - коэффициент коррекции количества движения. Параметр ц^] определяется выражением [8]
= а + ]] ^ г], Ч = (2035 ■ ^ 2^
г] г]
-2
1,74| ,(14)
ц
где ае [ 1, 05;2, 00] - коэффициент коррекции скорости, учитывающий степень турбулентности потока (большие
0 = -вцОЪ + Уг,(кг + - к, - г,),
значения соответствуют меньшей турбулентности), В, , (г ,) е {(1 2) (2 4) (4 5)}
£ гj - диаметр и коэффициент местного сопротивления г-,-й трубы. Коэффициент сопротивления Xij (коэффициент Дарси) рассчитывается по приведенной выше формуле Кармана-Никурадзе для шероховатых труб, в которой kij - средняя высота бугорков шероховатости. Член Акз
отражает наличие насоса в месте соединения трубы (2,3) и емкости (3,5). Так как насос, нагнетая воду в емкость, одновременно отсасывает ее из трубы (2,3) и наоборот, указанный член входит в уравнения для (2,3) и (3,5) с разными знаками. Пьезометрический напор к5 при свободном выходе потока из вершины 5 нулевой.
Наряду с (13), (14), в динамическую модель входят уравнения сохранения потока в виде системы уравнений для расходов во внутренних вершинах сети.
012 = 023 + 024 , $24 = $45 , $23 = 03$.
Для вершины 5 уравнение сохранения не записываем, так как из нее имеется свободный выход потока.
Расходы Он связаны со средними скоростями иг, соотношением
—О 23
Ж = -Р23023 + Т23(к2 + г2 - к3 - г3 + Ак3),
С035 = С Ь
= -в35°35 + Т35(к3 + г3 - к5 - г5 + Ак3),
СБ24 _ 024 СБ35 _ 035 Ск1
С Ь
24
С Ь
35
-П = и1 ( Ь), СЬМ3 = и2 ( Ь) ,
СЬ
012 = 023 + 024 = 023 = 0з5,
= Сг, ' д
(17)
(15)
В.. =
4 2 айЬчаг1,г а0 Ь, (г,,) е Р = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 5),(4, 5)}.
Управляемые посредством и^Ь) , и2(Ь) напоры ^ ,
А^3 е Не здесь предполагаются независимыми, от которых через уравнения расходов зависят другие напоры. Для выявления указанных зависимостей продифференцируем уравнения расходов из (17) и подставим в них соответствующие выражения для производных от расходов. В результате получим следующую систему линейных уравнений относительно зависимых напоров
кб = ео1оп(к2, Й3, ^4) :
0г, = О, ■ , Сг, = пЩ,/^
где с г, - площадь поперечного сечения г-,-й трубы.
Последняя группа уравнений модели - уравнения для уровней воды в емкостях
СБ
" ~ 24 = и — 35 = и -л и 24 , ~п и
СБ
35
СЬ
С Ь
35 .
У = [Б24(Ь/) - Бг]2 + [Б35(Ьг) - Бг]2 ^ У* ,
где
А(у) =
А (у) ■ кб = Ь (0,Ъ ке),
-У 12 - Т23 - Т24 Т23 Т24
Т24 0 -Т24- Т45
Т23 -Т23- Т35 0
Указанные уровни отображают не уровни заполнения емкостей (они на протяжении всего времени работы системы предполагаются заполненными), а местоположения выделенных частиц воды, по которым можно судить о степени обновления воды в емкостях.
Целью прокачки является достижение уровнями Б24 и
Б35 значения Бг = 5 м за заданное время 7200с.
Соответствующий критерий терминальной задачи в этом случае имеет вид:
Ь(0Л ке) =
(16)
где минимально возможное значение У* нулевое.
Переходя в (14), (15) от скоростей к уровням, перепишем модель в следующем эквивалентном виде:
-в12012 - в23°23 - Р24024 - Т12к1 - Ъ3Ак3 --Т12 (г1 - г2) + Т23 (г2 - г3) + Т24 (г2 - г4 ) в24024 - Р45 045 - Т24(г2 - г4) + Т45(г4 - г45) " - Т45к5
в23 023 - в35°35 + (-Т23 + Т35)Ак3 --Т23(г2 - г3) + У35(г3 - г5) - У35к5
Система уравнений (5) в данном случае имеет вид
Ь, х(Ь)) =
С 6
х, ке, кб) 05х 2Л-/0(6, х, ке, кб)
, ,, х 2 э ке<
0,(6, х, ке, кб) 02 х 2
2 х 5
2 х 2
2 х 2
2 х 2
х = х(6, Ь) ке = ке(6, Ь)
х
х = ео1оп(Q, Я, Не) ,
ddАQг](А, Ь) = -вг]Щ + Уг](Нг + гг - Н] - г]) ,
(г,]) е {(1, 2),(2, 4), (4, 5)} , dАQ2з(А, Ь) = -р^223 + 723(¿2 + г2 - ¿3 - г3 + АН3),
dАQ35(А, Ь) = -Р35Ш5 + Т35(¿3 + г3 - ¿5 - г5 + Щ), ¿5 = Н5,
^24 = <?24 d?35 = Оз5 = 0 ^.М = 0
- , d Ь - , ^ ' ^ 3 ,
d Ь
24
35
d Ь
d Ь
¿б = А(у)-1 Ь(Q, д, ¿е) ,
е Р ,
^^(А, х, ¿е, Н) = -2Рг]^г]} , (г, ])
х, ¿е, И) = 1^—г] } , (г, ])е{( 2, 4), (3, 5)} ,
4-fQ(А, х, ¿е, К) = р + ^ А-1 (у)- А-Ь (Q,Y, Йе), dНе Q dНе dНб dНе
=
d ¥
Т12 0
0 Т23
0 0
0 Т35
0 0
р = , dНб
-712 0 0
Т23 -Т23 0 Т24 0 -Т24
0 Т35 0 0 0 т45
7* = 0 . Шаг численного интегрирования дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка полагался равным 50с, конечное время Ь, = 7200 с. Начальные условия выбирались из предположения, что в начальном состоянии вода в трубах и емкостях неподвижна. Этому соответствуют нулевые начальные значения для всех расходов, уровней и управляющего напора А^. Начальное же значение
управляющего напора ¿1 = 5 м, так как этот напор противостоит напору водяных столбов в емкостях высотой 5м. Результаты моделирования представлены на рисунке 2, где изображены зависимости изменения уровней, управляющих напоров, а также желаемая и фактическая
зависимости 7(Ь,, Ь) . Последние изображены на третьем графике в виде практически совпадающих кривых.
d Не
Ь(Q,Y, ¿е) =
-Т12 -Т23 0 0 0 Т35 - Т23
Ае [Ь, Ь,], Ж(Ь, Ь, х(Ь)) = I, Qг](Ь, Ь) = Qг](Ь), (г, ])е Р ,
Я](Ь, Ь) = Яг](Ь), (г, ]) е {(2, 4), (3, 5)} ,
Й1( Ь, Ь) = ¿1(Ь) , Ай3(Ь, Ь) = АН3(Ь) .
Управление (9) конкретизируется в виде:
и(Ь) = АТ(ЛЛТ)я, А = ( А1 Л2 ),
Л1 = (Я24(Ьр Ь) - Sг)■ Жб8(Ьр, Ь, х(Ь)) + + (Я35(Ьр Ь) - Яг) ■ ^78(Ьр Ь, х( Ь)), Л2 = (Я24(Ьр Ь) - Яг) ■ Жб9(Ьр Ь, х(Ь)) + + (Я35(Ьр Ь) - Яг) ■ ^79(Ьр Ь, х(Ь)), я = 2Т(7* - (Я24( Ьр Ь) - Яг)2 - (Я35( Ьр Ь) - Яг)2),
Л 1 ■ я Л 2 ■ я
и1(Ь) = Л^Л, иЬ) = Л^Л2.
Рисунок 2
Желаемое поведение 7(Ь,, Ь) , согласно (8), определя-(18) ется выражением
7(Ьр ь) = (/(Ьр, ь0) -/*) ■ ехР [-"-г0].
Фактическое поведение определяется, согласно (7), (16) и (18), выражением
Предлагаемый алгоритм исследовался с помощью компьютерного моделирования для следующих параметров: Т = 400 с, = 0, 0001 м, а0 = 1, 04, а = 2,
7 (Ьг, Ь) = 7* - 2 ■ Т я .
Совпадение указанных желаемой и фактической зависимостей свидетельствует о достижимости в данном
d
классе управлений выбранных значений Бг , У* .
Для сравнения предпринимались попытки подобрать постоянные значения управляющих напоров, обеспечивающих прокачку обеих емкостей за заданное время. Наилучший результат, достигнутый при этом, получен при к1 = 0, 00004 , Ак3 = 0 и равен Б24(Ь/) = 14, 047 ;
Б24(Ь/) = 5, 070. Уровень 14,047 означает, что за заданное время емкость (2,4) прокачивается почти 3 раза, в то время как другая емкость (3,5) - только один раз. Кроме того, напор первого насоса (т.е. его энергетические затраты) при этом почти на порядок больше суммарных энергетических затрат двух насосов при предлагаемом алгоритме управления. Время расчета управления на компьютере 486БХ66 - около четырех минут.
Следует отметить, что алгоритм (17) малочувствителен к погрешностям его параметров. Так, искажение параметров вг, , в алгоритме расчета управления (18)
на одну треть по отношению к тем же параметрам в (17) приводит к изменению конечных значений управляемых уровней примерно на десять процентов.
ВЫВОД
Приведенные в данной статье, а также в работах [3],[4],[5] результаты свидетельствуют о практической ценности метода конечных состояний для управления
многомерными нелинейными системами достаточно широкого класса. Метод может применяться и в случае ограничений на величины управляющих сигналов [4]. Расчет управлений при этом производится по (9) и корректируется до максимальных или минимальных допустимых значений при выходе на ограничение. Время управления в этом случае может увеличиться, однако работоспособность алгоритма сохранится.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Шушляпин Е.А. Синтез линейных и нелинейных систем управления конечным положением на основе моделей конечного состояния //Проблемы управления и информатики - 1997.- №3.- С.10-16.
2. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Московск. ун-та.-Сер.1. Математика, механика - 1961.-№2.-С.28-36.
3. Батенко А.П. Системы терминального управления. - М.: Радио и связь, 1984.
4. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Синтез управления переходными процессами в нелинейных системах электропривода// Радиоэлектроника, информатика, управление. - 1999. - №1. - С.136-139.
5. Канов Л.Н., Шушляпин Е.А. Терминальное управление процессами коммутации двухобмоточных электромагнитов постоянного тока // Оптимизация производственных процессов: сб. науч. трудов. - Севастоп. гос. техн. ун-т. - 1999. -Вып.1. -С.102-107.
6. Канов Л.Н., Шушляпин Е.А. Терминальное управление динамикой синхронного электродвигателя // Оптимизация производственных процессов: сб. науч. трудов. - Севастоп. гос. техн. ун-т. - 1999. - Вып.2. -С.96-102.
7. Чугаев P.P. Гидравлика. - Л.: Энергия, 1975. - 600с.: ил.
8. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240с.:ил.
Надшшла 29.02.2000 Шсля доробки 21.03.2000
