CC BY
61
7. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наукова думка», Киев, 1974.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидромеханика. М. Изд-во «Наука», 1986.
9. Ландау Л.Д. Новое точное решение уравнений Навье-Стокса. «Доклады АН СССР». 1944, том 44, стр. 311 - 314.
10. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М, Изд-во «Наука», 1977.
11. Выскребцов В.Г. Новые точные решения уравнений Навье-Стокса для осесимметричных автомодельных течений жидкости. «Математические методы и физико-математические поля», Львов, Изд-во Национальной АН Украины, Том 41, №3, 1998, стр. 44 - 51.
12. Выскребцов В.Г. Неустойчивость расходящихся и устойчивость сходящихся течений потоков воды, Сборник докладов: «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий», часть 3, Секция №5, Москва-Сочи, М, МГТУ «МАМИ», 2005, стр. 36 - 40.
13. Выскребцов В.Г. Неустойчивость расходящихся и устойчивость сходящихся течений потоков воды. Экспериментальные наблюдения. Материалы XIII международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова, избранные доклады, Москва, изд-во МАИ, 2007, стр. 87 - 92.
14. Шиллер Л. Движение жидкости в трубах. ОНТИ НКТП СССР, М-Л, 1936.
15. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. Гос. изд.-во техн.-технич. литературы, М, 1955.
16. Выскребцов В.Г. Влияет ли вращение Земли на спиральное движение воздушных пузырьков в воде. Материалы Международной конференции и Российской научной школы, «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий», Часть 3, секция №5 «Системные концепции в экономике, науке, технике и экологии», Москва- Сочи, М, Изд -во МГТУ «МАМИ», 2009г.
17. Короткин А.И. О трёхмерном характере обтекания кругового цилиндра. «Учёные записки ЦАГИ», 1973, том IV, №4.
18. Полежаев В.И., Простомолотов А.И., Федосеев А.И. «Метод конечных элементов в механике жидкости» в «Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа». М, 1987.
19. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Учебник для ВУЗов. 7 издание. Изд.-во «Дрофа», М, 2003.
Флаттер пластины переменной толщины
к.ф.-м.н. доц. Кудрявцев Б.Ю.
МГТУ «МАМИ» 8 (495) 223-05-23, [email protected] Аннотация. С использованием линейной поршневой теории исследована устойчивость прямоугольной пластины переменной толщины, находящейся в сверхзвуковом потоке газа. Найдена критическая скорость потока, решена задача оптимизации распределения толщины.
Ключевые слова: флаттер, сверхзвуковой поток газа, пластина переменной толщины, устойчивость.
Задача о флаттере пластины постоянной толщины изучена достаточно подробно как с использованием линейной поршневой теории [1,2], так и в случае некоторых других новых постановок [3-7]. При этом работ, где исследовалась бы устойчивость в потоке газа пластины переменной толщины или жесткости, довольно мало [8-11], и рассмотрена в них только бесконечная полоса. В предлагаемой статье представлен вариант решения задачи линейного флаттера прямоугольной пластины переменной толщины,
Рассмотрим прямоугольную пластину длины /1 и ширины /2 с шарнирно опертыми краями. В прямоугольной системе координат пластина занимает область {0 < х < 1/ 5,0 < у < 1}, ось ОХ направлена по стороне длины /1. Пластина обтекается сверхзвуковым потоком газа. Вектор скорости потока лежит в плоскости пластины, угол между ним и осью ОХ обозначим через в. Согласно [4] линейное уравнение колебаний будет иметь вид:
д
2 ( (Я2
дх2
f1
д2 w
- + V-
д2 w ^
2 ду2 jj
+ 2(1 -V)-
д
2
2
f
д2 w
дхду I дхду J ду
+
д
2 ( 2
f3
д2 w
ду2
+V
д2 w ^
дх2
+
JJ
Kpl
3 (
Dn
l2 3w
3w
3w
—--+M cose—+M sine—
v cn дг
дх
ду
Dn дг2
+ -
= n
с соответствующими граничными условиями,
где: р и с0 - давление и скорость звука в покоящемся газе, н - прогибы пластины, И = И0 ■ /(х, у) - ее толщина, р - плотность материала,
к - показатель политропы, Dn =
Ehl
12(1 -v2)
, Е - модуль Юнга,
v
V - коэффициент Пуассона, v - скорость потока, M = —— число Маха.
cn
Решения будем искать в виде
w = exp(at)(c1 sin nsx sin пу + c2 sin nsx sin 2лу + c3 sin 2nsx sin тгу + c4 sin 2nsx sin 2лу),
Ci, c2, c3, c4 e R.
Проведя процедуру Бубнова-Галеркина, получим систему четырех уравнений с четы-ремя неизвестными. Приравняв определитель системы к нулю, будем искать критическую скорость потока vKp как наименьшую скорость v, при которой комплексная частота со переходит в правую полуплоскость.
В качестве примера рассмотрим стальную пластину, находящуюся в потоке воздуха, при следующих значениях параметров:
p = in5 па,к = 1,4, сп = 33П м / с, E = 2 -1П11 па, р = 8 -1П3 кг / м 3,v = 0,3,
hn = П,ПП1м, l2/ hn = 25П.
В таблицах 1 и 3 приведены значения Mкр = vKp / cn для квадратной, а в таблицах 2 и 4 -
для удлиненной ( s = 2 / 3 ) пластины при различных углах в.
Возьмем сначала функцию f в виде:
f = 1 + s1 cos 2nsx + s2 cos 2пу .
При таком выборе материал будет концентрироваться либо к середине пластины, либо к соответствующим кромкам в зависимости от знака st (таблицы 1 и 2).
Из таблиц видно, что утолщение к центру увеличивает критическую скорость, а к краям - понижает устойчивость. Наибольшую и наименьшую величину критическая скорость во всех случаях достигает при одинаковых минимальных и максимальных значениях s1 и s2 соответственно. Изменение концентрации материала пластины вдоль стороны, перпендикулярной потоку, играет большую роль, чем вдоль параллельной к нему. Удлинение пластины поперек потока усиливает эффект изменения толщины, а вдоль - смягчает. Неравномерное распределение материала вдоль одной стороны не оказывает заметного влияния на зависимость критической скорости от изменения толщины вдоль другой стороны. Для квадратной пластины изменение направления потока относительно кромок сохраняет вышеуказанные
3
2
эффекты, при этом максимальное значение критическая скорость принимает при в = 45° [5].
Рассмотрим теперь несимметричное распределение толщины - утолщение от одного края к противоположному. Зададим функцию /:
/ = 1 + (2ях - \) + е2 (2у -1).
Таблица 1.
0е 30° 45°
3,23 3,52 3,69
^=0, е2 =-0,01 3,25 3,55 3,73
3,20 3,49 3,66
^=-0,01, ^=-0,01 3,26 3,56 3,74
£\=-0,01, щ=0 3,24 3,53 3,73
^ = -0,01, &2 =0,01 3,21 3,50 3,68
£1 = 0,01, £2 =-0,01 3,25 3,53 3,68
£■¡=0,01, £-3 =0 3,22 3,50 3,66
£-1 = 0,01,£-2=0,01 3,19 3,47 3,64
Таблица 2.
0° 30е 45° 60е 90°
£1=0, £3 =0 1,32 1.4 9 1.75 2,19 2,72
£1=0, е-а=-0,03 1,34 1,5 1 1.78 щ. 2,74
£1 = 0 , £"2=0,03 1,30 1,47 1,73 2,1 6 2,70
£■¡=-0,03 , £"а=-0гСЗ 1,35 1.5 3 1,81 2,28 2,84
£1=-0,03 , £-2=5 1,33 1,50 1,78 2,25 2,82
£1=-0,03 , 1,31 1,4 8 1,76 2,22 2,80
£"1=0,03, £^=-0,03 1,33 1,50 1,76 2,16 2,64
£"1=0,03 ,£'2=0 1,31 1,4 8 1,73 2,13 2,62
£"1=0,03 , 1,29 1,4 6 1,71 2,11 2,61
Таблица 3.
0й
3,23 Х69
3.22 Х69
^ =0Г £\ - 0,0 5 3.22 3,69
3,33 М*
3,24 3,69
ЗЛО
3,23 ЭЛи
3.24 Зг69
=0,05 3.23 Зг65
Таблица 4.
5° 4 5е
1-33 1,75 г,7 г
1.31 1,74 2,74
1.11 1.74 2,14
1,33 1,77 159
из 1.77 2,56
1,33 1,77 Z&
s^tJJ . ffj^ Cl,! из 1.76
1.33 1.77 2,5 6
1,33 1.76
Из результатов вычислений (таблицы 3 и 4) можно сделать следующие выводы. Для квадратной пластины при направлении потока, параллельном кромкам (9 = 0°), утолщение пластины вдоль потока в любую сторону (отклонение s1 от нулевого значения) способствует стабилизации, а поперек ( отклонение s2 от нуля ) - наоборот, уменьшению критической скорости. При 9 = 45° неравномерное распределение толщины вдоль потока (s1 и s2 одного знака ) снижает устойчивость, а в перпендикулярном направлении ( s1 и s2 разных знаков ) -увеличивает критическую скорость, то есть «стреловидность» меняет эффект концентрации материала на противоположный. Для удлиненной пластины определяющую роль играет изменение толщины в направлении потока.
Для сравнения можно рассмотреть квадратную алюминиевую пластину (E = 6,7-1010па,р = 2,7-103кг/м3,у = 0,36 , h0 = 0,00125м,l2 /h0 = 200) , взяв функцию f в виде :
f = 1 + s1 cos 2nsx + s2 cos 2ny .
_Таблица 5.
0fl 30* 45°
f, =4^=0 2,32 2.54 2.66
f, =0,^=4,01 2,35 2M 2,69
£-,=0, = -0,0 1 2,30 2,51 2,6A
2,35 2,57 2,71
£¡ = -0,01. 2,33 2.SS 2,6?
q=-0,0J «■*=(), 01 2,31 2.52 2M
£¡-0,0 i, fj— 0,01 2,34 2,55 2,66
fp-aOlrfj-O 2,32 2,53 2,64
2,30 2.Я) 2,62
Результаты вычислений Мкр содержатся в таблице 5. Характер поведения критической
скорости остается тем же, что и для стальной пластины. Таким образом, в данном случае не прослеживается принципиальная зависимость изменения критической скорости от коэффициента Пуассона , как это было для бесконечной полосы [8].
Перейдем теперь к несколько иной постановке задачи. Пусть два противоположных края пластины длины 12 шарнирно оперты, третий и четвертый либо тоже свободно оперты, либо жестко заделаны. Толщина пластины будет переменной величиной к = к0 + 5 ■ /(у) , где /(у) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, а 5 -малый параметр. Тогда цилиндрическую жёсткость с точностью до малых высшего порядка можно записать так: е Ек3 35
° * -^(к3 + 3ко5/(У)) = Я0(1 + ¥(У)), где Д, = 0 , * = —.
12(1 -V ) 12(1 -V ) к0
Согласно [4] линейное уравнение колебаний будет следующим:
т д д2 н
(1 + / (у))Л2 н + 2/'(у)—Лн + / " (у)*Лн - (1 - V) / ' (у)е~-т +
ду дх
14 -,2,
„ ^ кр12 .dw _ dw . кр12 dw phl2 д w л
+M^-1 (—cos 0 +—sin 6>) +-Í-2--+ --- = 0.
D0 дх dy D0 c0 dt D0 dt2
Решения будем искать в виде
w = exp(®t)(c1um1 (sx) sin ту + c2um2 (sx) sin ny) , c1, c2 e R ,
где: umj - балочные функции, соответствующие различным способам закреплениям кромок и
собственным частотам. При нахождении критической скорости будем использовать, как и выше, метод Бубно-ва-Галеркина.
Для примера возьмем стальную пластину, находящуюся в потоке воздуха , выбрав функцию f в виде:
f (y) = cos2ny.
В таблице 6 приведены значения Mкр для пластины с различными способами закрепления кромок. В первой строке содержатся результаты для пластины с четыремя шарнирно опертыми краями, во второй - с тремя, в третьей - с двумя.
Таблица 6.
s = 2¡\d = я/2 s = \,д= 0 s = 2/3, е = 0
3=- -ю-5 S = 0 3 = ИГ5 3 = - 1 о--5 ¿=о 3 = ИГ5 3= -3 Ю-5 ¿=0 3 = 3io-J
1 2,15 2,12 2,68 3,26 3,23 3,20 1,34 1,32 1,30
2 2,82 2,78 2,75 3,41 3,38 3,35 1,45 1,42 1,39
3 2,86 2,82 2,77 3,51 3,46 3,4 0 1,53 1,48 1,43
Для всех случаев закрепления кромок поведение критической скорости аналогично приведенному выше, то есть концентрация материала к середине пластины способствует стабилизации, а к краям - понижает динамическую устойчивость. Удлинение пластины поперек потока усиливает эффект изменения толщины, а вдоль - смягчает. При этом значения Мкр для пластины с четыремя свободно опертыми кромками практически не отличаются от
полученных без применения метода малого параметра.
Рассмотрим теперь несимметричное распределение толщины - утолщение от одного края к противоположному. Зададим функцию /:
/(у) = 2у -1.
При таком выборе критическая скорость для пластины с симметрично закрепленными кромками не реагировала на изменение толщины. Для пластины с одним защемленным краем концентрация материала к нему понижало критическую скорость, а к противоположному - повышало устойчивость (таблица 7).
Таблица 7.
s = 2!%в=я!2 г = \,6= 0 s = 2!\6 = 0
6= 0 6= 10 S = -10~5 £>= 0 ¿ = -310~5 S = 0 6= 3 ■ 10-5
2,77 2,78 2,80 3,37 3,38 3,40 1,41 1,42 1,43
Рассмотрим теперь задачу оптимального распределения толщины для свободно опертой пластины. Условие существования нетривиального решения в методе Бубнова-Галеркина составляет характеристическое уравнение, содержащее с и M . Переходу от устойчивого состояния к неустойчивому будет соответствовать чисто мнимое значение с . Приравняв к нулю действительные и мнимые части уравнения, получим с точностью до слагаемых первого порядка малости относительно ó выражение для Mкр :
MI = M1+ÓM 21,
1
где I = J f (y) sin2 nydy.
0
Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить такую функцию f при которой Mкр принимает наибольшее значение при некоторых дополнительных ограничениях. В качестве ограничений, следуя [12], возьмем
J f (y)dy = 0, }(f'(y))2dy < С .
00
Первое условие означает постоянство площади поперечного сечения пластины, второе - что решение задачи нужно искать в классе гладких функций. Составим функционал
i 1 1
J (f) = J f (y) sin nydy + ¿ J (f '(y))2 dy + ¿2 J f (y)dy, 0 0 0 в котором Л, Л - неопределенные множители Лагранжа.
Из условия стационарности получаем уравнение
sin2 ny + Л - 2Л2 f "(y) = 0.
Из него находим
ч 2Л +1 2 cos2ny
f (y) = А +М2 y + y +-
8 Л
16п Л
Обозначим /л3 =
+1 8Л
и примем условие нормировки 16пЛ2 = 1. Тогда
/(у) = М1 +^2 у + М3 у 2 + со^ПУ .
Параметры ¡л{ находятся из граничных условий и первого ограничения. Будем полагать, что /(у) симметрична относительно середины пластины, тогда /'(0) = у, /'(1) =-у.
у
Из (3) получаем /и1 = —, /и2 = у, = -у . Окончательно будем иметь
6
у
/(У) = - - + ?У(1 - У) + cos 2пУ . 6
При этом для достижения эффекта оптимизации знак 5 нужно выбирать в зависимости от коэффициента М 2.
Выводы
Исследована зависимость критической скорости панельного флаттера от распределения
толщины пластины при различных значениях параметров. Установлено, что концентрация материала к центру способствует стабилизации. Предложен вариант оптимального распределения толщины.
Литература
1. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела. М., 1978. (Итоги науки и техники / ВИНИТИ; Т.11).
2. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки. ПММ, 1994, т. 58, в. 3, с 167-171.
3. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М., Наука, 2006.
4. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. ПММ, 1999, т. 63, в 2, с. 305312.
5. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой пластины,находящейся в потоке газа,при умеренных сверхзвуковых скоростях. Изв. ТулГУ,сер. мат.,мех.,инф., -Т.11,-Вып.3, Тула: изд. Тул-ГУ,2005,с.99-102.
6. Кудрявцев Б. Ю. Флаттер прямоугольной пластины, составляющей часть поверхности тонкого клина , обтекаемого потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. Деп. в ВИНИТИ, 2002, № 1085-В2002.
7. Кийко И.А., Кудрявцев Б.Ю. Нелинейные аэроупругие колебания прямоугольной пластины // Вестн. МГУ. Сер. 1, Матем, мех. 2005. № 1. С. 68-71.
8. Кийко И.А.,Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой полосы переменной жесткости. Деп. в ВИНИТИ, 1997, № 1103-В97.
9. Исаев В.П., Кийко И.А. Аэроупругие колебания и устойчивость ортотропной полосы переменной толщины. Деп. в ВИНИТИ, 2002, № 203-В2002.
10. Кадыров А.К., Кийко И.А. Флаттер упругой полосы переменной толщины. Изв. ТулГУ. Сер. Мат. Мех. Инф.-Т.11.-Вып.2.мех.,Тула: изд. ТулГУ,2005,с. 46-52.
11. Кадыров А.К. Флаттер пластины переменной жесткости. Изв. ТулГУ. Сер. Мат. Мех. Инф.-Т.13.-Вып.2.мех.,Тула: изд. ТулГУ,2007,с. 76-81.
12. Брадусь А.С., Картвелишвили В.М. Приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих тонкостенных конструкций. Изв. АН СССР, МТТ, 1981, № 6.
Модель упругопластического поведения материалов конструкций при
термоциклическом нагружении
д.т.н. проф. Темис Ю.М., к.т.н. Азметов Х.Х., Факеев А.И.
МГТУ«МАМИ» [email protected]
Аннотация. На основе модели поведения конструкционного материала при циклическом неизотермическом упругопластическом деформировании создана система математического моделирования циклического нагружения конструкций методом конечных элементов с использованием самокорректирующегося метода. Ключевые слова: пластичность, циклическое нагружение, неизотермические условия, метод конечных элементов, самокорректирующийся метод.
Для учета влияния температурных нагрузок трехпараметрическая модель [1-4], предназначенная для моделирования поведения упругопластического материала под воздействием циклического нагружения при постоянных температурах, обобщена на случай неизотермического нагружения. Подход позволяет учитывать в процессе неизотермического циклического нагружения изменение эффекта Баушингера, нелинейного участка кривой деформирования и
