CC BY
41
УДК 539.3
Кудрявцев Борис Юрьевич
кандидат физико-математических наук, доцент Московский государственный машиностроительный университет
abit7@yandex.ru
ФЛАТТЕР ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ЧАСТЬ ПОВЕРХНОСТИ ТОНКОГО КЛИНА
В предлагаемой статье исследована в линейной и нелинейной постановке задача об устойчивости упругой прямоугольной пластины, находящейся в сверхзвуковом потоке газа. Пластина составляет часть поверхности тонкого клина, ее края шарнирно оперты. Вектор скорости потока газа направлен по оси клина перпендикулярно кромке. Для описания колебаний пластины использованы уравнения Кармана. С помощью метода Галеркина найдена критическая скорость потока при различных отношениях длин сторон пластины и углах раствора клина. Обнаружены новые механические эффекты - немонотонная зависимость критической скорости от параметров задачи, в частности, от размеров пластины. Проведено сравнение с результатами, полученными при решении задачи в линейной постановке. Оказалось, что в нелинейном случае критическая скорость принимает большие значения. Следует отметить, что в линейной постановке наблюдается совсем другая (монотонная) зависимость критической скорости потока от других параметров. В обоих случаях использовался метод Бубнова - Галеркина различных приближений. При этом тенденции поведения критической скорости в целом оказались похожими, что соответствует общепринятым представлениям о применимости данного метода. Иногда наблюдалась хорошая сходимость уже при невысоких приближениях, в частности, для квадратной пластины. Также исследовалось влияние на решение задачи некоторых дополнительных слагаемых в линейном уравнении колебаний. Выяснилось, что пренебрежение ими, как и в нелинейном случае, может заметно искажать результаты. Используемые методики и полученные результаты могут найти применение при исследовании устойчивости тонкостенных элементов конструкций, находящихся в потоке газа.
Ключевые слова: флаттер, сверхзвуковой поток газа, критическая скорость, колебания, устойчивость.
В развитие работ [2; 5; 6] в предлагаемой статье исследована в линейной и нелинейной постановке задача об устойчивости упругой прямоугольной пластины, находящейся в сверхзвуковом потоке газа. Найдены уточненные значения критической скорости потока.
Пусть имеется тонкий клиновидный профиль, обтекаемый без угла атаки газом с большой сверхзвуковой скоростью. Вектор скорости потока направлен по оси тела (перпендикулярно кромке). Начало ортогональной системы координат совместим с кромкой профиля, ось ОХ направим по вектору скорости, OY - по кромке, 02 - так, чтобы система координат была правой. В недеформиро-ванном состоянии уравнение образующей будет г = кх. Будем рассматривать часть поверхности профиля, занимающую в плоскости 0XY область О = {(х,у), х0 < х < х0 + /1;0 < у < 12} и свободно опертую по кромкам. Для описания колебаний пластины будем использовать уравнения Кармана [3]
Б .2 т/ л\ 9 д2№
—А2 м = Ь{м>, Ф) + —- р—-,
к к дг
—А2ф =-0.5Ь(м>, м)
Е
с граничными условиями
д2м ,
(1)
1у=0-
дх2 д2 м .
ду2
= д 2м.
| - 0
'='2 ду2 1У='2
, = 0,
д2и1 д2и2
дх2 ду2 дх2 ду2 дхду дхду'
д2и2 д2и1 д2и1 д2и2
----2--
где и2) =
,-А,-КР М %3-1)- АМ +V дх)-
д2 м „ д2 м 2 д2 м ах2"
д21
- + 2v-+ V2
дг2 дгдх
. дф
д 2ф.
+А1с0м —+а2М х—2;
дх дх
А = 4крг%Р 1 К + 1)с0
(1 + 2е -еа),А2 - крг?,Р\ 1
12еа ^
к-1
= 1 + -
2
к +1 (к- 1)М ^
Ф - функция напряжений, м - прогибы пластины, Б и к - ее цилиндрическая жесткость и толщина, Е, р, V - модуль Юнга, плотность и коэффициент Пуассона материала, р и с0 - давление и скорость звука в невозмущенном потоке, к - показатель политропы, V - скорость потока газа, М - V / с0 - число Маха, а - аг^^) - угол полураствора клина, наклон ударной волны ¡3 определяется из уравнения tgP - tgа+aetgP .
Выделим в (1) основное состояние м0(х, у), Ф0(х, у) из системы
БА2^ -Ь(п0,Ф0) + К1 (М^¡-1)+
дф дм0
ч дх
А2 Ф 0 + 0,5L(w
дх
+ А1С0М21 1+ А2М2х\ - —f
д2 ф дм0
дх2 дх2
0)-0.
Положим м = м0 + Ф = Ф0 + Ф1, где
(2)
Ф1 -
малые возмущения основного состояния, и подставим эти выражения в (1). Отбросив слагаемые, оказывающие второстепенное влияние на результат, получим
р.2
БА2- kL(w1,Ф0) - рк - А1М ■ дг
дм. дм. —к + п—1-дг дх
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова .4> № 7. 2014
© Кудрявцев Б.Ю., 2014
+
х
0
26
Флаттер прямоугольной пластины, составляющей часть поверхности тонкого клина
NptgP
x-I 1 —
12а
c0" v k(k +1) Будем искать прогибы w0 в виде
w0 (x, у) = c sin — (x - x0 )sin —, c e R l1 l2 Согласно [1, с. 98]
д2 w. „ д2 w, 2 д2 w, ,
1 + +n2 —Л | (3)
дг2
dtdx
дх2
Ф о =■
32
l, ' 2n(x - x0) ( L -1 | cos—^-01 -1-1-1
l2 ) l1 V l1 ) l2
2ny
+
+ 0,5>{pxy2 + pyx2)
где px, py - срединные усилия на кромках. При условии несближения кромок [1, с. 100]
.2 2, -2
J = £c 8Z2 -
1 - V
2 П Vl2 l1 +1
py = Ec —т - 2 1 -—.
y 8l,2 1 - V2
Подставим выражения Ф0 и w0 в (2) и применим процедуру Бубнова - Галеркина. В результате будем иметь уравнение с одним неизвестным с
(1+1 VмпУ (¡1 +¡4)+
4Dcn
I, I, II-)
6/14/24
+ 4кж c
J+t J-K+K M-t, b o-
- 2cKptgM21 1 -
12аг
(k + 2x0 )П = 0.
к{К+' 0/¡1 Решив его, окончательно получим Ф0. Динамический прогиб w1 представим в виде:
n(x - x0)
j v_\Ll. .
h
2n( x - x0)
i--—
l1
. 3n(x-x0) . 4n(x-x0)' + c3 Sin---— + c4 Sin—--— |x
Пу
x sin—exp(wt),c1,c2,c3,c4 e R,we C. l2
(4)
Применив снова метод Бубнова - Галеркина, будем иметь систему уравнений с неизвестными с1, с2, с3, с4. Приравняв ее определитель к нулю, находим критическую скорость потока Мр как наименьшую скорость М, при которой комплексная частота а переходит в правую полуплоскость.
Рассмотрим прямоугольную пластину, составляющую часть поверхности тонкого клина при следующих значениях параметров:
Е = 2 -1011 Па, к = 0,001м, р = 8 -103 кг / м\ р = 105 Па, к = 1,4,п = 0,3, с0 = 330м / с, х0 = 1м,а = 10°. В таблице 1 представлены значения критической скорости для различных соотношений длин сторон пластины и углов а.
Для сравнения в таблицах 2 и 3 приведены значения критической скорости, полученные при трехчленном (с4=0) и двучленном (с4=0, с3=0) приближении соответственно.
Из таблиц видно, что при различных приближениях в методе Бубнова - Галеркина тенденции поведения критической скорости сохраняются (например, немонотонная зависимость от размеров пластины). Это соответствует общепринятым представлениям о применимости данного метода [3]. В отдельных случаях наблюдается хорошая сходимость уже при невысоких приближениях, например, для квадратной пластины. Но в общем она не настолько стабильная и быстрая, как в случае исследования аналогичной задачи с использованием линейной поршневой теории [7].
Рассмотрим теперь линейную постановку задачи, в которой колебания пластины будут описываться уравнением [4]
Значения критической скорости в четырехчленном приближении
Таблица 1
Угол /j=0,25 м, 4=0,25 м, 4=0,375 м, 4=0,25 м,
полураствора ¿2=0,375 м 4=0,25 м 4=0,25 м 4=0,25 м
а = 10° 11,9 11,6 10,2 8,5
а = 15° 8,2 7,9 7,5 6,1
а = 20° 6,3 6,0 5,7 5,2
Значения критической скорости в трехчленном приближении
Угол 4=0,25 м, 4=0,25 м, 4=0,375 м, 4=0,25 м,
полураствора 4=0,375 м 4=0,25 м 4=0,25 м 4=0,25 м
а = 10° 12,0 11,6 9,8 7,9
а = 15° 8,4 8,0 7,4 5,7
а = 20° 6,5 6,1 5,7 5,3
Значения критической скорости в двучленном приближении
Угол 4=0,25 м, 4=0,25 м, 4=0,375 м, 4=0,25 м,
полураствора 4=0,375 м 4=0,25 м 4=0,25 м 4=0,25 м
а = 10° 12,5 11,7 9,9 7,5
а = 15° 9,1 8,2 7,1 5,4
а = 20° 7,3 6,4 5,5 4,3
Таблица 2
Таблица 3
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова № 7, 2014
c2 E
21
Wi =
27
Таблица 4
Значения критической скорости при четырехчленном приближении в линейной постановке
Угол полураствора /¡=0,25 м, 4=0,375 м /¡=0,25 м, /2=0,25 м /¡=0,375 м, /2=0,25 м /¡=0,25 м, /2=0,25 м
а = 10° 9,4 9,6 7,4 6,0
а = 15° 6,6 6,7 5,4 4,5
а = 20° 5,0 5,1 4,3 3,6
Таблица 5
Значения критической скорости при трехчленном приближении в линейной постановке
Угол полураствора /¡=0,25 м, /2=0,375 м /¡=0,25 м, /2=0,25 м /¡=0,375 м, /2=0,25 м /¡=0,25 м, /2=0,25 м
а = 10° 8,5 8,6 8,0 7,6
а = 15° 5,7 5,8 5,4 5,2
а = 20° 4,3 4,3 4,1 3,9
Таблица 6
Значения критической скорости при двучленном приближении в линейной постановке
Угол полураствора /¡=0,25 м, /2=0,375 м /¡=0,25 м, /2=0,25 м /¡=0,375 м, /2=0,25 м /¡=0,25 м, /2=0,25 м
а = 10° 8,5 8,6 7,6 6,9
а = 15° 5,8 5,9 5,2 4,8
а = 20° 4,4 4,5 3,9 3,6
Таблица 7
Значения критической скорости при двучленном приближении в упрощенной линейной постановке
Угол /¡=0,25 м, /¡=0,25 м, /¡=0,375 м, /¡=0,25 м,
полураствора 4=0,375 м 4=0,25 м 4=0,25 м 4=0,25 м
а = 10° 10,0 10,1 9,6 9,2
а = 15° 6,6 6,7 6,4 6,1
а = 20° 4,9 4,9 4,7 4,5
дw
,с№ д w
А2 w + ВМ2— + В0М— + —г +
1 дх 0 дг дг2
„,.1 д2 ^ М д2 w „ 1 д2 w п + ВМ х—- + 2В--+ В--г- = 0.
дх2
с0 дгдх
' с0 дг
"ТГТ = 0, (5)
где
8/Ц/ 3(1 - V2)р12 (к + 1)с0 к 2у[Ёр
tgb(1 + 2е - еа),
В1 =
В2 =
48к (1 - V2) р13 Ек3(к +1)
+ 2е - еа),
12к (1 - V2) р13
tg (Ь)(1 -е
12а
Ек -к(1+к)
Прогиб w представим в виде (4). Применив вышеописанную процедуру, получим значения М, которые содержатся в таблицах 4, 5, 6 при четырехчленном, трехчленном и двучленном приближении соответственно.
Как видим, значения Мр получаются заниженными по сравнению с нелинейной постановкой задачи, а зависимость от основных параметров монотонная. В плане применимости метода Галеркина анализ поведения критической скорости остается без изменений. Для линейного уравнения (5) возникает вопрос о влиянии двух последних слагаемых (для нелинейного случая он был рассмотрен в [3]). Для сравнения в таблице 7 представлены значения М , полученные
без учета этих слагаемых при двучленном приближении. Основные зависимости остались теми же [5], но величина критической скорости оказалась завышенной, разница достигала порядка 20 процентов.
Библиографический список
1. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. - М.: Гостехиздат, 1956. - 419 с.
2. Кийко И.А. Нелинейные аэроупругие колебания прямоугольной пластины / И.А. Кийко, Б.Ю. Кудрявцев // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Матем., мех. - 2005. - № 1. - С. 68-72.
3. Кийко И.А. Флаттер прямоугольной панели, составляющей часть поверхности тонкого клина / И.А. Кийко, Б.Ю. Кудрявцев // Вестн. МГУ Сер. 1: Мат., мех. - 2011. - № 2. - С. 59-62.
4. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // Прикладная математика и механика. -1999. - Т. 63. - Вып. 2. - С. 305-312.
5. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер прямоугольной пластины, составляющей часть поверхности тонкого клина, обтекаемого потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // Депонир. в ВИНИТИ. - 2002. - № 1085-В2002.
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова .4> № 7. 2014
28
Вычисление экспоненциала некоторых матриц
6. Кудрявцев Б.Ю. Задача о флаттере пластины в геометрически нелинейной постановке // Известия МГТУ «МАМИ». - №° 1(9). - 2010. - С. 199202.
7. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Известия ТулГУ Сер.: Математика, механика, информатика. - 2005. - Т. 11. - Вып. 3. - С. 99-102.
УДК 517.2
Матыцина Татьяна Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
tatunja@yandex.ru
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ
Работа относится к той части теории матриц, которая играет существенную роль в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, в данной работе подробно описан способ вычисления экспоненциалов жордановых матриц. В начале статьи даны необходимые определения и понятия, связанные с экспоненциалом квадратной матрицы и способом его вычисления. Далее рассмотрены частные примеры вычисления экспоненциалов квадратных матриц сначала второго порядка, и результат обобщается, потом ищется экспоненциал диагональной матрицы n-ого порядка. После этого подробно рассматриваются вычисления экспоненциалов матриц, которые являются жордановыми клетками порядка два относительно чисел 1 = 0, 1 = 1, и сделано обобщение для произвольного действительного числа 1. Также в работе представлено вычисление экспоненциала для жордановой клетки порядка три и четыре относительно произвольного действительного числа 1. Из полученных результатов выведена закономерность, которая позволяет вычислять экспоненциал матриц, являющихся жордановыми клетками порядка n, относящимися к произвольному действительному числу 1.
Ключевые слова: матричная функция, экспоненциал матрицы, жорданова матрица.
Введем необходимые понятия, связанные с экспонентой матрицы. Пусть X = (х.) -квадратная матрица порядка п. Под экспоненциалом квадратной матрицыX = (хР) понимается матричная функция [1, с. 54]
V? V1 V2 V3 V?
ех =У— = X0 + — + — + — +... + — +... (1) р=0 р! 1! 2! 3! р! , (1)
где X0 = Е, Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица X.
Нетрудно видеть, что если квадратные матрицы А и В перестановочны (т. е. АВ = ВА), то
А+В А В
е = е • е .
Приведем примеры вычисления экспоненциалов некоторых матриц.
Г 0 11
Пример 1. Для матрицы А1 =1 I вычислим
ее экспоненциал еА1. 1 1
Решение. Согласно определению экспоненциала матрицы имеем:
А2 А3 А?
еА1 = А0 + А1 + А^ + А^ + ... + А+ ...
1 1 2! 3! р! .
Вычислим последовательно все компоненты данного соотношения:
A0 = E =
A2 = A3 = A4 =
A =
0
1
'0 '1
1 0 0 1 1
0 0
-1
0 0
a; =
0 1 -1 0
0 1 И-1 -1 0) { 0
-01 к
0 i W10 -1 0 ) = l,0 1 0 1W 0 1
1 М-1 0,1 = 1-1 0
--E,
= A,
Тогда 1
0 1 0
0 Ii0,
1
+— 4! i 0
1
+ — 5!
0
1
+ — 2!
-1
0
0
-1 J + 3! i 1
a,
0
при этом
1111
= 1 —+---+—... = cosi1,
2! 4! 6! 8!
,1111
= 1---1-----1---... = sml,
3! 5! 7! 9!
,1111 =-1 +-----1-----+... = -sin 1,
21 3! 5! 7! 9!
1111
a22 = 1 - — + ... = cosl.
2! 4! 6!
Таким образом, получаем экспоненциал исходной матрицы А1, а именно
А Г 0081 8ш11
1 - 8ш1 0081 I '
Пример 2. Для матрицы A2 =
0
a i
0 I
ее экспоненциал e 2.
Решение. Обобщим полученный мере 1 результат. В итоге
'a,, а,0 i ( cos a sin а
найдем
в при-
получаем
e
a
a.
a a
= 1--+--
2! 4!
a3 a5
= 1--+--
3! 5!
-sin a
„6
cos a
.8
в силу того, что
a
+--.
aa
— +--.
7! 9!
a3 a5 a1 + — 7! a3
3! 5! 9!
2 4 „6 8
a a a a
= 1---1-----1---... = cos a .
2! 4! 6! 8!
© Матыцина Т.Н., 2014
Вестник КГУ им. H.A. Некрасова ¿j. № 7, 2014
1
+
0
a
+
1
а
а
21
22
a
ii
a
- a
a
cos a
ii
sin a
a
12
= - sin a
a
21
a
22
29
