Biharmonic modulated axially symmetric shapes of cylindrical shells and the critical lines and points on the loading path on the linear theory Текст научной статьи по специальности «Физика»

С ,4 . .. - -U f4

Уг

= ^f4 + ^ u = ±\^f + a

u = — f + a,

2J ^ г

5

Функция u() введена заменой )f = u(f ), поэтому имеем далее

1/

n(f)= f = uif) ,1 2 f4 +

f2 "" / .

Функцию / (i) отсюда находим в форме эллиптического интеграла

г / 2df

L ^ =±i+ a2 ( If 4 + ai I

Исследование этого решения следует проводить в зависимости от области изменения

„А с а а

переменной ь и параметров 1 1 2

Литература

1. В.Н. Безухов. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане// Дисс... канд. физ.-мат.н., М., 1955, 78 с.

2. П.М. Огибалов, И. А. Кийко, Л.К. Кийко. Растекание тонкого пластического слоя// Прикл. механика, 1988, т. 24, № 10, с. 88-94.

3. В. А. Кадымов, С.К. Быстриков. Некоторые новые решения нестационарных задач пластического слоя по деформируемым поверхностям// Известия ТулГУ, Сер. Матем. Мех. Информ., 2006, т. 11, в. 2, с. 54-60.

4. И.А. Кийко. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя// Прикл. матем. мех., 2006, т. 70, в. 2, с. 345-351.

5. А.А Ильюшин. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям// Прикл. матем. мех., 1953, т. 18, в. 3, с. 265-288.

6. А.А. Ильюшин. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения// Прикл. матем. мех., 1955, т. 19, в. 6, с. 693-713.

7. И. А. Кийко. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества// Докл. АН СССР, 1964, т. 157, № 3, с. 551-553.

8. И.А. Кийко. Теория вязкопластических течений// Упругость и неупругость, М., Изд-во URSS, 2006, 480 с.

9. И. А. Кийко. Некоторые вопросы теории вязкопластических течений// Проблемы фундаментальной механики в теории обработки давлением. Труды расширенного научного семинара, М., МГТУ «МАМИ», 2008, с. 227.

Бигармонические модулированные осесимметрические формы цилиндрических оболочек и критические линии и точки на траектории

нагружения по линейной теории

к.ф.-м.н. проф. Король Е.З.

МГТУ «МАМИ» (495) 369-96-65, 8-916-852-30-09

Ключевые слова: критическое состояния оболочек, действие осесимметрических продольных нагрузок

Введение

При непрерывном параметрическом нагружении оболочки [1-6] наблюдается прежде

всего появление новых осцилляций при одном и том же виде модуляции. Для их описания используются [5-10], линейные или квазилинейные дифференциальные уравнения четвёртого и выше порядков с параметрическими, не зависящими от координат естественными коэффициентами жёсткости, при решении которых применяются методы продолжения по параметру [5,6]. Устойчивость и критические состояния оболочки связываются [7] с характерными точками (ветвления, перескока и пр.) на так называемой кривой жёсткости («внешняя нагрузка ~ прогиб характерной точки»). Точность такого «локального» критерия зависит не только от выбора характерной точки.

Ниже даётся обобщённая постановка [11] и решение задачи анализа собственных форм, основанная на введении понятий траектории нагружения механической системы, изопара-метрических траекторий - линий уровня собственных частот (длин волн) и сдвига фаз, кратных числу полуволн, и установления бинарных критических точек, параметры которых удовлетворяют условиям ортогональности и изогональности или изоклинности.

1. Постановка краевой задачи. Траектория нагружения. Соотношения связности. Изо-параметрические линии уровней частот (ЛУЧ) и сдвига фазы. Точки бинарности.

Осциллирующие формы, описываемые дифференциальными параметрическими уравнениями четвёртого порядка, подразделяются [11] на основные и переходные (или разделительные). К основным модуляциям (рис.1) относятся: гиперболически - гармоническая мо-

К(4) 2 (4) Т (4)

дуляция , бигармоническая //|//- и гармонически - гиперболическая модуляции.

Коэффициент а

Линия радела видов модуляции

аГ = а / 4

Бигипербопиче екая модуляция Е'.^

Гшшвбсшичвски-гавтоничесЕая модуляция

траектория

Линия разделов видов

—Г -

модуляции ^ =0

Еигармоничв сжая модуляция 2и

0

Гармонически-птербапическая

Коэффициент а

модуляция Т1

Рисунок 1 - Области различных видов дифференциальных операторов четвёртого

К (4) 2 (4)

порядка: гиперболически-гармонического ав , бигармонического вв и

в е (4)

гармонически-гиперболического в4 осцилляторов и бигиперболического звена 44 :

2 ( 4 ) = к (4)

полиномиально-гар-монического 0 и гармонически-

2(4) = т(4) Е (4) = К (4)

ап 0 в , полиномиально-гиперболического 44

полиномиального

0

и

Т (4) = Е (4)

гиперболически-полиномиального 40 04

К (4) = 2(4)

л п п —

К переходным модуляциям: полиномиально-гармоническая

-0 в

А0

и гармониче-

I (4) = т (4) к(4) К(4) = I(4)

ски-полиномиальная 0 в в0 модуляции ав и 0в в1° мультипликативны и предста-

вимы произведением гармонических функций на гиперболические или на полиномные. Мо-

1(4) т (4)

дуляции вв2 и РУ2 аддитивны и представимы суммой двух гармонических функций или гармонической и гиперболической или полиномом соответственно. Аддитивные составляющие с постоянными параметрами - несущие, а с переменными - модулирующие.

В пространстве коэффициентов дифференциального уравнения (рисунок 1) как параметрически изменяемых функций выделяются области (значения) К-разбиения этих коэффициентов, соответствующих указанным видам модуляции. Области К-разбиения подобны областям Б-разбиения, применяемым в теории устойчивости колебаний механических многопараметрических систем. Отличие состоит в том, что среди возможных форм допускаются мультипликативные модуляции, амплитуды и сдвиги фаз которых зависят от координат, а в качестве фазовых координат используются не структурные параметры (амплитуда А , частота в и сдвиг фазы ® ), а естественные коэффициенты жёсткости (a2,а0) уравнения. Границам раздела (парабола и прямая), отделяющим области основных видов модуляции, соответствуют переходные модуляции.

Коэффициенты жёсткости параметрически изменяются в процессе нагружения и задают в плоскости (а2 ао) траекторию нагружения. Структурные параметры (в1,в2) - частоты бигармонической двухчастотной модуляций связаны соотношениями связности с коэффици-

С

ентами жёсткости уравнения и произвольными постоянными интегрирования п.

Из соотношений связности следуют выражения характеристических изопараметриче-ских линий - линий уровня квадратов частот (длин волн), представляющих собой отрезки ветвей парабол и прямые линии. Постоянные интегрирования, соответствующие заданным граничным условиям, определяют положение характеристических линий и критических точек на них. Критерием критичности служит условие изогональности (изоклинности) или ортогональности системы собственных функций, соответствующих этим точкам структурных параметров.

Бигармоническая модулированная форма (БМФ). Параметрическое дифференциальное уравнение. Для описания бигармонических осесимметрических модулированных собственных форм тонких линейно упругих цилиндрических оболочек средней длины при комбинированном нагружении равномерным осевым усилием сжатия и радиальным давлением используем обыкновенное линейное дифференциальное уравнение нелинейного краевого эффекта [6-8] с параметрическими коэффициентами и правой частью:

I(4>Д} = /(I), [0,1] I(4){^Д} - [В4 + а2(Х)В2 + а°(!)]М - [(В2 + Д2(1))(В2 + /?2(Х)]М, (1)

I (4 )

где бигармонический дифференциальный оператор Эйлера вв2 записан в форме дифферен-

циального полинома (суммы) и в форме произведения дифференциальных операторов второго порядка В {м/} - ^^^ с естественными коэффициентами жёсткости a2(I), а°(1) и

В (1) В (1) ™(£,Л) =

структурными параметрами Мч Л/^ > модуляции. Искомая функция /п -

относительный прогиб, направленный по радиусу от центра и отнесённый к толщине обо-

лочки

п •

£ = % , х е {0,1} ..

/ ^ - безразмерная координата вдоль оси цилиндра, отнесённая к

длине ^ образующей. Здесь обозначено: а2(1) - коэффициент влияния изменения кривизны

образующей оболочки; а0(1) - коэффициент влияния радиальных смещений (прогиба);

f (Л)

- функция влияния мембранных усилий на поперечные реактивные усилия;

Я Ц ст1/^Л Е2} - параметры внешней нагрузки, не зависящие от координат и определяющие компоненты осевых и радиальных мембранных усилий оболочки (равномер-

.. ч А-4(Я) = ±1 ■ Р\г(Я)

но распределённые по длине); , - чисто мнимые характеристические по-

казатели общего решения уравнения (1). Уравнение (1) с постоянными, не зависящими от

координат, коэффициентами (а2(Я) а°(Я)), учитывает неоднородность напряжённо-деформированного состояния с начала нагружения, обусловленную поперечной деформацией при действии продольного усилия (так называемым эффектом Пуассона), и начальную (возникающую уже при малых нагрузках) погибь. Бигармоническая (двойная гармоническая

или двухчастотная) модуляция реализуется [11] при изменениях коэффициентов (а2,а<)) уравнения (1) в пределах:

: {а2(Я) > 0, 0 < а0(Я) < ^Щ} (2)

4

(a2 a0) соответствует области ^

что на плоскости v 2 0) соответствует области Z, заключённой между правой полуосью

г a2 > 0, а0г = 0 ~ ~ г а0г = a22 / 4 ~

абсцисс 2 0 и правой ветвью внешней части параболы 0 2 , проходящей через начало координат (рисунок 1).

Для случая осевого сжатия цилиндрической оболочки коэффициенты и функция влияния таковы:

а2(Л) = 12(1 - l12L21)(L / R)2(R / И)2 Л a0 = 12c(1 -L12L21)(L /R)4(R /h)2 = const f (Л) = -12^12(1 -L12L21)(L / R)4( R / И)3Л,

где: L12,L21 - коэффициенты Пуассона и El,E2 - модули Юнга в направлениях главных осей ортотропии. Из сравнения развёрнутых форм (1) следуют [11, 12] соотношения связности

коэффициентов жёсткости (a2(^ а°(Л)) и структурных параметров (А(Л),А(Л)) в виде:

Д2(Л) + в2(Л)) = а2(Л), Д2(Х)в2 (Л) = а0(Л). (3)

В плоскости (в ~ в) соотношения (3) представляются семействами изопараметриче-

/ а (Л) = const а0(Л) = const Л ~

ских (при постоянных значениях 2V ' и 04 ' ) линий: концентрических ок-

ружностей (радиуса (Л ^ ) и равнобочных гипербол с асимптотами, совпадающими с ося-

(i/ ^(1),^ аД)) ми координат и имеющими вершину с координатами v ^^ v

Д2(Л) + в2(Л)) = a2(X) = const, в(Л) = в2Св1(Л>) = = вЛ (4)

А(Л) А(Л) .

Г ar(a ) = a2 /2

На верхней границе к ' 0 у 2' 2 соотношения связности (3) принимают соответствующие выражения (Л = a(Л^ в (Л^ = a0(Л^ в(Л = РЛЛ>) и нижней г : (a2) = 0 соответственно^ = в(Л) = 0 .

Коэффициенты ^^ao(Л) как функции монотонного параметра нагружения Л = {Л,Л}, положительно полуопределённые или полностью определённые, на плоскости

(a2 ~ a0)

образуют траекторию нагружения:

FT(a2,a0) = 0,^ FT((Д2 + Д2),(Д2 Д2)) = О, (5)

заданную как функцию параметров ( , с одной стороны и как функцию коэффициентов (a2, <a°), с другой стороны, которые в свою очередь есть функции параметра нагружения Л = {Л,Л;}, определённые соотношениями:

a2(X) = a0 + А2(Л) > 0, 0 < а0(Л) = а00 + А0(Л) < <Ä), ^ ft(a2,a0) = 0 (6)

где А2 (Л ^ А)(Л ) - функции параметра нагружения Л , а ^^a<)) G - её начальные координаты- значения коэффициентов жёсткости при значениях Л ^ 0 в начальном (исходном) состоянии.

Критические линия первого рода - линии раздела видов модуляции (ЛРМ). Характерные траектории нагружения. Линия (ЛРМ-Т) Г : {a° = a2/4, a2 > 0} (правая ветвь параболы)

ограничивает часть плоскости Z сверху; она разделяет смежные основные виды гипербо-

K(4) Z (4)

лически-гармонической aß и бигармонической ßi ß2 модуляции:

Гк :{«L = а2Яа2 * 0}. (7)

Линия (ЛРМ-Е) Г : {(«2) = 0' «2 * 0} (правая полуось абсцисс) ограничивает часть

о Z(4)

плоскости Z снизу; она разделяет смежные основные виды бигармонической i 2 и гармо-

T (4)

нически-гиперболической ßlV2 модуляций:

rz :{а°Г («2) = °, «2 * °}. (8)

При подходе к граничным линиям раздела видов модуляции осуществляются предельные переходы: из области0к на линии (7) по структурному параметру а ^ °, а из области бигармонической 0z в область гармонически-гиперболическую °T на линии (8) - по параметру ß 2 ^ ßl ; из области °z бигармонической модуляции в область 0 T гармонически-гиперболической модуляции на линии (8) осуществляется предельный переход по структурному параметру ß2 ^ ° . Переход на граничные разделительные линии и через них осуществляется непрерывным образом по заданной (5) или (6) траектории нагружения. Далее будем рассматривать четыре характерных типа траекторий:

1) траектория T-Л в задаче Тимошенко-Лоренца о осесимметричной форме устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии [9, 10] - прямая линия, параллельная оси абсцисс, на которой реализуются два вида основных модуляций: одночастотная амплитудно-

фазовая Kaß и двухчастотная фазовая Zßß и одна переходная амплитудно-фазовая K° ß Zßß Ftl («2 Л )) = ~2 L • k = ßlL (k ) + ß2L (k ), «0 Л ) = ßlL (k ) ß22L (k ) = COnSt = ~°L . (9)

у a iaI^ i ß 4

нии ЛУЧ в порядке возрастания частоты, и называются упорядоченными, а при

а°(Л) > Я4 ■ ° V > mm - неупорядоченными;

2) траектория Е в задачах о статической устойчивости стержня Эйлера и цилиндрической ортотропной оболочки (с нулевым коэффициентом ортотропии) [1, 3] - прямая линия,

Z° = T °

совпадающая с осью абсцисс линия ° ° , линия раздела бигармонической и гармониче-

Траектории Т-Л, у которых ^^ ) < в mm ( Д тт - минимальная частота), пересекает ли-

ски-гиперболической видов модуляций, на которой реализуется одночастотная модуляция:

FT^(Л) = ~2E • k = в\Е(k), a0 = const = 0E = 0, Дe = 0 . (10)

?

3) траектория К (ЛУЧ-К) в задачах о собственных осесимметрических формах устойчивости и колебаний цилиндрической оболочки [11, 12] - кусочно-линейная траектория с первым горизонтальным участком конечной длины и со вторым - наклонным полуограничен-

Z

ным, на которых реализуется только один вид фазовой двухчастотной модуляции

FTK(a2(I),a0(I)) = { a0K~=0, a2~= ~2K~k = P22k(k), ~ при ft <& K W (a) = 02k (a2 - 0K) = 0K (0K + $k - 0K), при ft > 02k . ( )

Траектория К, соответствующая минимальной частоте в1ш1, главная, отделяющая по-

r- (a2, a0) ёО k добласть v 2' 0/ K устойчивых некритических состояний;

4) траектория Z по линии раздела видов гиперболически - гармонической и бигармони-ческой модуляций Кв Z, на которой реализуется только одночастотная переходная амплитудно-фазовая модуляция Кв Z

Fzk(a2(X),a,(X)) = a0(J) - = 0 (12)

2 2

Здесь параметры H2K характеризуют двухчастотные модуляции, одна из частот И2K которых фиксирована (несущая), а вторая - переменная (модулирующая).

Характеристические линии второго рода - линии уровня квадратов частот или длин волн (ЛУЧ). Точки бинарности. Из соотношений связности (3)-(4) следуют выражения изо-

~ , Br = const

параметрических линий (или траекторий) - линий уровня квадратов частот ^C или

длин волн Лк 2п/Рк осцилляций

Фв(«2, «0в, Ргк ) = 0:^ «0в(«2, Ргк ) = Р2К («2 - Рж )2, 0 < ав, ^2 > 0 (13)

(а аР)

Линии ЛУЧ в плоскости к 2 0' представляют семейство взаимно пересекающихся прямых и пересекающих ось абсцисс в точке, равной квадрату соответствующей частоты

Р2 Р2

1с, с угловыми коэффициентами, равными этому же квадрату частоты Нхс, и касательными

к верхней линии раздела видов модуляции-параболе Гк : {а° («2) «2 / 4} в точке

АКГ (а2А = 20с , а0А = 0с )

На рисунке 2 представлены изопараметрические линии ЛУЧ в областях бигармониче-ской и гармонически-гиперболической модуляций. Параметры этих линий - угловой коэф-

Р = 8 9868

фициент и отрезок оси абсцисс - соответствуют значениям частот, равным ,

Р2 = 15 4505 , Р2 = 21 808233 и Р2 = 28 13238 в условиях жёсткого защемления торцов оболочки. Характеристики ЛУЧ касаются линии раздела видов модуляции и отсекают от оси абсцисс отрезок, равный квадрату частоты осцилляций. Точки пересечения пар ЛУЧ с коор-

В12 : (арв = РС + Р22с,аРРв = Д2сР22с) Фр^,аР,Рю) = 0

динатами 12 4 2в И2с 0в 2с' пар этих прямых 1 Р 2 и

Ф 2 в (а2, аР ,Р2с ) = 0 _

2 2 0 2с относятся к критическим бинарным точкам второго рода.

Точки бинарности, изображённые на рисунке 2, соответствуют краевым точкам жёст-

2 ( 4)

кого защемления торцов оболочки и сгущаются вблизи вершины клиновидной области РР

2-10

1 -10

"1 -10

6

-2-10

6

2.5 2 1.5 1

0.5 0

"0.5

625

1250

1875

2500

а) линии раздела ЛРМ и ЛУЧ

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

б) ДКФ траектории Т-Л

Рисунок 2 - Критические линии первого (раздела видов модуляций - парабола

а = а2/4 в = 8 9868

0 2 ) и второго рода (линии уровня квадрата частоты (ЛУЧ): ^ ,

Д = 15.4505 , Д = 21.808233 , Д = 28.13238 - прямые линии с угловым коэффициентом, равным квадрату частоты) и детерминантно-краевая функция (ДКФ)

траектории Т-Л

Краевые условия. Фундаментальная система решений. Детерминантно-краевое частотное (или волновое) определяющее уравнение. Краевые условия линейные дифференциально-

го типа на концах интервала общем виде выражением

4 = 0, 4 = 1

с однородной правой частью представляются в

£(3>} - (ью w + ь

+ ь;

ё2 w

¿4

+ Ь

С3 wN

= 0, г = 1,2

(14)

4=0,1

где коэффициенты соп^ постоянные числа. Общее решение (4,в1,в2) однородного уравнения (1) четвёртого порядка содержит четыре линейно независимых функции - фунда-

- (4,Д,Д) Сп

метальных решений п 1 2 и четыре постоянных интегрирования п

w (

(4, Д, Д) = 2 Сп^п (4, Д, Д), w(4, Д, Д) = ^ (4,Д,Д) + ж (4, Д, Д)

п=1

(15)

Соответствующая (14) система уравнений относительно постоянных интегрирования

2 Ски?^к (4,Д(Х),А(Х))}1 = 43){ж (4,1)}

к=1

4-0,1

(16)

имеет множество нетривиальных ограниченных и множество неограниченных решений при условии, что детерминант системы (16) равен нулю, т.е.

43)К ( Д(Х),Д(Х),4)}

В{ Д(Х),Д(Х)} -

4=0,1

= 0

(17)

В общем случае левая часть выражения (17) детерминантно-краевая функция (ДТФ) де-терминантно-краевого определяющего уравнения (ДКУ) - это трансцендентная полиномиальная функция, содержащая тригонометрические функции и полиномы, общий порядок которой второй, т.е. может быть представлена в виде произведения:

В(Д(Х),Д(Х)) - Д{ Д(Х),Д(1 )}В>2(Д(Х),Д(Х)) = 0 (18)

0

0

и распадающейся соответственно на две ветви. Вместе с соотношениями связности (3-4) и выражением для траектории нагружения (5) детерминантно-краевое уравнение образует полную (расширенную, дополненную) систему уравнений на собственные значения (УСЗ)

0(Д(Л), РМ)) = 0, Ft(a,(A(X),0,(I)),00(A(I,АЛ))) = 0

Д2(Л) + 0?(1) = a2(XX mm = 00(1) (19)

?

распадающуюся на число подсистем в соответствии с порядком уравнения (1).

Линии уровня квадратов собственных частот (длин волн) ЛУСЧ. Бинарные точки второго рода. Среди семейств линий ЛУЧ различают такие, для которых сдвиг фазы постоянный. Двум ветвям А^'А) = 0 или А(А,вг) = 0 ДКУ (18) соответствует определённый тип осцилляции (чётной или нечётной), а точки их пересечения - точки бинарности (раздвоения, совпадения значений обеих частот), т.е. решения системы:

iA(A,A) = 0, ГА(А, А) = 0,

[FT (А, А) = 0, или 1 FT (А, А) = 0, (20)

относятся к критическим точкам второго рода.

Общее решение ЛОДУ и структурные параметры (показатели). Сдвиги фаз, кратные целому или дробному числу п. Условия изогональности, точки бинарности. В области би-гармонической модуляции (БМ) общее решение представляется в различных формах:

- в форме (15) через двухчастотные фундаментальные решения

= cos0^, ж^,Д) = ^Пв^,

в1

^,д,д) = cosM2 -co2sр2^, ^,д,д) = e2sinAsin0£ в12 02 вЛ(в? 02) гармонические функции, представленные в виде, пригодном для предельного перехода по

02 (Л) ^ 0 (Л) „ гк : a0r (a2) = a22 /4

структурным параметрам 2 1 на верхней границе K 0 2 2 и

02(Л) ^ 0 „ rz : a0r(a2) = 0

2 на нижней границе Z 0 2 ;

- амплитудно-фазовой аддитивной модуляции (АФМ)

w(£j) = A1 (01, 02 ) cos[01^ + ®1 (01, 02 )] + A2(02)cos[02^+«2(A2)], (21)

где амплитуда и сдвиг фазы есть функции структурных параметров (01,02) и постоянных

{С1, С 2, С3, Сл }

интегрирования

СС

С1[1 + .2 1 + С4

(012 -02)С/ 0= 01 (01 -02)С2

4(А,А) = , , tg ©1(01,02) =

|c°s^1(01,02)| ' 1 " 2 1 + _ С3

(012 -02)С1

С С Л(А) = п2 п2 С-77ТТГ, tg ©2(02) = 4

(Р2 -р12)|сс8©2(Р2^ вссъ

Форма (21) указывает на зависимость естественных физических (сдвигов фаз и амплитуд) от частот, в частности, на чётность или нечётность гармоник (несущей и моделирующей).

Разность фаз обеих составляющих модуляции равна целому числу п (софазные пары гармоник) ^А^-®2(А2) = пп или равна дробному числу п (противофазные пары гармоник) ®1(р1,р2) - ®2(р2) = п/2 + пп , если соответственно:

1 1 C 1 C 1 C

1 ( 1 W__W) | 1 4 = 1

Д2 - Д2 Д C Д С/ Д Сз

1 С 1 С С 1 с с

---1--;-;----1--;-;---— _ 1

Д Сз Д Д(Д2 - Д2) С2 Сз Д2 - Д2 С1 С4 .

Сдвиг фазы [®!( в2)] = ^^ какой-либо составляющей равен чётному числу П

(С-чётные формы одной из гармоник) или дробному числу П (Б-нечётные формы одной из

гармоник) [®1( А,в2)' ®2(А)] = П/2 + Пп если соответственно

СС ®1 = пп, ^ С. = Д( Д2-Д2) «2 = пп, ^ С = О

С2 С3

П Сз _2 /-»2 П Сз

=— + пп, <--3 = Дт - Д «2 = — + пп, ^ — = 0

2 С1 2 С4

Критические значения частот ( А,в2) определяются из системы (20), содержащей де-терминантно - краевое уравнение и выражения для траектории нагружения.

Таким образом, в диапазоне изменения параметров жёсткости (а, ао) е ^2 выделяются три типа критических линий: линии разделов модуляции (7) и (8), линии уровней квадратов частот (длин волн) осцилляций (12), среди которых линии уровня собственных частот, чётной и нечётной форм осцилляций. На этих линиях точки бинарности, среди которых точки изогональности (изоклинности). Условия изогональности (изоклинности) и ортогональности

1

J{Wn • Wm } = f Wn Ю • Wm (£)

связаны со значением интеграла 0 - скалярного произведения ор-

тонормированных собственных w" = w во'в n) функций, соответствующих разным значениям собственных чисел{ e10,e1n}C,S определённого семейства (чётных или нечётных) или одного и другого семейств:

- изогональности (изоклинности) для чётных или нечётных собственных функций

_ _ Г 1 при n = m

JCS{n,m} = JCS (wn ■ wm) = {^ = comt ф 0,1 при n ф m (24)

-ортогональности для произведения функций из одного семейства на функции другого

JC S {n m} = JC,S (wn ■ Wm ) = 0 (25)

При анализе процесса эволюции бигармонических осесимметрических форм модуляции формы образующей тонкой упругой цилиндрической оболочки средней длины используются в качестве критериев критичности указанные выше критические линии и точки, при пересечении которых траекторией нагружения могут наступить критические состояния, в частности, может произойти потеря устойчивости.

Обобщённая расширенная постановка задачи анализа эволюции изгибных бигармони-Z ( 4)

ческих форм. Расширенная постановка включает уравнение (1) и краевые условий (14) и дополнительно: задание траектории нагружения Ft (а2(Л) а0(Л)) = 0 в области переменных коэффициентов жёсткости (а2(Л)а°(Л)) G ^к как функций внешних параметров {Л} и соотношений связности (5) структурных параметров Д(Л),А(Л) и коэффициентов жёсткости. Кроме того, задаются критические линии (10) смены видов модуляции ЛВРМ (траектории Е и Z), и линий уровня квадратов частот ЛУЧ (длин волн) (8), и уровней квадратов собствен-

ных частот ЛУСЧ (чётных и нечётных) точек бинарности (изогональности и ортогональности) на траекториях Е и К.

2. Анализ эволюции бигармонических осесимметрических форм цилиндрической оболочки при осевом сжатии.

При расчётах приняты следующие значения: геометрических L /R = 1 R /h = 100 и механических характеристик ß12 = ß21 = ß = 03 - коэффициента Пуассона и величины

п = ß'(R /h) - коэффициента пропорциональности выражений изгибающего момента и пе-

17 998 < ß < 34 1

ререзывающего усилия в диапазоне изменения частот при значениях коэф-

, .. aL = 1.092-105 ,, a2(k) 0 < aL < 1332

фициента жёсткости 0 и коэффициента 2 в диапазоне 2 при

зависимости 01 (k) + 02 (k) = a2 (k) = a2 'k на траектории Т-Л от параметра

k = o/oL =aJ3(1 -ß2)(h/R) л < k < 2\ AA aL = 18.727

l v v г ! (i^ä^z) и коэффициенте 0 , выражения зависимо-

ß (k ) = Jk • a0 /2 +J (k • a0 /2)2 -Or, ß2 (k ) = ^oT/ ß (k )

сти частот от параметра 1 v 2 v 2 02 v 0 1

На всех графиках приводятся значения относительного прогиба ™ w / WL, отнесённого

к величине прогиба от равномерной (реактивной) распределённой нагрузки

~ww - R R ßk

w = — = —f(-) = -ß—- = -ß—omk = -

WL =f (-)/a0

WL а0 И И т ^(1 -М2)

Краевые условия. Среди представленных расчётных результатов рассмотрены три типа краевых условий:

- жёсткое защемление торцов оболочки

dw

w(0,-) = w(1,-) = ^ dç

W=0

dÇ

= 0

Ç=1

- шарнирное закрепление торцов оболочки

w(0,Я) = w(1,Я) = (W// ^ = (^11 +п^))\^ = 0

- торцы оболочки свободны от изгибной нагрузки

111 2 1

Ç=0

((wn + Пw)) = ((wn + n2w)) = ((wJJJ + nzwJ )) = ((w//J + Ц2w1 ))

Ç=0

= 0

Ç=1

i=1

Однородная правая часть ОДУ. Собственные бинарные числа и функции. В качестве примера рассмотрим задачи о собственных числах и собственных функциях для уравнения (1) с однородной нулевой правой частью и однородными нулевыми краевыми условиями, соответствующими жёсткому защемлению торцов оболочки. При таких краевых условиях детерминантно-краевая двухчастотная функция

В2 + В2

Dz (01,02) = 1 - cos 01 cos 02 0 sin01 sin 02 =

200

2 01 2 02 2 01 2 02 01 01 02 02 = 2cos2—cos2—(— tg--tg^Y^-1 tgtgЩ

2 2 01 2 02 2 2 2 2 2 в зависимости вида от траектории принимает следующие выражения: - на траектории Е (при значении 02 ^ 0 )

Dze (01,0) = 1 - cos 01 -fsin 01 = 2sin ВВL(tg 0-0)

существует два типа корней (чётных и нечётных форм) (рисунок 3);

- на траектории К - линии уровня квадрата частоты при фиксированной несущей часто-Д = const =

те

DZiC( Л) = 1 - cos Д; DZSi(Д) = 1 - cos Д cos -

Д2 + в

20i

sin Д sinP20Í, Д20i = 8.9868

2ДДсг

здесь также существует два типа корней (чётных и нечётных форм) (рисунок 4);

гт тт Д2 в2 = const = a0

- на траектории Т-Л при постоянном значении^ 1 0

J a,

dzl ( Д) = 1 - cos Дсов

в + ао ■ в • V ao 1 0sineisin-

д 2^ао '1 в

здесь также существует два типа корней (чётных и нечётных форм);

-на траектории Z - линии раздела гиперболически - гармонической и бигармонической

модуляций (в2 = (Д2 + Д2)2/4, в = в2)

DZK (в) = 1 - cos2 в - sin2 в = 0

Несчётное множество нулей, как следует из приведенных значений с ростом величины несущей частоты (первые числа из пар) значения модулирующей частоты снижается. Для длин волнообразования (осцилляции) закономерность обратная - с понижением длины волны несущей осцилляции длина волны моделирующей возрастает.

Отметим одну важную особенность решений на траектории Е-Л при пересечении с траекторией Z - собственные значения вхп = 2пп (которые соответствуют решению Тимошенко-Лоренца) определяют численно связь геометрических и механических величин, а именно: а0 = 12с(1 - ju12^21)(L / R)4(R / h)2 = const = P¡n = 16nV

Из этих соотношений следует эффект «пи-энности», состоящий в том, что указанные характеристики жёстко связаны с иррациональным числом «пи». Решения подобного типа приведены в монографии [4].

На рисунках 3 и 4 представлены детерминантно-краевые функции ДКФ и их нули для траекторий нагружения Э, К и Т-Л, соответствующих осевому сжатию стержня и цилиндрической оболочки с жёстко защемлёнными торцами, где отчётливо видны различные виды пересечения или касания оси абсцисс.

20 10 0 -10 "20

л 1ÍI

л/ ш

V VI V

V м

0 10 20 30 40

-1

0 10 20 30 40

а) траектория Е б) траектория изогональности К

Рисунок 3 - Детерминантно-краевые и нули функции для двухчастотных бигармонических осесимметрических форм цилиндрической оболочки с жёстко защемлёнными торцами при осевом сжатии по траекториям Е и изогональности К.

Точность определения координат точки нуля существенно зависит от угла подхода ДКФ к оси абсцисс (или, что то же, производной ДКФ) в окрестности нуля; в точке касания особенно. На это обстоятельство следует обращать особое внимание и учитывать при решении задач на собственные значения многопараметрических механических систем. При прак-

2

3

2

1

0

тических расчётах в таких случаях приходится обеспечивать точность вычислений до седьмого знака после запятой при вычислительном «нуле» ДКФ на уровне 10 -10

Собственные функции. Свойство изогональности и ортогональности. Указанным в предыдущем пункте собственным числам соответствуют собственные функции:

- на траектории Е свойство изогональности чётных и нечётных и ортогональности перекрёстных функций

^ (4, n,0) = cos2nn4-1, 5 (4,Д„ ,0) = (cos 1) - 2( отражено в значения скалярных произведений, приведенных ниже

Sin Pint Рш

-4)

JEC H m} =

1

при n = m

JES H m} =

1 при n = m

J esc H m} =

1 при n = m

[0.667 при п Ф т [0.4 при п Ф т [0 при п Ф т

1 ? :

а их вид для первых трёх собственных пар чисел представлен на рисунке 4;

-0.5

-1

-1.5

"2

0 0.25 0.5 0.75

а) чётные

-1

-2

0.25 0.5 0.75

б) нечётные

Рисунок 4 - Модулированные бигармонические двухчастотные осесимметрические формы цилиндрической оболочки с жёстко заделанными торцами при осевом сжатии

по траектории Е

- на траектории К, свойство изогональности чётных и нечётных и ортогональности перекрёстных функций

Wcc (4, P^Pn) = (COSРс04- cosР1СП4) + 2(-

wis (4, P^ Prn) = (cos As04 - COS Asn4) - 2(

)

sinAc 04 - sin Рюг4

P1C 0 Р1СП

sinAs 04 sine1Sn4)

Pu

Pu

отражено в значениях скалярных произведений, приведенных ниже

[ 1 при п = т [ 1 при п = т [1 при п = т

¿ют} Ф ¿15т} = Ф {n,т} ==1п Ф

[0.5 при п Ф т [0.773 при п Ф т [0 при п Ф т

1 ? ?

а их вид для первых трёх собственных пар чисел представлен на рисунке 5.

Свойство ортогональности для скалярного произведения собственных функций разных

Е = 01

семейств (чётных и нечётных) очевидно, т.к. интеграл на интервале ^ ' от нечётной относительно середины интервала функции равен нулю, а произведение чётной относительно середины интервала функции на нечётную есть функция нечётная.

Обобщённый ряд Фурье по изогональной системе собственных функций. Свойство изо-гональности и ортогональности двух семейств собственных функций даёт возможность

представления произвольной интегрируемой функции ^(Е) обобщённым рядом Фурье:

0

2

1

0

1

0

1

Я (О) ~ I (О) = £ С^сп ОРв ) + + £ ^ ОРюРп )

п=1 2 п=1

(26)

"0.75

-1.5

"2.25

"3

-1

0 0.25 0.5 0.75 1

"2

0 0.25 0.5 0.75 1

а) чётные

б) нечётные

Рисунок 5 - Модулированные бигармонические двухчастотные осесимметрические формы цилиндрической оболочки с жёстко заделанными торцами при осевом сжатии

по изогональной (изоклинной) траектории К

Коэффициенты ряда представляются конечной и рекуррентной формулами

Сп = у-\I(Ж*О,Рс0,Рсп) - у"]<Ц ус 1с

ап = - у-\1 (О)[^п (°,р250,р2 Яп ) - WSn-1(О,Р2S0,Р2Sn-1)] ^

и я

(27)

(28)

где соответствующие интегралы равны

11

1с = | W'сn О,Рс 0,Р:сп ) О Ус =(/ W(2n (О,Р:с 0,Рс ) У = (/ (О, Р150, Р15п ) О

0

1/2

600

400

200

-200

-400

-600

10

6.67

3.33

-3.33

-6.67

-10

0

2

1

0

0

0

1

Рисунок 6 - Модулированные бигармонические двухчастотные осесимметрические формы цилиндрической оболочки с жёстко заделанными торцами при осевом сжатии

по траектории Т (к = 1 0568, к = 1 9705 и к = Г25,1 = 1.513776, к = Г^5 ) Неоднородная правая часть ОДУ. Эволюцию осесимметрических форм цилиндриче-

ской оболочки по линейной теории рассмотрим на примере траектории нагружения Т-Л, де-терминантно-краевая функция которой (ДКФ) представлена на рисунке 6 при значениях параметра 1 < к < 2. В окрестности оси абсцисс ДКФ имеет точки касания и точки пересечения, поэтому при определении нулей требуется применять соответствующие процедуры для повышения соответствующей точности (разрядности).

На графиках (рисунок 7), представляющих модулированные осесимметрические формы цилиндрической оболочки с различными условиями на торцах при осевом сжатии по траектории Т-Л выше порога упорядочения, видно резкое возрастание на два-три прядка величины прогиба. Форма прогиба сложная с участками немонотонности (типа биения) и, таким образом, на начальном участке наблюдается переход от высшей частоты к низшей.

а) жёсткое закрепление б) шарнирное закрепление в) свободное

Рисунок 7 - Бигармонические модулированные осесимметрические формы цилиндрической оболочки с жёстко и шарнирно закреплёнными и свободными торцами при осевом сжатии по мере увеличения нагрузки по траектории Т-Л

(к = 1.005, к = 1.2, к = 1.4,1 = 1.6, к = 1.8)

Выводы.

В области бигармонических модулированных форм существует подобласть в виде криволинейного треугольника, ограниченного снизу отрезком (ЛРМ-Е) оси абсцисс до первой

критической частоты Ртт, сверху - частью параболы (ЛРМ-Т) и справа - отрезком касательной ЛУЧ-К к параболе ЛРМ-Т, проходящей через конец отрезка ЛРМ-Е.

Модулированные собственные функции бинарных критических точек изогональны (изоклинны) в каждом из множеств (чётных или нечётных) и ортогональны между собой.

Литература

1. Вольмир А.С.. Устойчивость упругих систем. -М.: Наука, 1967. - 984 с.

2. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. -М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.

3. Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем.-М.: Наука, 1967. - 420 с.

4. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.—М.: Наука, 1968. - 503 с.

5. Кильчевский Н. А., Никулинская С. Н. Об осесимметричной форме потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки.// Прикл. механика, 1965, т. 1, № 11, с. 1-6.

6. Григолюк Э.И., Кабанов В.В.. Устойчивость оболочек. -М.: Наука, 1978. - 352 с.

7. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. О методе непрерывного продолжения по параметру. // Доклады РАН, 1994. Т. 335. № 5. с. 95-99.

8. Матвеев Е.А., Фролов А.Б. Конечные прогибы цилиндрических оболочек перед потерей

устойчивости под действием равномерного внешнего давления.// Известия МГТУ «МАМИ» № 2 (6), 2008. с. 152-157.

9. Lorenz R.//Zeitschrift des Vereines deutscher Ingeniere, v. 52, Leiopzig.: 1908, р. 1706.

10. Тимошенко С.П. К вопросу о деформациях и устойчивости цилиндрической оболочки. // Вестн. о-ва технол., 1914, т. 21, с. 785-792.

11. Король Е.З. К определению собственных чисел и собственных функций для краевых задач со многими параметрами// Избранные проблемы прочности современного машиностроения. Сборник научных статей, посвящённый восьмидесятилетию члена-корреспондента Российской академии наук Эдуарда Ивановича Григолюка (1923-2005). -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. с.124-49.

Задача о флаттере пластины в геометрически нелинейной постановке

к.ф.-м.н. доц. Кудрявцев Б.Ю.

МГТУ «МАМИ» 8-906-782-99-16, [email protected]

Ключевые слова: флаттер, критическая скорость, поток газа, динамическая устойчивость пластины, метод Бубнова-Галеркина.

В исследованиях по панельному флаттеру, как правило, использовалась линейная «поршневая» теория, а прогибы тонкостенных элементов конструкций предполагались малыми и удовлетворяли линейным дифференциальным уравнениям [1, 2]. Недостаточность такого подхода обоснована в [3, 4]. Предположение о малых прогибах, очевидно, тоже вносит существенные ограничения и может заметно упрощать и искажать результаты [5, 6]. В предлагаемой статье рассмотрены аэроупругие колебания пластины и пологой оболочки в рамках системы Кармана с использованием работ [7, 8]; проведены параметрические исследования и сравнение с ранее полученными результатами.

Пусть имеется тонкий клиновидный профиль, обтекаемый без угла атаки газом с большой сверхзвуковой скоростью. Вектор скорости потока направлен по оси тела (перпендикулярно кромке). Начало ортогональной системы координат совместим с кромкой профиля, ось OX направим по вектору скорости, OY - по кромке, OZ - так, чтобы система координат была правой. В недеформированном состоянии уравнение образующей будет

z = kx + m(x), |у(x)/ kxl << 1. „ ,

Будем рассматривать часть поверхности профиля, занимающую

Avv Ä G = {(x, y), x0 < x < x0 + /,,0 < y < l2} _ в плоскости OXY область 1 0 01 2J и свободно опертую по кром-

кам. Для описания колебаний оболочки будем использовать уравнения Кармана

— Л2 w = L(w, Ф) + q -p^-W, — А2 Ф = -0.5Ц^, w), (1)

h h dt2 E

. д2 w . . д2 w . w | = =-1 = = w | = , =-1 = , = 0

0 dx2 0 ix=x0+i1 dx2 0+l' '

l = д2 w | = | = д2 w | = 0 w У =0 = д\ 2 У =0 = w У=/2 = д\ 2 У=/2 = 0, с граничными условиями дУ дУ

д2u1 д2u2 д2u2 д2u1 д2u1 д2u2

L(u1, u2) = Z—L——2L- 2_ где дx ду дx ду дxдy дxдy

Kr-gß -1) - 4f+c2

... ^ 2 _ . - , (д2w „ д2w 2 д2w^

q = Ap = (M ltg2 ß -1) - A1M | — + v— I--2 x —- + 2v^— + v2

У дt2 дtдx дx2 J

+

r 2 ду . .2 д У

+ AcM — + AM x-

дx Bx