CC BY
6
7. Калашников В.1., Пал!с Ф., Лозинський 0.Ю. Основи фази-лопки та фази-регулювання. Донецьк, Магдебург, Льв1в, 2000. С. 86.
8. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1988. С. 255.
Надшшла 30.12.2003 Шсля доробки 04.06.2004
Для тдвищення чутливостг фаззг-регулятора (ФР) при находженш вхгдних змгнних у зон насичення кордонних термгв пропонуеться уточнення виходу регулятора завдя-ки використанню масштабних коефщ1ент1в (МК) вхгдних г вихгдних змгнних. Наводиться один з варгантгв визначен-
H.H MK. Po3iënnymo Hacmporneanna Koeôiu,i°Hmie 3 epaxy-eanHHM duHaMiêu cucmeMu. HaeedeHO KOHKpemHuu npuKMad ymoMHBHHH euxody pezyëamopa.
For increasing of the sensitivity of the fuzzy-regulator while finding input variables in the zone of saturation of bordering terms it's offered a more precise definition of output of the regulator by using zoom coefficients of input and output variables. Here is given one of the variants of finding the zoom coefficients. Here is considered the tuning of coefficients with consideration of dynamics of the system. A real example of the amplification of the regulator output is considered.
УДК 681.511.46
E.A. Шушляпин, A.E. Работнов
УПРАВЛЕНИЕ ТЕРМИНАЛЬНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ МНОГОИНДЕКСНЫМИ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ
Предложена модификация метода конечных состояний для синтеза терминальных управлений многомерными нелинейными системами с математическими моделями в виде совокупностей многоиндексных рекуррентных выражений.
ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Актуальной задачей теории управления является разработка управляющих методов и алгоритмов для систем с распределенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных (систем трубопроводного транспорта, линий электропередач, управления температурными режимами печей и др.). Несмотря на большое количество задач и математических моделей такого рода, арсенал соответствующих методов управления, особенно для нелинейных систем, невелик. Наиболее часто используется прием приближенной замены уравнений в частных производных обыкновенными дифференциальными уравнениями (например, с помощью метода «прямых» [1]) с существенным расширением размерности фазового пространства, что является недостатком данного подхода. Другой способ, применимый к линейным стационарным системам простого вида, основан на применении преобразования Лапласа [2]. Для некоторых задач оказывается возможным применение вариационного исчисления, принципа максимума, динамического программирования [3]. Предпринимаются попытки получения в аналитическом виде приближенных решений систем уравнений в частных производных [4], на основе которых также можно решать задачу поиска управлений.
В данной работе терминальную задачу управления системой с распределенными параметрами предлагается решать на основе представления ее конечно-разностной
схемой в виде многоиндексной системы рекуррентных соотношений и последующим применением к ней дискретного метода конечного состояния. Метод конечного состояния [5] является представителем методов для решения обратной задачи динамики и основан на использовании переменных и моделей конечного состояния. Данный метод разработан для нормальных дифференциальных многомерных нелинейных систем с гладкими функциями правых частей [6], а также одно-индексных конечно-разностных [7] и смешанных (гибридных) нелинейных систем с аддитивным управлением. Результаты для смешанных систем будут опубликованы в трудах IV Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» 81СРИ0'05 (Москва, январь 2005 г.). Достоинством перехода от дифференциальной к конечно-разностной схеме применительно к методу конечного состояния является существенное ослабление требований к функциям правых частей соответствующих нормальных форм уравнений. Если в дифференциальном случае требуется непрерывность и диф-ференцируемость правых частей, то в конечно-разностном случае указанные функции должны быть лишь конечны в каждой точке соответствующей области определения. С точки же зрения практических применений конечно-разностная схема удобнее ее дифференциального аналога. Кроме того, решению поставленной задачи применительно к дифференциальной форме должно предшествовать получение аналога формулы Алексеева В.М. [8], на которую опирается метод конечного состояния в его непрерывной форме. Такой аналог для уравнений в частных производных нам неизвестен. Для упрощения последующих выкладок рассмотрим вначале двухин-дексный случай, соответствующий уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными.
Итак, рассмотрим двухиндексную терминальную задачу с аддитивным управлением в нормальной форме [3]:
J = J (х(АьЩ)) J* ,
(1)
х(г,]-1) = ф(!-1,]-1,х(г-1,]-1))+Б(-1,]-1)• щ(1,]) , (2)
х(г-1,]) = Ф2(1 -1,]-1,х(г -1,]-1))+Б2(1 -1,]-1)■ н2(1,]), (3)
где г = 1,2,к,N ; ] = 1,2,к,А2; J* - желаемое значение терминального критерия J ; х(г,0), х(0,]) - заданные «левые» граничные условия; х, Ф1, Ф2 - я-мерные векторы; Б1 -(п х г1)-мерная матрица при управлении и1, В2 -(п х г2 )-мерная матрица при управлении и2 .
ПОЛУЧЕНИЕ ДВУХИНДЕКСНОЙ МОДЕЛИ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ
Метод конечного состояния основан на использовании переменных конечного состояния (ПКС), зависящих в дискретном двухиндексном случае от двух пар индексов. Уравнения для ПКС как функции первой пары индексов определяются из однородного уравнения, следующего из (1)-(3). В то же время для определения искомого управления ПКС нужны как функции второй пары индексов при конечных значениях первой пары А1, N 2 соответственно. Вектор ПКС х(А], А2,г -1,] -1,х(г -1,] -1)) имеет смысл конечного состояния однородной системы, следующей из (1)-(3) и имеющей в дискретные моменты г -1,] -1 состояние х(г -1,] -1). Оказывается, что как функция второй пары индексов ПКС зависит от управления (показано ниже), что позволяет при рациональных требованиях к поведению ПКС как функции второй пары индексов его определять. Систему рекуррентных соотношений, определяющей ПКС как функцию второй пары индексов, мы и называем моделью конечного состояния.
Определим переменную конечного состояния (ПКС) как решение однородного уравнения, следующего из (1)-(3), в смысле функции первой пары индексов (первое уравнение - функция к, второе уравнение -функция I).
х(к, I -1, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) = = Ф1[к -1,1 -1,х(к -1,1 - 1,г -1,] -1,х(г -1,] -1))];
х(к -1, /, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) = = Ф2[к -1,1 -1,х(к -1,1 -1,г -1,] -1,х(г -1,] -1))],
где к = г,г +1,...,А]; I = ],] + 1,к,А2 ;
(5)
х(к,/). Следовательно, при совпадающих парах выход будет совпадать с начальным условием.
Далее получим алгоритм для расчета ПКС как функций второй пары индексов. Вначале - для второй пары индексов, отличающихся на единицу от значений первой пары. Это следует из (2) и (6) при к = г, I = ] .
х(г, ] -1, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) = = Ф![! -1,] -1,х(г -1,] -1,г -1,] -1,х(г -1,] -1))] = = Ф1 [г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)] = = x(i, ] -1) - Б1(г -1, ] -1) ■ и1(i, ]);
(8)
х(г -1, ], г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) = = Ф2р -1,] -1,х(г -1,] -1,г -1,] -1,х(г -1,] -1))] = = Ф2[г -1,] -1,х(г -1,] -1)] =
= х(г - 1,}) - Б2(г - 1, ] - 1) ■ и2 (Л-
(9)
В соотношениях (8) и (9) заменяем в соответствии с (7) переменные состояния переменными конечного состояния
х(г,] -1) = х(г,]' -1,г,] -1,х(г,] -1)); х(г -1, ]) = х(г -1, ],г -1, ], х(г -1, ])).
После подстановок и переноса слагаемых в левые части имеем
х(г,]' - 1,г, ]' -1,х(г,] -1)) - х(г,] -1,г -1,] -1,х(г -1,] -1)) =
= Б1(г -1,] -1) ■ и1 (г,]); (10)
х(г - I,], г - 1,], х(г - 1,])) - х(1 - 1,] г - 1, ] - 1,х(г- 1,] - 1)) =
= Б2(г - 1,]- 1) ■ и2(г,]). (11)
Здесь уменьшаемое и в^гчитаемое в левой части имеют одинаковые первые пары {,] -1} в (10) и {-1,]} в (11), а индексы вторых пар отличаются на единицу: в (10) -первый индекс, в (11) - второй индекс.
Теперь в (10) и (11) будем увеличивать индексы первой пары: в (10) - первый индекс, в (11) - второй индекс. Первое слагаемое (10) запишем с учетом (4) в виде
х(к г,(1 -1) |]-1,(г -1) |г,] -1,х(г,] -1)) =
= Ф1 [г -1,] -1,х(г -1,] -1,г,] -1,х(г,] -1))].
(4) Теперь увеличим г первой пары ПКС на единицу. Тогда
х(г +1,] -1,г,] -1,х(г,] -1)) = = Ф1 [г,] -1,х(г,] -1,г,] -1,х(г,] -1))].
(12)
х(г -1,] - 1,г -1,] -1,х(г -1,] -1)) = х(г -1,] -1) . (6)
В общем случае, по смыслу ПКС, имеет место равенство
х (к ,1, к ,1, х(к,/)) = х(к, I), (7)
так как первая пара индексов означает дискретный момент вычислений по рекуррентным формулам (4)-(7), а вторая - момент начала при начальных условиях
То же проделаем и со вторым слагаемым (10), где первый индекс ] второй пары на единицу меньше.
х(г,]' - 1,г -1,]' -1,х(г -1,]' -1)) = = Ф1 [г -1, ] -1, х (г -1, ] -1, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1))].
Увеличивая первый индекс первой пары, получаем
х(г +1, ] -1, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) = = Ф1 [г,]-1,х(г,] - 1,г -1,] -1,х(г -1,]-1))]. (13)
Таким образом, левая часть (10) с увеличенным на единицу первым индексом первой пары получена. Эта левая часть уже не будет равна Б1и1. Вычислим ее, учитывая выражение (2). Найдем разность (12) и (13).
х(( +1,] - 1,г -1,] -1,х(( -1,] -1)) -- Х(( +1, ] -1,1 -1, ] -1, х(( -1, ] -1)) = = Ф^г,] -1,X(г,] -1,г,] -1,х(г,] -1))] -- Ф^,] -1,х(г,] - 1,г -1,] -1,х(г -1,] -1))]. (14)
Используя соотношения (7) и (2), запишем
х(г,] -1,г,] -1,х(г,]' -1)) = х(г,]' -1) = = ф[г -1,] -1,х(г -1,] -1)] + Б](г -1,] -1) ■ и!(г,]).
Используя соотношения (4) при к = г, I = ] и (6), запишем
х С ] -1, Ь ] -1 ] -1)) =
= Ф1[! -1, ] -1, х(г -1, ] -1, г -1, ] -1, х(( -1, ] -1))] =
= Ф1[! -1,] -1,х(г -1,] -1)]. Таким образом, разность (14) представлена в виде
х(г +1, ] -1, Ь ] -1, яС ] -1)) -
- х (г +1, ] -1, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) = = Ф1[г,] -1,Ф1[! -1,] -1,х(( -1,] -1)] +
+ Б1(г -1, ] -1) ■ и1(г, ])] -
- Ф1 [г,] -1,Ф1 [г -1,] -1,х(г -1,] -1)]].
(15)
Введем обозначение
Ф[к][г, ], х(г, ])] = Ф14,4^',Ф1[2-1,4^-,. ..,3 - к, ], х(г, ])]]], (16)
(17)
к раз
ф11] = Ф^.
С учетом (16)-(17) разность (15) при к = I равна
х0 + ^] -1 i,] -1,x(i,] -1)) -- х(г + к, ] -1, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) =
= Ф[к][г,] -1,Ф1[! -1,] -1,х(г -1,] -1)] +
+ Б1(г -1,] -1) ■ щ((,])] -
- Ф[к][г,] -1,Ф1[г -1,] -1,х(г -1,] -1)]].
(18)
= Ф[^1 "г]
-Ф1
№-г]
[г,] -1,Ф1[! -1,] -1,х(г -1,] -1)] +
+ Б1(г -1,] -1) ■ и1(г,])] -
[г,] -1,Ф1[г -1,] -1,х(г -1,] -1)]].
(19)
х(г -1,^2,г -1,],х(г -1,])) =
= х(г -1,^2,г -1,] -1,х(г -1,] -1)) + = Ф[2^2-]][г -1,],Ф2[г -1,] -1,х(г -1,] -1)] +
+ Б2(г -1,] -1) ■ и2(г,])] -- Ф2^2-% -1,],Ф2[г -1,] -1,х(г -1,] -1)]].
(20)
Выражения (19) и (20) представляют собой рекуррентные формулы для вычисления ПКС как функций второй пары аргументов, а именно: (19) - как функцию г при фиксированном /; (20) - как функцию / при фиксированном г. Такую систему рекуррентных формул, по аналогии с непрерывным случаем [5], назовем «Дискретной многомерной моделью конечного состояния» (ДММКС). Переменные ДММКС при известных граничных условиях (3) и управлениях ]), и2 ]) могут быть определены как функции аргументов г и /. Однако в методе конечного состояния ДММКС используются косвенно для получения управления.
ПОЛУЧЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ
В соответствии с методикой конструирования управления методом конечного состояния введем так называемую критериальную функцию (КФ) второй пары индексов, заменив аргумент критерия (1) на ПКС
7(1,]) = ^(,N2,г,],х(,]))] J*. (21)
В силу свойства (7)
7 (N^N2) = 7 [ х((2, N^,N2, х((-1^2 ) = 7 [ х((()] ^ 7.
Таким образом, при выборе управлений и1 и и2 таких, что КФ (21) при г — N1, ] — N2 7(N1,N2) — 7*, будет решена и эквивалентная задача (1)-(3).
К сожалению, соотношение (21) пока нельзя использовать ввиду его зависимости от неизвестного x(Nl,N2,ij,х(1])). По этой причине определим
7((, I, г, ]) = 7 [ х(( I, г, ], х(, ]' ))]|,
(22)
которое при к,г — I,] — N2 в силу (7) стремится к 7*. Частными случаями (21) будут
7(( -1,1,] -1) = 7[х(( -1,г,] -1,х((,] -1
(23)
В общем случае при к > I выражение (18) сохраняется. Для к = N - г получаем, перенося второе слагаемое в правую часть,
х (N1, ] -1, г, ] -1, х(г, ] -1)) = = х(N1, ] -1, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) +
7((- ^^ -1,]) = 7[х( - 1,Щ,г -1,],х(( -1,]), (24)
для которых известны х (это выражения (18)-(20), зависящие от управляющих воздействий и1 и и2).
Для определения и1 и и2 зададим желаемое поведение критериальной функции 7 в виде пары рекуррентных формул
7(( - и, ] -1) = 7 [7(( - и -1, ] -1)],
(25)
Проводя аналогичные действия для второго индекса первой пары (11), получаем следующее выражение:
7 ((-1, -1, ]) = /7 2 [7 ((-1, ЩА -1, ] -1)] (26)
и
при граничных условиях
J ((,0, г,0) = J[ х((А1,0, (,0, х(г,0))], 7 (0, N2,0, ] ) = J [ х (0, N2,0, ], х(0, ] ))].
(27)
(28)
J [х(г -1, А2, г -1, ] -1, х(г -1, ] -1)) +
-Ф[2А2 - ]] (В21(и2 ))"Ф[2Аг (аГб22 (и 2 ))] =
= J [[ -1, N2, ( -1, ] -1, х( -1, ] -1))]+ — [* - J[(( -1, N2, г -1, ] -1, х(( -1, ] -1
(32)
Для получения х((,0,(,0,х((,0)) воспользуемся (4) при к = 1,N1,1 = 1,] = 1 для каждого г = 1,2,.,N1, то есть расчет по (4) производится вначале для ( = 1, и т. д. до ( = N1. Аналогично, но по (5) при к = 1, I = 1,N2 , ( = 1 для каждого ] = 1,2,N2 рассчитывается X(0,N2,0,],х(0,])). Следует отметить, что для получения управления выражения (27) и (28) не требуются. Они нужны лишь для построения трехмерных графиков, если есть потребность в визуальном сравнении поверхностей желаемой и фактической критериальных функций. Для получения же управления нужны ^^ и ^2, которыми необходимо задаться таким образом, чтобы решение (25) и (26) при достижении ( ^ N1, ] ^ N2 подходило (точно или приближенно) к J *.
Определим
1
Д = J(N1,] -1,1 -1,] -1) + - J(Nl,j -1,( -1,] -1Д(29)
Ти1
ат&1 = N1, ] -1, Ф^ -1, ] -1, х(( - 1, ] -1)] + Б^ - 1, ] - 1) ■ ^(г, ]), аг812 = N1, ] - 1, Ф1[г -1, ] - 1, х(( -1, ] - 1),
aгg2l = ( -1, N2, Ф2[г - 1, ] -1, х(( - 1, ] - 1)] + Б2 (( - 1, ] -1) ■ ^(г, ] ), aгg22 = г -1, N2, Ф2[г -1, ] -1, х(( - 1, ] -1)].
Присутствующие в (31) и (32) аргументы х (М[,_/-1, г-1, ^(¿-1,/-1)), х(( -1,N2,( -1,] -1,х(( -1,] -1)) вновь рассчитываются по (4), (5), (6), если х(( -1,] -1) уже из-
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Для сокращения записей введем следующие обозначения для множеств индексов:
Мр () = {¿1, ¡2,...1р};
Л = J(i-1,N2,/-1,]-1) + -J(i-1,N2,1 -1,]-1)). (30)
М р\д\+1 (() = {(1, (2,. (д-1, (д + 1, (д+1, ■ • • (р };
и2
Тогда (25) и (26) при Ти ,Ти > 1 будут иметь решение, по близкой к экспоненте форме приближающееся к J * (при Ти^, Ти < 1 разностные уравнения (29) и (30) неустойчивы) .
При Тщ = Ти2 = 1 имеем из (25), (26) с учетом (29)-(30)
М
р\д\а (() = {(1, (2, ■ • • (д-1,а, (д+1, ■■■ (р } .
С учетом принятых обозначений постановка многоиндексной задачи имеет вид
J = J (М р ^ ))) J *,
J (( -1, г, ] -1)=J *, J (г -1, N2,i -1, ])=J *
при любых г и /, больших нуля. То есть задание
Т = Т = 1 за один шаг выводит критериальную функ-12 * цию на уровень J , который далее не изменяется.
Напомним, что здесь речь идет о теоретическом поведении КФ.
Теперь вернемся к получению управления. Для этого приравняем правые части (22), (23) и (25) и (26) (или в частном случае (29) и (30)) соответственно с подстановкой (19) и (20) вместо х в (22) и (23). В итоге получим два скалярных нелинейных алгебраических уравнения относительно векторов щ(, ]) и и2 ((, ]), которые решаются для каждых г и /. Для частного случая ^, ^
х(Мр \ ]\+1 ((-1)) = ф ] (Мр (г -1), х(Мр (г -1))) + + Б] (Мр (( -1)) ■ и] (Мр (()),
где входящие в определение множеств индексов у = 1, 2, ..., ] = 1,2,р ; У* - желаемое значение терминального критерия /; х(Мр\1\г1 (0)), ..., х(Мр\р\гр (0)) - заданные «левые» граничные условия; х, Ф1,.,Фр - я-мер-ные векторы; Б] -(пх г]) - мерная матрица при управлении и].
Следуя схеме вывода (31), (32), получаем для частного случая fJj следующие р соотношений:
J[х(Мр\]\N ((-1),Мр ((-1), х(Мр ((-1)))+
+ Ф^-г](aгg]))-Ф^-г](aгg]2())]= ^^;
J[х( -1,г -1,] -1,х(( -1,] -1))^
+ Ф1А^ -'](aгgп(ul ))-ф1А^()] = = J [[( -1, ( -1, ] -1, х(( -1, ] -1))] +
+ — [[* - J [[( - 1, ( - 1, ] - 1, х(( - 1, ] -1
(31)
^ = J
х С Мр \ ] \ N . (( - 1),Мр (( - 1),х((р (( -1)
J - J
х( Мр\]\N . ((- 1)Мр ((-1) х((р ((-1)
] = 12,р,
(33) 155
2
где
arg j1 = Mp\j\N} {{ -1),ф j Mp {{ -1), х{мр {{ - l))J+
+ Bj (Mp {{-1)) ■ uj (p {{))
argi2 = Mp\j\N.{{-1),фj [{{-1),x{{ip{{- l))J.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученный алгоритм (31), (32) для двухиндексного, (33) для многоиндексного случаев легко реализуем на компьютерах и имеет большие перспективы для расчета управлений системами с распределенными параметрами. При этом возможен расчет не только аддитивных управлений, но и параметрических управлений, а также управляющих воздействий на границах и внутренних слоях пространства переменных. Для этого задача приводится к форме (1)-(3) путем расширения ее размерности и подходящим выбором явных зависимостей от индексов Фь Ф 2, Бь Б2.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
3. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. - М.: Наука, 1975. - 478 с.
4. Monaco S., Normand-Cirot D. About the solution to nonlinear multi-time-scale differential equations // Proceedings of the III International Conference "System identification and Control Problems", Moscow, January 28-30, 2004. - М.: ИПУ им. В.А.Трапезникова РАН, 2004. - С. 1212-1223.
5. Шушляпин Е.А. Синтез линейных и нелинейных систем управления конечным положением на основе моделей конечного состояния // Проблемы управления и информатики. - 1997. - №3. С. 10-16.
6. Шушляпин Е.А. Терминальное управление системами с дифференциально-алгебраическими ограничениями методом конечного состояния // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2000. - №1. - С. 166-172.
7. Шушляпин Е.А., Подольская О.Г. Управление терминальными нелинейными дискретными системами методом конечного состояния // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003. - №2. - С. 138-142.
8. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. - 1961. -№2. - С. 28-36.
Надшшла 06.10.2004
Запропонована модиф1кащя методу ктцевих cmanie для синтезу mермiнaльнuх керуванъ бaгamомiрнuмu нелiнiйнuмu системами з мamемamuчнuмu моделямu у вuглядi сукуп-ностей бaгamоiндекcнuх рекуренmнuх eupa3ie.
1. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - Т. 2. -М.: ГИФМЛ, 1962. - 640 с.
2. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и г-преобразования. - М.: Наука, 1971. - 288 с.
There was offered a terminal state method modification for terminal control synthesis in multidimensional nonlinear systems with mathematical models in the form of multi-indexed recurrent expression combinations.
