CC BY
50
УДК 539.3
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Ю. Э. Сеницкий
Самарский государственный архитектурно-строительный университет,
443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.
E-mail: senitskiy@mail. ru
На основе уточнённой теории обобщённым методом конечных интегральных преобразований построено новое аналитическое решение осесимметричной динамической задачи для неоднородных по толщине круговых конических оболочек с конечной сдвиговой жёсткостью. Рассматривается произвольное динамическое загружение для. оболочки, упруго защемлённой по торцам. В расчётной схеме учитываются диссипативные силы вязкого сопротивления. Анализируются напряжённо-деформированное состояние и динамические характеристики оболочек в зависимости от степени неоднородности деградируемых конструкций.
Ключевые слова: коническая неоднородная оболочка, уточнённая теория, конечные интегральные преобразования, аналитическое решение, частоты колебаний, осциллограммы перемещений.
Введение. При взаимодействии одной из поверхностей оболочки с физическими или химическими полями, т.е. когда они подвержены интенсивному температурному воздействию, радиационному облучению, действию химически активных сред (факторов наведенной неоднородности), механические характеристики материала становятся переменными по толщине конструкции [1]. В связи с этим возникает необходимость в определении динамических характеристик и оценке напряжённо-деформированного состояния подобных конструкций. Таким образом, разработка эффективных методов расчета неоднородных оболочек на нестационарные воздействия представляет актуальную проблему современной строительной механики.
В настоящее время известны аналитические решения соответствующих задач динамики для неоднородных цилиндрических, пологих и непологих сферических оболочек [2-4]. Однако автору неизвестны аналогичные результаты для конических оболочек даже в случае, когда материал конструкции однородный.
В предлагаемой работе, на основе уточненной технической теории оболочек, дополненной учётом деформаций поперечного сдвига, инерцией поворота сечений [5-7], при некоторых допущениях (усреднениях) построено аналитическое решение в специальных функциях осесимметричной динамической задачи для неоднородной по толщине круговой конической оболочки. Применяется разработанный автором [8] структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований (КИП), в процедуре которого однозначно определяются все компоненты (ядро, трансформанта, обобщённое соотношение ортогональности) получающихся при этом спектральных разложений.
В математическую модель в соответствии с методом квазинормальных
Юрий Эдуардович Сеницкий (д.т.н., проф.), зав. кафедрой, каф. сопротивления материалов и строительной механики.
координат [9] вводятся также диссипативные силы вязкоупругого сопротивления. Рассматривается общий случай загружения оболочки произвольной осесимметричной динамической нагрузкой, торцы которой упруго защемлены. Модуль упругости E{z) и плотность p(z) материала при этом являются произвольными функциями толщиной координаты г {—hi ^z ^ h-2; hi, h2— расстояния от нейтральной до лицевых поверхностей оболочки).
Постановка задачи. Будем рассматривать круговую оболочку в виде усечённого конуса (рис. 1) высотой Н* и толщиной h = hi + ha-
Воспользуемся системой координат {x*,ip), т. е. круговые параллели х = const, и прямолинейные меридианы ip = const при этом являются главными кривизнами поверхности. Для неоднородного материала справедливо представление
E{z) = E0fi{z), p{z) = pof'2{z), v = const.
Здесь Eq, Pq, v — модуль упругости, плотность материала и коэффициент Пуассона соответствующей однородной конической оболочки; fi{z), /2(2) — произвольные безразмерные функции неоднородности.
Воспользуемся нижесформулированными автором в криволинейных координатах дифференциальными уравнениями движения для неоднородных оболочек произвольной геометрии и конечной сдвиговой жёсткости [6].
Если определить положение нейтральной поверхности из условия
Рис. 1. Геометрическая схема конической оболочки
rh—hi
fi{z)zdz = О,
то формулы для внутренних усилий М*, Ы*, М*, М*, (^* записываются так же, как для однородной оболочки. В случае осевой симметрии эти соотношения, представленные в безразмерной форме, принимают следующий вид:
Nx = N*C~l = ^— + vx
dU
„-і
Nc
dx
dU
1
v = N*C = V— + X
-і
U + —W tg0
Mx = M*R2D~1 = + vx~4)
dip
„-і.
dx
dp
Mу = M;R2D~l = v^; + x~ p,
Q* = Qicr' = k2(^- + Ф -
(2)
Здесь U = U*Ro \ V = 0, W = W*R
-і
тангенциальные и нормальная
безразмерные компоненты вектора перемещений; 0 — угол поворота сечений
в меридиональной плоскости; х = х*К21 — безразмерная координата; С и И — соответствующие жёсткости неоднородной оболочки:
С = СоП\ = Еок{1 — г/2)_1П1, Б = О0п2 = Е0]г3(12(1 — ь,2))~1П2]
Щ, П2 — безразмерные коэффициенты неоднородности упругих характеристик:
/Н—Н\ гН—Н\
П2 = 12Л-3 / /1 (г)г2с1г] (3)
к2 = к\{1 — и)/2; к\ — коэффициент поперечного сдвига, определяемый в соответствии с предложением Миндлина [7]. Звёздочкой обозначены соответствующие размерные величины. В работе автора [6] приведены сформулированные в усилиях и криволинейных координатах (а ~ х, /3 ~ (р) дифференциальные уравнения движения неоднородных оболочек.
Имея осесимметричный характер деформирования (независимость всех функций от переменной (р), коэффициенты первой квадратичной формы конической поверхности А = 1, В = жвт#, а также соотношения (2), получаем разрешающую систему для рассматриваемой оболочки:
д211 1 817 17 1 + V + к2 сШ 1 + 1/ к2
дх2 х дх х2 xtgв дх x2tgв жtg в Ш <9£2 ^
1 д\¥ 1+ \ 1 + V + к2 ди 2(1 + и) — к2 tg2 в ^
V дх2 х дх х2) xtgв дх х2 tg2 в
1 + ?/ Ц I к2(д1р I -т2— = -а х21^в \дх х) д#
д2ф 1 дф ф к2С 2д\¥ к2С 2 к2С 2 2д2ф
+ - Л - Т^2 — + - -+^^2Ф - 8 = -Д
дх2 х дх х2 И дх Бх tgв Б дР
В общем случае могут быть заданы такие начальные условия: и(х, 0) = 11о(х), }¥(х, 0) = \¥о(х), ф(х, 0) = фо(х),
X •
сЮ_
~т
д}¥
г=о дЬ
дф
= и0(х), —— =Ж0(ж), ‘тгг =Фо(х).
г=о дЬ
(4)
(5)
*=о
Граничные условия для упруго защемлённой по торцам конической оболочки формулируются следующим образом:
дф ф
——\-и— = —гцф, и = 0, \¥ = 0 при х = Н\ $есв = 1\]
дх х (с\
дф ф ' /
——|- V— = Гцф, и = 0, \¥ = 0 при х = Н2 вес в = 12.
дх х
Здесь цх — соответствующие безразмерные компоненты распределён-
ной по поверхности оболочки осесимметричной линейной и моментной нагрузки, причём дх = цх = £, щ — безраз-
мерное время и коэффициент жёсткости упругого защемления торцов оболочки:
^ = ^*Д21W—^у, щ = г*иК2В-
т
1 / к \21 ті О ", 3 ' к л 2
12 ^ -Е?2 ■5Г- = 20 ^
т2 П2 '
(7)
Безразмерные усреднённые в интервале (Іі,Ь) коэффициенты неоднородности инерционных характеристик конической оболочки выражаются через функцию /2 (-г) по таким зависимостям [6]:
т і
1 +
-(-У
12\к2;
-і
[Н(І2 — /і)]
-1
рН—Н\ ГІ2
1 + -(-)2 12\Д2/
-1
1 +
К(х)
сіхсіг =
[Л,(і?2 — Н\)] соив Рі(К)(Н2 — Ні) $есО+
+ 2^2 (к) 1п ctg в + (к)ctg в нес в
Н і Н1Н2
т2 =
1 +
—(—)2
2о\п2;
-1 ґН—Ні ГІ2
\h4l2~ll)]-1 / / /2(2)
«/ —«/
1 +
К(х)
г2г1хг1г =
= 12
3 / /г \2‘
1 + 2о(і;)
-і
[Л.3(Ь — /і)] 1СО8 0 Рз(К)(Н2 — Ні) 8ЄС0+
+ 2^4 (/г) ІП ^ ^ 61 + ^5 (/г) в нес в , (£
Г1\ ±±і±±2
рк{К) = [ І2(г)гк 1(1г, к = 1,2,3,4,5;
7-/Ц
Е/о (ж), И^ж), фо(х), Е/о (ж), ^(ж), г/>о(ж) — известные функции, определяющие положение оболочки в начальный момент времени і = 0.
Если принять /і(-г) = /2(2) = 1, то из (1) следует к\ = Л-2 = /г/2, а из (3) Пі = П2 = 1, и соответственно упрощаются выражения ті, Шг по формулам (8). В этом случае соотношения (4) становятся дифференциальными уравнениями движения для однородной конической оболочки. Равенства (4)— (6) представляют собой математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи.
Метод решения. Применяется разработанный автором структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований (КИП) по пространственной переменной х [2-5,8]. Для этого вводим для х Є [/і,/2] КИП с неизвестными компонентами Оі(\і,х), (^(А^ж), Сз(Аі,ж) вектор-функции С(\і, ж) ядра преобразования
ГІ2
ж) = / р(ж)[ЬіЕ/(ж,г)Сі(Агж)+
■)1х
+ Ь2\¥(ж, і)С2(Аіж) + Ьзф(х, і)Сз(Аіж)] (/ж (9)
*г,Г2,
(10)
с соответствующими формулами обращения [8]:
ОС ОС
U(x,t) = '£<pG1\\Gi\\-2, W(x,t) = Y,^G2\\Gt
i= 1 i= 1
ОС
1p(x,t) =^2^°з\\Сг\\~2.
i= 1
Здесь ||Gi||2 — квадрат нормы вектор-функции ядра преобразования:
\\Gi\\2 = [ р(х) [biG\(\ix) + b2Gl(\ix) + Ьз01(\гх)]с1х,
Jh
Ai, г € N — вещественные параметры, образующие счётное множество; Ь\, Ъ2, Ъ3 — постоянные весовые коэффициенты; р(х) — весовая функция, определяемая с точностью до константы по коэффициентам при старших производных исходной системы уравнений (4) [8]:
р(х) = ехр / -dx = х. (11)
J X
Выражение (9) представляет трансформанту (изображение), а формулы обращения (10) справедливы при выполнении условия ортогональности
[ р(х) [Ь1С1(\гХ)С1(^х) + Ь2с2(\гх)с2(^х) +
Jl1
+ 6зСз(А,*)<Зз(А,:г)]<Ь={ ||с°/||2, ^ ^ (12)
Применяя структурный алгоритм метода КИП [8], сначала умножаем первое, второе и третье уравнения (4), а также первое и четвёртое, второе и пятое, третье и шестое начальные условия (5) соответственно на рЬгСг, рЬ2С2, рЪзОз и интегрируем в отрезке [11,12\. Выполняя квадратуры по частям для членов, содержащих производные по пространственной переменной х, а затем складывая уравнения и принимая во внимание соответствующие начальные условия и (11), имеем
Ф(и,\¥,ф,СъС2,Сз) h + [2xL*(U,W,ip,G1,G2,G3)dx-
h Jh
d2
~ ~dfiLp^Xil ^ = *)• (13)
При t = 0
= ^o(Aj), фо(Хг),
(14)
где
1 + г/ +/с2,
tg 6»
+
+ -^к2
тг
/гШ
х(у—02-Ш0'2 + ф02
1 + и + к2
tgв
к~ иС2
+
+|к§!Сз - *% - . (15)
£*(Е/,ад,Сі,С2,Сз) = С/
ж
х2 х2 tg2 61
+
Н о
Ъ2 (1 + V + к2 , 1 + г/ \ 63 к2СЩ
-С'о-
т2\ xtg2в ж2tg20 / в2 Dxtgв
°2) + ^~гГТІСз
/ 8г ихЫв
+
к2Ъ2
1„, 1„Л 2(1 + ту)А;-2 — 6»
С"' + -С' - -,С2 -
ж2 tg2 61
С2 -
&і /1 + г/ + /г2 , 1 + г/ \ к2Ьз С / , 1
т2 V
с‘+ л^Сі)+ (с'3 + їСз)
+
+ ф
Ьз(г11 г1 1 г к2СК1
^ 3 X 3 ~ X2 ~
°з) + - ^к2С2
} т £ ґу> ± гг н <гп ^
т2 xtgв т
<^о(Аг) = / ж[ЬіС/0(ж)Сі(Аг,ж) + Ь2И/0(ж)С2(Лі, ж) + 6з^о(ж)Сз(Аіж)]сгж,
Лі
/•Ї2 г , -|
0о(Аг) = / Ж г>і£70(ж)Сі(Аг,ж) + Ь2Й/о(ж)С2(Аі,ж) + Ь3фо(х)С3(Хгх) (ІХ]
і їх 1 -1
/■^ г Ьі б2
Р(Хі,і) = I х -^дх(х,і)Сі(Хі,х) + ^дг(х,і)С2(Хі,х)+
іт*
Ьз 1
+ ~^цх(х,і)Сз(Хіх)(іх . (16)
Здесь штрих означает дифференцирование по переменной ж.
Воспользуемся двумя условиями структурного алгоритма метода КИП [8], соответствующими рассматриваемой самосопряженной задаче. Первое представляет из себя равенство нулю полилинейной формы (15), а второе — операционные свойства
[ хЬ*(и, IV, ф, С\, 6*2, Оз)(1х = — А2 / х(Ь\и01 + Ь2}¥02 + ЬзфОз)с1х. (18) Лх 31х
С помощью соотношений (17), (18) и обозначения трансформант (9), (16) равенство (13) превращается в уравнение для трансформанты (р(Хг,Ь). В соответствии с методом квазинормальных координат [9] в это уравнение вводятся силы упруго-вязкого сопротивления. Такой приём основан на экспериментально подтверждённом факте о том, что силы вязкого сопротивления практически не оказывают влияния на формы колебаний конструкции и их следует вводить в математическую модель после отделения пространственной переменной х. Обозначив через ^ коэффициент потерь для каждой моды колебаний г, г € М, силу вязкого сопротивления (внутреннего трения), следуя скорректированной частотно-независимой гипотезе Фойхта, можно представить в виде [9]:
(19)
С учётом (19) уравнение (13) для трансформанты (р(Хг,Ь) при начальных условиях (14) записывается так:
М^^) , ,2,^ ^ _ „М ^ /опА
---^2-----^ 1гХг ^--------V Х,1!£(Х1,1) — Р(Х1,1). (20)
Решение (20) для произвольной правой части ищется методом вариации произвольных постоянных и с учётом (14) представляется следующим образом:
і~р(Хі,і) = е
(^0(А»)(сое cy.it + — втс^і) + 8Іпо;^+
СХі СХі
1 Ґ
Н-----/ Р(Хі,т) ■ е^т ътаЛЬ — т)(1т
аі Уо
(21)
где
аг = |[А2(1 - 0,25т,2)]1/2!, р. = 0,57гАг. (22)
Возвращаясь к соотношениям (17), (18), замечаем, что из операционного свойства (18) следует сопряжённая с исходной система дифференциальных уравнений для С2, Оз. Равенства
Ъ\т~2 = Ъ2гп~2 = Ьзв^СЩ^Б-1 = 1 (23)
являются условием её инвариантности уравнениям (4) относительно КИП (9), (11) при соответствиях 17 С\, IV ~ Ст2] Ф ~ Сз, (Ї2 / (Ы2 ~ — X2.
Замечание 1. Соотношения (23) совместно с приведёнными ниже граничными условиями (25) являются критериями самосопряжённости рассматриваемой начально-краевой задачи (4)-(6) [8].
Таким образом, из (18) с учётом (23) следует система уравнений
1 1 и і
// і /^/
1 х1 X2 1 tg2 в X2
1 + и + к 1 , 1+у 1п
х 2 tgв X2 2
к2 1
tgв
+ ї^хСз + ХгГпСі-°’
~ +к2{°'?’ + хСз) +Літ2с<2 - °> (24)
Соотношения (17), (15) совместно с равенствами (6) формируют систему самосопряжённых граничных условий для компонентов ядра преобразования:
Отсюда следует, что рассматриваемая начально-краевая задача (4)-(6) является самосопряжённой, а компоненты ОС2, Сз удовлетворяют условию ортогональности (12) с весом (11) и справедливы формулы обращения (10).
Интегрирование системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (24) является сложной задачей. Ниже формулируются условия её интегрируемости в цилиндрических функциях. Введём потенциалы С/(Лг,ж), У(Хг,х) по формулам
Затем, усредняя коэффициенты, содержащие младшие производные, т. е. полагая xtgв ~ 0,5(^1 + К2) = Яс, систему дифференциальных уравнений (24) приводим к виду
В процессе преобразований второго уравнении системы (27) к нему был добавлен и затем вычтен член к2^в)~1х~211'.
Выполняя интегрирование уравнений (27), получаем с точностью до несущественных постоянных систему
С\ =0, С2 = 0, Сд + их 1Сз = ^гцСз при х = 1\,12. (25)
Сі = и\ С3 = к2У-С'2.
(26)
+ + >чіті2С2 = 0, (27)
Щ
У2и + о-о и + а\У + й2С2 + сізііі — О,
У2У - (нУ2и + аъи' - а6С2 - аЗІС2 = О,
— а^2С2 — а,$\^ + сіді! + сіюіУ — йщС2 = О,
теУ1 = £+.т-Ч,
ао = —к2а\, а\ = К^1, а2 = (1 + 1')а,1,
а3г = Х2т2, а4 = (1 + и + к2)а\, а5 = к2 tg ва2, ,„„4
аб = 2(1 + и)а2, ат = к2, а^ = к2ЩО~1,
С1д — к С 1^2 (Е) Не) ч С^Юг — 1 ^11г — ^ ^10г-
Замечание 2. Во втором уравнении (28), фактически, без потери точности можно пренебречь третьим слагаемым а^П' по сравнению с соответствующим слагаемым а4У2[/ второго члена. Действительно,
а^и1 = аъхх~1и' = к2К^1х~1и', а4Х~1111 = (1 + и + к2) К^1х~1и'
и г = а^и'/а^х~111' <С 1. Так, например, для стали (к\ = 0,86; V = 0,33) г = 0,178.
Дальнейшее решение системы (28) приводится для этого случая:
У2и + 0-12 %и + сцУ + а2С2 = 0,
У2У - а4Ч2и - ашС2 = 0, (30)
V2У — а^У2С2 — о-шУ + 0-9 и — ащС2 = 0,
где
(l\2i — О'О С^Зг, (%14г — (%в О* Зг, ^15г — ^10г- (31)
Пользуясь вторым уравнением системы (30) и исключая из неё функцию С2, получим
С2 = а^2У - сча^2и, У2С2 = а^У2У2У - а4а^У2У2£/. (32)
Подстановка равенств (32) в (30) позволяет преобразовать её к виду
(33)
(34)
аі6іУ2и + ащЧ2У + аі2іІІ + а\У = 0,
йі8^2У2[/ — аш'Ч2'Ч2У + (і2\і\72и + (і2оіЧ2У + адІІ — аіьіУ = 0.
где
ош = 1 — 02040^, ащ = а2 а14*, «і8і =
Я>19г — 0.70.-^^^, Й20г — 1 Я>21г —
Выражая из первого уравнения (33) потенциал V и действуя затем на полученное равенство оператором V2, имеем
V = -а^атУ2У - а~[1ашУ2и - а~[1аі2іІІ,
У2У = -а^1ашУ2У2У - а^1ашУ2У2и - а^а12іУ2и, (35)
у2у2У = -а^1аі7гУ2У2У2У - а^1ашУ2У2У2С/ - а^1а12іУ2У2и.
Производя обратные замены, подставляем последнее выражение во второе равенство (35), находим
У2У = а^2ашУ2У2У2У + а];2 а16іашУ2У2У2и+
+ а^1(а^1аі2іапі - аш)У2У2ІІ - а~[1аі2іУ2ІІ. (36)
Первое соотношение (35) с учётом (36) принимает вид
V = -а^3ашУ2У2У2У - а^3аша2шУ2У2У2и-
- а^ап^а^ащаш - аш)У2У2и + а^1 (а^1 ащащ - аш)У211. (37)
Подстановка последнего равенства (35), а также (36) и (37), во второе уравнение (33) позволяет получить
У2у2у2У = 022^®23гV2V2У2£/ - а^ашУ2У2и - + а^аъ^и.
Здесь
Й22г = СЬ\ 1017г(019г + СЬ\ 1Й20г + СЬ\ 2СЦ7г^ 15г),
^23г — Я1бг(^19г С1\Л&20г ^17г^15г)?
Й24г = Й18г + % 1 + (^1 “ а16г)(а20г + % , (38)
Й25г = Й21г “ % 1 020^12» “ 0>1ы(,0>1 “ Й16г)] ,
Й26г = 09—0!
Выражение (38) совместно с последним соотношением (35) позволяет определить У2У2У:
У2У2У = аГ1(а221га17га23г “ аШ)У2У2У2[/+
+ аГ1(а221га17га24г “ Й12г^2У2[/ + а^а^ашагбгУ2^
0'22^0'17,Д26г^- (39)
Подставляя, наконец, выражение (39) во второе соотношение (35), а затем полученное равенство в первое уравнение (35), окончательно находим
У2У = -а]“2аш(а22^а17га23г - аш)У2У2У2[/-
— 1 \а1 1 аш(а22гЧПгЧ24г — Й12г) + СЦбг] У2У2[/ —
а^а^а^ашагбг + аl2г)V2f/, (40)
V = ах Запг(а2^ата23г - aWi)V2V2V2U+
+ 2аі7і [а: 1ai7i(fl22ia17ia24i — Оі2г) + ai6i]V2V2f/+
(tt^ ^22^17^23^ 0'17,0-12г ^16г)^
+ а5“1(а]“2а221іа?7іа2бг - ai2i)U. (41)
В результате подстановки выражений (39)-(41) во второе равенство (33) окончательно получаем разрешающее дифференциальное уравнение для потенциала U:
V2V2V2f/ + buV2V2U + b2iV2U + b3iU = 0, (42)
где
Ь\і — {d\ (fl22i®17*®23i Сї-Ібг)[сї-19г “Ь Я'17г(й20г “Ь Ol5jQT7j)]} X
X [а-у 1(а221га17га24г “ 012г)(019г + СЬ\ ^ОгОШ + СЬ\ 2ОшОш) +
-\- Я'16г(й20г “Ь Й15г®17г) ®18г],
&2г — (Я'22г®1^*®23г ЯГбг)[я>19г ~Ь Й17г(®20г “Ь Й15г®17г)]} ^
X {а1 1а221га17г[а19гЙ25г + 1О17г(О20гО25г + СЬ\ ^ШОгЗг)] +
+ «1 1[а20гЙ12г + 0>1ы(а>1 1“ Й26г)] “ Й21г}, (43)
Ьзг = {а>1 1(й221га17га23г “ аш)[а19г + % ^Ш^гОг + % 1 X
X 0'22^17г^26г (^19г С!^ ^15г^12г ^э] •
Вводим порождающее дифференциальное уравнение 2-го порядка
V2^/ = -£ки, к = 1,2,... ,6, г € N. (44)
Из (44) следует
V2V2f/ = йf/, У2У2У2[/ = -&ки. (45)
Используя (44), (45), уравнение (42) можно записать в виде
~ Ьи^к + Ь2г^к ~ Ьзг = 0. (46)
Корни г]ц, = (к = 1,2,3) бикубического уравнения определяются по фор-
мулам Кардано. При этом берутся лишь положительные корни ^к. Принимая во внимание дифференциальный оператор (29), замечаем, что (44) представляет собой уравнение Бесселя, и его решение для каждого ^к записывается в виде
и(\1к, х) = С1кМ(гкх) + Сг2кУо^гкх), к = 1,2,3. (47)
Поскольку системы уравнений (24) и соответственно (27) линейные, то потенциал II определяется в результате суммирования решений (47) по всем ^к:
з
и(\г,х) = ^С\кМих) + Сг2кУ0(Сгкх)}. (48)
к= 1
Здесь .1о(^гкх), Уо(^кх) — функции Бесселя нулевого порядка 1-го и 2-го рода; С\к1 С2к— произвольные постоянные интегрирования.
Для определения потенциала V воспользуемся равенством (41), уравнениями (44), (45) и общим решением (48):
з
¥(Аг,х) = ^(ЬбгСгТс “ “ Ьб^к)[С\к^(^кх) + С2кУо(&к%)}-
к= 1
Здесь
&4г — &± 0'17г(0'22г^'17г^'23г &16г)э
&5г — &1 &17г[&1 &17г(&22г^17г&24г &12г) Н“ &16г])
^6г — (^1 ^'22г^'17г^'23г “Ь ^17г^12г ^16г)?
Ьл — (2^ ((2^ ^22г^17г^26г &12г)*
Если воспользоваться первым равенством (26), решением (48) и рекуррентными формулами дифференцирования функций Бесселя, то немедленно получаем компоненту С\ ядра преобразования:
з
С^Кх) = -^и[С\кШгкх) + &2кУ^х)\, (49)
к= 1
где ,]\{^кх), (^гкх) — функции Бесселя первого порядка 1-го и 2-го рода. Используя первое равенство (32), а также соотношения (40), (44), (45) и решение (48), получаем выражение для компоненты С2:
з
С2(\г, X) = ^(ЬвгСгТс “ Ьд^к + ЪШ^к - Ъщ)[С\кЗй{^гкх) + С2кУ0(£гкх)\, (50) к= 1
где
Ьы — ^\4г^Пг(А22г^Пг^2?1г С^16г) 5
®14г[®1 ®17г(®22г ®17г®24г®12г) “Ь С^16г]5
Ьюг = [с^1 (^1 ®22г®17г®23г “Ь ЯТ2г) “Ь <^4] 5
Ь\ц — Я'^4,Я'22г®17г®26г-
При определении компоненты ядра преобразования Сз воспользуемся вторым равенством (26), а также представлением (50):
з
<23(Аг, X) = ^ [(64г + Ь8гк~2)С-к ~ (&5г + Ьгк~2)^к + (&6г + ЪШк~2)^2к-
к=1
- (&7г + ЬцгЛ“2)] [С^Л(^Ж) + С^У^^ж)] • (51)
Дальнейшее решение связано с определением собственных значений А, и собственных функций С1, Сг, Сз, т. е. постоянных С^, С^,. В результате подстановки соотношений (49), (50), (51) в граничные условия (25) формируется
(г) (г)
однородная система алгебраических уравнений относительно С\£, С2к ■
Здесь
4^ = Сг^1(Сгкк),
4? = (Ы!к - ЫЬс + ъшегк - ЬшШЫО,
4^ = Вгк[&^'о(&кк) + (^1 + ^11 - ^’Ь^гкк)],
4^ = ^к^^кЬ),
4? = (&8г^ - Ъ9г^к + Ь1(И& - Ьщ)ЫЫ2),
$6- = Вгк[^0(^к12) + (^2 - Ги - ^ШЫа)] при ] = 1,2,3;
^ = СгкУ^Сгкк),
Ъц = - Ьдг^к + Ьюг^ “ Ьпг)^^^),
Щ = Вгк[СгкУо(Сгкк) + (^1 + ^11 “ 1\ (СгА:^)],
4^ = СгкУгШкк),
4? = - Ъ(^к + &10г& - ЪпШЫ*),
= Вгк[^кУо(^к12) + И2 ~ Гц - 12 1)У1{^к12)\ при ,] = 4, 5, 6;
Вгк = (&4г + гк 2)С1к ~ (^5г + Ьдгк 2)^к + (Ьбг + Ьшк 2)^к ~ (pH + Ьщк 2)£,гк-
Для получения нетривиального решения системы (52) приравняем её главный детерминант нулю и получим трансцендентное уравнение для определения параметров А,:
§(г) °11 5(г) 12 • • °16
£>(А*) = §(г) °61 $(г) 62 • • °66 = 0. (54
Замечание 3. Фактически (54) является частотным уравнением. Действительно, с учётом равенства (7) круговые частоты колебаний неоднородной оболочки Шг связаны С \г-
Шг =
Ео
ро(1 - г/2)’
г = N.
При определении А, и соответственно Шг организуется итерационный процесс решения трансцендентного уравнения (54) совместно с (46). На каждой итерации г задаётся А,; по формулам (29), (31), (34), (38), (43) вычисляются коэффициенты а3г, аш, аш, ащ, аш, аш, аш-аш, Ъц, 62г, кц и корни &к (к = 1, 2,..., 6) уравнения (46); по выражениям (53) находятся 8^, 8^, ..., 8^ (.] = 1,2,... ,6), и проверяется удовлетворение уравнения (54). Затем этот цикл повторяется.
Отбрасывая последнее равенство (52), из оставшейся системы выражаем постоянные Сгп, С\2, С\з, Сг21, Сг22 через Сг23:
Гп — А1 А~1Сп 11 — Л1Л6 23)
С1 — А* А_1ГН °13 — ^З^б °23> \-lrn *■6 °23>
С1 — А* А~1С* °12 “ ^2^6 °23>
16
Гп — А% А~1Гп °22 — Л5Л«
Гп — Аг А~ХС
(_/01 -- /1,1 О.
У21
4 6
у23)
где
Аа =
;(0 11 12 • • • 15
;(0 51 S(i) 52 • §(г) ■ ■ 55
Определители А\, Аг2, А\, А\, Аг5 получаются из А6 заменой в нём соответственно первого, второго, третьего, четвертого и пятого столбцов на столбец
|| — 4(3 — 4б — 4б — 4б — 4б 11Т- Не ограничивая общности рассуждений, принимаем С23 = Аг6, откуда следует
(-1% _ лг _ лг _ лг _ лг _ лг /гг\
012 — /12, <^13 — /1з, <^21 — °22 — ЛЪ- 100^
Формулы обращения (10) совместно с выражениями (21), (22) и (49), (50), (51), (55), а также трансцендентным уравнением (54) представляют общее решение рассматриваемой осесимметричной динамической задачи для неоднородной конической оболочки.
Частные случаи. Результаты расчёта. Рассмотрим некоторые частные случаи загружения и закрепления торцов оболочки.
1. Пусть на коническую оболочку, находящуюся в положении равновесия
Uo(x) = W0 (ж) = фо (ж) = Uo(x) = Wo (ж) = фо(х) = 0, ^Ро(Хг) = фо(Хг) = 0
(56)
действует внезапно приложенная равномерно распределённая по боковой поверхности нагрузка интенсивностью q* = const:
qz = qH(t), qx = Цх = 0.
(57)
Здесь H(t)—единичная функция Хэвисайда, q = q*R,2/C. Учитывая (9), а также выражения (11), (23), (56), (57), трансформанте КИП (21) можно придать вид
<p(Xi,t) = qai le
rh
xG2(Xix)dx
f eftr sin оц (t — t) dr. (58) Jo
Вычисляя последовательно с учётом (49), (50), (51) квадратуры, содержащиеся в (58), получаем
з
(p(Xi, х) = <? ^ &ka2i Шк ~ “ аз] х
к=1
X {СШ [hJi(Uh) ~ кШгкк)] + с\к^ [hY^Uh) - hY^ikh)] } х х (of + /?2)-1 [l — e~l3it(/3ia~1 sin ait + cos a^)].
2. Действие на оболочку равномерно распределённой по поверхности вибрационной нагрузки. Имеем
qz(x,t) = psinQt, (59)
где р — безразмерная амплитуда вибрационной нагрузки, Q —частота изменения полных циклов такого воздействия. Принимая во внимание (59) и повторяя приведённые выше преобразования, окончательно имеем
3
-a3]x
k=1
сш [ьтм - hJidikh)] + c^a1 [шш - hYi(uh)]
eftr [/?2 + (Q + (ц)2] {/3j cos [(Q + (ii)r - ait] +
+ (Q + ai) sin [(Q + ai)r - ait] } - eftr [/?2 + (Q - a,)2] x
"I T=t
x {/3j cos [(Q - oii)r + ait] + (Q - a^ sin(Q - а{)т + atf] }
J r=0
Аналогично могут быть рассмотрены и другие случаи загружения оболочки.
Если проварьировать коэффициент жёсткости щ, то можно исследовать различные идеализированные схемы закрепления торцов оболочки:
1) шарнирное закрепление торцов: х = Н\ sec 0, Н2 seed (х = h,l2); в этом случае в граничных условиях (25), а также в выражениях (53) для dij, 52j, ..., 5ej следует принять коэффициент жёсткости щ = 0;
2) жёсткое защемление по торцам конической оболочки; для подобных граничных условий необходимо разделить соответствующие уравнения (25) и выражения (53) на Гц, а затем осуществить предельные переходы при гц —> оо;
3) если проделать описанную в пункте 1) процедуру для первых трёх
уравнений (25) и соответствующих равенств (53) для 5^, 6^ , ..., 5^, j = 1, 2, 3, а затем приведённую в пункте 2) для оставшихся соотношений (25) и (53) для , §2j , • ••, 3 = 4,5,6, то получим решение
для случая шарнирно опёртой оболочки на торце х = 1\ и жёстко защемленной на краю х = 12.
Наконец, если функции неоднородности fi(z) = f2(z) = 1 и, следовательно, из (3) п\ = п2 = 1, а по равенствам (8) и формулам (29), (31), (34), (38) упрощаются выражения m 1, m2, an, то построенное решение (10), (21), (49), (50), (51) справедливо для однородных конических оболочек.
В качестве модельного примера рассматривалась железобетонная коническая оболочка при действии на неё единичного равномерно распределённого внезапно приложенного воздействия q* = 1 кН/м2 (57). Расчёты проводились при следующих данных: Н* = 60 м, Щ = 23,13 м, Eq = 4,1 • Ю10 Па, ро = = 2,85 • 103 кг/м3, в = 6°, Щ = 16,5 м, v = 0,16, h = 1,2 м, кг = 0,86, 7* = 0,01, гц = 0.
Приняты линейные законы неоднородности, соответствующие частичной деградации материала оболочки:
Ыг*) = 0,5(1 + ^-^), Ш*) = 0,75 + 0,25^-^,
при которых значения Е и р на внешней поверхности оболочки г*=Ь,2=Ь—Н\ сохраняются, т. е. Е(1г2) = Ео, р(/гг) = ро.
В таблице приведены собственные значения А, и соответствующие им частоты (в герцах) свободных осесимметричных колебаний Шг(2тг)~1 конической оболочки без учёта и с учётом наведённой неоднородности.
Тон колебаний г Однородная оболочка Неоднородная оболочка
А; (27г) lLOi, Гд А; (27г) lLOi, Гд
1 0,662 17,52 0,583 15,43
2 0,942 24,46 0,672 17,79
3 0,957 25,33 0,782 20,68
4 1,273 33,68 0,961 25,42
5 1,448 38,71 1,017 26,91
Вследствие деградации конструкции при наведённой неоднородности происходит заметное снижение частот колебаний, а сам спектр становится более плотным. Аналогичная картина наблюдается на графиках, приведённых на рис. 2, характеризующих изменения частот первых пяти тонов колебаний Шг(27г)-1 в зависимости от относительной толщины h/R<2 однородных и неоднородных оболочек. Сплошные линии на рис. 2 соответствуют однородным коническим оболочкам, а пунктирные — неоднородным; цифры соответствуют тонам колебаний.
На рис. 3 представлена осциллограмма нормальных перемещений W* в сечении х* = (HI +Н*/2) sec 9 оболочки при указанном выше воздействии. Следует отметить, что оболочка совершает затухающие колебания относительно
^/(2тг), r4
Рис. 2. Зависимость частот 1 от относительной толщины Ъ/Нп однородных и неод-
нородных конических оболочек
W* • 103, м
Рис. 3. Осциллограммы нормальных перемещений W* в сечении посредине однородной
и неоднородной оболочек
положения статического равновесия, не совпадающего с её первоначальным недеформированным состоянием. Как и следовало ожидать, при частичной деградации материала конструкции возрастают более чем на 15 % максимальные перемещения по сравнению с Wj*ax в однородных оболочках.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Петров В. В. Овчинников И. Г. Шихов Ю. М. Расчет элементов конструкций взаимодействующих с агрессивной средой. Саратов: Саратовск. гос. ун-т, 1987. 288 с. [Petrov V. V., Ovchinnikov I. G., Shikhov Yu. M. Design of Structural Elements in Corrosive Environment. Saratov: Saratovsk. Gos. Un-t, 1987. 288 pp.]
2. Сеницкий Ю. Э. Козьма И. E. К решению осесимметричной динамической задачи для неоднородной по толщине цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жёсткостью// Изв. вузов. Строительство, 2005. №2. С. 8-18. [Senitskiy Yu.E., Koz’m.a I. Е. Towards the Solution of Axissimetric Dynamic Problem for Nonhomogeneous in Thickness Cylindrical Shell with Finite Shearing Rigidity // Izv. Vuzov. Stroitel’stvo, 2005. no. 2. Pp. 8-18].
3. Сеницкий Ю. Э. Об интегрируемости начально-краевой задачи динамики для неоднородной пологой сферической оболочки // Вестник Самарск. ун-та, 1998. №2 (8). С. 106-121. [Senitskiy Yu. Е. On the integrability of the dynamical initial-boundary value problem for an inhomogeneous shallow spherical shell// Vestnik Sam.arsk. Un-ta, 1998. no. 2 (8). Pp. 106-121].
4. Сеницкий Ю. Э. Динамика неоднородной непологой сферической оболочки // Изв. РАН. МТТ, 2002. №6. С. 144-157; англ. пер.: Senitskii Yu.E. Dynamics of inhomogeneous non-shallow spherical shells // Mech. Solids, 2002. Vol. 37, no. 6. Pp. 123-133.
5. Григолюк Э.И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Итоги науки и техн. Сер. Механика деформируемого твёрдого тел, Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1973. С. 5-199. [Grigolyuk E.I., Selezov I. Т. Nonclassical Theories of Vibration of Beams, Plates, and Shells / Advances in Science and Technology. Mechanics of Deformable Solids, Vol. 5. Moscow: VINITI, 1973. Pp. 5-199].
6. Сеницкий Ю. Э. Уравнения движения неоднородных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью// Изв.вузов. Строительство, 2002. №10. С. 19-27. [Senitskiy Yu.E.
The equations of motion of inhomogeneous shells with finite shear stiffness // Izv. Vuzov. Stroitel’stvo, 2002. no. 10. Pp. 19-27].
7. Сеницкий Ю. Э., Еленицкий Э. Я. О физически непротиворечивой модели уточненной теории пластин и оболочек// Докл. РАН, 1993. Т. 331, №5. С. 580-582. [Senitskiy Yu.E., Elenitskiy Е. Ya. On the physical consistent model refined theory of plates and shells // Dokl. RAN, 1993. Vol. 331, no. 5. Pp. 580-582].
8. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов.: Саратовск. гос. ун-т, 1985. 176 с. [Senitskiy Yu. Е. Use of the Method of Finite Integral Transforms to Study the Elastic Deformation of Structural Elements under Dynamic Loads. Saratov: Saratovsk. Gos. Un-t, 1985. 176 pp.]
9. Цейтлин А. И., Кусаинов А. А. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций. Алма-Ата: Наука, 1987. 237 с. [Tseitlin А. Kusainov A. A. Methods for Taking into Account Internal Friction in Dynamic Problems for Structures. Alma-Ata: Nauka, 1987. 237 pp.]
Поступила в редакцию 19/XII/2011; в окончательном варианте — 20/1/2012.
MSC: 74К25; 74Н99
AXISYMMETRIC PROBLEM FOR INHOMOGENEOUS CONICAL SHELL
Yu. E. Senitskiy
Samara State University of Architecture and Civil Engineering,
194, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443001, Russia.
E-mail: senitskiy@mail. ru
New analytical solution of the axisymmetric dynamic problem for circular conical shells with inhomogeneous thickness and finite shear rigidity was developed, on the basis of improved theory by generalized method of finite integral transformations. Arbitrary dynamic load for the shells with rigidly clamped edges is considered. Dissipative forces of viscous resistance are taken into account in the calculation. The stress state as well as dynamic characteristics of the shells depending on the degree of its heterogeneity is analyzed.
Key words: conical shell, inhomogeneous, improved theory, finite integral transformations, analytical solution, oscillation frequencies, oscillogram of moves.
Original article submitted 19/XII/2011; revision submitted 20/1/2012.
Yuriy E. Senitskiy (Dr. Sci. (Techn.)), Head of Dept., Dept, of Materials Strength and Structural Mechanics.
