CC BY
82
__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXVIII 199 7
№>3—4
УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.42
ВЛИЯНИЕ МЕСТА КРЕПЛЕНИЯ ПОДКОСА НА АЭРОУПРУГУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОГО КРЫЛА
А. А. Майлыбаев, А. П. Сейраияп
Исследуется влияние подкоса на аэроупругую устойчивость прямого крыла. Ставится задача нахождения координаты точки крепления подкоса (по хорде и по размаху), при которой критическая скорость потери устойчивости достигает максимума.
Дано определение критической скорости с учетом погрешности пара-ме^ов, и задача оптимизации сформулирована с учетом нового определения. Выведены формулы для производных от собственных значений по параметрам. Найдены оптимальные решения. Приведено сравнение критических скоростей, соответствующих оптимальным решениям, найденным традиционным и новым методами.
Рассматривается задача об аэр о упругой устойчивости прямого крыла большого удлинения с подкосом. Подкос представляет собой абсолютно жесткий стержень, соединяющий крыло с фюзеляжем, рис. 1. Наличие подкоса означает неподвижность т. Р — точки крыла относительно фюзеляжа и приводит к дополнительным краевым условиям. Аэродинамическое воздействие на крыло определяется на основании гипотезы стационарности.
Эта задача впервые была поставлена М. В. Келдышем [1]. В результате расчетов с использованием одночленного приближения по
Бубнову — Галеркину для конкретного крыла с подкосом, укрепленным на оси жесткости, он сделал вывод, что «примерно около А = 0,47/ критическая скорость становится мнимой и, следовательно, при А > 0,47/ вибрации крыла с подкосом становятся невозможными» (здесь А — расстояние от основания крыла до т. Р, I — полуразмах крыла). Аналогичный вывод был сделан М. В. Келдышем [1] и для случая двух подкосов, подкрепляющих сечение крыла: «при А > 0,8/ крыло становится невибрирующим». Однако эти выводы не подтверждаются при увеличении числа членов в методе Бубнова — Галеркина. Оказывается [2], что при А >0,47/ (соответственно при А >0,8/ для случая двух подкосов) флаттер не исчезает, но изменяется тон колебаний, по которому происходит потеря устойчивости.
В настоящей работе исследуется влияние места крепления подкоса, определяемого расстоянием А от основания крыла и расстоянием хр от передней кромки крыла до т. Р, на аэроупругую устойчивость
крыла и ставится задача нахождения оптимального положения подкоса, при котором критическая скорость потери устойчивости будет максимальной. Задача устойчивости сводится к изучению поведения собственных значений X на комплексной плоскости для линеаризованных уравнений движения крыла в зависимости от скорости потока V при различных значениях параметров А и хр. Таким образом, определяются
критические скорости колебательного (флаттер) и статического (дивергенция) типов потери устойчивости и в пространстве параметров А, хр
и V находятся области устойчивости, флаттера и дивергенции, Оказывается, что область устойчивости имеет узкие части, глубоко вклинивающиеся в область неустойчивости (флаттера и дивергенции). Поскольку оптимальные критические скорости находятся на границах именно таких частей, то интересно исследовать, как может измениться критическая скорость, если параметры системы заданы с некоторыми погрешностями, и не могут ли небольшие погрешности привести к резкому ее падению (негрубость критической скорости).
В работе изучается влияние погрешностей определения параметров задачи (жесткостей, масс и т. д.) на устойчивость крыла и предлагается метод расчета критической скорости с их учетом. Дается вывод производных от собственных значений по параметрам с использованием собственных векторов Ярямой и транспонированной задач на собственные значения. Эти производные используются при расчетах. Сравниваются значения критической скорости, полученные с учетом и без учета погрешностей параметров.
Численные расчеты проводились с помощью метода Бубнова — Галеркина. Основной трудностью, возникающей при этом, является выбор системы вектор-функций (точнее, пар функций), каждая из которых должна удовлетворять двенадцати 1раничным условиям задачи. В настоящей статье предложен метод нахождения любого количества таких пар функций. Исследовалась практическая сходимость метода при увеличении числа членов в разложении.
В результате расчетов для конкретного крыла найдены два оптимальных положения подкоса: при h = 0,61/, хр = 0,3256 и при h = 0,9/,
хр= 0,25b (b — хорда крыла), соответствующих значениям критической скорости 117 м/с и 116 м/с. Заметим, что критическая скорость крыла без подкоса составляет 30 м/с. При учете погрешностей параметров модели (для конкретного случая) получено, что оптимальными положениями подкоса являются h = 0,61/, хр = 0,3й и Л = 0,91/,
хр = 0,05b с критическими скоростями 71 м/с к 76 м/с соответственно.
1. Основные соотношения. Рассмотрим колебания тонкого крыла большого удлинения, подкрепленного подкосом в т. Р, в несжимаемом воздушном потоке, рис. 1. Крыло моделируется упругой балкой, работающей на кручение и изгиб и имеющей прямую упругую ось Оу (ось жесткости), перпендикулярную фюзеляжу. Деформация крыла характеризуется прогибом w(y, t) и углом поворота относительно упругой оси в(у, t), где / — время. Линеаризованные уравнения движения крыла в потоке имеют вид [3], [4]
А
ду2
__8_
ду
EI
а2
W
GJ
5у>
Э0
ду
c?w сРв ,
+ т—=- - та—Т = La\ dt1 dt2
- та-
s2
dt
w г д2 0 ,,
2 m *2 ~ a * z dr
(l.i)
В этих уравнениях EI и GJ — жесткости крыла на изгиб и круче-
ние, т и /„
масса и момент инерции относительно упругой оси,
приходящиеся на единицу размаха, ст — расстояние от центра жесткости до центра тяжести сечения. Аэродинамические сила Ьа и момент Ма на единицу размаха определяются на основании гипотезы стационарности [3], [4], согласно которой аэродинамические характеристики крыла заменяются в каждый момент времени характеристиками того же крыла, движущегося с постоянными линейной и угловой скоростями, равными скоростям действительного движения. Выражения для Ьа и Ма записываются в виде
La = c“PV2b
е+Afl _ ^.1^. _
V\4 b ) dt V dt
Ma = cyv2b2
-«5|^ + CD 1 3 *0 \ п 50 1 dw
4 Ь 16 с“ dt ~V~dt
т _
(1.2)
где Ь — хорда крыла, Хо — расстояние от передней кромки до упругой оси, V — скорость потока. Теоретические значения аэродинамических коэффициентов с“ и с“ для тонкого крыла бесконечного размаха со-
ставлякхг соответственно с“ = п, с“ = п
b
[3], [4].
, Рассматривая случай жесткого крепления крыла к фюзеляжу, выпишем граничные условия, наложенные на функции и> и 9 при у = О (жесткое защемление) и при у = 1 (свободный край):
у = 0:*~ = Є = 0; ду
у = 1:Е1
ду2 ЗИ ду2
ЕІ
(?/ — = 0.
ду
(1.3)
При у = А (сечение, в котором заіфеплен подкос) выполняются условия непрерывности функций и 0 , неподвижности т. Р относительно фюзеляжа, отсутствия излома функции прогиба, непрерывности изгибающего момента и условие на крутящий момент М + 8ІУ = 0, где М — приращение крутящего момента в сечении (А), N — сила реакции подкоса, равная приращению перерезывающей силы, § — расстояние от оси жесткости до т. Р. В результате имеем [1]:
= м>+, 9_ = 6+, - 80_ = 0;
'■Ш**
\
{ II і—). II "V
- - Ъ1.
(1.4)
ду ду
ЕІ
(Р"У/
//
'оГ*~Ъ±'
ду ду
ЕІ
Здесь «-» и «+» означают пределы величин при у -> А справа и слева от сечения у = А соответственно.
Система уравнений (1.1)—(1.4) представляет собой линейную однородную краевую задачу. Вызванное наличием подкоса 1ранйчное условие (1.4) делает ее довольно сложной задачей математической физики.
Решение (1.1)—(1.4) находим в виде
Му, 0 = Лу)єхі, 0(у> *) = ч>(у)еи,
(1.5)
где X, — собственное значение, /(у) и ср(;у) — собственные функции. Подставляя (1.5) в (1.1)—(1.2), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно /(у), ф(у):
Аі Ц.2
Ьіі .ч>.
= 0,
(1.6)
где Ьу — линейные дифференциальные операторы.
Ьі і =
ЕІ
—, + тУ} + с“рРЬХ; йу- у
сіу
Ьу2 = -та}? - с“РГ2Ь - с“р П2{| - ■& |Х;
2 „а^2[
2 , „о. _ г/ї,2л .
І2! = -/истГ + с“рР2гХ;
(1.7)
*0
4 * 16с“
т У
X.
Граничные условия для функций /(у) и ф(у) получаются из (1.3), (1.4) заменой »и0 на / и ф соответственно.
Соотношения (1.6), (1.7), (1.3), (1.4) представляют собой задачу на собственные значения. В силу неконсервативности (несамосоп-ряженности) задачи собственные значения X являются комплексными величинами (X = а + /ю). В зависимости от скорости потока V амплитуды решений (1.5) могут убывать с течением времени (ЯеХ <0, устойчивость), оставаться постоянными (11еХ = 0, граница устойчивости), либо возрастать (КеХ>0, неустойчивость). Обычно различают два основных типа потери устойчивости: колебательный тип (флаттер) и апериодический (дивергенция). Критическая скорость флаттера V^ характеризуется соотношениями ЛеХ = 0, 1тХ = <о *0, где со — частота флаттера, а критическая скорость дивергенции — равенством X = 0. Критическая скорость крыла Ус равна наименьшей из скоростей V^ и У(].
2. Метод решения. Для решения задачи на собственные значения
(1.6), (1.7), (1.3), (1.4) воспользуемся методом Бубнова — Галеркина [5]. С этой целью выберем систему линейно независимых векгор-функций (Л(у), Ф1Ы), • • •, (/«(у), фи(у)), где // и ф,- соответственно четырежды
и дважды непрерывно дифференцируемы на интервалах (0, И) и (А, 1) и удовлетворяют всем граничным условиям (1.3), (1.4). Согласно методу Бубнова — Галеркина, собственные функции (/(у), ф(у)) представляются в виде линейной комбинации координатных вектор-функций с неизвестными коэффициентами ау , у = 1
(/Ы, ф(у)) = ф/(у))- (2-1)
№
Подставляя эти разложения в уравнения (1.6), затем умножая полученные соотношеня скалярно на {Му), ф/ (>")) и интегрируя по у от 0
до 1, получаем п линейных однородных уравнений относительно коэффициентов a.j, у = 1,..., п:
2
7-1
I {к\[/])л + ^2[ф/]л + ^21[/у]ф/ + ^гг[фу]ф /кн
ау = О,
/ = 1,----------------------- л,
(2.2)
где дифференциальные операторы 1у определены в (1.7). Используя
(1.7), можно переписать (2.2) в виде
[х2Л/ + X ¥В + Сх + Г2С2 ]£ = 0, (2.3)
где | — вектор-столбец, состоящий из неизвестных коэффициентов = (аь ..., а„), а М, Д С1; С2 — блочные матрицы размером п х п. Соотношение (2.3) представляет собой алгебраическую задачу на собственные значения. Умножением слева на матрицу М~1 и введением вектора Г1 = Я4 формула (2.3) сводится к задаче нахождения собственных значений матрицы
О Е
-М-1С1-У2М~хС2 -ум~1в
= X т
(Л Л
(2-4)
а О и Е — нулевая и единичная матрицы размерности пхп. Форма (2.4) удобна для пользования стандартными программами вычислений. Для численных расчетов необходимо найти систему линейно независимых координатных вектор-функций, удовлетворяющих всем граничным условиям (1.3), (1.4). В случае 8#0 в первом и последнем условии (1.4) одновременно присутствуют /(у) и ф(у), что делает
нетривиальной процедуру отыскания достаточно большого числа таких вектор-функций. Рассмотрим следующую пару функций /(у) и ф(у):
/Ы =
ф(у) =
С^сЬ ку - со&ку) + С2(зЬ ку - вт ку), 0 < у < к, д(с1г*:(у - 1) + со8&(>> -1)) + £>2(511 к(у - 1) + вт к(у - 1)), А <у <1;
Е\ вт ку, 0 < у < А,
Е2 С08&()> -1), И < у < 1.
(25)
Функции (2.5) удовлетворяют всем граничным условиям (1.3). Подставив их в (1.4), получим шесть линейных однородных уравнений относительно неизвестных констант:
А(к)С = О,
(2.6)
где Ст = (С1; С2, Д, В2, Еъ Е2), А{к) — матрица порядка 6x6. Нетривиальные решения этой системы существуют только при
<*еЫ(£) = 0,
(2.7)
откуда определяются значения к, а затем из (2.6) находятся неизвестные С-у, С2, А> Еъ Ег-
Находя последовательно 0 < кх < к^ < ... из (2.7) и соответствующие коэффициенты Ср С2, 2>|, 012, Е[, Е'2, / = 1, 2,..., можно получить любое интересующее число линейно независимых вектор-функций иы> ф/Ы). / = 1, 2,..., удовлетворяющих всем 1раничным условиям
(1.3), (1.4).
Полученная система вектор-функций удобна для использования в методе Бубнова — Галеркина, так как интегралы в (2.2), в случае когда параметры крыла Е1(у), (?/ {у), т{у),... аппроксимируются простыми аналитическими выражениями, можно вычислить аналитически.
3. Результаты численных расчетов. С использованием методики, описанной выше, рассматривалось прямоугольное крыло с постоянными характеристиками по размаху, параметры которого были взяты из работы М. В. Келдыша [1]. Для исследования аэроупругой устойчивости для различных положений точки крепления подкоса Р на крыле было взято 50 точек по полуразмаху и 21 точка по хорде крыла, и в узлах полученной сетки (А,-, Хру), /=0......49, у = 0,..., 20 изучалось
поведение собственных значений при изменении скорости. Для некоторых областей значений к, хр проводилось более подробное исследование. Рассматривался диапазон скоростей от 0 до 150 м/с.
Разложения (2.1) проводились по восьми функциям вида (2.5). При этом из (2.4) определялось 16 собственных значений. Увеличение количества вектор-функций в (2.1) до восемнадцати для нескольких контрольных точек показало, что максимальное изменение первых десяти, наименьших по абсолютной величине мнимой части, собственных значений составляет при этом около 0,5%, следующих двух — 2%.
Полученные результаты представлены на рис. 2, 3 в плоскостях параметров хр, V и к, V с отмеченными на них областями устойчивости, флаттера и дивергенции. При этом соответствующие этим плоскостям значения к п хр выбраны такими, чтобы показать наиболее характерные случаи расположения этих областей. На рис. 2, 3 линиями отмечены значения параметров, при которых одно из собственных значений пересекает мнимую ось (ЫеХ = 0).
При V = 0 все собственные значения X — мнимые величины (в силу самосопряженности задачи). Каждая пара комплексно-сопряженных X и X соответствует одному тону колебаний. Пронумеруем эти тона по возрастанию абсолютных величин мнимых частей соответствующих им X, X. При увеличении скорости собственные значения сходят с мнимой оси, двигаясь по некоторым траекториям на комплексной плоскости. При этом будем говорить, что X соответствует тону с номером и, если при К = 0 оно соответствовало тону с этим номером. На рис. 2, 3 числа около кривых 11е X = 0 обозначают номер тона, которому эти X соответствуют, причем Ле X > 0 с той стороны кривой, где поставлен номер. -
Рис. 2
Определим понятия областей устойчивости, флаттера и дивергенции. К области флаттера относятся те точки (значения А, хр, V), при
которых хотя бы для одного X верны соотношения: Ле X > 0, 1т Я, * 0. Область дивергенции определяется наличием только действительных неустойчивых корней X > 0. К области устойчивости относятся все остальные точки к, хр, V, для которых Яе X £ 0 для всех X. На рис. 2,
3 области флаттера заштрихованы горизонтальными линиями, области дивергенции — вертикальными, области устойчивости оставлены не-заштрихованными. Графиком критической скорости крыла является нижняя по V граница области неустойчивости. На рис. 2 проведена
в) хр^ 0,75 Ъ
вертикальная линия хр = *о> что соответствует 5 = 0 (креплению подкоса на упругой оси).
При изменении V два комплексно-сопряженных собственных значения X, X, таких, что Ые X > 0, 1т X * 0, могут перейти на вещественную ось. Если при этом других таких собственных значений нет, то произойдет переход из области флаттера в область дивергенции. Такие переходы отмечены на рис. 2, 3 штриховой линией.
Рассмотрим изменения, происходящие на плоскости параметров Хр, Vпри увеличении Л от 0 до 1. При Л -> 0 влияние подкоса на аэро-
упругую устойчивость крыла уменьшается, а при Л = 0 пропадает совсем. Критическая скорость при этом равна критической скорости флаттера крыла без подкоса Ус = 30 м/с. При малых А потеря устойчивости происходит по флаттеру для всех хр, но появляется и область
дивергенции, рис. 2, а. С увеличением /г правая часть области флаттера, соответствующая хр > хо, быстро сдвигается вверх, уступая место области дивергенции, рис. 2, б, в. Из рис. 2 можно сделать вывод, что примерно при хр < хо крыло теряет устойчивость по флаттеру, а при
хр > хо — по дивергенции. Такой механизм потери устойчивости остается и при больших И, вплоть до 1 (консоль крыла). Значение хр, при котором происходит смена флаттера на дивергенцию, только немного
сдвигается влево. Этот факт примечателен, поскольку характеризует влияние подкоса на аэроупругую устойчивость крыла: при креплении подкоса перед осью жесткости происходит флаттер, а при креплении за осью жесткости — дивергенция.
При дальнейшем увеличении А, рис. 2, в, г, д, е, область флаттера претерпевает сильные изменения. Ее левая часть поднимается, увеличивая критическую скорость. При А = 0,61/ достигается максимум Ус = 117 м/с при хр = 0,325Л (т. А на рис. 2, г). При Л = 0,9/, хр = 0,25Ь имеет место другой максимум Ус =116 м/с (т. В на рис. 2, д). Заметим, что хр = 0,25Ь на рис. 2, д является точкой разрыва критической скорости: при меньших значениях хр устойчивость теряется по второму тону, При больших — ПО третьему. При увеличении Хр и переходе через значение Хр = 0,256 критическая скорость Ус перескакивает на значительно более низкое значение Ус = 68 м/с.
Из рис. 2 видно, что критическая скорость дивергенции — кривая с номером 1 (т. е. отвечающая первому тону) мало зависит от А. Основные же изменения относятся к критическим скоростям флаттера второго и более высоких тонов (кривые с номерами 2—4). Таким образом, удаление точки крепления подкоса А от основания мало влияет на первый, дивергентный тон, но оказывает большое влияние на более высокие, флаттерные тона.
На рис. 3 представлены расположения рассматриваемых областей на плоскости параметров А, Vдля нескольких значений хр. На рис. 3, а
устойчивость теряется по флаттеру для всех А, что характерно для хр < (положение подкоса перед осью жесткости). Точками А и В на
рис. 3, а, б отмечены оптимальные положения подкоса, отвечающие значениям критической скорости 117 м/с и 116 м/с соответственно. Для значений хр > х§ (подкос за осью жесткости) характерна ситуация,
представленная на рис. 3, в: для достаточно больших А (примерно больше четверти полуразмаха) потеря устойчивости происходит по дивергенции.
Из рис. 2, г, д и 3, а, б видно, что точки максимумов критической скорости А и В расположены на границах узких, сильно углубленных в область флаттера частей области устойчивости. Поэтому при фиксированных параметрах и увеличении V точка, приближаясь к оптимальному значению А или В, подходит очень близко к границе области неустойчивости (в случае В она даже касается области флаттера в точке со значительно более низким значением скорости). Очевидно, что параметры системы определяются с некоторыми ошибками. В нашем случае (точки А и В) даже малое изменение параметров может очень сильно снизить значение Ус. Например, в случае В критическая скорость снижается в 1,7 раза вследствие разрыва. Поэтому задача максимизации по А и критической скорости, определенной соотношением
, Ус = ш^К>0:ЗХ, 11еХ>0}, (3.1)
в данном случае теряет смысл. Подобная ситуация в задачах максимизации критической нагрузки достаточно типична (см., например, [6], [7]). Возникает необходимость изменить постановку задачи оптимизации, а именно ввести такое определение критической скорости, которое устранит это противоречие.
4. Критерий устойчивости и определение критической скорости с учетом разброса параметров. Пусть линейная колебательная система, подверженная неустойчивости типа флаттера и дивергенции, содержит параметры р = (д,..., рп), которые определяются не точно, а с некоторой погрешностью:
и - р1
Здесь р0 = [р®,..., /7®) — значения параметров, которые определяются
измерениями или находятся из эксперимента и используются в численных расчетах, Л,- — величины погрешностей измерений или эксперимента. Параметр скорости V не включается в вектор р. Предполагается, что ошибка численных расчетов пренебрежимо мала.
Неравенства (4.1) задают множество {70 допустимых значений вектора р:
и0 = \р ё Ип:\р,- - р[ < Д,-, / = 1,..., и}. (4.2)
Дадим определение устойчивости с учетом разброса параметров. Пусть фиксированы параметры р9, / = 1,..., п и значение скорости V. Тогда система устойчива, если для любого pe.ll.о для всех собственных значений X выполняется неравенство
ЯеХ^О. (4.3)
Если неравенство (4.3) не выполнено для некоторого р е Лц и некоторого X, то система неустойчива. Критической скоростью в этом случае будет называться нижняя грань значений скорости, для которых система неустойчива в соответствии с новым определением:
V* =Ы{У>Ъ:Зр еи0:ЗХ, 11еХ>0}. (4.4)
Определение (4.4) является обобщением определения критической скорости (3.1) на случай параметров, заданных с погрешностью. Это определение фактически обобщает такое понятие, как «запас по параметру» [8].
Рассмотрим простое собственное значение X системы, отвечающее вектору параметров р0 и скорости V Оно дифференцируемо по Фреше по р вт. р0 [9]. Пусть в окрестности ио это X остается од-
нократным, а производная от X по р мало меняется. Тогда в Щ можно воспользоваться линейным приближением
Х{р)*Х{ро) + ^(р-р0). др
В этом случае
шах КеХ(^) * ЛеХ(.ро) + РеЩ %
Ые
дХ
др{
А,-.
(4.5)
(4.6)
Если эти условия выполнены для всех собственных значений X при р0 и V, то (4.5) и (4.6) также выполнены для всех X.
С учетом соотношения (4.6) определение критической скорости
(4.4) примет вид
V* = V > 0:ЭХ, КеЛ(Д)) + £
1=1
Яе
дХ_
8р{
А/>0 .
(4.7)
дХ
Отметим, что условие ограниченности градиента — не выполняется в
др
окрестности кратных собственных значений с жордановой клеткой порядка больше единицы. Однако при малых погрешностях А,- и отсутствии кратных собственных значений в Щ обычно можно использовать (4.7). Кроме того, неравенство в (4.7) достаточно проверять только для значений X, соответствующих нескольким первым тонам, опуская проверку для более высоких и заведомо устойчивых в рассматриваемой области тонов.
Если задача состоит в исследовании устойчивости системы в зависимости от части параметров ^ = (ру,..., рк), к <п (в данном случае Рх = А//, р2=хр, к = 2), то вычислять производные от X по этим параметрам нецелесообразно. Удобнее сначала вычислить критическую скорость учитывая разброс оставшихся параметров
<?2 = {рк+ь • • • > Рп) по формуле (4.7), а затем найти критическую скорость V* с помощью исследования окрестности точки = (р®,..., /?°) по формуле
р,- - р)
< А
(4.8)
Практически это можно осуществить, используя перебор значений V** в точках />? ± А/, / = 1,..., к, т.е.
К(у1°) = т1пК*(Р\ ± Дь ± А*)- (4.9)
Таким образом, с помощью соотношений (4.7), (4.9) определяется критическая скорость с учетом разброса параметров.
5. Нахождение критической скорости крыла с подкосом с учетом
разброса параметров. Найдем производные — для нашей системы. Все
др\
параметры крыла считаются постоянными по размаху, поэтому вектор р
имеет вид р = (л......рп) = (а / /, хр, Е1 / /4, а / /2, т, ст, 1т, с“, с“, Ь,
хо, р). Нас интересует исследование устойчивости по параметрам Ру= Л / / И Р2 = Хр, поэтому необходимо вычислять производные от X лишь по параметрам р,-, / = 3,..., 12.
Давая приращения 8Х, 8и(у), 8р,-, 1 = 3, ...,12, где
й(у)Т = (/Ы, фЫ), запишем с использованием (1.6) уравнение в вариациях [10]:
1'(Х0, р0) + -^8Х + -г—8р,-ок др(
[й + 5й] = 0.
(5.1)
Умножим (5.1) слева на УТ(у) = (/У(у), фи(у)) — собственную вектор-функцию транспонированной к (1.6) задачи
£т(^0 ,Ро)Г(у) =
Ц.1 ^21 Л(у)
.Аг 1у22_ _Фи(у)_
(5.2)
с теми же граничными условиями и проинтегрируем полученное соотношение по у от 0 до 1:
1
к
о
Ро)+ + 7>—
ОЛ, ОР]
[й + 8и\с1у = 0.
(5.3)
Интегрируя по частям первый член суммы с помощью граничных условий (1.3), имеем
1
/РЦЬо, Ро)[р + Щ4у = - Ый\ + Шйх - 1^Гих)
А-0
А+0
-С/ (фиф^1 - ф>„1)
А-0
А+0
-1[й + 8й]т1т(^0, />0)Гёу,
где (й(у) + 8й(у))т = (/„1(у), ф^Ы), а штрихами обозначено дифференцирование по у. Используя (5.2) и граничные условия (1.4) для V и й + 5й и учитывая при этом, что эти условия для й + 5й записываются для возмущенных значений параметров % + Ър, а для Г — для невозмущенных значений ]?0, получаем
1
|УТ1(Х0, р0)[й + Ьй]с1у = -Л(А)(/(3)(Л - 0) - /(3)(А + 0))8/>3 + о
+Фу(А)(ф'(Л - 0) - ф'(А + 0))8р4.
С учетом этого равенства (5.3) принимает вид
1
дЬ дЬ в
—ЪХ +-----------5»,
5Я. дрг- 1
ййу = О,
где коэффициенты X* равны:
4 = -Л(А)(/(3)(А - 0) - /(3)(А + 0));
^4 = Фо(Л)(ф'(А - 0) - <р'(й + 0));
4 = 0, / = 5,..., 12.
Поделив (5.4) на 5р( , получим интересующие нас производные:
1
дк 5>р{
[?* — й4у
1дХ
(5.4)
(5.5)
(5.6)
Эти производные можно определить приближенно, используя для вектор-функций й(у) и 5(у) разложения по методу Бубнова — Галер-
кина:
ЙТЫ = ^ГоД/уЫ, ФуЫ), Уг(у) = ф/Ы), (5.7)
№
Ы1
где функции Му), ф,(у), / = 1,..., и, определяются из (2.5), (2.6), коэффициенты \ = (а1; ..., <х„) находятся из уравнения (2.3), а коэффициенты ? = (Рх,..., ри) — из решения транспонированной к (2.3) задачи:
[х2М + ХУВ + С1 + У2С2 ]Т I = 0.
(5.8)
Подставим разложения (5.7) в (5.6) и вынесем векторы коэффициентов | и ? за знак интехрала. В результате получим
дХ
др1
;т [2 ХМ+ УВ}%
(5.9)
где Д, / = 5,..., 12, — нулевые матрицы порядка п х п, а матрицы Д и 2)4 имеют вид
= [%] = [-Л(А)(/)3)(Л - 0) - /)3>(л + о))'
Щ = [%] = [ф/(Л)(ф>(А - 0) - Ф>(А + 0))]. При выводе (5.9) было использовано соотношение
(5.10)
}ут
—*т д
? дРк
|иы. Ф/Ы)—(//(Л ф/ЫГф о
| (//Ы, ф,^))^/^). фуЫГф
§ =
■ • а ЭР*
[я.2А/' + ХК5 + С1 + К2С2р,
а также равенство 1
| Vх + ж + С\ + у2с2}1 =
о
= ;т[2\М + ГВ%
Используя (5.9), (5.10) в (4.7), можно найти значение критической скорости У**(дх) в зависимости от параметров дх = (к / /, хр), после
чего из (4.9) найдем — искомую критическую скорость, в кото-
рой учтены погрешности всех параметров. Такой способ вычисления V* очень эффективен, поскольку для него необходимо решать только прямую и транспонированную задачи (2.3) и (5.8), что увеличивает время вычисления V* по сравнению с временем вычисления обычной критической скорости всего лишь в два-три раза.
При помощи описанной выше методики была исследована критическая скорость крыла с учетом погрешностей параметров, которые были выбраны равными = 0,02, Д2 = 0,056 и
1 3 4 5 6 7 .8 9 10 11 12
Л Е1 //4 & /I1 тп а 1т с“ У с“ т Ь *0 Р
Д/ / Л> % 5 5 3 5 3 1 1 2 5 0
Неравенство в (4.7) проверялось только для собственных значений, соответствующих первым пяти тонам, поскольку более высокие тона устойчивы для рассматриваемых значений параметров.
Результаты вычислений для хр = 0,256 и 0,3256 представлены на рис. 3, а, б точечной линией. На участках, где обыкновенная критическая скорость Vc(h, 8) изменяется мало, V* отличается от Vc в среднем на 15%, однако когда Vc быстро растет или убывает при изменении h и 8 , V* значительно меньше Vc. Особенно это относится к узким частям области устойчивости, глубоко вклинивающимся в область неустойчивости. Как отмечалось выше, оптимальные значения критической скорости находятся на границе именно таких частей. Поэтому Vc уменьшается в оптимальных точках примерно в полтора раза при учете погрешностей параметров. Максимумы V* достигаются при Л = 0,61/, хр = 0,36 и h = 0,91/, хр = 0,056, где V* равна 71 м/с и 76 м/с соответственно. Это значительно меньше соответствующих максимальных значений Vc =117 м/с и Vc =116 м/с, но точки, где достигается максимум, отличаются незначительно.
Таким образом, задача оптимизации критической скорости в первоначальной постановке (3.1) приводит к большим выигрышам, которые оказываются бессмысленными с практической точки зрения, так как небольшие погрешности параметров значительно уменьшают Vc. Это подтверждает необходимость учета разброса параметров, в особенности когда критическая скорость сильно меняется на некоторых участках, например, терпит разрыв или резко возрастает и сразу уменьшается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Келдыш М. В. Вибрации в воздушном потоке крыла с подкоса-
ми//Труды ЦАГИ.— 1938. Вып. 357, а также в кн.: Келдыш М. В. Избранные труды. Механика.— М.: Наука.— 1985. ,
2. МайлыбаевА. А., СейранянА. П. Задача Келдыша об аэро-упругой устойчивости крыла с подкосами//ДАН.— 1996. Т. 350, № 4.
3. Г р о с с м а н Е. П. Флатгер//Труды ЦАГИ.— 1937. Вып. 284.
4. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости.— М.: Физматгиз.—
1959.
5. М и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической физике,—
М.: Наука,— 1970.
6. Буньков В. Г. Расчет оптимальных флатгерных характеристик методом градиента//Труды ЦАГИ.— 1969. Вып. 1166.
7. СейранянА. П., ШаранюкА. В. Чувствительность и оптимизация критических параметров в задачах динамической устойчивости//Изв.
АН СССР, Механика твердого тела.— 1983, № 5.
8. МакаревскийА. И., ЧижовВ. М. Основы прочности и аэроупругости летательных аппаратов.— М.: Машиностроение.— 1982.
9. Sun J.-G. Eigenvalues and eigenvectors of a matrix dependent on several parameteis//J. Comput. Math.— 1985. Vol. 3.
10. Seyranian A. P. Sensitivity analysis and optimization of aeroelastic stability//!nt. J. Solids and Structures.— 1982. Vol. 18, N 9.
Рукопись поступила 11/VII1996 г.
