CC BY
40
устойчивости под действием равномерного внешнего давления.// Известия МГТУ «МАМИ» № 2 (6), 2008. с. 152-157.
9. Lorenz R.//Zeitschrift des Vereines deutscher Ingeniere, v. 52, Leiopzig.: 1908, р. 1706.
10. Тимошенко С.П. К вопросу о деформациях и устойчивости цилиндрической оболочки. // Вестн. о-ва технол., 1914, т. 21, с. 785-792.
11. Король Е.З. К определению собственных чисел и собственных функций для краевых задач со многими параметрами// Избранные проблемы прочности современного машиностроения. Сборник научных статей, посвящённый восьмидесятилетию члена-корреспондента Российской академии наук Эдуарда Ивановича Григолюка (1923-2005). -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. с.124-49.
Задача о флаттере пластины в геометрически нелинейной постановке
к.ф.-м.н. доц. Кудрявцев Б.Ю.
МГТУ «МАМИ» 8-906-782-99-16, [email protected]
Ключевые слова: флаттер, критическая скорость, поток газа, динамическая устойчивость пластины, метод Бубнова-Галеркина.
В исследованиях по панельному флаттеру, как правило, использовалась линейная «поршневая» теория, а прогибы тонкостенных элементов конструкций предполагались малыми и удовлетворяли линейным дифференциальным уравнениям [1, 2]. Недостаточность такого подхода обоснована в [3, 4]. Предположение о малых прогибах, очевидно, тоже вносит существенные ограничения и может заметно упрощать и искажать результаты [5, 6]. В предлагаемой статье рассмотрены аэроупругие колебания пластины и пологой оболочки в рамках системы Кармана с использованием работ [7, 8]; проведены параметрические исследования и сравнение с ранее полученными результатами.
Пусть имеется тонкий клиновидный профиль, обтекаемый без угла атаки газом с большой сверхзвуковой скоростью. Вектор скорости потока направлен по оси тела (перпендикулярно кромке). Начало ортогональной системы координат совместим с кромкой профиля, ось OX направим по вектору скорости, OY - по кромке, OZ - так, чтобы система координат была правой. В недеформированном состоянии уравнение образующей будет
z = kx + ç(x), |ç(x)/ kx\ << 1. „ ,
Будем рассматривать часть поверхности профиля, занимающую
rwAz Ä G = {(x, y), x0 < x < x0 + /,,0 < y < l2} _ в плоскости OXY область 1 0 01 2J и свободно опертую по кром-
кам. Для описания колебаний оболочки будем использовать уравнения Кармана
— Л2 w = L(w, Ф) + q -p^-W-, — А2 Ф = -0.5Ц^, w), (1)
h h dt2 E
. д2 w . . д2 w . w | = =-| = = w | = , =-1 = , = 0
0 dx2 0 lx=x0 +l1 dx2 0'
l = д2 w | = | = д2 w | = 0 w У=0 = д 2 У=0 = w У=/2 = д\ 2 У=/2 = 0, с граничными условиями дУ дУ
д2u1 д2u2 д2u2 д2u1 д2u1 д2u2
L(u1, u2) = Z—L——2L - 2_
где Fx ду Fx ду дxдy дxдy
ZLMVß-1) - дм(| + v|î с
... 2 _ . - , (д2w „ д2w 2 д2w^
q = Ap = (M ltg 2ß-1) - A1M | — + v— x —- + 2v^— + v2
y дt2 дtдx Fx 2 J
+
r2 Fç . .2 д2ç
+ AcM — + AM x-
Fx Fx
А =
£ =
4кptg в
(к+ 1)Со к-1
(
а = 1 +
(1 + 2£- £а), А2 = к ptgв 2
1-
12£а к (к + 1)
к + Г (к- 1)М2 tg2 в
Ф - функция напряжений, м> - прогибы оболочки, П и Л - ее цилиндрическая жесткость и
толщина, Е, у - модуль Юнга, плотность и коэффициент Пуассона материала, р и с - давление и скорость звука в невозмущенном потоке, к - показатель политропы, у - скорость
число Маха, а = агс^(к) - угол полураствора клина, наклон ударной
потока газа,
М = V / сп
волны в определяется из уравнения ^а + а£^Р [4].
Выделим в (1) основное состояние 2кр
х у\Ф 0( x, у )
из системы:
ПА2 w0 = ЬЬ^, Ф 0) + ^^ (М2 tg2 в-1) + А1с0 М 2(^ - + А2 М2 х
С д2ф дwc Л
к +1
дх дх
кдх дх J
(2)
А2 Ф 0 + 0.5!^, w) = 0.
т-т w = w0 + W1 , Ф = Ф0 + Ф1 щ Ф,
Положим 0 1 0 1, где 1' 1 - малые возмущения основного состояния
и подставим эти выражения в (1). Отбросив слагаемые, оказывающие второстепенное влияние на результат [4] (в частности, содержащие Ф), получим:
ПА2 w1 = Ь^, Ф 0) - А1М
'дw1 дw1
дt
+ V-
дх
- А2 М2 х
'д2 w1 2 д2 w1 1 д2 w1 Л
■ +
+ ■
ч дх2 V дxдt V2 дt2 J
- рЬ
дt2
(3)
Будем искать прогибы Wo в виде:
w0(х, у) = с б1п — (х - х0)мп—, с е Я, со е С. /1 /2
Согласно [5]
с2 Е
Ф 0 =
2- ^ I Л 2п(х - х0) СI Л2
32
V 12 J
008-
I
V4 J
008
с/14124
2пу
Ь п2(1,2 + /2)2 V12 К
к„ Л
2 ' ;2
• п . пу
81П— (х - х„)81П-
/ I
П 2
Л
+0.5( РхУ2 + рух2), Р , Р
где 1 х 1 у - срединные усилия на кромках.
Рассмотрим прямоугольную пластину, составляющую часть поверхности тонкого клина (^ = 0 ). Тогда при условии не сближения кромок [5]
Рх = Ес
2 п у+#Т2 р = Ес 2 п У122 +1
В/2 1 -V2 'Ру В/2 1 -V2 ■
Подставим выражения Ф0 и Wo в (2) и применим метод Бубнова-Галеркина, получим
уравнение с одним неизвестным с, из которого вычислим его и определим функцию
Ф 0.
Динамический прогиб ^ представим в виде:
w1 = ехрСХс 81п(п(х - х0)/ /1)+с2 81п(2п(х - х0)/ /1)+с3 б1п(Зп(х - х0)/ /1) +
+с4 б1п(4п(х - х0)/ /1))81п(пу / /2), с1, с2, с3, с4 е Я
Подставив это выражение в (3) и снова проведя процедуру Бубнова-Галеркина, полу-
с~\ , с~> , с~1 , сл
чим систему уравнений с неизвестными
'1 5 "2 5 "3 5 4
. Приравняв ее определитель к нулю, бу-
дем искать критическую скорость потока кр, то есть наименьшую скорость, при которой комплексная частота ® переходит в правую полуплоскость.
В качестве примера рассмотрена стальная пластина при следующих значениях параметров:
Е = 2-1011 па, к = 0,001м, р = 8-103 кг / м3, р = 105 па,к = 1,4, V = 0,3, с0 = 330м / с, х0 = 1м.
В таблице 1 представлены значения критической скорости для различных соотношений длин сторон пластины и углов а .
Таблица 1
А = 0,25, А= 0,5 А = 0,25, А = 0,375 А = 0,25, А = 0,25 А = 0,375, А = 0,25 А= 0,5, А = 0,25
а = 10° 12,0 11,3 10,2 8,5
а = 15° 8,3 8,2 7,9 7,5 6,1
я = 20° 6,4 6,3 6,0 5,7 5,2
Если взять результаты, полученные при решении задачи в линейной постановке [7], то в нашем случае критическая скорость флаттера получается большей. Это можно объяснить наличием усилий в срединной поверхности, возникающих при статических прогибах и способствующих стабилизации. Увеличение размеров пластины, с одной стороны, должно снижать динамическую устойчивость, с другой стороны, увеличиваются статические прогибы и цепные усилия. Отсюда не монотонная (как при линейной постановке задачи) зависимость критической скорости М от величины пластины. Таким образом, обнаружен неожиданный механический эффект, когда при некоторых условиях увеличение размеров пластины (а также угла полураствора клина а [6]) повышает динамическую устойчивость.
Таблица 2.
А = 0,25, А = 0,5 А = 0,25, А = 0,375 А = 0,25, А = 0,25 А = 0,375, А = 0,25 А= 0,5, А = 0,25
а= 10° 12,2 12,0 Щ 9,8 7,9
а= 15° 8,5 8,4 8,0 7,4 5,7
а = 20° 6,7 6,5 6,1 5,7 5,3
Таблица 3.
А = 0,25, А = 0,5 А = 0,25, А = 0,375 А = 0,25, А = 0,25 А = 0,375, А = 0,25 А= 0,5, А = 0,25
а= 10° 12,9 12,5 11,7 9,9 7,5
а = ] 5° 9,4 9,1 8,2 7,1 5,4
а = 20° 7,8 7,3 6,4 5,5 4,3
Для сравнения в таблицах 2 и 3 приведены значения критической скорости, получен-
гСл = 0\ /С3 = 0, с. = 0ч
ные при трехчленном ( 4 ) и двучленном ( 3 ' 4 ) представлении соответственно.
Из таблиц видно, что при различных приближениях в методе Бубнова-Галеркина тенденции поведения критической скорости сохраняются. Это соответствует общепринятым представлениям о применимости данного метода [7]. В отдельных случаях наблюдается хорошая сходимость уже при невысоких приближениях, например для квадратной пластины. Но в общем она не настолько стабильная и быстрая, как в случае исследования аналогичной задачи с использованием линейной поршневой теории [9].
Выводы
При исследовании задачи о флаттере пластины в нелинейной постановке обнаружены новые механические эффекты, когда критическая скорость потока не монотонно зависит от параметров задачи. Для принципиального исследования поведения критической скорости вполне достаточно применения метода невысоких приближений Бубнова-Галеркина.
Литература
1. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела. М., 1978. (Итоги науки и техники / ВИНИТИ; Т.11).
2. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки. ПММ, 1994, т. 58, в. 3, с 167-171.
3. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. ПММ, 1999, т. 63, в. 2, с. 305312.
4. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М., Наука, 2006, 247 с.
5. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.:Гостехиздат, 1956, 419 с.
6. Кийко И. А., Кудрявцев Б.Ю. Нелинейные аэроупругие колебания прямоугольной пластины // Вестн. МГУ. Сер. 1, Матем, мех. 2005. № 1. с. 68-71.
7. Кудрявцев Б. Ю. Флаттер прямоугольной пластины, составляющей часть плоскости тонкого клина, обтекаемого потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. Деп. в ВИНИТИ, 2002, № 1085-В 2002.
8. Кудрявцев Б.Ю. Исследование задачи о флаттере в нелинейной постановке. Изв. ТулГУ. Сер. Мат. Мех. Инф.-Т. 12.-Вып. 2. мех. Тула: изд. ТулГУ, 2006, с. 61-68.
9. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер прямоугольной пластины. Деп. в ВИНИТИ, 1998, № 1027-В 98.
