CC BY
12Для проверки корректности отождествления поля с коэффициентами его вейвлет-разложения сравним результаты локализации разрывов по методам 2 и 3. Результаты представлены на одной и той же сетке. Мелкомасштабные эффекты должны подавляться за счет использования более грубой расчетной сетки (метод 2) и перехода на более грубый уровень вейвлет-разложения (метод 3). Положения контактного разрыва совпадают, а правая ударная волна при использовании метода 2 смещается ровно на одну ячейку вправо. Такая погрешность допустима, если разрыв находится между ячейками. Эти факты позволяют говорить о допустимости указанного подхода.
Анализ усложненного варианта этой задачи, в котором присутствуют дополнительные вложения энергии в областях 0 < x < 2, 1 < \y\ < 1,2, приведен в [4].
5. Заключение. Расчеты подтверждают, что совместный анализ нескольких уровней вейвлет-разло-жения дает возможность значительно сократить количество артефактов при локализации разрывов в расчете без введения дополнительного порога чувствительности. При этом для вычисления разложения следует использовать симметричные вейвлеты, поскольку это не приводит к существенному смещению разрывов на разных уровнях. Также расчеты позволили убедиться в допустимости отождествления газодинамических полей с коэффициентами их вейвлет-разложения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005.
2. Афендиков А.Л., Левкович-Маслюк Л.И., Луцкий А.Е., Пленкин А.В. Локализация разрывов в полях газодинамических функций с помощью вейвлет-анализа // Математическое моделирование. 2008. 20, № 7. 65-84.
3. Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001.
4. Афендиков А.Л., Луцкий А.Е., Пленкин А.В. Многомасштабный анализ особенностей газодинамических полей. Препринт Ин-та прикладной математики РАН № 98. М., 2008.
Поступила в редакцию 21.10.2009
УДК 539.3:534.1
ФЛАТТЕР ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПАНЕЛИ, СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ЧАСТЬ ПОВЕРХНОСТИ ТОНКОГО КЛИНА
И. А. Кийко1, Б.Ю. Кудрявцев2
Исследована в нелинейной постановке устойчивость упругой пластины и панели, находящихся в сверхзвуковом потоке газа, вектор скорости которого направлен под небольшим углом к ним. Найдена критическая скорость потока при различных значениях параметров, проведено сравнение результатов.
Ключевые слова: флаттер, сверхзвуковой поток газа, критическая скорость, упругая пластина.
The stability of an elastic plate and an elastic panel placed in a supersonic gas flow is studied in a nonlinear formulation. The gas velocity vector is directed at a small angle to them. The critical velocity of the flow is determined for various parameter values. The numerical results obtained are compared.
Key words: flatter, supersonic gas flow, critical velocity, elastic plate.
В исследованиях по панельному флаттеру, как правило, использовалась линейная "поршневая" теория, а прогибы тонкостенных элементов конструкций предполагались малыми и удовлетворяли линейным дифференциальным уравнениям [1, 2]. Недостаточность такого подхода обоснована в [3, 4]. Предположение о малых прогибах, очевидно, тоже вносит существенные ограничения, что может заметно упрощать и
1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elast5539@mail.ru.
2 Кудрявцев Борис Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики МГТУ (МАМИ), e-mail: buk77777@tocka.ru.
искажать результаты [5, 6]. В предлагаемой статье рассматриваются аэроупругие колебания пластины и пологой оболочки около квазистатического положения равновесия, которое определяется в геометрически нелинейной постановке в рамках системы Кармана с использованием работ [4-7]; проводятся параметрические исследования и сравнение с ранее полученными результатами.
Пусть имеется тонкий клиновидный профиль, обтекаемый без угла атаки газом с большой сверхзвуковой скоростью. Вектор скорости потока направлен по оси тела (перпендикулярно кромке). Начало ортогональной системы координат поместим на кромку профиля, ось ОХ направим по вектору скорости, ОУ — по кромке, а ось OZ — так, чтобы система координат была правой. В недеформированном состоянии уравнение образующей имеет вид г = кх + ф(х), \ф(х)/кх\ ^ 1. Будем рассматривать часть поверхности профиля, занимающую в плоскости ОХУ область О = {(х,у), жо ^ х ^ жо + 1\, 0 ^ у ^ ¡2} и свободно опертую по кромкам. Для описания колебаний оболочки будем использовать уравнения Кармана
Б а2 г, жЛ Я , д2Ф , д2Ф д2w — А2и) = ¿(ад, Ф) + £ + ку — + кх
Н у ' у Н у дх2 х ду2 > гЯ2' (1)
1 л 2ж ч , д2w , д2w
-А2Ф = -0,5 ЬМ-ку-^-к^
с граничными условиями
д 2 w
д2w
™1х=х° дх2 х=хо =хо+11 дх2
х=хо
, =0,
х=хо+<1
. д2 w .
= „ = ™\у=12 =
ду2
д2w
у=о ~,у=12 ду2
= 0.
У=12
„ т. . д2и1 д2и2 д2и2 д2и1 д2и1 д2и2
Здесь Ь(и\,и2) = „ 0 „ 0 + „ 0 —2 ; д — давление аэродинамического взаимодействия
дх2 ду2 дх2 ду2 дхду дхду
(определяется по [4]); Ф — функция напряжений; w — прогибы оболочки; Б и Н — ее цилиндрическая жесткость и толщина; кх, ку — кривизны; Е, р — модуль Юнга и плотность материала оболочки. Введем также обозначения: V — коэффициент Пуассона, р и Со — давление и скорость звука в невозмущенном потоке, % — показатель политропы, V — скорость потока газа, М = у/со — число Маха, а = arctg(k) — угол полураствора клина.
Введем безразмерные координаты х/1 у/1\ и время ¿/(^ , сохранив за ними прежние обо-
значения; определим также параметр в = ¡\/12. Тогда система (1) перепишется в виде
Л2 Н т. ^ Н, ,2 д2Ф Н, 2 д2Ф д2w 2%р14 , г2 п ,
! = ЪЦг"<*) + ЪШ + Ла? - да + ШТ)3{м *"■--
д'ш (дф ¡1 д2 ^ М д2^ (д2ф д2 w
дЬ ' дх) с^Нр дЬ2 ^ 1 дх2
- А1А0 — + АА1 -21 - — - А2х -—5- - 2А0А2 — ж —— + АА2х
о
д2Ф д 2Ф
А2Ф = -0,5ЕЦи,,и,) - Е12ку ш - Е12кх ^ где
М 21\ Ш121Л/12{1-у2) ^
А = — Ао= соН2^ ' А1 = (^ТТь(1 + 2е-ш)'
/ 12еа \ % -1 2
М = ХРЧР 1--т——гт Ь е=—ГТ> а = 1 + 7-1 лл/г2 + 2
V к(к + 1)У % + 1 (% - 1)М2 tg2 в
угол наклона ударной волны в определяется из уравнения tg в = tg а + ае tg в. Выделим из (1) основное состояние wо(х,у), Фо(х,у):
л2 Н 121 д2Фо Н 121 д2Фо Н т. 2%рЛ1 ^ г2 2„ ч
А%'»-Ъ^ЩГ + Ъ^ЩГ + ЪЦщ<Ф(|) + ьТТр(м +
дх дх ) V дх2 дх2
Д2Фо + 0,5ЕЬ^о ,-шо) + Е^кх
д 2 w0
+ Е12 ку
д2w0
ду2 " 1 у дх2
0.
Положим w = Wо + Wl, Ф = Фо + Ф1, где Wl, Ф1 — малые возмущения основного состояния, и подставим эти выражения в (1). Отбросив слагаемые, оказывающие второстепенное влияние на результат [4], получим
. 2 Н г . ж . д2w1 . . . . д2w1
А = — Цюи Ф0)--- АгАо - АА\ - АА2х
Б
дЬ2
дЬ
дх
дх2
¡1 д2Wl М д2 Wl
- А2Х -от--ттрг - 2А0А2 — ж —— =
с0 Нр дЬ2 с0 дЬдх
Будем искать прогибы w0 в виде w0 = с 8ш(п(х — х0)) 8'т(пув), с е Е. Согласно [5, 7], имеем
0.
(2)
Ф0
с2Е 2 . . с2Е (142 . . с3Е / 1\2 , 2\ , , лл , л
— 8 С08(27г(ж - Жо)) + — ( - ) СОв(27Г^0 + И + ~ ) [ку + кх8 ) 81п(7г(ж - Х0)) вЫ^ув) +
32
+ 0,5 ( рху2 + Ру х2)
где рх, ру — срединные напряжения на кромках, которые будем находить при условии несближения. Параметр с определим по известной схеме [5].
Динамический прогиб Wl представим в виде
w1 = ехр(иЬ) (с1 э1п(п(х — х0)) + с2 8ш(2п(х — х0))) зт(пув), с1, с2 е Е.
Подставив это выражение в (2) и снова проведя процедуру Бубнова-Галеркина, получим систему двух уравнений с неизвестными с1, с2. Приравняв ее определитель к нулю, будем искать критическое число Маха Мкр как наименьшее значение М, при котором комплексная частота и переходит в правую полуплоскость.
Рассмотрим сначала прямоугольную пластину, составляющую часть поверхности тонкого клина (кх =0, ку =0, р = 0), при следующих значениях параметров: ¡1 = 0,25 м, Е = 2 • 1011 Па, Н = 0,001 м, р = 8 • 103 кг/м3, р = 105 Па, % = 1,4, V = 0,3, с0 = 330 м/с.
В табл. 1 и 2 представлены значения Мкр для различных соотношений длин сторон пластины и углов а. В табл. 1 даны значения критического числа Маха при фиксированной длине стороны ¡1, а в табл. 2 — при длине ¡2 той же величины (в обоих случаях х0 = 1). При удлинении стороны пластины в направлении потока критическая скорость падает, а в перпендикулярном направлении — возрастает.
Представляет интерес оценка влияния на критическую скорость двух последних слагаемых в (2). Этот вопрос, затрагивавшийся в [4], до сих пор оставался открытым. Для сравнения в табл. 3 приведены значения Мкр, полученные без учета этих слагаемых. Видно, что в случае квадратной пластины при небольших углах раствора клина разница минимальна, но с ростом угла а и удлинением пластины становится существенной и может быть более 50%. При этом уточненное значение критической скорости всегда оказывалось выше.
Можно взять предельный случай — неограниченную в направлении оси ОУ полосу ширины 1 в предположении цилиндрического изгиба. Проведем ту же самую процедуру отыскания Мкр, взяв уравнение для определения прогибов w в виде [5]
d4w
Нрх12 с12х
Б йх2 Б
0.
Полученные результаты содержатся в табл. 4. При х0 = 1 наблюдается минимум критической скорости для 15° < а < 20°.
Таблица 1
Таблица 2
Таблица 3
Таблица 4
а° 12
1 1,5 2
10 11,7 12,5 12,9
15 8,2 9,1 9,4
20 6,4 7,3 7,8
в
1,5 2
10 9,9 7,5
15 7Д 5,4
20 5,5 4,3
а° к а° х0
1 1,5 2 1 2 4 8
10 11,8 13,8 15,6 10 19,0 15,5 13,5 12,3
15 8,7 11,6 14,9 15 17,8 12,9 10,1 8,7
20 7,2 11,1 15,7 20 18,4 11,9 8,5 6,9
Если взять результаты, полученные при решении задачи в линейной постановке [6, 7], то в нашем случае критическая скорость флаттера получается большей. Это можно объяснить наличием в срединной поверхности усилий, возникающих при статических прогибах и способствующих стабилизации. Увеличение относительных размеров пластины, с одной стороны, должно снижать динамическую устойчивость, а с другой — увеличивать статические прогибы и цепные усилия. Те же рассуждения относятся к влиянию величины угла а. Отсюда немонотонная (как при линейной постановке задачи) зависимость критической скорости от длин сторон пластины и угла раствора клина. Таким образом, обнаружен неожиданный механический эффект, когда при некоторых условиях увеличение линейных размеров пластины при постоянном значении толщины или угла а повышает динамическую устойчивость. Тем самым подтверждается общая картина поведения критической скорости, полученная в упрощенной, но тоже геометрически нелинейной постановке [6].
Таблица 5 Рассмотрим теперь прямоугольную в плане цилиндри-
ческую панель радиуса К, положив кх = 1/К, ку = 0 (выпуклость направлена навстречу потоку). В табл. 5 приведены значения Мкр для квадратной панели при ¡1 = ¡2 = 1, а = 10°, звездочкой отмечены случаи статической потери устойчивости (прощелкивания) панели. Видно, что динамическая потеря устойчивости характерна для более выпуклых панелей. Как и выше, наблюдается немонотонная зависимость критической скорости потока от параметров задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники. Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978.
2. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки // Прикл. матем. и механ. 1994. 58, вып. 3. 167-171.
3. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // Прикл. матем. и механ. 1999. 63, вып. 2. 305-312.
4. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.
5. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.
6. Кийко И.А., Кудрявцев Б.Ю. Нелинейные аэроупругие колебания прямоугольной пластины // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 1. 68-71.
7. Кудрявцев Б.Ю. Исследование задачи о флаттере в нелинейной постановке // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Механ. Информ. 2006. 12, № 2. 61-68.
Поступила в редакцию 25.01.2010
Хо К
2 3 4 5 6 8
10 3,8* 1,1* < 1* < 1* < 1* < 1*
11 2,4 5,5 7,9* 5,9* < 1* < 1*
12 5,1 6,7 7,5 8,2 8,8 8,9*
