Синтез управления переходными процессами в нелинейных системах электропривода Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Автоматика. - 1992. - № 1. - С. 3-8.

5. Гусев Ю. М., Ефанов В. Н., Крымский В. Г., Рутковский В. Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем. Состояние проблемы // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1991. - № 1. - С. 3-23. - № 2. - С. 3-30.

6. Потапенко Е. М. Робастные комбинированные системы управления с наблюдателями // Проблемы управления и информатики. - 1995. - № 2. - С. 36-44.

7. Потапенко Е. М. Исследование робастности систем управления с наблюдателями // Изв. РАН. Теория и системы управления. -1996. - № 2. С. 104-108.

8. Chiang C. -C, Chen B. -S. Robast compensator synthesis for dynamic systems subjected to parameter perterbations // Int. J. Systems Sci. - 1988. - V.19, № 1. - P. 125-137.

9. Lin C. -L., Hsiao F. -B., Chen B. -S. Stabilization of large structural

systems under mode truncation, parameter perturbations and actuator saturations // Int. J. Systems Sci. - 1990. - V.21, № 8. -P. 1423-1440.

10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

11. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. - М.: Наука, 1970. - 456с.

12. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. - М.: Наука, 1985. - 352с.

13. Потапенко Е. М., Бичай В. Г. Робастное управление электроприводом робота // Проблемы автоматизированного электропривода. Теория и практика: Труды конференции. / Под общей ред. В. Б. Клепикова и др. - Харьков: Основа, 1995. - С. 61-64.

Надшшла 21.05.98

УДК 681.511.46

СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Е. А. Шушляпин, Л. Н. Канов

Предложены алгоритмы расчета управлений переходными процессами при включении и отключении электродвигателей постоянного тока последовательного и параллельного возбуждения. Алгоритмы построены на основе нового подхода, использующего представление систем моделями конечного состояния.

Запропоноват алгоритми розрахунку управлть перех1дними процесами при включены та вгдключенш електродвигутв по-стшного струму послгдовного та паралельного збудження. Алгоритми збудоват на засад1 нового тдходу, який використовуе зо-браження систем моделями кгнцевого стану.

The algorithms of calculating the transition processes when including or disconnecting direct current's electric motors of consequent and parallel excitement are offered. Algorithms are built on the base of a new approach, which uses system's presentation by the models of terminal states.

ВВЕДЕНИЕ

Многие модели электрических машин имеют существенно нелинейный характер, для управления которыми до настоящего времени нет достаточно эффективных методов. При использовании вариационных подходов или динамического программирования возникают существенные вычислительные проблемы. Методы, основанные на решении обратной задачи динамики, не всегда приводят к желаемым результатам ввиду существенных ограничений на класс управляемых объектов. В настоящей статье для синтеза управлений используется подход, основанный не на привычных моделях состояния, а на так называемых моделях конечного состояния [1]. Данный подход имеет определенные преимущества, основные из которых - относительная простота подготовительной работы, большая универсальность, меньшие вычислительные проблемы при реализации.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим управление разгоном и торможением электродвигателей постоянного тока последовательного и параллельного возбуждения [2] с приведенными ниже математическими моделями.

Двигатель последовательного возбуждения

Т Л'А . ■ . , ■ г Лю , , ,.2

ЬА ГА1А + к1 'Аю = и + кМю = к21А . (1)

Двигатель параллельного возбуждения

diz

di.

LBd + rBiB = u > LAd + rAiA + k1 iBa = u >

т dm , , . .

JM d- kMm = k21A1B >

(2)

где 'а - токи возбуждения и якоря, ю - скорость вращения, и - напряжение на выводах двигателя, гв, Ьв , Га , Ьа - сопротивления и индуктивности обмотки возбуждения и якоря, к^ к2 - электрическая и механическая постоянные, кМ - коэффициент пропорциональности момента нагрузки и скорости, ■М - момент инерции, приведенный к валу двигателя. В процессе разгона начальные значения переменных нулевые, а конечные значения определяются из установившегося стационарного режима и удовлетворяют уравнениям:

для двигателя с последовательным возбуждением -

3 * rAkM

'A J + 'Atki - Uhom kM-- = ('A*)2 kM ' (3)

для двигателя с параллельным возбуждением

* U *

. * _ ном . * Id - -

U

, 'a -

k1k2 rA + ---k------ i

kM

> Ю* - Г"'b iA > (4)

M

где Uh - номинальное значение напряжения двига-

136

"Радюелектрошка, шформатика, управлшня" № 1, 1999

B

Е. А. Шушляпин, Л. Н. Капов: СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОПРИВОДА

В случае торможения начальные и конечные значения переменных меняются местами.

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ

Применим к синтезу управлений для моделей (1) и (2) предлагаемый подход, основы которого изложены в [1].

Алгоритм данного метода состоит из следующих шагов.

1) Представляем модель системы в нормальной форме Коши с аддитивно входящим управлением, т.е. в виде (х

= Ф(х, г) + в(г) ■ и(г),

Ф=

ГА. к1 гаю / ^

~ГгА - ЬА ЬА , в = 1

к-М ю - — ю + ТМ к2 2 ТгА ЬА

, х =

Для модели (2) векторы Ф и В следующие:

Ф=

-Св

Та'

ьа

¿11вю

В=

1

Ьв ¡в

1 , х = ■ ¡А (7)

ЬА ю

0 ,

А(А, х(А, г)) =

г, г, х (г)) = I, ЭФ.(х, А)]

дх^

А =

ГА к1- к1~

Ь

Г ю - Г'А

ЬА ЬА

А

2 к2 - кМ

Т1а - Т

(9)

Для модели (2) матрица А следующая:

А =

Ь г в 0 0

к 1 - Ь ю ЬА ГА к 1 -

ЬА -ьАв

к2 - к2 - -к-М

Та Т ¡в ТМ

(10)

г е [г0, х(г0) = х . (5)

В случаях, когда какие-то управляющие воздействия входят неаддитивно, для каждого из них следует ввести дополнительное дифференциальное уравнение, правая часть которого - новое управляющее воздействие. Для моделей (1) и (2) этого делать не нужно, так как управляющее напряжение и входит в модели аддитивно.

Элементы представления (5) для модели (1) следующие:

3) Формируем критерий качества управления. Для терминального управления это может быть заданное значение взвешенной суммы квадратов отклонений значений координат в конечный момент времени от их желаемых значений .*в, ¡*а, ю* , т.е.

2 2 Т = Рв(¡в(гг) - .*в) + РА('А(гг) -.*а) +

(6)

к М к2 . . Тю ~1А1В

\ /

2) Составляем систему уравнений для нелинейной весовой матрицы W согласно векторно-матричному представлению:

(г,х(г) ) = А(А, х(А, г) )■ ЩА, г, х(г)), ( А

+Рю(ю(гг) - ю*) ^Т* , (1)

где Ев, Ра, Рю - коэффициенты веса (для модели (1) Рв = 0 ), ,1* - желаемое значение критерия.

Желаемые значения ¡в*,.а*, ю* , в частности, могут

быть параметрами номинального режима из (3), (4).

4) Формируем эквивалентный критерий, для чего вводим новую переменную S(г^-, г), равную выражению правой части критерия, где вместо переменных состояния (в нашем случае ¡в,.а, ю) записаны соответствующие переменные модели конечного состояния [1]. Модель конечного состояния (МКС) определяется через переменные, отображающие конечное состояние системы в предположении, что в некоторый момент г состояние системы -(х(г) ) и на интервале [г, управление обнулено. Переменные МКС х(г^, г) как функции второго аргумента г

определяются векторно-матричной системой уравнений [1]:

(х(г, г)

—1— = г, г, х(г))в(г)и(г) (г 1

(12)

х = х(А, г)

где I - единичная матрица, Ф. - 1-я строка вектора Ф

из (6) или (7), х - вектор состояния системы, х(А, г) -вектор переменных модели конечного состояния, о которых пойдет речь ниже.

Для модели (1) матрица А имеет вид:

, г,] 1 ...п,Ае [г,г1](8) в нашем случае вектор х = со1оп(¡а, ю) для модели

(1) и х = со1оп(гв, га, ю) для модели (2). Выражение, определяющее переменную S(г,-, г), следующее:

22 5 (г1, г) = Рв (в г,, г) - г^ + РА {ГА (г,, г) - г^

+Рю(ю(гг, г) - ю*)2 .

(13)

В силу равенства х(Г^-, Г) = х(Гу) [1] вместо исходного критерия записываем эквивалентный S(у-, у) ^ 7* .

5) Находим производную по 1 для (13) (аргументы для краткости опускаем).

\ /_ di \

5 = 2^1 'в - 'в )— + 2'а - 'а )

н2 Fю(ю - ю*)

d ю

"А _ ш 1 -ю _ 1

= Шн¿А"' = Ш21 Г/>

diв dt

di

1

1

Ш11Г + Ш12 Г )" ,

¿В ¿А-1

-± = ( ш.

-ю dt

где Шц, т12' т21

у ^л -

21ЬВ

1

Ш22 ГАГ' 1

Ш31Г + Ш32 Г)" -

¿В ¿А'

Ш22' Шз

+ ту , 5( 0) =

* = 7*

1 - е

, е0 Т + 5 е ,

^В ('в - 'в

-+'а - >а

'А dt

+ 2 Fю(Ю - ю*) - = " Т5 + Т7* -

где для модели (1) 5, ~А, -Ю определяются (13)

-Г -Г

при FB = 0 и (15), а управление - выражением

(14)

(15)

ю ' -Г

Производные переменных МКС, входящие в последнее выражение- определяются из (12). Для модели (1)

-Г

где Ш11 , Ш21 определяются по системе (8) с матрицей А, определяемой (9) при начальных условиях в момент Г ш11 (Г, Г, х(Г)) = 1, Ш21(Г, Г, х(Г)) = 0.

Для модели (2)

-2 -2 Ь_А 7*_- ^ Л*А - ^Аю

2 Т ' *АЛА ■ Ш11 + ^ЛЮ ■ Ш21

(17)

Для модели (2) 5, —В , —А , определяются (13) и -Г -Г -Г

(16), а управление - выражением

" = 2ТХ

- Ш11 _

FBЛiВ ~Т + FAЛiA ¿В

"В " iB - '*В , Л'А = 'А - ''А записи (18) учтено, что Ш^ = 0 для всех Г.

Элементы весовой матрицы и переменные МКС, входящие в (17) и (18), определяются с помощью интегрирования системы (8) совместно с системой дифференциальных уравнений, определяющих переменные МКС как функции первого аргумента. Последняя представляет собой не что иное, как систему (5) при и = 0 , т.е.

-ЭДО = ф(х, 0), -0

0 е [Г, у] , х(Г) = х(Г) . (19)

Так как переменные МКС и элементы весовой матрицы входят в (17), (18) как функции второго аргумента, а (8), (19) определяет эти элементы как функции первого аргумента, алгоритм их расчета следующий: в каждый момент Г , для которого определяется управление по (17) или (18), интегрируется совместная система (8), (19) при начальных условиях Ш(Г, Г, х(Г)) = I, х(Г)=х(Г) ,где х (Г) - текущие значения фазовых координат; система интегрируется до конечного момента Гу; зафиксированные

в момент у значения переменных системы (8), (19) и подставляются в (17) или (18).

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОДЫ

Для моделирования были выбраны двигатели малой мощности 5 кВт с номинальным напряжением 110 В и с параметрами: для двигателя последовательного возбуж-

2

дения - Га = 20м , ¿а= 3Гн , ¿1= 0, Юм ■ с, ¿2=1н ■ м/А , 7М = 1, 05кг / м2, км = 0, 7н ■ м ■ с, Т = 0, 01 с , у = 0, 5с,

Л' -2 В (л'а

■ {Ш2 1 , Ш2 2^

( ¿В ¿А )

Л~А = ~А - '*

-2

(18)

Ш.

X

31

Ш.

32

ьл

(16)

|/31' Ш32 определяются по системе (8) с матрицей А, определяемой (10) при начальных условиях в момент Г Шц(Г, Г, х(Г)) = 1,

Ш12(Г, Г, х(Г)) = 0, Ш21(Г, Г, х(Г)) = 0, Ш22(Г, Г, х(Г)) = 1,

Ш3(Г, Г, х(Г)) = 0, Ш32(Г, Г, х(Г)) = 0.

6) Приравниваем правую часть выражения (14) с производными из (15) или (16) некоторой функции от 5 такой, чтобы дифференциальное уравнение для 5 определяло ее заданное поведение. Например, если потребовать, чтобы 5 удовлетворяло уравнению

5 = - +-17* - -)

и при достаточно большом Г (практически при Г> 3Т)

5 = 7* . А поскольку 5(Гу, у) - это значение исходного

критерия (11), тем самым обеспечивается его заданное значение, если оно достижимо. В результате получается соотношение, из которого можно определить управление.

Указанное соотношение имеет вид:

Х

138

"Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня" № 1, 1999

Е. А. Шушляпин, Л. Н. Канов: СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Um = 500В ; для двигателя параллельного возбужде-

ния - rB = 600м , LB = 15Гн , rA = 0, 70м , LA = 0, 6Гн ,

2 2

¿1 = 0,370м-с,¿2= 0,8н■ м/A ,JM = 2кг/м ,км = 0,7н■ м■ с, Т = 0 2с , f = 1> 5с, Umax = 410В.

Желаемое значение критерия в обоих случаях J* = 0 . Интегрирование дифференциальных уравнений выполнялось методом Рунге-Кутта 4 порядка на интервале [0, tf] с управлениями (17) или (18) и далее продолжалось еще некоторое время при номинальном входном напряжении u = ином = 110В при разгоне им = 0 при

торможении. Весовые коэффициенты Fa= Fb = 1 , Fa= 25 ,

что объясняется желанием в большей мере управлять скоростью двигателя. Управляющие напряжения ограничивались значением Umax . Графики напряжений, токов

и скорости при разгоне для двигателя последовательного возбуждения показаны на рис.1, для двигателя параллельного возбуждения - на рис.2. Кривые, помеченные цифрой 1, соответствуют предлагаемым алгоритмам, а цифрой 2 - включению постоянным напряжением u= ином. Параметры номинального режима, вычисленные по (3) и (4), следующие: для рис.1 - i*A = 8, 9, а* = 110,7; для рис. 2 - i*B = 1,8 ю* = 108, 7 .

*A = 52, 2 ,

t(c) 0,0 1,6 t (С)

Рисунок 2 - Графики процессов разгона для модели (2)

Сравнение показывает, что предлагаемые алгоритмы позволяют значительно уменьшить длительности переходных процессов разгона.

При анализе процесса торможения был выявлен особый режим управления, когда знаменатели в выражениях (17), (18) мало отличались от нуля. Напряжение в этом случае имеет вид высокочастотных колебаний с амплитудой итах. Токи двигателей в таком режиме

очень быстро спадают до нуля и удерживаются далее почти на нулевом уровне, а скорость спадает по экспоненте, так как среднее значение подобного управляющего напряжения равно нулю. Физически это соответствует разрыву цепей якоря и двигателя, а формально -

недостижимым Т* и экспоненциальному поведению функции (13).

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Шушляпин Е.А, Синтез линейных и нелинейных систем управления конечным положением на основе моделей конечного состояния // Проблемы управления и автоматики. -1997. - №3. - С.10-16.

2. Вольдек А.И. Электрические машины. - Л.: Энергия, 1974. -840с.

Надшшла 15.02.99

Рисунок 1 - Графики процессов разгона для модели (1)