CC BY
19
удк 681.511.4
АНАЛИЗ РОБАСТНОСТИ КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛЕММЫ БАРБАЛАТА
Е. М. Потапенко, Е. Е. Потапенко, Е. В. Васильева
В [1] рассмотрен ряд комбинированных систем управления с наблюдателями. Ниже исследуется их робастностъ по отношению к динамической, параметрической и экзогенной неопределенностям объекта управления, исполнителъных органов и чувстви-телъных элементов. Исследование проводится с исполъзованием леммы Барбалата. Выявлены факторы, способствующие повышению робастности систем управления. Дано сравнение различных методов исследования робастности.
У [1] розглянуто ряд комбтованих систем керування 3i спо-стериачами. Нижче дослiджуeтъся Чхня робасттстъ стосовно динамiчно'i, параметричноЧ i екзогенно'Ч невизначеностей об'екта керування, виконавчих оргатв i датчи^в. Дослiдження прово-дитъся з використанням леми Барбалата. Виявлено чинники, що сприяютъ тдвищенню робастностi систем керування. Дано по-рiвняння рiзноманiтних методiв дослiдження робастностi.
In [1] the number of combined control systems with the observers is considered. It is investigated them robustness in relation to dynamic, parametrical and exogenos uncertainty of control object, actuators and sensors below. The research is carried out with use of a Barbalat lemma. The factors promoting increase of robustness of control systems are revealed. The comparison of various methods of a research of robustness is given.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из сложных проблем современной теории управления является исследование робастности систем управления. К настоящему времени предложено большое количество методов исследования робастности [2-9]. (Перечень не претендует на полноту). Большая часть методов [3-5] предназначена для исследования робастности только линейных систем. Для исследования робастности нелинейных систем могут быть использованы методы скалярных [2] и векторных [7] функций Ляпунова, метод разложения сингулярно возмущенных систем [6], лемма Беллмана-Гронуолла [8]. В работе [9] для исследования робастности линейной стационарной системы успешно использована лемма Барбалата.
Целью данной статьи является исследование робастно-сти нелинейной нестационарной системы управления с компенсатором комбинированного принципа действия с помощью леммы Барбалата и сравнение различных вариантов систем управления и методов исследования ро-бастности.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Уравнение движения объекта задаются в виде
х'| = Лпх\ + Ви + О/, х1 е Я" , (1.1)
К = Л21х\ + Л22хг + В и + О/ , (1.2)
у = С1 х' 1 + Яи + Н/, (1.3)
где Х1, У1 - векторы состояния основной и паразитной
частей системы, у, и - векторы выходных и входных координат; / = /(Х1, хг, и, Г) - вектор неопределенности, не-
линейностей, нежелательных перекрестных связей и внешних (экзогенных) воздействий, допускающий существование и единственность решения системы (1.1), (1.2). Полагается, что /(О, О, О, Г) тождественно не равно нулю. Матрицы коэффициентов системы постоянны и достоверно известны. Предполагается, что тройка (Лц, В, С1) полностью управляемая и наблюдаемая.
Ставится задача по уравнениям (1.1), (1.3) синтезировать компенсатор (управляющее устройство), обеспечивающий робастность системе по отношению к параметрической и экзогенной неопределенностям / и паразитной динамике (1.2).
В соответствии с [1, 6, 7] компенсатор состоит из наблюдателя
x = Anx 1 + Bu + GDz + L0(C1 x + HDz + Ru -y)
z = Fz + Lz(C1X + HDz + Ru -y), z e R
k a
(1.4)
(1.5)
и закона управления
и = (Ет - К2Я)-1 х
х [ - К1 х 1 -& + К2( С1 х 1 + НВ^ + Яи - у)]. (1.6)
В (1.4)-(1.6) х 1 - оценка вектора х^ ; к = О, 1, 2, ... ; ¿О,К1, 2, К2 - постоянные корректирующие матрицы;
В = [ Еа О ]
a х k a'
T
N = [0 EaY k ,
a a х ka
Ea = diag [ 1, 1, ■■■, 1 ],
a
к а х к а
0 Еа 0 . 0
0 0 Еа- 0
0 0 0 ■Еа
0 0 0 • 0.
-1 -1 -1
X = -ВТА2, У « -ВгТА21, Z « -А31А11 . (1.16)
(1.7)
х 1 , А2 : =
г
О + Ь 0 И
2 _ ЬИ _
Поскольку А1 и А2 формируются гурвицевыми, то —1 —1
А1 и А2 существуют. Обозначения (1.14) и уравнения (1.15) приводят систему (1.11)-(1.13) к виду
Построение компенсатора (1.4)-(1.7) требует диффе-ренцируемости к раз (к = 0, 1, 2, ... ) вектора неопределенности по его аргументам.
Пусть ошибки наблюдателя х ^ определены зависимостью х 1 = х 1 — х^' . Тогда вычитание из уравнения (1.4) уравнения (1.1) и уравнение (1.5) с учетом (1.3) дают
X1 = (А11 + ¿0С1)X1 + (О + Ь0И)(Рг-/),
¿ = (Р + Ь2ИР)^ + Ь2(01х1 -И/) . (1.8)
Принимаются следующие обозначения:
(А11 + ь0с1) (О+Ь0И)Р ьгс1 (Р+ЬгИР)
А1:=А11 -ВК1 ,А3:=А22 ,Ф1:=О-ВК2И , (1.9)
Т:= [(К2С1 -К1), (К2ИР-д)], Ф3:=аг-ВгК2И,
А31 =А21 -ВгК1 , х 1 = х 1 -х1' .
С учетом обозначения х 1 = х 1 -х^ и выражения (1.3)
равенство (1.6) принимает вид
и = -К1 х 1 + К2[С1 х + И(Рг-/>] . (110)
Подстановка (1.10) в (1.1), (1.2) с обозначениями (1.9) дает уравнения
х '1 = А1 х' 1 + ВТз + Ф/ (1.11)
з = А25-Ф2 /, (1.12)
хг = А3хг + А31х1'+ вгтз + Ф3/. (1.13)
Для декомпозиции системы (1.11)-(1.13) на связанные только через / уравнения вводятся обозначения х^=х' 1 + Хз , х2^, х3:=хг + Уз + ZX (1.14)
где Х,У,7 удовлетворяют уравнениям ха2-А^У+ВТ = 0, УА2 - А3У = - вгт+а31х ,
ZA1 - A3Z + А31 = 0. (1.15)
Если спектры матриц А^ А2, А3 не пересекаются, что
всегда можно сделать, то уравнения (1.15) имеют единственные решения [10]. Следует отметить, что, когда нормы матриц подчиняются соотношениям |И2|| » ЦАЦ » ||А^ (эти условия всегда можно выполнить
соответствующим назначением спектров матриц А^ А2), можно записать
х. = А.х. + А./ г = 1, 2, 3,
г г г г-" ' ' '
(1.17)
где дополнительно к (1.14) принято
А1:=Ф1 -ХФ2, А2:=Ф2, А3:=Ф3 - УФ2 + ZА1 , (1.18)
2. ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОСТИ
Определение робастности дано в приложении А. Решение уравнения (1.17) имеет вид г
х( Г) = ехр (Ал)х1( 0) + | ехр [А.(Г - т)]А/(т) ат . (2.1) 0
Полагая, что матрицы А. имеют только простые собственные значения (что можно всегда сделать за счет матрицы К^ в (1.9)), взяв нормы левой и правой частей
уравнения (2.1) и используя (В.2), можно записать
г
||хг( Г )||<| |хг( 0 )|| га .ехр (-а.Г) + т. ||Аг|| ехр [-а.( Г - т)] х
0
х |/(т)||ат, (2.2)
где а. = -тах[Яв(Х(А.))] - степень устойчивости матрицы А., т. - число обусловленности. В отношении вектора неопределенности / с учетом (1.6), (1.9), (1.14) будет полагаться следующее:
|/(х'1, хг, и, Г)|| = |/(х1, х2, х3, Г)||< |/(х1, х2, х3)|| +/0,
||/(х1> х2' х3< хЦх4 + х2\\ + х3||, (23)
где %1,Х2'Х3' /0 - положительные константы. В этом случае правая часть в (2.2) является мажорантой для ||х .(Г)|| , описываемой линейным уравнением с составляющей
-1
т,а, ||А .|/0[ 1 - ехр(-а Г)] ,
(2.4)
которая асимптотически стремится к значению -1
а1/0, а 1 = тЛ ||Аг|| .
Исследуем робастность по отношению к неопределенности / , введенной в (2.3). Заменим в (2.2) ||/|| на ||/'|| из (2.3) и проинтегрируем неравенство (2.2). Тогда с учетом (С.1) приложения интеграл в правой части (2.2) можно представить в виде
~ Г
Л ехр [-а.( Г - т)]|| /'(т)\\(ат)Л =
= | ехр (-а.г) аг ||| /'Уг = а/\Wf\dt.
(2.5)
бором быстродействия наблюдателя, в соответствии с (1.9) полагается, что
О О О
Последовательная подстановка (2.3) в (2.5), а (2.5) в проинтегрированное соотношение (2.2) дает соотноше-
Л2 = 8 Л2, ¿о = § ¿О, Ь2 = 8 1 Ь2, а2 = 8 1 а2 , Ф, = 8 1Ф2 ,
(2.10)
/ЦхДг)||аг< ||хг(0)||тгаг 1 + тЛ ^А.Ц(Х1 /||х1(Г)||аг +
О
+ Х2 |х2( г аг + Хз Я Ь( Г)||агX
ОО Приняв обозначения
1 1
Р.:=|хг.(0)|т.а. , а.:=т.а. ||
из системы (2.6) можно найти
2 , "-2 ""2 > ^2 где 8 положительный скаляр, а матрица Л2 имеет спектр,близкий к спектру матрицы Л1 ,и а2 близка к а1. 0 Последовательная подстановка в а. из (2.4), (2.7) выра-
I = 1, 2, 3. (2.6) жений (1.18), (1.16), Ф2 из (1.9) с учетом (2.10) дает
а1 = т1 а^ ф1 + ВГЛ21Ф^ ,
(2.7)
а2 ~ т2а2 ЦФ^], Ф2 =
8 О + Ь0 Н ЬгН
(2.11)
|х1 (Г)|| аг < М [Р1(М + а1х1) + Р2а1 Х2 + Р3а1 Х3 ,
|х2(ГЦаг<М [Р1а2х1 + Р2(М + а2х2) + Р3а2Х3] ,(2.8)
|х3 (Г)|| аг < М- [Р1 а2х1 + Р2а3Х2 + Р3(М + а3х3)] ,
О
где М = 1 -а1 Х1 -а2Х2 -а3Х3.
Если М> 0 и а. > 0 , то выражения в квадратных скобках в (2.8) положительны и конечны. Поэтому, для того чтобы при г (Г)|| стремилась к значению, не
превышающему а./о , в соответствии с леммой Барбала-та (приложение Б) должны выполняться условия
М = 1 -а1 Х1 -а2Х2 ^3X3 > 0, а^а2,а3 > 0.(2.9)
Проделанные выкладки позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема. Для того чтобы система (1.1 )-(1.7), (1.9) была робастной, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
(a) спектры матриц Л22 и Л11 не пересекаются,
(b) тройка (Лц, В, С1) полностью управляемая и наблюдаемая,
(c) спектры матриц Л^, Л2, Л3 не пересекаются, являются гурвицевыми, а их элементы являются простыми,
(^ норма вектора неопределенности кусочно непрерывна и удовлетворяет соотношениям (2.3),
(е) (2.9).
Примечание. Требование кусочной непрерывности нормы вектора неопределенности следует из условия равномерной непрерывности (Г)|| леммы Барбалата и
выражения (2.2).
Для оценки возможностей системы, связанных с вы-
а3 ~ т3а3^|Ф3 + ВгТЛ2Ф2 -Л31Л11 т11 а1 аЦ .
Как следует из (2.11), путем изменения 8 (изменения быстродействия наблюдателя) нельзя свободно влиять на значения а., которые входят в (2.4) и (2.9). Кроме
того, из (2.4) можно заключить, что система управления является статической. Все это противоречит результатам работ [1,6] и свидетельствует о грубости оценки робаст-ности с помощью данного метода. Выражения (2.9) и а1
из (2.11) показывают, что существует такое сочетание параметров объекта и компенсатора, при котором влияние характеристик закона управления (1.6) (влияние а1 ) на робастность минимально. Это будет иметь место
при минимальности а1 . Минимизацию а1 можно осуществить путем выбора матриц 2 и К2 , входящих в Т. Как следует из (2.4), минимизировать а. можно путем
минимизации статической ошибки.
Для общности результатов будет полагаться, что рассматривается робастность не нулевого положения, а некоторого программного положения хр . В связи с этим
вместо закона управления (1.10) будет рассматриваться закон
и = -Пхр-К1 (х 1 -хр)-$ + К2[ С1( х 1 -х\) + Нф2-/) ] =
-Пхр-К1 (х1-хр)- (К1 -К2С1)(х 1 -х1') + +К2Н(В-/) . (2.12)
Подстановка второго равенства из (2.12) в (1.1) в квазистационарном случае приводит к уравнению Л11х1' = В[Пхр + К1 (х/-хр) + £2 + (К1 -К2С)(х 1 -х1') -
- К2Н(В2-/)]-О/ . (2.13)
Поскольку предполагается, что пара (Лц, В) является полностью управляемой, то из определения полной
ние
0
0
управляемости следует, что изображающую точку системы (1.1) при f = 0 можно поместить в любую точку фазового пространства, определяемую вектором xp, т.е.
обеспечить выполнение равенства (Aц-Б^)^-xp) =0 .
Это означает, что в (2.13) всегда можно подобрать такую матрицу П, чтобы выполнялось равенство ВПХр= АцХр . Будем полагать, что выполняется условие
согласованности G = BQо [6]. Тогда матрицу Q назначим в виде qqd . Из первого уравнения системы (1.8) в квазистационарном случае
x 1 = X1 -x' 1 = -(A11 + L0C1)-1 (G + L0H)(DZ-f) . (2.14) Подстановка равенств ВПХр= A^xp , G= BQ0 , Q= Q0D и (2.14) в (2.13) дает
(A11 -BK1 )(x\ -xp) = Q(Dz-f) . (2.15)
Из (2.15) видно, что, для того чтобы ||x' 1 -была минимальной, необходимо минимизировать ||9|| = IB [(K2C1 - K1 )(A11 + L0C1)(BQ0 + L0H) + + (Q0 - K2H)]|| (2.16)
путем выбора матрицы K2 . Минимизация ||Dz-f\ достигается за счет выбора матриц L0 и Lz . В частности,
при H = 0 выражение (2.16) приводится к виду, соответствующему выражению (1.8) работы [1], но, в отличие от работы [1], выражение (2.16) получено для расширенного наблюдателя. Для нерасширенного наблюдателя в (2.15), (2.16) следует положить Dz = 0 . Для расширенного наблюдателя, наряду с минимизацией (2.16), за счет выбора матриц L0 , Lz , ||Dz-f а следовательно,
и ||x' 1 - xp|| , можно сделать достаточно малыми вне зависимости от ||A 11 -BK, а матрицу K1 выбрать исходя из показателей качества, не связанных с робастностью. В системе с нерасширенным наблюдателем и K2 = 0 для
обеспечения робастности (уменьшения ||x' 1 -xp|| ) необходимо увеличивать -BKЦ и, следовательно, приходится отказываться от оптимизации по другим показателям качества.
Исследования позволяют сделать следующие выводы. 1. Повышению робастности способствуют следующие мероприятия:
- выполнение условия согласованности G = BQ0 и задание в законе управления матрицы Q , равной qqd ;
- уменьшение влияния вектора неопределенности на измерения (минимизация ||HI );
- при минимальности ||H|I увеличение быстродействия наблюдателя;
- выбор матрицы К2 из условия минимальности (2.16).
2. Мероприятия из предыдущего пункта уменьшают влияние матрицы К1 закона управления на робастность
и позволяют выбирать эту матрицу исходя из оптимизации показателей качества, не связанных с робастностью, а робастность обеспечивать за счет выбора матриц
Я' К2' Ь0' Ьг .
3. Условия робастности являются достаточными и зависят от применяемых типов норм векторов и матриц. Поэтому, если хотя бы для одной пары векторной и подчиненной ей матричной норм условия робастности выполняются, а при других парах норм не выполняются, то система будет робастной.
Численное моделирование исследуемых робастных систем представлено в работах [7, 13].
3. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ РОБАСТНОСТИ
В качестве кандидатов для исследования робастности комбинированных систем управления с наблюдателями, содержащих нелинейности, нестационарности, параметрическую, динамическую и экзогенную неопределенности, рассматривались следующие методы:
1) метод, использующий скалярные функции Ляпунова;
2) метод с применением леммы Беллмана-Гронуолла;
3) метод, оснований на разложении сингулярно возмущенных систем [6];
4) метод, построенный на векторных функциях Ляпунова [7];
5) метод, базирующийся на лемме Барбалата (настоящая статья).
Первые два метода требуют агрегатирования (объединения) уравнений управляемого объекта и наблюдателя в одну систему, вследствие чего предъявляются одинаково жесткие требования с точки зрения робастности как к наблюдателю, так и к закону управления.
В то же время, как показали исследования с помощью методов 3, 4, 5, робастность можно обеспечить за счет наблюдателя выбором матриц Ьг и матриц коэффициентов закона управления д и К2, а матрицу К1 выбирать исходя из оптимизации показателей качества, не связанных с робастностью. Это свидетельствует о грубости методов 1 и 2 в случае комбинированных систем.
Третий метод наглядно показывает, что без потери ро-бастности спектр управляемого по вектору состояния объекта на комплексной плоскости можно расположить гораздо ближе к началу координат, чем спектр наблюдателя. В отличие от методов 1, 2, 4, метод 3 работает при неравных тождественно нулю экзогенных неопределенностях. Третий метод не требует преобразований ко-
ординат (1.14), необходимых для использования методов 4 и 5. В отличие от метода 5, метод 3 не требует простоты элементов спектров. Этот метод хорошо демонстрирует возможности системы. К недостаткам третьего метода можно отнести требование дифференцируемости вектора неопределенности и невозможность получить численные значения малого параметра, при которых метод работает.
К достоинствам методов 4 и 5 по сравнению с методом
3 относятся отсутствие требований существенного разнесения желаемого спектра системы и спектра упругих колебаний и дифференцируемости вектора неопределенности, а также возможность получить значения параметров системы, при которых гарантируется робастность. Метод
4 позволяет построить мажоранту переходного процесса
II Т Т Т || для р1 (Г), х2 (Г), х3 (Г) или, что то же самое, для
ТТТТ х (Г), хг (Г), х 1 (Г), 2 (Г) . Критерии робастности, полученные с помощью методов 4 и 5, хотя и отличаются по форме, позволяют сделать практически одинаковые выводы. Недостатками метода 4 по сравнению с методом 5 являются отсутсвие возможности исследовать робаст-ность с экзогенной неопределенностью и невозможность выявить роль собственных векторов системы в робастно-сти. Можно предположить, что использование приема Шилака и Вукчевича [12] позволит уменьшить последний недостаток.
Таким образом, для более детального выявления свойств робастных систем можно рекомендовать метод 3, а для получения количественных оценок робастности методы 4 и 5.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А. Система называется практически устойчивой в области х) относительно области
Г(х) х) , если при начальных условиях из области Ъ изображающая точка х фазового пространства за конечный промежуток времени попадает в область Г , содержащую начало координат (х = 0) , и там остается в дальнейшем. Размер области Г определяется конкретной задачей.
Под робастностью системы управления понимается ее практическая устойчивость при всех возможных видах и значениях неопределенности, обусловленных конкретной задачей.
Приложение В. Пусть матрица А имеет только простые собственные значения. Тогда она может быть диаго-нализирована с помощью модальной матрицы М, составленной из собственных векторов матрицы Л . В этом случае можно записать
где Л - диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные значения матрицы Л . Для норм уравнения (В.1) имеют место соотношения
||ехр(ЛГ)|| < ||М1 ■ Цехр(ЛГ)|| ■ ¡М^Ц <техр(-аГ) . (В.2) Здесь 0 <а = -тах[Яв(Х(Л))] - степень устойчивости
-111
M
- число обусловленности
матрицы Л, 1 < т = || матрицы М .
Приложение С. Лемма С. Пусть а(Г) и Ь(Г) функции, удовлетворяющие условиям их преобразования по Лапласу, т.е. кусочно непрерывны с разрывами первого рода и экспоненциально ограничены. Тогда имеет место равенство
J J a (t - T)b(T) dT dt = J a (t) dt J b( t) dt .
00 0 0 Доказателъство.
(C.1)
~ t
J J a (t - T)b(T) dT dt =
00
= J
J[a(t- T)es(t T)] [b(T)esT]dT
-st , х e dt =
= J[a(t)est]e stdtJ[b(t)est]e stdt = 00
exp (At) = M exp (Л t )M
(B.1)
= | а ( г) аг | ь ( г )аг. 00
Предпоследнее равенство соответствует теореме свертки в преобразовании Лапласа.
Приложение П. Лемма (И. Барбалат [11]). Если ф(Г) - вещественная функция вещественной переменной Г, определенная и равномерно непрерывная при 1>0, и если предел интеграла
Г
|ф(Г)аг при Г ^ ~ существует и равен конечному 0
числу, то Нтф(Г) = 0 при Г .
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Потапенко Е.М. Сравнительная оценка робастных систем управления с различными типами наблюдателей //Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1995. - № 1. - С. 109-117.
2. Corless M. and Leitman G. Continuous state feedback guaran-teeng uniform ultimate boundednes for uncertain dynamic systems // IEEE Trans. Automatic Control. - 1981. - V. AC-26, № 10. -P. 1139-1144.
3. Позняк A.C., Семенов A.B., Себряков Г.П., Федосов Е.А. Новые результаты И^ - теории управления // Изв. РАН. Техническая
кибернетика. - 1991. - № 6. - С. 10-39.
4. Первозванский А. А., Первозванский Ал. А. Некоторые оценки параметрической робастности линейных систем //
~ t
0
Автоматика. - 1992. - № 1. - С. 3-8.
5. Гусев Ю. М., Ефанов В. Н., Крымский В. Г., Рутковский В. Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем. Состояние проблемы // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1991. - № 1. - С. 3-23. - № 2. - С. 3-30.
6. Потапенко Е. М. Робастные комбинированные системы управления с наблюдателями // Проблемы управления и информатики. - 1995. - № 2. - С. 36-44.
7. Потапенко Е. М. Исследование робастности систем управления с наблюдателями // Изв. РАН. Теория и системы управления. -1996. - № 2. С. 104-108.
8. Chiang C. -C, Chen B. -S. Robast compensator synthesis for dynamic systems subjected to parameter perterbations // Int. J. Systems Sci. - 1988. - V.19, № 1. - P. 125-137.
9. Lin C. -L., Hsiao F. -B., Chen B. -S. Stabilization of large structural
systems under mode truncation, parameter perturbations and actuator saturations // Int. J. Systems Sci. - 1990. - V.21, № 8. -P. 1423-1440.
10. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 552 с.
11. Попов В, М. Гиперустойчивость автоматических систем. - М.: Наука, 1970. - 456с.
12. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. - М.: Наука, 1985. - 352с.
13. Потапенко Е. М., Бичай В. Г. Робастное управление электроприводом робота // Проблемы автоматизированного электропривода. Теория и практика: Труды конференции. / Под общей ред. В. Б. Клепикова и др. - Харьков: Основа, 1995. - С. 61-64.
Надшшла 21.05.98
удк 681.511.46
СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОПРИВОДА
Е. А. Шушляпин, Л. Н. Канов
Предложены алгоритмы расчета управлений переходными процессами при включении и отключении электродвигателей постоянного тока последовательного и параллельного возбуждения. Алгоритмы построены на основе нового подхода, использующего представление систем моделями конечного состояния.
Запропоноват алгоритми розрахунку управлть перех1дними процесами при включены та вгдключенш електродвигутв по-стшного струму послгдовного та паралельного збудження. Алгоритми збудоват на засад1 нового тдходу, який використовуе зо-браження систем моделями кгнцевого стану.
The algorithms of calculating the transition processes when including or disconnecting direct current's electric motors of consequent and parallel excitement are offered. Algorithms are built on the base of a new approach, which uses system's presentation by the models of terminal states.
ВВЕДЕНИЕ
Многие модели электрических машин имеют существенно нелинейный характер, для управления которыми до настоящего времени нет достаточно эффективных методов. При использовании вариационных подходов или динамического программирования возникают существенные вычислительные проблемы. Методы, основанные на решении обратной задачи динамики, не всегда приводят к желаемым результатам ввиду существенных ограничений на класс управляемых объектов. В настоящей статье для синтеза управлений используется подход, основанный не на привычных моделях состояния, а на так называемых моделях конечного состояния [1]. Данный подход имеет определенные преимущества, основные из которых - относительная простота подготовительной работы, большая универсальность, меньшие вычислительные проблемы при реализации.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим управление разгоном и торможением электродвигателей постоянного тока последовательного и параллельного возбуждения [2] с приведенными ниже математическими моделями.
Двигатель последовательного возбуждения
т а'А . . . , . г аю , , , .2
ЬА "Л+ ГА1А + к11Аю = и, а кмю = к21А . (1)
Двигатель параллельного возбуждения
dir
di .
LBd + rBiB = u > LAd + rAiA + k1 iBa = u >
r da , , . .
JM d+ kMa - k21A1B >
(2)
где В .а - токи возбуждения и якоря, ю - скорость вращения, и - напряжение на выводах двигателя, Гв, Ьв , га , ьа - сопротивления и индуктивности обмотки возбуждения и якоря, к^ к2 - электрическая и механическая постоянные, кМ - коэффициент пропорциональности момента нагрузки и скорости, ■М - момент инерции, приведенный к валу двигателя. В процессе разгона начальные значения переменных нулевые, а конечные значения определяются из установившегося стационарного режима и удовлетворяют уравнениям:
для двигателя с последовательным возбуждением -
3 * rAkM
iA J + 'Atki - - - ('A*)% <3)
для двигателя с параллельным возбуждением
* U *
. * _ ном . * iD - -
U
, г A -
k1k2 rA + ---k-------- i
kM
> ю* - Г2iA > (4)
M
где UH - номинальное значение напряжения двига-
B
