К анализу эволюции собственных форм многопараметрических механических систем (круговых пластин и оболочек вращения) Текст научной статьи по специальности «Физика»

К анализу эволюции собственных форм многопараметрических механических систем (круговых пластин и оболочек вращения)

к.ф.-м.н. проф. Король Е.З.

8(945) 369-96-65, 8-916-852-30-09, ez [email protected]

Аннотация. На примере анизотропных линейно-упругих (по Гуку) и малых (по Коши) деформаций тонких круговой пластины, круговых цилиндрической и прямой конической оболочки вращения даётся новая обобщённая постановка краевых задач анализа собственных форм многопараметрических систем, напряжённо-деформированное состояние которых описывается обыкновенными линейными дифференциальными многопараметрическими уравнениями (ЛОДУ) высшего порядка обобщённого эйлерова и бесселева типов.

Ключевые слова: многопараметрические механические системы, анизотропные круговые пластины и оболочки вращения

Введение

На примере анизотропных линейно-упругих (по Гуку) и малых (по Коши) деформаций тонких круговой пластины, круговых цилиндрической и прямой конической оболочки вращения даётся новая обобщённая постановка краевых задач анализа собственных форм многопараметрических систем, напряжённо-деформированное состояние которых описывается обыкновенными линейными дифференциальными многопараметрическими уравнениями (ЛОДУ) высшего порядка обобщённого эйлерова и бесселева типов. Многопараметричность таких систем отражается с одной стороны в так называемых «коэффициентах жёсткости» (КЖ) ЛОДУ, параметрически зависящих от мембранных усилий, значения которых в свою очередь зависят от внешней краевой нагрузки и условий закрепления, а с другой - в структурных параметрах собственных осцилляционных изгибных форм механических систем -решениях соответствующих краевых задач.

Обобщённая формулировка включает задание в пространстве «коэффициентов жёсткости» траектории нагружения (ТН) и критических состояний (КС). Критические состояния связываются с достижением траекторией нагружения характеристических линий (КЛ) и точек (КТ). К числу характеристических относятся линии раздела видов модуляций (ЛРВМ), линии уровней квадратов собственных частот (ЛУЧ), длин волн (ЛУДВ) и сдвига фаз (ЛУСФ). Вид этих линий и их положение в пространстве «коэффициентов жёсткости» соответствует видам модуляции (ВМ) и определяется соотношениями связности (СС) «коэффициентов жёсткости» и структурных параметров. К числу критических точек относятся точки пересечения критических линий (бинарности и полинарности), среди которых выделяются точки изогональности (изоклинности), в частности ортогональности. Положение критических (собственных) линий и точек на них определяется соответствующей системой детерми-нантно - краевых определяющих (ДКУ) уравнений (тригонометрических или трансцендентных), составленной по заданным линейным краевым условиям дифференциального типа. Отмечается, что в общем случае аналитические выражения собственных форм таких систем относятся к установленному ранее классу «изогональных» функций (ИФ), собственный интеграл на заданном интервале от скалярного произведения их нормированных функций равен единице при одинаковых индексах и постоянному числу, не равному единице, при различных индексах, в частности, в случае ортогональности - нулю.

Задача отыскания собственных чисел и собственных форм в предлагаемой данной постановке сводится к решению системы детерминантно-краевых уравнений, соответствующих всем возможным видам собственных форм, принимаемых системой на введенной в постановку «траектории нагружения» в пространстве «коэффициентов жёсткости» и дополнен-

ных выражениями «соотношении связности».

При непрерывном параметрическом нагружении оболочки [1-6] наблюдается, прежде всего, появление новых осцилляций при одном и том же виде модуляции. Для их описания используются [5-9], линейные или квазилинейные дифференциальные уравнения четвёртого и выше порядков с параметрическими независящими от координат естественными коэффициентами жёсткости, при решении которых применяются методы продолжения по параметру [5,6]. Устойчивость и критические состояния оболочки связываются [7] с характерными точками (ветвления, перескока и пр.) на так называемой кривой жёсткости («внешняя нагрузка ~ прогиб характерной точки»). Точность такого «локального» критерия зависит не только от выбора характерной точки.

Ниже даётся обобщённая постановка [11] и решение задачи анализа собственных форм, основанная на введении понятий траектории нагружения механической системы, изопара-метрических траекторий - линий уровня собственных частот (длин волн) и сдвига фаз, кратных числу полуволн, и установления бинарных критических точек, параметры которых удовлетворяют условиям ортогональности и изогональности или изоклинности. Постановка краевой задачи о собственных формах цилиндрической круговой оболочки

Дифференциальное уравнения форм. Собственные осесимметрические формы орто-тропной линейно упругой (по Гуку) круговой цилиндрической оболочки радиуса Я, постоянной толщины И и плотности р при малых (по Коши) деформациях описываются уравнением [1] типа «краевого эффекта» изгиба оболочки (по Кирхгоффу-Ляву) - линейным обыкновенным дифференциальным уравнением четвёртого порядка относительно функции прогиба с постоянными, зависящими от внешних у = (ух,у2,У3)параметров коэффициентами:

2(у,у) = + а24)(гК + а{£\у)-™ = 0, ж(к) = ^,к = °,2,4 (1)

«Коэффициенты жёсткости» а'п4)(у), п = 0,2 выражаются через мембранные осевые N и кольцевые Ы2 усилия. При однородном напряжённо-деформированном состоянии они не

X

зависят от координат 0 = — < 1, а зависят от внешней нагрузки - параметров у . В частности, для рассматриваемой оболочки «коэффициенты жёсткости» - функции вида а24) (х) = у1 и а(04)(А) = су1 + су2 + у3. Где: у1 = (Ы10ИЬ2)/ Д- осевое усилие и у2 = (рИ2Ь4)/(Я2Д)- радиальное давление, а у3 = (рg02И2Ь4)/- инерционные силы. Здесь принято следующее: ж -отнесённый к толщине прогиб; Д = Е1И3) /12(1 -//12//21)- цилиндрическая жёсткость; Е1-модуль упругости (Юнга) по образующей; с = Е2 / Е1 - коэффициент ортотропии (главные оси ортотропии совпадают с направлениями главных кривизн оболочки); /л12,/л21 - коэффициенты поперечной деформации (Пуассона); а> - круговая частота; g = 980 ст / с2- ускорение силы тяжести. Двухпараметрическое уравнение (1) с постоянными, не зависящими от координат коэффициентами учитывает неоднородность напряжённо-деформированного состояния с начала нагружения, обусловленную поперечной деформацией при действии продольного усилия (так называемым эффектом Пуассона), и начальную (возникающую уже при малых нагрузках) погибь. При анализе собственных форм используем введенные в [13-16] понятия траектории нагружения в пространстве «коэффициентов жёсткости».

Пространство «коэффициентов жёсткости» и траектория нагружения. «Коэффициенты жёсткости» как функции параметров у(т), являющиеся в свою очередь функциями одного независимого параметра г -«условного времени», определяющего очерёдность приложения внешних нагрузок, задают в пространстве «коэффициентов жёсткости» (а24) ~ а02))

«траекторию нагружения» соотношениями

у(4) _ „С4)(г;ч]

<20 a0 '

а

(4) = а24)(^

Каждой точке (а,

^ (<04) (?(г)), <24) (?(г))) = 0 о Фт (г), ^ (г), ^ (г)) = 0

(2)

(4) (4)

а

)) траектории (1.2) соответствует определённая собственная сложная (модулированная) форма, геометрические параметры которой удовлетворяют характеристическому показательному «вековому» биквадратному определяющему уравнению

А4 + <24) (у)Л2 + <04) (у) = 0, Д(4)!22 (у) = -

аГ(г) ± (а24)(г)

:)2 - <04) (г)

(3)

2 V 2

Здесь ё(у) = [(а24)(х)/2)2 - <^)(у)]- дискриминант подкоренного выражения. При зна-

чениях ё(;?) > 0 имеем простые, а при ё0?) = 0 и а2) (у) < 0 кратные, действительные или комлексно - сопряжённые корни. Им соответствуют различные основные или переходные

виды модуляции. В пространстве а1

(4) 0

а

(4)

будем различать области К-разбиения, подоб-

ные областям Б-разбиения, применяемым в теории устойчивости колебаний механических многопараметрических систем.

Области К-разбиения. Отличие их от указанных состоит в том, что среди возможных значений характеристических показателей допускаются не только мнимые, но и комплексно-сопряжённые и действительные: область К (комплексно-сопряжённых показателей

> (а24) / 2)2, ограниченная снизу параболой

к

а,

(4) 0

л1_4 =±а± ф) - бесконечная О,

Ь -у : а02) = (а24)/2)2, с одним осцилляционным структурным параметром ¡3 полуплос-

^к-2 ■ "0

кость; область Z (мнимых показателей = ^Рк)- правая угловая часть

С12 : 0 < а04) < (а24)/2)2, а24) > 0, ограниченная сверху правой частью параболы

Ьк_2 : а02) = (а24) /2)2, а снизу - полуосью Ь

2-Т

: а 24) > 0, с двумя осцилляционными струк-

турными параметрами Д 2; область Т (мнимых = +//? и действительных /13*4 = -у показателей) - нижняя полуплоскость 0,т : а04) < 0, ограниченная сверху осью абсцисс

—т : а2 ^ 0 ^ ^Ь'

: а24) < 0, с одним осцилляционным параметром Р; область Е (действи-

'Т -Е

тельных показателей /^У^ = ±Ук )- левая угловая часть 0.Е : 0 < а0 ) < (а2 /2) , а2 ) < 0, ограниченная сверху правой частью параболы Ьк_Е : а02) = (а24) / 2)2, а снизу - полуосью Ьт_Е : а24) < 0, с двумя не осцилляционными структурными параметрами у12 (рисунок 1).

,(4)

1 |

\ ьк-е V к к ^ л-т 1 Ьк-2

Е V у / Ь Ь2 _ т

Ьт-Е т 0 а24)

Рисунок 1. Области К-разбиения различных видов модуляций для ЛОДУ четвёртого

порядка и траектория Фт (а0 , а2 ) нагружения в задаче Лоренца-Тимошенко

Используя значения характеристических показателей, уравнение (1) записывается в форме операторного произведения:

2

2

E(4){*,£ - ПФ - Дп4)(г))М = 0, . ^, пкМ - 0, к = 1,2,3,4 (4)

п=1 "ь "Ь

из которого в соответствии с (1) устанавливаются соотношения «коэффициентов жёсткости» и характеристических показателей - соотношения связности.

Соотношения связности. Общие выражения этих соотношений имеют вид;

а04) (?) = I! ^ (у), а24) (г) = ^ I! А(,4) (Г) (5)

п=1 к=1 1к =1

и для указанных выше областей К-разбиения, в частности для областей и границ раздела областей с осциллирущими формами

а04),а24) е К : а24)(г) = 2(£2(у) - а2(у)), а04)(г) = (а2(у) + ^2(г))2 а04), а24) е 7 : а24) (у) = (Д2 (у) + # (г)), а04) (Я) = Д2 (у)# (г) а04),а24) е Т : а24)(у) = (Д2 (г) - V2 (г)), а04)(у) = -V2(г)Д2 (г) (6)

а04), а24) е Ьк: а24) (у) = 2Д2 (?), а04) (Я) = Д4 (г) а04), а24) е Ь_т : а24)(г) = Д2(г), а04)(г) = 0, и для областей и границ раздела областей с не осциллирующими формами

а04), а24) е Е : а24) (г) = -(V2 (г) + V2 (г)), а04) (г) = V2 (у)у2 (г)

а04),а24) е Ьт_е : а24)(г) = -И(Г), а04)(г) = 0 (7)

а04), а24) е ЬЕ_к : а24) (г) = -2у2 (у), а04) (у) = V4 (у) .

Осцилляционные собственные формы ЛОДУ четвёртого порядка. Виды модуляций и линии раздела (ЛРВМ) модуляций. К осциллирующим видам модуляций относятся три основных в указанных областях К-разбиения: 1) амплитудно-фазовая (К) гиперболическая К^4) = Н{2) ^ О(2)

м>(£, а, Д Сп) = Л(а, £ Сп) 8т(/^ + ср(а, £ Сп))

2

(p(a¿, Сп) = агс^~

С2 sИ(a<!;) + С3сИ(а<!;)

С1сИ(а<!;) + С 4 ¿•И(а^)

модуляции, у которой амплитуда и сдвиг фазы, переменные (гиперболически) по координате, и одна частота;

2) амплитудно-фазовая бигармоническая (2) = О^2) ^ О®

Д, Д, Сп ) = Л (Сп ) 8Ш(Д £ + Ъ (Сп )) + Л2 (Сп ) + ^2 (Сп ))

А(Сп) = 4С2 + С22, Л2(Сп) = л/С2 + С42, ^1(Сп) = агс^С}, ср2{Сп) = arсtg{-^},

С1 С 2

наложение двух гармоник разных частот;

3) гиперболическая (Т) Т= О^ у Н<2)

Д, Сп ) = Л1 (Сп ) яп( + <ц (Сп)) + Л2 (Сп )*И(у2£ + <р2 (Сп))

Л1(Сп) = л/С2 + С22, Л2(Сп) = л/С2 + С42, ^1(Сп) = аг^С}, ^(С) = arсtgC},

С1 С2 одночастотная модуляция с гиперболической несущей; и две разделительных на линиях-ЛРВМ раздела границ областей:

1) амплитудно - фазовая (Ьк) полиномиальная К^ = - О^2) ^(О^2)^Р1(1))

ж (£, Д, Сп) = Л(£ Сп) ипда + Сп))

А(С„) = у/ (С1 + Сз^)2 + (С 2 + С 4^)2 ^ Ся) = агс ^ + С }

С1 + Сз^

модуляция, у которой амплитуда и сдвиг фазы, переменные (полиномиально) по координате; 2) полиномиальная (Ь7_т ) 70(4,) = Т^ = О^2) ^ Р2(2),

* (£ Д, Сп) = А (Сп) + (Р1 (Сп)) + Сз^ + С4

С

4(С) = 4 С2 + С2, ^(С) = arctg{Ы,

С1

одночастотная модуляция с несущей - полиномом первой степени. При этом остаются с не осциллирущими формами модуляции: одна (Е) область ЕЦ'' = и(2)^И^ и две линии (Ьт_Е)

и (ЬЕ_К ) ЛРВМ Т(04) = Е04) = И? и Р(2) и Е<? = и (И^2) П Р(1)). Здесь

Сп, п = 1,2,3,4- постоянные интегрирования, определяемые из граничных (краевых условий).

Таблица 1

Виды модуляций ЛОДУ четвёртого порядка

№ Виды модуляции, уравнение в операторной форме Коэффициенты уравнения, соотношения связности, области К-разбиения Характеристические показатели форм

K к$ = и(2) П О<2> амплитудно-фазовая гиперболическая [(О-а)2 +Р2Ш+а)2 +Д2]М = 0 а04) = (а2 + Д2)2, а24) = 2(Д2-а2) а(4) Пк : а04) > (а2")2 v1_4 =±а± iß

LK-Z К 0? = 2"= О? и (С? П Р(1)) амплитудная полиномиальная [(О2 +Рг?{м,} = 0 а04) = Д4, а24) = 2Р2 а (4) Qz к : а04) = (^)2, а24) > 0 ^1,2 = ^3,4 = = ±iß

Z = Од1 и О? бигармоническая ( о 2 + Д2)(о 2 +Д2)М = 0 а04) = Д2Д2, а24) = (Д2 + Д2) а(4) QZ : 0 < а04) < (а2 )2, а24) > 0 vu = ±iA1, ^3,4 = ±ißi

LZ -T 7 (4) _ т(4) _ О (2)| |р(2) 7 0& - Т Р0 - Ор ^ Р2 полиномиальная (О2 + Д2) О 2{м>} = 0 а04) = 0, а24) = Д2 Q Z т : а04) = 0, а 24) > 0 ^1,2 =±iЛ, ^3,4 = 0

T Т(4) = о^2) и и^2) гиперболическая (О2 + Д2)(О2 -у2){м>} = 0 а04) =-p2v2, а24) = 2(Д2 -v2) > 0 qt : а04) < 0, vu = ±iß, ^3,.4 =

LT -E Т(4) _ Е(4) _ и (2)1 |р(2) Ту0 ~ Е0у ~ 11 V ^ Р2 (О2 -у2)О2№ = 0 а04) = 0, а24) = -2v2 < 0 QT=E : а04) = 0, а24) < 0 ^1,2 =±Vl, ^3,4 = 0

E Е^4) = и^2) и <2) (О2 -У2)(О2-у2)И = 0 а04) = vfv2, а24) = -2(vf + v2) а (4) QE : 0 < а04) < (а2 )2, а24) < 0 ^3,4 = ±^2

le-k Е^4) = = и^ и (и^2) П Р(1)) (О2 -у2)2^) = 0 а04) =v4, а24) = -2vf а (4) Qe=к : а04) > (^)2, а24) < 0 V1,2 = ^3,4 = ±V

Зиды модуляций механических систем, описываемых ЛОДУ четвёртого порядка пред-

ставлены в таблице 1.

Модуляции Z, T и Lz T аддитивные и представимы суммой двух гармонической функции или гармонической и гиперболической или полинома соответственно. Аддитивные составляющие с постоянными параметрами - несущие, а переменными - модулирующие.

Линии раздела видов модуляции (ЛРВМ) и критические точки первого рода. Указанные выше линии раздела видов модуляций, одна из которых парабола, ветви которой, правая ( LZ_T, а24) > 0)

а(4)

«04) = (а2Г)2 (8)

и левая (LZ_E, а24) < 0), разделяют пары областей модуляций: амплитудно-фазовой гиперболической (K) и бигармонической (Z) и бигиперболической (E) и гиперболической (K). Вторая - прямая (ось абсцисс а04) = 0), левая (LZ T, а24) > 0) и правая (LZ T, а24) < 0) ветви, которой разделяют пары областей К-разбиения:

а04) = 0 (9)

бигармонической (Z) и гиперболической (T) и соответственно гиперболической (T) и бигиперболической (E). При пересечении траекторией нагружения (2) этих линий происходит смена видов модуляции, и поэтому они отнесены к критическим линиям раздела видов модуляции (ЛРВМ), а точки пересечения их траекторией нагружения - критическими точками первого рода. Линии раздела видов модуляции (ЛВРМ), области К - разбиения, траектория Лоренца-Тимошенко и критические точки первого рода в пространстве «коэффициентов жёсткости» изображены на рисунке 1.

Изопараметрические линии уровней частот (ЛУЧ) и сдвига фаз (ЛУСФ). Из соотношений связности (6) следуют выражения изопараметрических линий, в частности линий уровня (ЛУЧ) частот Д2 = С2 = const в каждой из областей К-разбиения видов модуляции: 1) для амплитудно-фазовой (К) гиперболической K^ = HQ G^2) модуляции - семейство левых ветвей непересекающихся между собой парабол со смещённой по оси абсцисс на 2C2 вершиной, подобных ЛВРМ (8), и с правой граничной точкой, лежащей на правой ветви параболы (1.8)

а

а04) = (2C2 - ^М2 (10)

2

2) для бигармонической = ^ модуляции - семейство взаимно пересекаю-

щихся между собой в этой области прямых с угловым коэффициентом наклона к оси абсцисс С2, касательных к правой ветви параболы ЛВРМ (8) и пересекающей ось абс-

**(4) ^ 2

цисс в точке а*( ) = C ; точки взаимного пересечения прямых лежат выше точек касания их линии ЛВРМ (8)

а04) = C2 а24) - C4 (11)

T(") = g(2)II H(2)

3) для гиперболической (T) ^ р ^ к модуляции - семейство прямых (11).

Аналогичные выражения следуют для изопараметрических линий сдвига фаз ЛУСФ. Из всего семейства ЛУЧ выделяется первая - основная, соответствующая минимальной частоте. Эта линия состоит из двух частей: правой части параболы (10) и прямой (11). Вершина параболы смещена вправо на величину С2 = 4Дт;т, а её конечная правая точка (а***(4) _ д41п, а***(4) = 2,0 является точкой касания линии (8), наклонённой к оси абсцисс

под углом 3 = агс tg Д^ и пересекающей абсцисс в точке а****(4) = Д^ . Угол изоклинности между параболами (8) и (10) равен 23 .

На рисунке 2 изображены изопараметрические семейства линий частот ЛУЧ и сдвига фаз ЛУСФ в каждой из областей К-разбиения. При достижении траектории нагружения (пересечении) изопараметрических линий собственные формы принимают соответствующий вид; при этом, попадая в точку пересечения линий ЛРВМ и ЛУЧ или ЛУСФ или пересечения линий ЛУЧ в области бигармоничности Ъ, формы (и соответственно, параметры форм) неоднозначны. Такие точки относятся к разряду критических точек второго рода и среди них точки бинарности и полинарности (критические точки высших родов).

Рисунок 2. Изопараметрические линии ЛРВМ (разделов видов - сплошные жирные), ЛУЧ и ЛУСФ (частот - тонкие), траектория Л-Т и точки пересечения их

Точки бинарности и полинарности. К критическим точкам второго рода относятся точки пересечения траекторией нагружения изопараметрических линий, среди которых выделяются точки бинарности, т.е. точки взаимного пересечения линий разного типа (ЛУЧ и ЛУСФ) или одного типа (ЛУЧ). Если траектория проходит через такую точку или в ней касается, то состояние системы, по крайней мере, двойственно, особенно это относится к точкам пересечения линий ЛУЧ в бигармонической области. Здесь пересекаются прямые (11) с различными частотами и малые изменения направления траектории приводят к смене несущей формы (частоты) на модулированную (частоту) и наоборот. Изображённые на рисунке 2 линии ЛУЧ сгущаются вблизи вершины клиновидной области Z. При этом следует отметить важное свойство - линия ЛУЧ с минимальной частотой Дт|п (основная ОЛУЧ) - первая основная линия пересекает все остальные с упорядоченной системой точек пересечения (упорядоченными - возрастающими значениями частоты) - линий с большими частотами; остальные (с частотами PC = Рк > Дтт)- пересекаются с неупорядоченной системой точек пересечения (с частотами Дтт < Д < ... < PC - Рк < Рк+1 ) - сначала линий с меньшей частотой, а затем - с большей. Механические системы, следуя по таким траекториям нагужения, при этом могут «перескакивать» с одной критической частоты на другую. На этих линиях в точках бинарности собственные функции обладают свойством изоклинности и поэтому их относят к так называемым точкам изогональности (изоклинности). Траектория Е в задачах о статической устойчивости стержня Эйлера и цилиндрической ортотропной оболочки (с нулевым коэффициентом ортотропии) [1, 3] - прямая линия, совпадающая с осью абсцисс - линия LZ T, линия раздела бигармонической и гармонически-гиперболической видов модуляций, на которой реализуется одночастотная модуляция

%-E (a24) (Л™ ) = ~2E ■ к = Рш (к), a04) = const = 30Е = 0 (1.12)

Траектория (a(24) (Д^ )), соответствующая минимальной частоте Дтт, главная, отделяющая подобласть (a24), a04))e We устойчивых некритических состояний.

Условия изогональности (изоклинности). Условия изогональности (изоклинности) и

1

ортогональности связано со значением интеграла J{wn ■ wm} = Jwn (£) • wm (£) - скалярного

0

произведения ортонормированных собственных wn(£) = w(^,Д0,Дп) функций, соответствующих разным значениям собственных чисел {Д0, Дп} определённого семейства; в общем - изогональности

1 при n = m

J{n, m} = J(Wn • Wm ) = \ F (13)

[ j9 = const Ф {0,1} при n Ф m

когда при несовпадающих индексах скалярное произведение равно постоянному, отличному от нуля и единице, числу, одинаковому для данного семейства, а в частном случае - ортогональности

_ _ [1 при n = m

J{n m} = J(wn ■ wm ) .

[0 при n Ф m

Свойство изогональности присуще двум и более частотным осцилляционным функциям, например, бигармоническим (Z), ортогональности - одночастотным ((LK_Z,LZ_T, T) ).

Таким образом, при анализе процесса эволюции осесимметрических форм образующей тонкой упругой цилиндрической оболочки средней длины в качестве критериев критичности состояний используются указанные выше критические линии и точки, при пересечении которых или прохождении через которые траекторией нагружения могут наступить критические состояния, что, в частности, может быть связано с потерей устойчивости.

Фундаментальная система решений. Краевые условия. Детерминантно-краевое частотное (или волновое) определяющее уравнение. Общее решение W (£,A, C) однородного уравнения (1.1) четвёртого порядка и полное решение w(£,A, C) содержат четыре линейно независимых функции - фундаментальных решений Wn (£, vn), четыре частных решений W(£,Л) и четыре постоянных интегрирования C = {Cn}

W (£ X, C) = £ CnWn (£ Vn), w(£ Л, C) = W (£ Л, C) + W (£ Л) (14)

n=1

Система фундаментальных решений (ФСР) должна быть представлена в виде, пригодном для непрерывного продолжения (предельного перехода) по параметрам. Краевые условия линейные дифференциального типа на концах £0 = 0, ^ = 1 интервала с однородной правой частью представляются в общем виде выражением

/-(зи^/т 7 dw d2 w d3 w. D:3 {w} = (b 0w + b, — + b 2 —- + b3 —-) , { } ( ,0 d^ <2 d^2 г3 d£3 7

= 0, i = 1,2 (15)

i=0,1

где: коэффициенты bim = const постоянные числа. Соответствующая (15) система уравнений

относительно постоянных интегрирования

4

^C,L(3){w,(Z,vk))}, 01 = L?>{W(£A)}, 01 (16)

k=1

i-0,1

i-0,1

имеет множество не тривиальных ограниченных и множество неограниченных решении при условии, что детерминант системы (1.16) равен нулю, т.е.

DWn} -

LfK (^ )}

= 0 (17)

¿Т=0,1

В общем случае левая часть выражения (17) детерминантно-краевая функция (ДТФ) детерминантно - краевого определяющего уравнения (ДКУ) это трансцендентная полиномиальная функция, содержащая тригонометрические функции и полиномы, общий порядок ко-

торой четвёртый. Траектория нагружения (2), соотношения связности (6), (7) вместе с детер-минантно - краевым уравнением (17) образуют полную (расширенную, дополненную) систему уравнений на собственные значения (УСЗ) и тем самым на структурные параметры эволюционирующих собственных форм.

Обобщённая (расширенная) постановка задачи анализа эволюции изгибных форм. Таким образом, расширенная постановка задач анализа включает: линейное обыкновенное дифференциальное уравнение состояния (1); задание траектории нагружения (2); классификации видов модуляций (таблица 1); классификации областей видов модуляции и их границ (таблица 2); соотношения связности (6), (7) «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ и структурных параметров -«коэффициентов бесселевых добавок»; классификации критических (8)-(11) линий - изопараметричеких ИПЛ и точек (12), (13); линейные краевые условия дифференциального типа (15); детерминантно - краевые уравнения (ДКУ) (17).

Таблица 2

Система фундаментальных решений ЛОДУ 4-ого порядка

модуляция w1 W2 W3 W4

K chaf, cos a shai; cos/?£ sh sin acha% sin pE,

a2 +P2 lap 2aP(a2 + p2)

P chaf, sin P sha% cos PE,

a2 +P2 2aP(a2 + p2)

LK-Z cosA£ sin £sin/?£ sin cos

p 2P 2РЪ 2РЪ

Z cos + cos A2£ sinA£ ! sinA£ 2A 2P2 cos sinA£

2 A(A2 -A2) cosA£ 2Д(Д2 -д2) sinA£

A(A2 -A2) 2A2(A12 -A12)

LZ-T cosA£ +1 sinM , 1 cos -1 sinA£ ! €

2 2Д 2 A2 A13 A12

Основная особенность и трудность этих задач состоит в том, что для указанных многопараметрических (по значениям «коэффициентов жёсткости») механических систем высшего (четвёртого и выше) порядка структурных параметров (значений частот и сдвигов фазы) всегда два и более, а осцилляционных составляющих - фундаментальных (ФСР) решений четыре и более. Трудность, в первую очередь, заключается в наличии «неопределённости», т.е. параметрической зависимости «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ (они же коэффициенты характеристических показательных полиномов эйлеровых). Во вторую очередь - отсутствие аналитических решений для трансцендентных или тригонометрических детерминантно -краевых уравнений высокого (четвёртого и выше) порядков. И, в третью очередь, форма представления фундаментальной системы (ФСР) решений ЛОДУ эйлерова типа должна быть универсальной. В частности, непрерывной по структурным параметрам и обладать свойством непрерывного перехода от одного вида модуляции к другому как в случае простых (некратных параметров), так и в случае кратных.

Эволюция собственных форм в задаче устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии по траектории Тимошенко-Лоренца (Л-Т). Рассмотрим в качестве примера задачу об осесимметрических собственных формах при потере устойчивости тонкой линейно упругой круговой цилиндрической оболочки средней длины (задача Лоренца - Тимошенко). Для случая осевого сжатия цилиндрической оболочки «коэффициенты жёсткости a2(\) = 12(1 -//12^21)(L/R)2(R/h)2\ , a0 = 12c(1 -//12^21)(L/R)4(R/h)2 = const

как функции монотонного параметра нагружения Я = {Д, Я2}, положительно полуопределённые или полностью определённые, на плоскости (a2 ~ a0) образуют траекторию нагружения Тимошенко-Лоренца (Л-Т) [9, 10] - прямую параллельную оси абсцисс линию a04) (!) = const, a24) (Я) > 0 (18)

На ней реализуются два вида основных модуляций: одночастотная амплитудно-фазовая K и двухчастотная фазовая Z и одна переходная амплитудно-фазовая LK Z . Она проходит через две области К-разбиения: область крыловскую (К) и область бигармониче-

скую (2) и пересекает линию раздела Ькв некоторой точке (а, точках (а(

*(4) *(4)

a

2

') и семейство ЛУЧ в

**(4) 0k ■

a

*(4) /„ _

, к = 1,2,...). Часть точек пересечения траектории с линиями ЛУЧ лежит в

области (К), а другая - в области (Z).

Траектории Т-Л, у которых а0 '(Я) < Дтт (Дтт- минимальная частота) пересекает линии ЛУЧ в порядке возрастания значений частот, называются упорядоченными, а при

a04)W >Д

4

min

неупорядоченными. Траектория задана как функция параметров

(а, Д), (Д), (Д, Д2) и как функция коэффициентов (a2, a0)

\а2 + Д2)2

^ (a24), a04)) = 0

a,

(4)

(Л) =

д4

Л2Д 0

2 п2

= const,

a

(4)

(Л) =

2(Д2 - а2) ири K 2Д2 ири LK_Z (Д2 + Д2) при Z Д2 ири LZ_г

> 0

(19)

которые в свою очередь есть функции параметра нагружения Я = ^Я1} , определённых соотношениями

a2(/t) = a20 + Л2(Х) > 0, 0 < a0(A) = a00 + Л^А) <

Тч , a2(A)

4

—» Fj(a2,a0) = 0

(20)

где А2(А), А,(А) - функции параметра нагружения А , а (а0,а0) е - её начальные координаты - значения коэффициентов жёсткости при значениях Я —» 0 в начальном (исходном) состоянии.

Система фундаментальных решений уравнения (таблица 1) в указанных областях К-разбиения, в которых пролегает траектория Л-Т, содержит одночастотные осцилляции (модуляция амплитудно-фазовая гиперболическая) в области К и на линиях ЛРВМ Ьк_2 (амплитудно-фазовая полиномиальная) и Ьг т (полиномиальная) и двухчастотную осцилляцию в области Z (амплитудно-фазовая гармоническая модуляция). Краевые условия типа (15) приняты для жёсткого защемления торцов оболочки:

w(0,4) = w(U) = dW ас,

i=0

dw

= 0

(19)

i=i

При расчётах приняты следующие значения: геометрических Ь/Я = 1, Я/И = 100 и механических характеристик //12 = //21 = /и = 0.3 - коэффициента Пуассона. Диапазон измене-

ния частот 0 <р< 34; значение коэффициента жёсткости aL(4) = 1.092 -105; коэффициент

a

L(4)

(k) принят на траектории Т-Л зависимостью от параметра a24)(k) = aL(4) • k, k - ala

L(4)

где (Я/И)/д/з(1 - ¡и2) - «Лоренцова сила» (0 < к < 2). Детерминантно-краевые трансцендентные и тригонометрические уравнения (17) четвёртого порядка в соответствующих областях К-разбиения решались графическим способом, путём построения функции - ДКУФ типа (17), при этом учитывалось то, что основные частоты могут быть определены на «траектории Эйлера» а04)(А) = 0, а24)(А) > 0, т.е. на оси абсцисс («балочная» траектория) по

2

«усечённому-частотному» уравнению вида:

Е £ 1} = wIV + а 24) w', = wIV + Д2 w', = 0 (20)

При подходе к граничным линиям раздела видов модуляции осуществляются предельные переходы: из области К на линии (8) по структурному параметру а —» 0, а из области бигармонической Ъ в область гармонически-гиперболическую К на линии (8) - по параметру Р2 —> Д; из области Ъ бигармонической модуляции в область Т гармонически-гиперболической модуляции на линии (9) осуществляется предельный переход по структурному параметру Д2 —> 0. Значения первых девяти частот, приведенных ниже, получены с удержания стольких знаков после запятой, чтобы отклонение от нуля в ДКУ типа (17) было одинаковым и составляло ~ 10 5 -10~б. Характер ДКУФ в окрестности нулей (корней - частот) таков, что требовалось до десяти итераций по методу «половинного деления»:

Д = 8.9868; 15.405; 21.808333; 28.13283; 34.44151; 40.742605; 47.03899; 53.33108 (21) Точность определения координат точки нуля существенно зависит от угла подхода ДКФ к оси абсцисс (или, что то же, производной ДКФ) в окрестности нуля; в точке касания особенно. Детерминантно-краевая функция которой (ДКФ) при значениях параметра 0 < к < 2 в окрестности оси абсцисс имеет точки касания и точки пересечения, поэтому при определении нулей требуется применять соответствующие процедуры для повышения соответствующей точности (разрядности). На это обстоятельство следует обращать особое внимание и учитывать при решении задач на собственные значения многопараметрических механических систем. При практических расчётах в таких случаях приходится учитывать до седьмого знака после запятой при вычислительном «нуле» ДКФ на уровне 103 -10~4. Приведенные на рисунке 3 значения относительного прогиба V? = w /wL отнесены к величине

прогиба от равномерной (реактивной) распределённой нагрузки wL = /(Л)/а04). На графиках, представляющих модулированные осесимметрические формы цилиндрической оболочки при осевом сжатии по траектории Т-Л выше порога упорядочения, видно резкое возрастание на два-три порядка величины прогиба. Форма прогиба сложная с участками немонотонности, и, таким образом, на начальном участке наблюдается переход формы от высшей частоты к низшей.

а б

Рисунок 3. Гиперболо-гармонические (а) и бигармонические (б) осесимметрические изгибные формы цилиндрической оболочки с жёстко заделанными торцами при осевом сжатии по траектории Т (при нагрузках к = 0,0.2,0.4,0.6,0.8,0.99 и

к = 1.0568;1.9705 )

Из приведенных на рисунке 3 а в области К форм видно, что число точек пересечения траекторией критических линий конечно, т.е. число осцилляций конечно: равно трём при

k = 0.2 и равно пяти при k = 0.99 . В области Z (рисунок 36) число осцилляций бесчисленное множество.

Отметим одну важную особенность решений на траектории Е-Л при пересечении с траекторией Z: собственные значения Р1п = 2жп (которые соответствуют решению Тимошенко-Лоренца) определяют численно связь геометрических и механических величин, а именно a0 = 12c(1 - ^12^21)( L / R)4( R / h)2 = const = = 16 ^V (22)

Из этих соотношений следует эффект «пи - энности», состоящий в том, что указанные характеристики жёстко связаны с иррациональным числом «пи». Решения подобного типа приведены в монографии [1]. Указанным в предыдущем пункте собственным числам соответствуют собственные функции:

• на траектории Е, свойство изогональности чётных и нечётных и ортогональности перекрёстных функций

Рш

отражено в значения скалярных произведений, приведенных ниже

1 при п = m Г 1 при п = m [1 при п = m

wEC(£n,0) = cos2;rП -1, 5(£,Д„,0) = (cos Д„£ -1) - 2(—-£)

JC {n, m} = < , JS {n, m} = < , J0{n, m} =

[0.667 при n Ф m [0.4 при n Ф m [0 при n Ф m

• на траектории K, свойство изогональности чётных и нечётных и ортогональности перекрёстных функций

Wc (£ А0, An ) = (cos Ac0^- cos Acn£) + - ^^i)

Ac 0 Acn

Ws A10, Ain) = (cos Pis0Ü-- cos A*¿) - -

Pis 0 r^1Sn

отражено в значениях скалярных произведений, приведенных ниже

[ 1 при n = m [ 1 при n = m [l при n = m

JC {n, m} = ^ , JS{n,m} _ , J0{n, m} 4n .

[0.5 при n Ф m [0.773 при n Ф m [0 при n Ф m

Свойство ортогональности для скалярного произведения собственных функций разных семейств (чётных и нечётных) очевидно, т.к. интеграл на интервале ^ = 0,1 от нечётной относительно середины интервала функции равен нулю, а произведение чётной относительно середины интервала функции на нечётную есть функция нечётная.

Обобщённый ряд Фурье по изогональной системе собственных функций. Свойство изогональности и ортогональности двух семейств собственных функций даёт возможность представления произвольной интегрируемой функции f (£) обобщённым рядом Фурье

СО <х>

S(£) ~ Ж) = X%(£, А0, А„) + f + ZdnwSnAn) (24)

n=1 2 n=1

Коэффициенты ряда представляются конечной и рекуррентной формулами c„ = J- { ftfXWcn (£Ac0,Aen ) - J2] di (26)

J C IC

dn = dn _1 - J { f (^)[Ws„ (£,As0,Asn) - Ws„_1(£,As0,As„-1)] (27)

J S

где соответствующие нормирующие коэффициенты - интегралы равны

Ic = J Wen (ü,fic 0, Acn ) d£ Je =(} (£Ae 0,Ac ) d£)1/2, Js = (} wl (Z,Ps 0, Asn ) d^)1/2.

0 0 0

Выводы

В области амплитудно-фазовой К-модуляции «наблюдается расчётно» смена частот (числа осцилляций) при значениях продольного усилия равных k « 0.2, т.е. ниже «лоренцо-вой» и более соответствующих экспериментально определённым. При этом в диапазоне нагрузок k к, 0.4 - 0.6 происходит «скачок» сдвига фазы .

В области бигармонических модулированных форм существует подобласть в виде криволинейного треугольника, ограниченного снизу отрезком (ЛРМ-Е) оси абсцисс до первой критической частоты Дтт, сверху - частью параболы (ЛРМ-Т) и справа - отрезком касательной ЛУЧ-К к параболе ЛРМ-Т, проходящей через конец отрезка ЛРМ-Е.

Модулированные собственные функции бинарных критических точек изогональны (изоклины) в каждом из множеств (чётных или нечётных) и ортогональны между собой.

Обобщённая постановка задач анализа форм в полярной и конической системах

координат

Уравнение состояния. Уравнение состояния - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) 2N -ого порядка бесселева типа относительно действительной функции W(г/) нормированной действительной переменной 0 < г/ < 1

эйлерова часть

В(Ш)(Ъ(ш),s){W} = [Е^Ч?2^ + 60(2"У№] = f(Л) (2.1)

4-v-'

бесселев добавок

включает: «обобщённо - эйлерову часть», представляемую суммой произведений линейных дифференциальных (ЛДО) операторов Эйлера Е22„¥)(сг,/л, s){W} до 2N -ого порядка на степени координатной переменной г/2("~п)

N

Е(2" )(Ъ), s){W } = )Ф^-п) Е 2Г Ч^, s){W } (2.2)

п=1

и «бесселев добавок» - произведение степени координатной переменной г/2№ на искомую

эффициентом бесселева (КДБ) добавка» ЛОДУ Ъ(2")(Л) = {Ъ^/ЧА п = 0,"}- функциями

«комбинированной внешней нагрузки» А , например, изменяющихся в процессе нагружения мембранных усилий, и показателем степени бесселева добавка - неизменного параметра 5.

Траектория нагружения. Операторы Е^-1 (ст,/г, я)^} однотипные, специального вида:

Е= Р\{Ж} = ПЕк2)(а,/л,s){W} = ПВ )В ~У2пак){W}(2.3)

k=0 k=1 k=1 представимы некоммутативным произведением эйлеровыми ЛДО специального типа второго порядка

5){Ж} = (рп-у1к)В ){W} = [(В, 25(к-1))2 -^2]{W} (2.4) имеющими характеристические показателиV 1к,у2к , зависящие от трёх структурных неизменных параметров (о, ¡л, 5) и номера к - корнями вековых характеристических полиномов степени 2п

Е){W} ^ РЕ2» = £й^у = 0 (2.5)

к=0

Характеристические ЛДО показатели удовлетворяют условиям: разности значений характеристических показателей для пар одного номера, начиная с меньшего номера, одинаковы; разности характеристических показателей для каждых последовательных пар постоян-

^ " У2к = ^ + У2к = " Мк " ^ V+1) " ^ = ^2(к+1) " У2к = 25 (2.6)

Обобщённое преобразование Ломмеля-Томсона. Линейный дифференциальный бе-селев оператор (2.1), эйлерова часть и бесселев добавок которого удовлетворяют условиям (2.2)-(2.6), представим суммой:

N

В(2 N) (Ь(2 N) (!)){Ж} = V2 № Ё Ь2Г) (^)К(2п) (а, М, 5) + Ь02 N) (Л)]{Ж} (2.7)

И=1

и коммутативным произведением

N N

В5,1){Ж} = в(м2)(а,А5,Л2 ){Ж} = ^5^(К(2)(а,^,5) + Л2 )]{Ж} (2.8)

п=1 п=1

Здесь введены «обобщённые эйлеровы» степенно-дифференциальные операторы второго порядка, аналогичные операторам Лапласа [12-17]

К(2 п)(а,^, 5){Ж} = П К ¿2) (с, /л, 5){Ж} = п1* Е(2){ Е(2){;7-2 5 Е1(2)(а,//)}{^Г} (2.9)

к=1 4---'

п раз

и «обобщённые бесселевы» дифференциальные операторы высшего порядка специального типа [13-18]

В ю (а, и, 5, А2т ){Ж} = [К (2) (а, и) + А2т ]{Ж} = [г,2 5 Е(2) (а, и) + А2т ]{Ж} (2.10)

представляющие собой «степени» - обобщённого степенно-дифференциального эйлерова оператора второго порядка (аналог преобразования Ломмеля - Томсона [19-20])

К(2)(а,¡л,5){Ж} = ч 25Е(2)(ст,/Л){¥} = Л 25[(рп +а)2 -^2]{Ж} (2.11)

Соотношения связности «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ и характеристических структурных параметров форм. Здесь «коэффициенты бесселевых добавок»

Л2т, т - 1, N в разложении (2.11) есть корни характеристического полинома

N

?в (Л) = £ Ь^ )(!)Л2 = 0 (2.12)

п=0

и являются основными структурными параметрами решений, связанные с «коэффициентами жёсткости» соответствующими соотношениями [17-21]

СП п N N

ыN) (!) = 1, ЬГ) (!) = X П (I), Й = I К (I), ы(2N) (А) = П л2п (!) (2.13)

] =1 kj =1 п=1 п=1

Представление бесселева оператора высшего порядка коммутативным произведением бесселевых операторов второго порядка. Используя элементарные операторные соотношения

иш и 2ш ипш п

= Рч {Ж}, л2 = Рч Р -1){Ж}, = П[Рч~ (к -1)]{^}

а а т} а т} к=1

и преобразования Ломмеля - Томсона искомой функции Ж (г/) = г/~а w с учётом соответствующих выражений - операторов сдвига

Р„т = -а)М, Р\{Ж} = -а)к{w}

и координатной переменной £ = г)5 выражений - операторов умножения

Р^} = Р^}, Р>} = 5кР1^} обобщенные операторы Эйлера и Бесселя примут «каноническую» форму

^ _ N

В^Ча^ДХЖ} = 52^етвр(ДД)М = 52Л^П[Р "Д2) + №№} (2.14)

п=1

где ~Ц = /и/ 5, Лп = Лп / 5 и при этом справедливы операторные соотношения

= Р{w}, 0 = Р р - 1)М, Г ^ = 11 [Р. - (к - 1)]М

ад ад ад к=1

Представление (2.14) позволяет переписать уравнение (2.1) в форме, левая часть которого есть коммутативное произведение «обобщённых бесселевых» дифференциальных операторов, где эйлеров оператор представлен в форме лапласа

N

П[Г2Ф) -Л2) + Л2„]{*} = /(£) (2.15)

И=1

N ' t / \__"1 _ __"2 _ ___ 3 _

рв(Л) = £^^Л2 =П(Л2-К)лП(Л2+л1)*П(Л4 -2«2Л2 + (at + Д4))pk = 0(2.17)

^) p\A (д2 +л m^m

n=0 s n=1 m=1 k=1

Вследствие коммутативности операторной части (2.15) исходное уравнение высшего 2N -ого порядка с однородной (нулевой) правой частью равносильно системе N независимых уравнений Бесселя второго порядка

[(D -Г) + Ш2]{w} = 0, n = 1N (2.16)

где: Д = /и/s = (v^ -v2)/s - индекс (или порядок) цилиндрических функций; Лп - коэффициенты бесселевых добавок - корни характеристического уравнения (2.12) для КДБ

n ¿(2nN)(л)Х2 N N2 N3

S2

Основные типы собственных форм и критических линий раздела характерных областей. Среди А2п корней КДБ уравнения (2.17) возможны четыре типа: единичные действительные положительные Л2п > 0, отрицательные Л2т < 0 и нулевые Л2 = 0 и парные комплексно-сопряжённые A^2(k) = ak ± ißl соответствующих кратностей pn, pm, pj и pk ,

N1 N2 N3 N4

так что 2 pn +2 pm + pk +2 p3 = N.

n=1 m=1 k=1 j=1

Решения любого ЛОДУ второго порядка из системы (2.16) для единичных простых (некратных) и не целых КДБ есть пара цилиндрических функций, представленная обобщённо-степенными рядами вида:

[(D2-Д2) + A2n£2]{Z} = 0 ^ Z±Жп)(£) = + Z(-1)m(^)2-) (2Л8)

m=1 2 m!^ (+Д + k)

k=1

Для простых (некратных) значений беселевых добавок весь набор ФСР определяется по форме (2.18), а для кратных (в зависимости от кратности) - по схеме Лопиталя: для двукрат-

7 (р\ - 1lm Z ±Д( n) £) ~ 7 ±Жп+1) _ g dZ ±Д(п)(\£) (9]Q)

7±ü(n+1)(b) ~ llm! T т _ ^ iT (Z19) ( ) ln -1dl

n n+1 nj

и для многократных

7 -A2 d 7) 7 (A) _ ?md 7±Д(n) ) (2 20)

7±Д(п+2)(Ь) "Ь ,T2 , ....., 7+Жn+m) w ) -b —2 (Z.Z0)

dA n dÄn

При действительных A2n > 0 положительных значениях КБД единичных корней цилиндрические функции (2.18) называются функциями Бесселя (Вебера, Неймана, Ханкеля) первого рода действительного аргумента индекса Д. При действительных A2m < 0 отрицательных значениях КДБ - функциями Бесселя (Макдональда) второго рода мнимого аргумента индекса Д, при нулевых значениях Эйлеровы (степенные) действительного аргумента и для

парных комплексно- сопряжённых А^ 2(k) = а^ ± ißl - функции Бесселя - Кельвина коплекс-

ного аргумента. Их явные выражения редко встречаются в публикациях, поэтому они представлены ниже

Ке±Жк) (£) = ^ (1 + ± (-1)п (М)2п ео52^к ), п=1 2 (±Д + т)

т=1

Т5±ж к) (Я = ^ (1 + £ (-1)п (М)2п *П2'ПРк ) (2.21)

п=1 2 (±Д + т)

т=1

где параметры комплексно-сопряжённых коэффициентов бесселевых добавок следующие

Л2к = а2к ± 1Р1 ^рк = ^ +Д4, ^ = ±а^^ (2.22)

Таблица 2.1

Виды простых осцилляций и монотоиностей цилиндрических функций второго и

четвёртого порядков

№ Названия видов осцилляции или монотонности Значения коэффициента бессе-лева добавка Л2 Аргументы функций Написание функций

1 Бесселевы I -го рода. (Неймана, Вебера, Ханкеля) индекса (порядка) Д действительного аргумента w,, + ^w,-й2 w + А2£2 w = 0 Л2 > 0 положительные действительные / N У действительные осциллирующие

2 Бесселевы 11-го рода (Макдо-нальда) (модифицированные функции Бесселя индекса (порядка) Д ) мнимого аргумента £2 + w -К2е w = 0 Л2 < 0 отрицательные ± / мнимые ^М- К±М действительные монотонные

3 Эйлера действительного аргумента w" + %w'-Jl2 w = 0 Л2 = 0 действительные нулевые Л12 = 0 действительные нулевые действительные степенные монотонные

4 Кельвина-Ханкеля индекса (порядка) ~Ц комплексного аргумента wIF + - (1 + -2Д2)^2+ (1 + 2Т?)Ы -- Д2(4 - Д V + V (£2 wII + -£2w) + (а4 +р4)^4w = 0 Л2 =а2 ± /р2 Р2 =^а4-Л4 комплексно- сопряжённые ±^ал +РЛ в'* Р2 (р = +аге^- 2 комплексно-сопряжённые Kc+д, Т5 ±д, действительные осциллирующие

5 Бесселя- Кельвина (Томсона) индекса (порядка) ~Ц комплексного аргумента £2+ w ± /А2£2w = 0 ± /Л2 мнимые ±^(1 ± /)Л£ комплексные Ъвг±-^ к^ bвi±-, Ы±- действительные части комплексных осциллирующих

Каждому типу элементарных простых (некратных) решений соответствуют простые формы осцилляций и монотоиностей, перечень которых приведен в таблице 2.1. В число простых модуляций цилиндрических функций четвёртого порядка входят четыре вида двух-

параметрических и четыре - однопараметрических (таблица 2.2), где при классификации видов используются обобщённые дифференциальные операторы Лапласа второго и четвёртого порядка

V 2{w} = w" +1 w'-^ w, V2 V 2{w} = w/F + - w111 -£ £2 £

и 1 + 2/r

■w +

e

i /7 (9-Д2) -w +—w

r

и пространство «коэффициентов жёсткости» (Ъ

(4)

¿24)) для определения областей видов

модуляции и их границ. В этом же пространстве задаётся «траектория нагружения»

^ (Ъ0т (4),Ъ2т (4)) = 0, или ъ0т(4) = Ъ0т(4){1}, Ьт2 (4) = Ьт2 (4)(!) (2.23)

На рисунке 2.1 представлены области видов модуляции для ЛОДУ четвёртого порядка. Аналогичные области указываются и для ЛОДУ высшего (шестого и выше) порядка.

Граничные линии или линии раздела видов модуляции (ЛРВМ) - квадратичная парабола и прямая (ось ординат)

bM (4)

С(4) = Р^)2

и

Ъ0м (4) = 0

при

- с» < bM (4) < +0)

(2.24)

это критические линии первого рода, которые определяют множества точек ветвления - точек перехода от одного вида модуляции к другому.

В каждой из областей существуют семейства изопараметрических = const = C2) взаимнопересекающихся линий (ИПЛ), выражения которых следуют из соотношений связности (2.13) , в частности, для ЛОДУ четвёртого порядка: линий уровня частот (ЛУЧ) - семейства парабол, смещённых по оси абсцисс на величину C4, и линии уровня длин волн (ЛУВ) - прямые, параллельные оси абсцисс и смещённые на величину Л2

bC (4)

ъс(4) = (^ + с4)

и

ъ

(4)

2

= Л

(2.25)

в области QK : b(4) > (Ъ24)/2)2, - го < Ъ^4) < «кельвиновских »модуляций (KeT ). В областях «бимакдональдских» Q.MM :0 < Ъ0(4) < (Ъ24)/2)2, Ъ^4) > 0 модуляций (M ПM ),

в n (B П E)

KT

в n в

в n E

в n м

M n E

m П в

ъ (4) ъ2

Рисунок 2.1. Области видов модуляции в пространстве «коэффициентов жёсткости»

ЛОДУ бесселева типа четвёртого порядка

«бибесселевых» &вв :0 < Ь0(4) < (Ъ(24)/2)2, Ъ^ < 0 модуляций(В П В ) и в области модуляций

«бесслево-макдональских (B ПM + M П B ) » 0.в+м : 0 > b((4), - оо < Ъ

(4)

< +оо

линии частот

ЛУЧ и длин волн ЛУВ - это прямые, смещённые на величину Л22 = С2 и касательные линии

раздела видов модуляции ЛРВМ.

Ък (4)

Ъ0к (4) = С 2(Ъ^--С2) (2.26)

Ъ

0

2

Точки пересечений линий этих семейств образуют множества критических точек второго рода. Следует обратить внимание на сгущенность семейства прямых в окрестности линии раздела видов модуляции (параболы (2.24)): здесь возможны переходы к трём видам модуляции и переходы от одной частоты несущей и модулирующей к другой.

Система краевых условий. Значения параметров сдвига и наклона изопараметриче-ских линий определяются из линейных граничных условий дифференциального типа общего вида записанные в форме:

ит *(2 *-1)){ж}

12

N-1

= 1 <Г} ЕСЧг}

и=0

N-1

+ 1 d 2Гт

1 Е }

и=0

2

= 0, т = 1,2N

(2.26) Таблица 2.2

Виды модуляций и монотонностей ОДУ четвёртого порядка

Вид и обозначения модуляции Параметры структуры Коэффициент «жёсткости» ь(4) = Л2 Л2 ь0 ''4^2 Коэффициент «жёсткости» ь24) = л! +л2 Дифференциальный оператор вида модуляции

Кельвина-Томсона (Ханкеля) КТ Л2,2 =«2 ± 1р2 - оо < а2 < +оо р2 > 0 ь(4) ь04) > (ь2 )2 - 00 < ь24) < +00 [(V2 +«2)2 +д4]М в области (ь(4), ь24)) ЕОк

Макдональда+ (Макдональда* Эйлера) м П (М П Е) л2 = Л22 < 0 а2 < 0,Д2 = 0 ь(4) Ь04) = ()2 0 < ь24) < [(V2У2 - 2 на граница тей (ь0(4) Л2 ра ь (4 ь2 V2 +Л4]{^} здела облас-)) еГ ) ^ х М (МЕ)

Макдональда+ Макдональда м П м (Л? *Л2) < 0 ь(4) 0 < ь04) < (ь2 2 0 < ь24) < [(V2 - Л2 в (ь04),< XV2 - Л2 )]{^} области ь(4)) ЁО 2 ) ^ ь 'ММ

Макдональда+ Эйлера М П Е л2 < 0, Л22 = 0 ь04) = 0 0 < ь24) < [(V2 -на граница тей (&( Л2 ра ),ь )У 2]{^} здела облас- (4)) еГ 2 ) с МЕ

Макдональда+ Бесселя м П в+в П м л2 > 0, Л22 < 0 ь04) < 0 -ю< ь2(4) < +х> [(V2 +л2)(У2-|л2|)]{^} в области (ь04), ь24)) ео мв +п вм

Бесселя+ Эйлера В П Е Л? > 0, Л22 = 0 ь04) = 0 -®< ь24) < 0 [(V2 +Л1)У 2]{^} на границе раздела областей (ь04), ь24)) еГм,

Бесселя+ Бесселя в П В (Л? *Л2) > 0 ь(4) 0 < ь04) < ф2 -®< ь24) < 0 [(V2 +Л2)(У2 +л2)]{^} в области (ь04), ь24)) ео вв

Бесселя+ (Бессе-ля*Эйлера) в П (В П Е) л2 = Л22 > 0 а2 > 0,Д2 = 0 ь(4) ь04)=(ь, )2 -®< ь24) < 0 [(V 2У2 + 2Л2У2 +Л4]{^} на границе раздела областей (ь04), ь24)) еГвЕ

Рисунок 2.2. Семейства изопараметрических (ИПЛ) линий: семейства парабол и наклонных прямых - линии уровня частот (ЛУЧ) и семейство вертикальных прямых -линии уровня длин волн (ЛУВ) в различных областях двухпараметрических видов модуляции ЛОДУ четвёртого порядка бесселева типа

Относительно искомой функции Ж (г/), которая представляется суммой произведений произвольных постоянных С ±ж п) и фундаментальных (ФСР) решений 2 ±д(Л / 25)

ы Л т/

Ж (?) = 12Н5 2 С±Жп) 2±(п)^-^> {221)

разного типа в каждой из областей видов модуляций. ФСР представляются в форме, пригодной для предельного перехода от одного вида модуляции к другому.

Среди задач анализа собственных форм выделим четыре типа: 1) задача спектрального анализа минимальной несущей и модулирующей частот (или длин волн) и всего спектра частот (или длин волн) осцилляций определённого (заданного) вида модуляции при заданной траектории нагружения; 2) задача анализа собственных форм осцилляций определённого (заданного) вида модуляции при заданной траектории нагружения; 3) задача комбинаторного анализа спектра частот и собственных форм осцилляций различных (не заданных) видов модуляции и произвольных (допустимых) траекториях нагружения и 4) задачи анализа оптимальных траекторий нагружения при заданных (допустимых) видах модуляции, собственных формах и спектре частот (длин волн) осцилляций. К этому следует добавить, что вследствие указанной выше сгущенности изопараметрических линий в окрестности линии раздела видов модуляции возникают вычислительные трудности при определении форм и частот, например, по методу продолжения по параметру, где основным является вопрос о выборе такого параметра и выборе вида модуляции (в окрестности граничной критической линии может быть три вида модуляции и несколько значений частот).

Обобщенная постановка анализа собственных форм. Таким образом, расширенная постановка задач анализа включает: линейное обыкновенное дифференциальное уравнение состояния (1) специального вида (по условиям (2.2)-(2.6)), приводимого с помощью преобразований (2.7)-(2.9) и с учётом значений корней характеристического уравнения (2.12) к каноническому виду (2.14) и к несвязной системе ЛОДУ бесселева типа второго порядка; задание траектории нагружения (2.23); классификации видов модуляций (таблица 2.1); классификации областей видов модуляции и их границ (таблица 2.2); соотношения связности (2.13) «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ и структурных параметров -«коэффициентов бесселевых добавок»; классификации критических (2.23)-(2.26) линий - изопараметричеких ИПЛ и точек; линейные краевые условия дифференциального типа (2.26); детерминантно - краевые уравнения (ДКУ).

Основная особенность и трудность этих задач состоит в том, что для указанных многопараметрических (по значениям «коэффициентов жёсткости») механических систем высшего (четвёртого и выше) порядка структурных параметров (значений «коэффициентов бесселевых добавок») всегда два и более, а осцилляционных составляющих - фундаментальных решений четыре и более (по паре бесселевых функций на каждый структурный параметр). Трудность, в первую очередь, заключается в «неопределённости», т.е. параметрической зависимости «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ (они же коэффициенты характеристических показательных полиномов эйлеровых частей и «коэффициентов бесселевых добавок»). Во вторую очередь, отсутствие аналитических решений для алгебраических полиномов степени выше четвёртой. В третью очередь, отсутствие аналитических решений для трансцендентных детерминантно - краевых уравнений, содержащих бесселевы, тригонометрические и алгебраические функции. И, в четвёртую очередь, форма представления фундаментальной системы (ФСР) решений ЛОДУ бесселева типа должна быть универсальной. В частности, непрерывной по структурным параметрам и обладать свойством непрерывного перехода от одного вида модуляции к другому как в случае простых (некратных параметров), так и в случае кратных.

Детерминантно-краевое уравнение и система краевых условий. Используя представления общего решения краевой задачи (2.16) и (2.26) с учётом представлений (2.18)-(2.21), задача определения собственных чисел сводится к решению детерминантно - краевого (ДКУ) уравнения для однородной (с нулевой правой частью) системы (2Ы) трансцендентных уравнений с цилиндрическими функциями относительно структурных параметров Лп - коэффициентов КБД

..... и 1(2 ±ж м _,))

..... и2 (2±р(Ы-1) N-1 ))

дл,) = ё<*

и х(2 ^(Л,))

и 2(2+д(1)(Л1))

и 1(2 ±ж N )(ЛN)) и 2(2 ±ж N )(Л N ))

и 2 N-1(2 ±Ж1)(Л1)) и 2 N1(2 ±Ж1)(Л1))

и2N-1 (2±м(N-1) N-1 )) и2N-1 (2) N )) и2N (2±иШ-1) N-1 )) и2N (2±йШ) N ))

= 0 (2.28)

Здесь следует иметь в виду, что в каждой строке (28) длиной (2М) операторы и(тьг_1){2п)} относятся к паре цилиндрических функций 2±щп), а в целом ДКУ (28) содержит N неизвестных искомых структурных параметров Лп. К уравнению (28) добавляются (N -1) соотношений связности (2.13), содержащих параметр Я - внешнюю комбинированную нагрузку, задающую «траекторию нагружения» функцией вида (2.23). Таким образом, разрешающая система (2.13), (2.28) и (2.23) даёт возможность решать задачу определения критических точек на заданной траектории нагружения и соответственно задачу об эволюции собственных форм системы. При решении задач оптимизации по выбору «оптимальной траектории нагружения» приходится прибегать с структурно-комбинаторному анализу собственных форм и собственных чисел для «допустимых» видов модуляции. Ниже в качестве примера рассматривается задача об эволюции собственных форм малых колебаний тонкой линейно упругой (по Гуку) трансверсально-изотропной сплошной круговой пластины при малых колебаниях и малых (по Коши) деформациях.

Задача о собственных осесимметрических формах усечённой круговой тонкой анизотропной усечённой конической оболочки. Геометрические параметры для круговой конической оболочки (коэффициенты Ламэ (А1,А2), главные радиусы (Я1,Я2) кривизн) в системе координат (а1 = 5, ог2 =в), связанной с образующей конуса 5, исходящей из вершины конуса и наклонённой к оси вращения под углом 3, даются следующими выражениями:

8 8Л 111

Л, = 1, Л2 = г = ^ sin 5, от, = -= 0, —- = sin 5, — = 0, — = - ctg3

8а2 8s R1 R2 s

Главные оси анизотропии упругих свойств совпадают с направлениями главных кривизн (по образующей и в окружном направлении).

Уравнения осесимметричных форм свободных колебаний. При свободных установившихся малых колебаниях с постоянной круговой частотой со система уравнений включа-

• продольных (N1,N2) и поперечных (Q1) отличных от нуля усилий

1 d(sN1) лт п Q, л 1 d(sQ1\ N N2 , 2

-["V^-N2] + Q = 0 -[-^оЧ-N -N- + qn = -pghß) w s ds RL s -s RL R2

• изгибающих моментов ( M L, M 2)

I [ dJMl _ m 2] - q, = 0

s -s

• соотношения ортотропных линейно упругих (по Гуку) оболочек Кирхгоффа-Лява - изменения кривизн и изгибающих моментов при осесимметричной деформации

-2 w „ 1 dw w'

X, =--7Y = ~w , ^2 =—-T =--

-s s -s s

для радиального и кольцевого моментов

M, =-DL(w" + ß2l- w') M 2 = -DL(^21 w" + c - w') s s

здесь: D, = (E,h3)/(12(1 - //12//21)) -цилиндрическая жёсткость оболочки толщиной h, модуля Юнга по образующей E,, коэффициента анизотропии c = E2 / E, и коэффициентов Пуассона ju12 , //21. Уравнение равновесия изгибающих моментов при отсутствии продольных усилий, записанное в перемещениях, имеет вид, подобный разрешающему уравнению для круговой пластинки (2.28)

s 4 wV + 2s 3 wm- cs2 w" + csw'-B^^L s 4 w = 0 (2.29)

D, ( )

Используя выражения для дифференциальных операторов Эйлера и производных ш' = D{w}, s2w" = D(D - 1){w}, s3w" = D(D- 1)(D -2){w}, s4wIV = D(D- 1)(D-2)(D-3){w} это уравнение принимает форму

[D(D - 2)( D -1 -4c )(D -1 + 4c )-Ä4s4]{w} = 0, Я4 = (pghß2)/D, (2.30)

или эквивалентную её, распадающуюся на два независимых уравнения Бесселя второго порядка

[D(D -1 + Vc) + ä2 s 2 ]{w,} = 0 [D(D -1 + Vc)-ä2 s 2]{w2} = 0, w = w, + w2 (2.31) Уравнения «краевого эффекта» конической оболочки. К уравнению такого типа также приводятся, следуя [], уравнения «краевого эффекта» при N-=0 и Q, = -N,ctg3 - (учитывается связь их с продольными усилиями и первого интеграла системы)

-2п 1 -и 4 2(1 -и12и21) -2и 1 du 4с 6 л

—2 +---—Т7] —-—= 0 —- +-----и + —тГ! = 0 (2.32)

-с2 £С tg23 -С2 с-с с2 h2 v '

здесь использованы подстановки

u = dw/ds, rt = sQ, s = ^2/2,^ = v2s, -£/-s = 1/£ и — = —■^ = Ld

-S -S £

Система после умножения на и использования эйлеровых операторов первого

nfl f d if.d{Y „2 d2{} „d{} D{} = с,- и второго D {} = с, — (g-) = g -— + g- порядков сводится к несвязной

d£ d£ d£ d£2

системе бесселевых уравнений четвёртого порядка

{[((D - 2)2 - 4)(D2 - 4с)] - 12(1 ~ /2'^2l) ctg23 s4 }{u} = 0 (2.33)

\2 ЛМ Г\2 12(1 ^12^21) „¿„2 Q -

h 2

\2 л „\ir\2 Л\Л 12(1 /^1^/^21 ) „¿„2 д „4 ^

h 2

{[((D - 2)2 - 4c)(D2 - 4)]--v И:2И2Х> ctg23s4}{u} = 0 (2.34)

или в развернутом виде через характеристические показатели

[Р(Р - 2)(Р - 2л/С)(Р + 2^С) - Л4£4]{и} = 0, Л4 = 12(1 ~ 2& (2.з5)

И

[(Р - 2 - 2>/С)(Р - 2 + 2л/С)(Р - 2)(Р + 2) - Л4£2]{?} = 0 (2.40)

Характеристические показатели эйлеровых частей бесселевых операторов Пя = , К2 = 0, ^3 = У„4 = 4,

= -2, у72 = 2 - 2, = 2, ^4 = 2 + , разности пар характеристических показателей не удовлетворяют указанному выше условию

^3 - = 4л/с, 1"„4 - = 4, ^з - УП1 = 4, ^4 - = 44С , поэтому решение этих уравнений уже не может быть выражено через функции Бесселя второго порядка, для его представления используются [27] цилиндрические функции высших порядков.

Уравнения устойчивости усечённой конической оболочки при осевом сжатии и боковом давлении. Полагая в (2.29) изменения кривизн в процессе деформации равными 1/R1 - Х\ - ~d2ж/^2 и 1/R2 = (1/5- (1/5)(0^/ds) - (ж/52)С£и соответственно и учитывая при этом зависимость мембранных меридинальных усилий N = (#0Ь)/5 (где Ы0-концевое меридианальное усилие на границе 5 = Ь - большем торце усечённого конуса), име-

54^ + 253Л»'" - С52П>" + сМ' + ^5(52П>" + ш') + PCgtЗ 53Ж = 0 (2.41)

Р1 Р1

Собственные осесимметрические формы малых колебаний круговой пластины.

Уравнения малых колебаний в традиционной форме (Софии Жермен) имеет вид d4W 2 d3W с d2Ж с ^^^ ,pgR4®2 п п 1

"Т^ + --гт- -—^ +——12(1 - ^12^21) * 2 W = 0, 0 ^ ч <1 (2 42) г) -г! г) -г) г/ ац Е1И

после умножения левой части на г)4 это уравнение принимает каноническую (Эйлерову) форму

m2 R 4

rj4WIV + 2rfWm - crfW11 + ctiW1 -ЛУЖ = 0, Л4 = 12(1 - ¡Li^^pg^- (2.43)

E1h

Здесь использованы следующие обозначения : W = w/и - относительный прогиб круговой пластинки постоянной толщины И (далее черточка над символом ж опускается); г) = г^ - относительная радиальная координата полярной системы координат, нормированная величиной радиуса R внешнего контура пластинки; Е1 - модуль упругости Юнга материала пластинки в радиальном направлении; с - Е2/Е1 = /и21///12 - коэффициент ортотропии упругих свойств пластинки как отношение модуля Юнга в кольцевом направлении Е2 к модулю Е1 или соответствующих коэффициентов поперечной деформации Пуассона; р - плотность материала пластинки; * = 980 сш/ сек2 - ускорение силы тяжести; <э - круговая частота

собственных установившихся колебаний.

п

Используя соотношения цЖ1 = Р^{Ж}и ?]пЖ(п) = ]~[(Р^ - (к - 1)){Ж}, эйлерова часть

к=1

уравнения преобразуется в операторную сумму

4

(4) п(п) (Ш\ ~\4„4Ш ,-«(4) _ ~(4) _ ^{Л „V „(4) _ с „(4) _ „. „(4) _ •

а[4) Р^ {Ж} -А4 Г!4 Ж = 0, а04) = 0; а(4) = 2(1 - с); а24) = 5 - с; а3(4) = 4; а 44) = 1

Как видно из структуры ЛОДУ, траекторией нагружения здесь является прямая - ось абсцисс Ь0(4) = Л(4), Ь2(4) = 0, а структурных параметров два: А^ =

Л(4)

И Л2( =-

Л(4)

и

потому соотношения связности выглядит просто Л1 + Л2 = 0 .

Определив для зйлеровой части характеристические показатели как корни векового характеристического уравнения,

4

Р(4)(у) = £а{4)У = 0 ^ = 0,у2 = 1 + 4с,у3 = ух + (1 -4с),у4 =у2 + (1 -л/с) (2.44)

п=0

запишем эйлерову часть уравнение состояния в форме операторного произведения П (Б„-Уя ){Ж} -А\4Ж = 0 (2.45)

п=1

Учитывая, что разности соответствующих пар ( уъ -у1 =у4 -у2 = 1 -4с = 28 ) показателей, а также разности (у2 - у 1 =у4 - у3 = 2ц) в каждой паре есть величины постоянные, и суммы этих пар (у1 +у2 = 2а и у3 +у4 = 2а + 4' ) отличаются на величину, пропорциональную номеру пары (2*2' ), эйлерову часть как произведение представим в форме:

П[(Р, - а - 2'(к -1))2 - ¡и2]{Ж} - А4г/4Ж = 0 (2.46)

к=1

Свойство сдвига каждой пары характеристических показателей даёт возможность представить эйлерову часть в виде «степени» или порядка дифференциального оператора со сдвигом (введенное выше обобщённое преобразование Ломмеля - Ватсона), а именно

^[[^(Р -а)2 (р -а-2')2-^2)]]{Ж} = п4[^Р -а)2 -^2]2{Ж}

поэтому в этом случае справедлива следующая операторная форма исходного уравнения четвёртого порядка бесселева типа

^{п 2'р -а)2 -и2]2{Ж}-Л4^4Ж = 0

Представление исходного уравнения в виде операторной «разности квадратов» позволяет перейти к соответствующему операторному произведению суммы и разности операторов

{ [^Р -М2]"Л2^2}{?72'{[л'2'р -а)2 -^2]} + Л2^2){Ж} = 0, а затем и к эквивалентной системе двух несвязных операторных уравнений

[л2' {[^ Р - - ^2]} ± Л2^2 ){Ж1} = 0

так что общее решение есть сумма двух независимых решений Ж = Ж+ + Ж~ , каждое из которых (после умножения и преобразований) - уравнение Бесселя в общей форме [(Р - а)2 -и2) ± Л2^2]{Ж1} = 0 (2.47)

Преобразуя по Ломмелю компоненты Ж± (г/) = г) а21 (г}) (по свойству смещения операторов на величину а- (1 + 4с )/2), имеем в канонической форме относительно функций Бесселя (2 + = и Макдональда (2~= 2^(1 Кг])) индекса ^ = (1 + 4с)/2 со-

ответственно при Л = ^|Л4

[Д-У) + Л2?2]{2±7 } = 0 (2.48)

Решения (пары соответствующих цилиндрических функций) 2(77), 2М (?) даются при

не целых порядках (индексах) ¡л^ п^2 обобщёнными степенными рядами

• осциллирующие функции Бесселя - Вебера - Неймана первого рода действительного аргумента индекса ¡л^ п^2

1

2±» = ^(1 + £ (-1)п (^)2п

)

п=1

+ к)

к=1

(2.49)

не осциллирующие функции Макдональда - Бесселя второго рода мнимого аргумента индекса /лф п^2

1

2±МД?) = ?^(1 + ± (^)2

п=1 2

)

п!|7 (±ц + к)

к=1

(2.50)

Общее решение есть сумма произведений частных фундаментальных решений Ж (?) = (С,2* (Л?) + С2 2?м (Л?) + С3 2ММ (Л?) + С4 2 мм (Л?)) (2.51)

и произвольных постоянных интегрирования Сп, п = 1,2,3,4 , определяемых из краевых условий рассмотренных ниже двух видов в центре пластины

• центр защемлён: прогиб в центре равен нулю Ж(0) = 0 и изгибающий радиальный момент М1 (0) ^ 0 и перерезывающее усилие ограничены и отличны от нуля Q(0) ^ 0, и при этом перерезывающее усилие в центре и на внешнем контуре связаны соотношениями Q1 (0) = 2^1 (1), вытекающими из уравнений равновесия в целом, (угол поворота Ж1 (0) = 0 равен нулю тождественно)

М1 (0) = - Д1(Ж11 (?) + м21- Ж1 (?)) 1 1 21

* 0

а (0) = - д (Ж111 (?)+1 ж11 (?) -4 ж1 (?))

1]=0 * 0

(2.52)

77=0

? ?-

при этом следует, что С1 = -С3 (при выводе этого соотношения используется представление системы фундаментальных решений в форме обобщённого степенного ряда, где учитываются первые два - три слагаемых, а остальные при ? —» 0 обращаются в нуль); • центр свободен: перерезывающее усилие в центре и на внешнем контуре равно нулю

а(0)=аю = 0

а (0) = - д (Ж111 (?)+1 ж11 (?) - 4- ж1 (?))

?

?-

= 0

(2.53)

/7=0

а (1) = - Д (Ж111 (1) + Ж11 (1) - сЖ1 (1)) = 0

в этом случае первого условия следует, что С2 = -С4, а из второго - равновесие пластины в целом;

• и одного вида на внешнем контуре - жёсткого защемления внешней границы Ж (1) = 0, Ж1 (1) = 0 (2.54)

Соответствующие трансцендентные детерминантно - краевые уравнения Д(Л) = 0

графически в окрестности оси ординат Л представлялись отрезками кривых, корни которых определялись методом половинного деления по заданной погрешности отклонения от нуля, равной АР ~ 10 6. По вычисленным значениям частот определены при различных значениях коэффициента анизотропии (на рис. 2.3-2.4 приведены формы для четырёх значений частот при с = 0.5 )

Рисунок 2.3. Собственные формы малых колебаний сплошной круговой анизотропной пластинки с жёстко закреплённым внешним контуром и свободным центром при различных значениях собственных частот и значении с=0.5

Рисунок 2.4. Собственные формы малых колебаний сплошной круговой анизотропной пластинки с жёстко закреплённым внешним контуром и защемлённым центром при различных значениях собственных частот и значении с=0.5

Выводы

Введенное обобщение преобразования Ломмеля-Томсона позволяет выделить (классифицировать тип) коммутативные ЛОДУ высшего порядка бесселева типа, которые сводятся несвязной системе «стандартных» ЛОДУ бесселева типа второго порядка. В новой (обобщённой) постановке, дополненной выражениями «соотношений связности» между «коэффициентами бесселевых добавок » или «коэффициентами жёсткости» и «структурными параметрами» и указанием «траектории нагружения», позволяют учесть все возможные осцилля-ционные собственные формы круговых анизотропных тонких пластин при малых собственных колебаниях и устойчивости при действии радиальных усилий.

Практика вычислений собственных форм показала, что при определении частот достаточно ограничиться двумя-тремя знаками после запятой. При значении с=1 (изотропная пластина) полученное решение совпадает с известным (см., например, [1, 8, 9]).

Литература

1. Вольмир A.C.. Устойчивость упругих систем. -М.: Наука, 1967. -984 с.

2. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. -М.: Машиностроение, 1966. -508.

3. Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем.-М.: Наука, 1967. - 420 с.

4. Кильчевский H.A., Никулинская С.Н. Об осесимметричной форме потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки.// Прикл. механика, 1965, т.1, № 11, с. 1-6.

5. Григолюк Э.И., Кабанов В.В.. Устойчивость оболочек. -М.: Наука, 1978.-352 с.

6. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. О методе непрерывного продолжения по параметру. // Доклады РАН, 1994. Т. 335. № 5. с. 95- 99.

7. Матвеев Е.А., Фролов А.Б. Конечные прогибы цилиндрических оболочек перед потерей устойчивости под действием равномерного внешнего давления.// Известия МГТУ «МАМИ» № 2 (6), 2008. с. 152-157.

8. Lorenz R.//Zeitschrift des Vereines deutscher Ingeniere, v.52, Leiopzig.: 1908, s. 1706.

9. Тимошенко С.П. К вопросу о деформациях и устойчивости цилиндрической оболочки.// Вестн. о-ва технол., 1914, т.21, с.785-792.

10. Король Е.З. К определению собственных чисел и собственных форм для краевых задач со многими параметрами./ Избранные проблемы прочности современного машиностроения.// Сборник научных статей, посвященный восьмидесяти пятилетию члена-корреспондента Российской академии наук Эдуарда Ивановича Григолюка (1923-2005).-М.: ФИЗМАТЛИТ. 2008.-204 с. (с.124-149).

11. Король Е.З. К определению собственных частот малых продольных и поперечных колебаний тонких ортотропных круговых пластин. // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 2. С. 163- 174.

12. Король Е.З. Новые методы операторного интегрирования обобщённых эйлеровых и бесселевых уравнений (N+2M)-ro порядка. // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2003. № 6. с. 8-21.

13. Король Е.З. Эволюция гиперболо-гармонических модулированных осесимметрических форм цилиндрической оболочки при комбинированной траектории нагружения и критические характеристические линии. // Проблемы машиностроения и автоматизации. -2-10.-№ 1. с. 93-101.

14. Король Е.З. Бигармонические модулированные осесимметрические формы цилиндрических оболочек и критические линии и точки траектории нагружения по линейной теории. // Известия МГТУ МАМИ № 1(9), 2010. с. 185-198.

15. Король Е.З. Обобщённая постановка задач определения собственных осесимметрических форм цилиндрической оболочки при нагружении осевой силой и давлением. // Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвящённого 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина (Москва, 20-21 января 20111 года). / Под. ред. проф. И. А. Кийко, проф. Г.Л. Бровко, проф. P.A. Васина.-М.: Издательство Московского университета, 2011. с. 372-378.

16. Король Е.З. К определению критических траекторий и точек при анализе осесимметрических модулированных форм цилиндрических оболочек по линейной теории.// Известия Тульского государственного университета. Естественные науки Механика. 2010. Вып.2. с. 73-85.

17. Король Е.З. Операторный и операторно - рекуррентный методы интегрирования обобщённых эйлеровых и бесселевых уравнений порядка (N+2M). Избранные проблемы современной механики. Том 2./ Под ред. академика В.А. Садовничего. -М.: Издательство Московского университета. 2011. с. 243-257.

18. Король Е.З. Обобщённые эйлеровы и бесселевы уравнения. Операторные иетоды интегрирования./ Избранные проблемы прикладной механики и математики.// Сборник научных статей кафедры «Прикладная и вычислительная математика», посвящённый восьмидесятилетию чл.-корр. РАН Э.И. Григолюка. -М.: МГТУ «МАМИ». 2003. с. 172-207.

19. Коллатц Л. Задачи на собственные значения..—М.: Наука, 1968.- 503 с.

20. Король Е.З. К решению краевых задач продольно-поперечного изгиба орторопных круговых пластин на упругом основании. // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 6. с. 995-1007.

21. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука. 1971.-287 с.

22. Король Е.З. Операторные методы интегрирования эйлеровых и бесселевых уравнений (К+2М)-го порядка. // Вестн. Моск. ун-та. Матеем. Механ. 2001. №

23. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа. 1965.-272 с.

24. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций.М.: Наука. 1974.303 с.

25.Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука. 1978. - 319 с.

26. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. ч.2. М.: Физматлит. 1963. 327с.

27. Бейтмен Т., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные полиномы. М.: Наука. 1976. - 375 с.

28. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Физматлит. 1961 - 459 с.