Модели конечного состояния для непрерывно-дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е. А. Шушляпин, Л. Н. Канов:

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Дисперсионная идентификация / под редакцией Н.С. Райбмана. - М.: Наука, 1981. - 336 с.

2. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. - М.: Наука, 1979. - 448 с.

3. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир,

1980. - 456 c.

4. Tsukanov A.V., Herzberg A. M. The Monte-Carlo comparison of two criteria for the selection of the models // Journal of Statistical Computation and Simulation. - GB: Gordon and Breach, 1985. - N. 22.- P. 113-126.

Haaiftrnja 14.06.99 nic^A aopoÖKH 27.09.99

УДК 681.511.46

МОДЕЛИ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕМ

Е. А. Шушляпин, Л. Н. Канов

Получена модель конечного состояния для непрерывно-дискретных систем. Модель конечного состояния определяется через переменные, отображающие в каждый момент времени прогноз неуправляемого конечного состояния. Приведен пример синтеза терминального управления с использованием модели конечного состояния.

Розроблена модель ктцевого стану для неперервно-дис-кретних систем. Модель к1нцевого стану визначаеться через змгнт, якг вгдображують у кожний момент часу прогноз неке-рованого тнцевого стану. Наведен приклад синтезу терм1-нального управлгння, яке використовуе моделг кгнцевого стану.

The model of terminal state for continuously-time-discrete systems is constructed. Model of terminal state is defined through variable, displaying at each moment a forecast of uncontrolled terminal state. The example of syntheses of terminal control with use model of terminal state is adduced.

ВВЕДЕНИЕ

В ряде работ ([1], [2] и других) в качестве альтернативного способа описания непрерывных терминальных систем с аддитивными внешними воздействиями использовались модели, названные моделями конечного состояния (МКС). Эти модели определяются через переменные у(Ф, t) , отображающие прогноз конечного состояния системы в предположении, что в текущий момент t состояние системы - x(t) и на интервале [t, Ф] внешние воздействия на систему отсутствуют. Переменная МКС является функцией двух аргументов, первый из которых указывает момент времени, в который фиксируется конечное состояние системы, а второй -момент, в который обнуляются внешние воздействия. Модели конечного состояния применимы как для линейных, так и нелинейных систем с гладкими нелиней-ностями. При этом требование аддитивности воздействий во многих случаях удается обойти, определяя неаддитивные воздействия через дополнительные дифференциальные уравнения с аддитивными воздействиями. Для переменных МКС линейных непрерывных систем вида

^ = А (г)х(г) + В (г)/( г) , г е [ г0, г/] , х(t0) = х0

справедливы следующие соотношения [1]: у(«, г) = г)х(г),

^У^^л = А(«)у(«, г) , «е [г, гЛ , dг /

у(г, г) = х(г), г е[г0, г/], (1)

= г)- В (г)- /(г) , г е [ г0,«],

у(«, г0) = у0 = г0)х0 , у(«,«) = х(«),

где Ш - матрица весовых функций системы. Последнее дифференциальное уравнение из (1), определяющее переменные МКС как функции второго аргумента, мы и называем моделью конечного состояния.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Получим модель конечного состояния для непрерывно-дискретных систем с математическим описанием:

= А1 (г) х (г) + В 1( г)/1 (г), г е 0, ^ 1 11 (2) х(гк) = А2(гк)х(гк- 0) + В2(гк)/2(гк), гке 0,

где 0 - множество точек на временной оси, в которых вектор состояния претерпевает разрывы (скачки).

Приведенная форма записи непрерывно-дискретных систем (2), которую можно назвать "моделью со скачками", предложена в [3] и отличается от привычной формы записи непрерывно-дискретных систем. Ее достоинством является однородный вид, пригодный для описания как однотактных, так и многотактных непрерывно-дискретных систем с произвольными соотношениями тактов, а также любых других линейных систем с разрывными решениями. В [3] выведено также обобщение известной формулы Коши-Лагранжа для представления решения в некоторый заданный момент времени гу через решение в другой момент времени г. Это представление задается соотношением:

х(у = Ш(гг, г)х(г) +1Ш(г,т)Вх(тЩт)ат-

N

+ I Ш(гГ, гк)В2(Шгк)'

(3)

смотрим произведение А-1 (гк,е)А2(гк,е) в (9)- Если выполнить предельный переход е ^ 0 , то в силу структуры элементов матрицы-произведения очевидно, что в результате получится единичная матрица, как и в случаях е> 0 - Технику доказательства можно проиллюстриро-

где tN - последний перед г^ момент скачка вектора состояния.

При этом матрица весовых функций Ш, также как и (2), описывается уравнениями со скачками. Как и в непрерывном случае, данная матрица может быть определена как функция первого либо второго аргумента. Соответствующие уравнения имеют вид [3]:

г) = АХ(Ъ)ЩЪ, г), гк<Ъ<гк + ^ Ш( гк, г) = Л2( гк) Ш( гк - 0), гк ев, Ш( г, г) = I, (4)

±Ш(уг) = -Ш(у г)А1 (г) , гк <г < гк + г Ш( гг гк - 0) = Ш( гг гк)Л2( гк), гк ев, Ш( ^ у = I, (5) где I - единичная матрица.

МОДЕЛЬ КОНЕЧНОГО состояния ДЛЯ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

По аналогии с (1) назовем переменной МКС для непрерывно-дискретной модели (2) внеинтегральную часть (3), т.е.:

у(г^ г) = Ш(г^ г)х(г), г е [г0, у . (6)

Дифференцируя (6) на участках непрерывности, получаем с учетом (2) и (5):

аУ (г г г) = г, г)х (г) + Ш( ^ г) 1х (г) =

= - ш(г^ г)А1 (г)х(г) + Ш( г^ г)А1 (г)х(г) + ш(^ г)В1( Щ (г) =

= Ш(г, г)В1 (гу1 (г), гк < г < гк +1. (7)

Для вывода выражения, определяющего скачки у(г, г), воспользуемся вторым соотношением из (5).

Временно предполагая, что матрица А2 неособенная (в

общем случае это не так), из указанного соотношения получаем:

Ш(г, гк) = Ш(г, гк - 0)А21 (гк). (8)

Тогда

у (г,, гк) = Ш( гг гк) х (гк) = = ш(гг гк)А2(гк)х(гк- 0) + Ш(гк)В2(гк)/2(гк) = = Ш(г, гк- 0)А-1 (гк)А2(гк)х(гк- 0) + Ш(г, гк)В2(гк)/2(гк) = = Ш( гг гк - 0 )х( гк - 0) + Ш( г, гк)В2( гк)/2 (гк), гк ев. (9) Соотношение (9) получено в предположении неособенности матрицы А2 . Однако нетрудно показать, что и

для общего случая (9) также имеет место. Для этого достаточно особенную А2 сделать неособенной с помощью введения в нее малого параметра е . Далее рас-

вать на вырожденном случае. Пусть А2 =

0 0 0 0

. Введем

е вместо нулей на главной диагонали. После этого произведение неособенной прямой и обратной матриц имеет вид:

А21 (е)А2 (е) =

1 /е 0 е 0 е/е 0

. 0 1 /е 0 е . 0 е/е_

При выполнении предельного перехода применяем правило Лопиталя, в результате чего и получаем единичную матрицу.

Таким образом, модель конечного состояния для непрерывно-дискретных систем в форме (2) имеет следующий вид:

а а?

а-у (г, г) = Ш( г, г) В1 (г)/1( г), г е [г0, г,], г <£ в, у(г, г0) = Ш(г,, г0)х(г0), у(гг гк) = у(гг гк- 0) + Ш(¡^ гк)В2(гк)/2(гк), гк ев, у (г, гк - 0) = Ш( г, гк - 0) х (гк - 0).

(10)

Особенностью МКС для непрерывных систем является то, что переменные МКС не входят в правую часть векторно-матричного дифференциального уравнения, их определяющего. Это позволяет решать многие задачи анализа и синтеза систем проще, чем в терминах моделей состояния. В полученной МКС, как видно из (10), данное свойство сохраняется только для участков непрерывности. Уравнения же скачков содержат переменные МКС в правой части.

ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ МКС ДЛЯ СИНТЕЗА ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Проиллюстрируем применение непрерывно-дискретной МКС для конструирования управления, переводящего в момент г^- 1-ю координату некоторой системы из

начального положения х0 в положение х* . Пусть при этом имеется два управляющих входа - один непрерывный с номером } и один дискретный с номером 5 . Управляющие воздействия на непрерывном и дискретном входах обозначим и и V соответственно. Для модели (10) это означает, что матрицы В1 и В2 -

столбцовые с ненулевыми элементами Ву(г) и В25(гк) соответственно, г) = и(г) , /2)(г^)^\(гк) - скаляры. Тогда уравнения (10) для 1-й координаты имеют вид:

130

"Радюелектронжа, шформатика, управлшня" № 2, 1999

г

Е. А. Шушляпин, Л. Н. Канов: МОДЕЛИ КОНЕЧНОГО СИСТЕМ

СОСТОЯНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ

г, г) = Ш,]( г, г) В1] (г) и (г), г е [ г0, г/], г е0,

(11)

У,(г/ г0) = I Ш,р(г/ г0)хр(г0),

р = 1

У,(/ гк) = У(/ гк - 0) + гу гк)В2гк)V(гк) , ге 0,

где п - размерность вектора состояния.

Зададим желаемый закон изменения У,(г,, г) . Пусть

У,( г у, г) изменяется по экспоненте от начального У,( гу г0) до заданного положения У,(гу гу) = х(гу) = х* . Это значит, что правая часть дифференциального уравнения для У,(гу, г) должна иметь вид (х*-у,(г,у, г))/Т, где Т - параметр (постоянная времени), задающий крутизну экспоненты. Приравнивая правые части первого соотношения из (11) и указанного выше дифференциального уравнения для желаемого движения, получим выражение для непрерывного управления:

и (г) =

у( г1) =

х* -1Ш,р(у г1 - 0)хр(г1 - 0 )

-- р = 1 /

/(у г1 )В2/г1))

этой ситуации всегда можно избежать. Если же система на всем временном интервале неуправляема по выбранной паре вход-выход, знаменатели (12) или (13) равны нулю при любых г, г1 и заданная цель управления недостижима.

Пример

Рассмотрим пример расчета дискретного управления для объекта с математической моделью

dxl

Тг Тг

—-— - хо

23 '

= -5, 672 ,

3 , «23 = 1, 066 ,

/(Т - Ш,]( гу г) В у (г)). (12)

х* - I Ш( гг г) хр (г)

V р = 1 )

Управление (12) при Т« гу уже через три постоянных

времени приведет переменную У,(гу, г) почти в х* , приближаясь далее к ней асимптотически.

Произведем теперь синтез дискретного управления.

Для приведения за один такт У,(гу г) в точку х* приравняем правую часть уравнения скачков из (11) заданному х* . В результате получим:

^ „.33- х3 + Ь3 - х4 (г1) , а33 = -1, 648, Ь3 = -0, 488,(14) х4 (г1) = V (г 1),

г е [ 0, гу],

гу = 10 , х1(0) = -250 , х2(0) = -10 , х3(0) = 2 . Модель (14) является частным случаем модели (2),

где

А1 =

0 а12 0 0 0 0 а22 0

0 0 а33 Ь3 0 0 0 0

, А 2 =

10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 0

В1 = ^ В2 =

/ 0 4 0 0

(13)

При практической реализации (12) и (13) можно учесть и ограничения на управляющие сигналы. На их величины оказывают влияние постоянная времени Т для непрерывного управления и количество тактов для дискретного управления. Кроме того, при использовании (12) значения весовой функции, стоящей в знаменателе, в некоторые моменты могут быть нулевыми. В эти моменты управляющий сигнал приобретает бесконечные значения. Чтобы избежать этого, значения весовых функций в окрестностях моментов перехода указанной весовой функции через нуль можно приближенно задавать ненулевыми. После прохода такого участка управление вновь можно рассчитывать по (12). При использовании дискретного управления (13) такая ситуация может иметь место только в случае, когда моменты скачков совпадают с моментами перехода весовой функции знаменателя через нуль. Так как моменты перехода весовых функций через нуль могут быть вычислены заранее, а моменты скачков задаются,

Для приведения первой координаты (14) в заданное конечное состояние х1* воспользуемся управлением

(13), для реализации которого требуются элементы весовой матрицы Шц , , , . В силу

структуры матрицы А2 лишь претерпевает скачок в

момент г1 . Отметим, что А2 здесь - особая.

Интегрируя (5), получаем

Ш11(гу г) = ^ Ш12(гу г) = а12 - гёо , гёа = гу- г , Ш13(гу г) = а12 - а23 X

х [Vа§3 - ехр(а33 - гёо) - иа33 - (г§о + 1 /а33)], Ш14(у г) = а12 - а23 - Ь3 х

х [ Vа|3 - (1 - ехр(а33 - гёо)) - 1 /а§3 - гёо-2/а33 - г1о].

При этом приведенными выше выражениями Шц , ^12, ^13 определяются для г е [г0, гу] , а - для

г е [г^, гу] . На интервале же г е [г0, г1) согласно уравнению скачков из (5) (г у, г) = 0. Отметим также, что

п

= а12 - х2 , а12

в данном случае бессмысленно задавать более одного дискретного момента, так как при в = {г2, ■■■, tN} на

интервале г е [^ tN) весовая г, г) = 0 и рассчитать

дискретное управление по (13) во все моменты до tN

невозможно.

С учетом ш1р(гг г1) = ш1р(гг г1 - 0), р=1,2,3 и Ш14(г/, г1 - 0) = 0 управление (13) приобретает вид

V (г 1) =

V -1Ш1 р(г Г г1)хр(г1)

V (г) = у( г0) =

х1* -1Ш1 р(г/ г0) хр( г0)

/Ш14(г/ г0)

"хорошим" было управление на первом участке, до включения корректирующего управления.

Непрерывное управление вида (12) также приводит к достижению заданного значения. Если в третье уравнение (14) вместо х4(г1) подать

и (г) =

V -1Ш1 р(г/ г)хр(г)

/(ш13( г, г)- Ь3 ■ Т), (16)

/Ш14(г, г1). (15)

Следует обратить внимание на то, что до момента г1 на систему (14) может подаваться произвольное управление х4 (г) . К моменту ^ система придет в некоторое

состояние х(^) , по которому с помощью (15) и будет рассчитано корректирующее дискретное управление V(г 1) . Момент г1 при этом может выбираться произвольно из интервала [г^) , в том числе и равным ^ . При г1 = г0 цель управления достигается с помощью постоянного управления

Возможность достижения при определенных условиях заданного значения одномерного выхода релейным управлением с числом переключений, не большим одного, доказана нами в работах [4], [5]. Полученный здесь результат подтверждает указанный вывод.

Так, для х1* = 10, г1 = 5, Vl( 0) = 0 корректирующее управление V!(5) = -13, 538. При ненулевом произвольном управлении на участке г е [0, 5) (например Vl (0)=-20) корректирующее управление Vl (5) = 56, 557. Если момент скачка совместить с начальным моментом, т.е. положить ^ = 0, то Vl(0) = -3, 005. Во всех трех

случаях получается х1 (10) = 10, что в точности равно

заданному значению. Как видно, при приближении момента коррекции к концу процесса амплитуда корректирующего управления в общем случае возрастает. Степень роста при этом зависит от того, насколько

где Т = 0, 5 , то х1 (10) = 10 , а управление как функция времени имеет форму, сходную с экспонентой и изменяется от значения -28,346 почти до нуля к моменту 2,5. При моделировании системы с управлением (16), ввиду Ш13(г, г^) = 0 , использовалось описанное выше

правило прохода весовой функции через нуль, которое в данном случае выглядело как условие "если Ш13(г^, г) = 0, то положить Ш13(г^ г) = 0, 01". Сравнивая

непрерывное (16) и дискретное (15) управления, видим, что последнее рассчитывается всего один раз, в момент скачка. Непрерывное же управление рассчитывается в каждый момент текущего времени и требует значительно больших вычислительных мощностей для своей реализации.

Приведенный способ конструирования управления -лишь одно из возможных применений моделей конечного состояния. На основе МКС получаются алгоритмы статистического анализа, оптимального и квазиоптимального управления, анализа чувствительности и др., приводящие в ряде случаев к существенному выигрышу в эффективности в сравнении с известными алгоритмами.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Шушляпин Е.А. Синтез линейных и нелинейных систем управления конечным положением на основе моделей конечного состояния // Проблемы управления и информатики. - 1997. - №3. - С.10-16.

2. Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Синтез управления переходными процессами в нелинейных системах электропривода // Радюелектрошка, шформатика, управлшня. - 1999. - №1. -С.136-139.

3. Барабанов А.Т., Агранович Г. А. Линейные модели и оптимизация непрерывно-дискретных динамических систем // Динамические системы. - 1983. - №2. - С.17-24.

4. Шушляпин Е.А. Оптимальное управление одномерным выходом линейной терминальной системы // Вестник СевГТУ:Сб.науч.тр. - Севастополь, 1998.- Вып.14. - С.59-62.

5. Барабанов А.Т., Кузнецов В.М., Шушляпин Е.А. К вопросу об оптимальном управлении гидродинамическими объектами //Кибернетика на морском транспорте.-1978.-Вып.7.-С.3-7.

Надшшла 17.05.99

132

"Радюелектрошка, шформатика, управлшня"

№ 2, 1999