CC BY
43
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 144-170
Механика =
УДК 539.3
Обобщённая постановка краевых задач анализа эволюции собственных форм многопараметрических систем (круговых пластин и цилиндрической и конической
оболочек)
Е. З. Король
Аннотация. Даётся расширенная постановка задач анализа, которая включает линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) состояния; задание траектории нагружения; классификацию видов модуляций; классификацию областей видов модуляции и их границ; соотношения связности «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ и структурных параметров — «коээфициентов бесселевых добавок»; классификацию критических линий — изопараметрических (ИПЛ) и точек; линейные краевые условия дифференциального типа; детерминантно-краевые уравнения
(ДКУ).
Ключевые слова: собственные формы, многопараметрические механические системы, обобщённые бесселевы и эйлеровы дифференциальные уравнения, области К-разбиения, критические точки, линии и области, виды модуляций.
Введение. Основная особенность задач — структурных параметров (значений частот и сдвигов фазы) всегда два и более. Трудности: наличие «неопределённости», то есть параметрической зависимости «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ; отсутствие аналитических решений для трансцендентных или тригонометрических детерминантно-краевых уравнений высокого порядка; сложность представления фундаментальной системы (ФСР) решений ЛОДУ бесселева типа в универсальной форме, в частности, непрерывной по структурным параметрам и обладать свойством непрерывного перехода от одного вида модуляции к другому, как в случае простых (некратных параметров), так и в случае кратных; вычислительные трудности, связанные с решением трансцендентных ДКУ-уравнений, содержащих экспоненциальные функции (Крылова, Бесселя и Макдональда) (преодолевались путём нормировки).
К рассматриваемым задачам отнесены: спектральный анализ несущей и модулирующей частот; анализ форм осцилляций определённого вида при заданной траектории нагружения; комбинаторный анализ спектра частот, форм осцилляций и допустимых траекторий нагружения и анализ оптимальных траекторий нагружения при допустимых видах модуляции. На примерах задач об эволюции собственных форм упругих тонкой круговой ортотропной пластины и цилиндрической оболочки иллюстрируются особенности новой расширенной постановки для механических многопараметрических систем, состояния которых описываются ЛОДУ четвертого порядка и представлены в эйлеровой, лапласовой и бесселевой формах. Получены точные аналитические решения, в результате чего установлено, что: 1) форма цилиндрической оболочки изменяется (число осцилляций) при нагрузках, составляющих 0.2ол_т от нагрузки Лоренца-Тимошенко (что ближе к наблюдаемым в эксперименте значениям); 2) разность двух соседних значений собственных чисел цилиндрической оболочки постоянна и равна 2п; 3) разность двух соседних значений собственных частот свободных колебаний анизотропной круговой пластины есть величина постоянная и равна п; 4) спектр частот может быть определён по «укороченному» уравнению, содержащему два старших оператора; 5) бигармонические собственные функции изогональны.
1. Обобщённая постановка задачи. Рассматриваемые объекты относятся к многопараметрическим механическим системам, которые в критических состояниях до или после потери устойчивости или в состоянии свободных колебаний принимают сложные модулированные собственные формы, в частности, осесимметрические, различных видов. Разрешающая система осесимметрических состояний таких систем включает многопараметрическое уравнение изгибных форм равновесия или установившихся колебаний типа «краевого эффекта». Многопарамерическое разрешающее линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) высшего (2Ж-го) порядка в виде обобщённых эйлеровых и бесселевых дифференциальных операторов (ДО) [1-4, 7]
N N
= ПВ(2”)КАП} = 0, {а < £ < 1, (1)
п=0 п=1
где ^2^} = (й2/й{2 + (а1 + д')/д ■ й/й{ + ао/д2)^} и Б^^, Ап} = (У2+ +АП){'ш} — основные (базовые) операторы Лапласа и Бесселя с координатными функциями д({) и а1, ао — постоянными операторными числами; У^2п){ад} = У^2)У^2)...У^2){ад} и В^2п){ад, АП} =
п раз
= Bg2)Bg2)...Bg2){w, ЛП} — операторы 2п-го порядка; ^Y) — заданные
n раз
«коэффициенты жесткости» (КЖУ) — функции параметров
Y, определяющих значения и порядок (очередность и длительность) действия мембранных и «инерционных» продольных и поперечных усилий; ЛП(тО — коэффициенты бесселевых добавок (КДБ) — функции параметров Y, представляющие решения векового характеристического показательного уравнения
N
F(2N )(Л2) = £ a22nN }(7)Л2п =
n=0
N1 M1 K1
= П (Л2 - ЛПГ П (Л2 + лт,)’" П ((Л2 - “к)2 + вк)“ = 0, (2)
n=1 m=1 k=1
корни которого разделены на три различающихся по знаку типа: ЛП(т) — положительные, ЛП(Y) — отрицательные и Л|(y) = а|(Y) ± i/0fc(Y) — комплексные значения структурных параметров Л2 простых и различной кратности N1 + Mi + 2Ki = N .В соответствии с разложением полинома (2) уравнение (1) принимает вид
N1 M1
Bg2n){w,Y} = П (vg2) + лПШр" П (vg2) - Лт(Y))’"X
n=1 m=1
Ki
X П (Vg2) - (ak(Y) + e2(7))2)qfc{w} = 0, (3)
k=1
где структурные параметры Л^, q = 1,N простые или кратные.
Простые показатели связаны с коэффициентами КЖУ соотношениями связности (СС), следующими из сравнения двух форм (1):
CN k N
a2NN) = 1. a22N)(Y) = £ (П Лк,(Y)), a02N\y) = П Л|(^), q = 1N.
k=1 kj = 1 q=1
(4)
Здесь CN = N!/(k! ■ (N — k)!) — число сочетаний из N по к. Представление ЛОДУ в форме коммутативного операторного [5-7] произведения (3) элементарных (базовых) бесселевых операторов второго порядка с различными коэффициентами бесселевых добавок позволяет свести решение исходного уравнения высокого порядка к решению несвязной системы «стандартных» ЛОДУ второго порядка
Bg2){w, Л^} = (Vg2) + Л2(7))М = 0, q = 1ГЖ (5)
Используя обобщённые [1-2] переменные Эйлера п(£) = / ^£/д(£),
((п) = ехр{п} и операторы
Е2){^} = д2^2){ад} = (А + + ао){ад} = [(А - V)2 - ^2]{ад},
А{ад} = д(£) ■ йадМ,
лапласова система (5) принимает эйлерову форму:
В(2){ад, Л;)} = [Е(2) + Л2д2]{ад} = [((А - ^2 - ^2) + А^Щад} = 0, д = 1, Ж,
(6)
параметры V = (VI + v2 )/2 и ^ = (VI — ^)/2 базового эйлерова оператора — постоянные, определяющие соответственно сдвиг и индекс цилиндрических функций, выражены через характеристические
VI,2 = — а1/2 ± \/(а1/2)2 — ао показатели. Переменные Эйлера позволяют свести ЛОДУ с переменными коэффициентами к ЛОДУ с постоянными коэффициентами или к «стандартным» эйлеровым [7]:
В[2){ад, а2} = {[(Б^ — v)2 — ^2] + а2С2}{^} = ° (7)
с = ехр {/ ?!} • А>,} =
Таким образом, к рассматриваемым многопараметрическим механическим системам относятся такие, которые описываются параметрическим ЛОДУ бесселева типа высокого порядка в лапласовой форме (1) и приводимыми к форме (3) и системе (6) или (7). В общем случае в эйлеровой форме ЛОДУ представляются так [6-10]:
N
В^ЧшЧГ )(7)} = £ а^га^"-"’^^} =
п=1
N "
= £а2"")(7)С2("-"^ [(А — V — 2(к — 1))2 — „2]{.»},
"=1 к=1
при этом переход от эйлеровой формы к лапласовой осуществляется с использованием обобщенного (ПЛ-Т) преобразования [6, 7, 9]
Ломмеля-Томсона У^2){ад} = С-2Е^2){ад}. Эйлерова форма удобна: она позволяет применять символьные дифференциальные операции подобно алгебраическим, так для А"{ад} = ^"ад/^С" производной соответствует "
полином п (А — (к — 1))М = А(А — 1)(АС — 2)...(А — п + 1){ад}, к=1
в котором степени (порядок) есть А?{-ш} = А ■ А ■ ... ■ А {ад}, а для
^ ^ ^
п раз
оператора сдвига
п
с-2«£2п{(-2аЯ2{ад}} = С"(4п+2)аЩ (Яс - 2ак)2А2}М, (8)
Й=1
и потому: если все эйлеровы операторы £-2п« Е^2п){ад} содержат
характеристические показатели сдвига от V до ^ = V + 2(к — 1), к = 1,п, то они приводятся к лапласовой форме. Возможность преобразования ЛОДУ по (8) выделяет класс механических многопараметрических систем, решения которых представимы цилиндрическими, тригонометрическими и гипергеометрическими функциями. Краевые задачи записываются в соответствующих системах координат с использованием координатных функций и чисел основного оператора, например, декартова — #(£) = 1, п(С) = С и С(п) = ехр(п); полярная — 0(С) = С, п(С) = 1пС и С(п) = ехр(п) = С; и сферическая — #({) = 1 — С2, п(С) = 1/2 ■ 1п((1 + С)/(1 — С)) и С(п) = \/(1 + С)/(1 — С). Далее используется обобщенная эйлерова переменная £(С) = ехр{/ ^С/^(С)}, преобразующая дифференциальные операторы первого порядка к эйлеровому виду [1-3]:
М = 0(С)I = % = п«> = / , С(п) = ехр{п(.
Общие решения ЛОДУ для простых коэффициентов бесселевых добавок А2 действительного (Бесселя), мнимого (Макдональда) или комплексного (Кельвина) аргументов даются формулами
ш(2 (с Ла) = (. 2„(СА)+22-^(С' Ла), ш<;> К, Лу) = <^ Л) 2-“(С' А«)
2Л
где пара ^±Д£,А9) цилиндрических функций первого рода (нецелых индексов ^ = п)
^±ДСА ) = с *
( \
™ / А 2 \к л2й
1^(—1)4 ^ —
Й=1 к! П (±^ + т)
т=0
и для кратных — цилиндрические функции высших родов, например, второго рода
4П)(с) = с\ ііт.
^п + 1^^п
^(п) (С,Лп+1) — адЩ)(С,Лп)
А 2 _ \ 2
Л п+1 - Лп
.,.(4) ^ ^22п)(С,А„+1) -
ш4га — Ч . шп. Л2 Л2 •
Ап+2^Ап+1 лп+1 — Лга
Решения такого типа связывают только «соседние» по номеру пары функций системы фундаментальных решений (ФСР). Для отражения непрерывной зависимости решений от структурных параметров
целесообразно [1-3] представить в такой форме, чтобы был возможен предельный переход, например, суммой «нормированных»:
»<?,“)(С, Ль Л2,Л,,) — ± ,:^(С,Лк) ,
*=1 п (л| - лт)
т=1,т=к
^К, Л1, Л2, ••, л,) — ± „и,2к)(<’Л*) , п — Т7Ж
*=1 п (л* - лт)
т=1,т=к
Условие непрерывной зависимости следует из непрерывности КЖУ
(2М Ь„ч
а2п (7) от параметра нагружения 7, задающих в пространстве
«коэффициентов жёсткости» А^2М) : )(7), а22М)(7), •••, а2^)(7)1
траекторию нагружения (ТН) уравнением
я8Т)(ао2*)(7),а02^)(^ ••••, а2/^->2(7)) — 0. (9)
Координаты ТН отображают состояние системы, то есть вид соответствующей собственной функции. В соответствии с приведенной градацией трёх значений КБД (Л, > 0, Л;т < 0 и Л| € С) в пространстве КЖУ определены области К-разбиения, соответствующие различным видам модуляции (трём основным простым — одно структурно параметрическим: бесселевой (В), макдональдовой (М) и кельвиновой (К) и сложным — двух и более параметрическим: объединения и пересечения модуляций В, М, К и полиномов Р). Различая характерные виды модуляций, среди которых четыре одно- и двупараметрических видов модуляции (амплитудно-частотно-фазовую, амплитудно-частотную, частотно-фазовую и частотную), в пространстве Ау2^) указываются соответствующие им области К-разбиения, аналогичные областям Б-разбиения в пространстве коэффициентов в теории устойчивости решений начальных задач. Отличие состоит в том, что в решениях краевых задач могут присутствовать экспоненциальные функции (гиперболические, крыловские, макдональдские, кельвиновские и пр.). Границы раздела областей К-разбиения (линии ЛРВМ, поверхности ПРВМ и пр.) — границы раздела видов модуляции (ГРВМ) — определяют непрерывный переход системы от одного вида модуляции к другому и относятся к критическим
границам первого рода. В каждой из областей К-разбиения согласно соотношениям связности (4) указаны семейства изопараметрических (АП = СП = const) поверхностей или линий уровня «частот» (ЛУЧ), «сдвигов фаз» (ЛУСФ), «амплитуд» (ЛУА) осцилляций:
С2 = C2(aN;N2(7),aN2-!](7),---,a22N)(7),a0)2N) (7)) = const, q = 1,N (10)
При пересечении «траекторией нагружения» изопараметрических линий параметры собственных форм системы принимают соответствующие значения: так, при пересечении соседней ЛУЧ изменяется длина
волнообразования (частота осцилляций одного и того же вида модуляции); при пересечении двух и более изопараметрических линий в точках их взаимного пересечения (точках бинарности) возможна бифуркация форм. При пересечении линий ЛУСФ возможно «биение» или «галопирование». Критические состояния многопараметрических механических систем (переход от одного вида осцилляции к другому, изменение параметров осцилляции, состояния бифуркации и т.п.) и эволюция их собственных форм определяется, таким образом, взаимным расположением траектории нагружения и изопараметрических линий. Положение изопараметрических линий или поверхностей определяется решениями соответствующей, в общем случае, трансцендентной системой детерминантно-краевых уравнений (ДКУ), составленное по заданным краевым условиям (КУ) и общему (15) решению ЛОДУ.
Расширенная постановка задач анализа включает линейное обыкновенное дифференциальное уравнение состояния (1)-(3); задание траектории нагружения (9); классификацию видов модуляций; классификацию областей видов модуляции и их границ; соотношения связности «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ и структурных параметров — «коээфициентов бесселевых добавок» (4); классификацию критических линий — изопараметрических (ИПЛ) и точек (10); линейные краевые условия дифференциального типа; детерминантно-краевые уравнения (ДКУ).
Среди задач анализа собственных форм выделяются четыре типа: 1) спектральный анализ минимальной несущей и модулирующей частот (или длин волн) и всего спектра частот (или длин волн) осцилляций определённого (заданного) вида модуляции при заданной траектории нагружения; 2) анализ собственных форм осцилляций определённого (заданного) вида модуляции при заданной траектории нагружения; 3) комбинаторный анализ спектра частот и собственных форм осцилляций различных (не заданных) видов модуляции и произвольных (допустимых) траекториях нагружения и 4) анализ оптимальных траекторий нагружения при заданных (допустимых) видах модуляции, собственных формах и спектре частот (длин волн) осцилляций.
Основная особенность этих задач: структурных параметров
(значений частот и сдвигов фазы) всегда два и более. Трудности:
наличие «неопределенности», то есть параметрической зависимости «коэффициентов жёсткости» ЛОДУ; отсутствие аналитических решений для трансцендентных или тригонометрических детерминантно-краевых уравнений высокого (четвертого и выше) порядков; сложность представления фундаментальной системы (ФСР) решений ЛОДУ эйлерова типа в универсальной форме, в частности, непрерывной по структурным параметрам и обладание свойством непрерывного перехода от одного вида модуляции к другому, как в случае простых (некратных параметров), так и в случае кратных. К тому же при определении форм и частот добавляются вычислительные трудности, возникающие вследствие сгущенности изопараметрических линий в окрестности линии раздела видов модуляции. Аналогичные трудности возникают, например, при применении метода продолжения по параметру, где основным является вопрос о выборе такого параметра и выборе вида модуляции (в окрестности граничной критической линии может быть три вида модуляции и несколько значений частот).
2. Цилиндрическая оболочка (координатная функция д(£) — Т, а1 —
— а0 — 0 декартова система координат: ось х направлена по образующей цилиндра). Рассматривается задача определения собственных форм при потере устойчивости или малых собственных колебаниях тонкой круговой цилиндрической оболочки при малых (по Коши) деформациях. Оболочка толщины Л, радиуса К и длины Ь ортотропная, линейно-упругая (по Гуку) находится при комбинированном осесимметричном нагружении осевой силой (Ж — Ла) и радиальным давлением (р). Разрешающее параметрическое уравнение (типа краевого эффекта) относительно прогиба — функции . —
— Ж/Л — это бигармоническое ЛОДУ (У|ад = ^2-ш/^{2) вида [7-17]:
V4 + а24)(7^2 + а04)(7^ . — ^ + а24)(7) ^ + ао4)(7)^ — ° (11)
х
0 < С < т, е —
где коэффициенты — «коэффициенты жесткости» ЛОДУ й24)(7) и а04)(7) — функции параметров статической (Ж,р) и «инерционной» (рдш2/А) нагрузок, определяющих мембранные осевое и кольцевое напряжения. Здесь р — плотность; д — ускорение свободного падения; и — частота свободных колебаний; А — Е1Л,3/Т2(Т — ^12^21) — изгибная жесткость оболочки; Е1 — модуль упругости Юнга по образующей (0 ^ х ^ Ь); ^12, ^21 — коэффициенты Пуассона поперечной деформации. Монотонно изменяющаяся комбинированная нагрузка задаётся траекторией нагружения в пространстве КЖУ А: (а24) ~ а04))
а(а04)(7),а24)(7)) — 0 или а04) — а24)(а04)) (12)
(4)^ п (4) і
В соответствии с типом ЛОДУ (бигармоническое с постоянными
параметрическими коэффициентами) в пространстве КЖУ A: (a24) ~ a0)4)) определены следующие четыре характерных области модуляций К-разбиения: крыловская (К) Qk: a0)4) > (a24)/2)2, бигармоническая (Z) Qz: 0 < a04) < (a24)/2)2, a24) > 0, гармонически-гиперболическая (Т) Qy:
а04) < 0 и бигиперболическая Qe : 0 < a0)4) < (a24)/2)2, a24) < 0. Первые три осциллирующие, а последняя — не осциллирующая. Области К-разбиения отделены друг от друга соответствующими (четырьмя) линиями раздела видов модуляции ЛРВМ: полиномиально-бигармонической (L#-z) Lk-z: a0)4) = (a24)/2)2, a24) > 0, полиномиально-гармонической (Lz-t) Lz-t: a0)4) = 0, a24) > 0, полиномиально-гиперболической (Lt-e) Lt-e: a04) = 0, a24) < 0 и полиномиально-бигиперболической Le-k:
а04) = (a24)/2)2, a24) < 0. В каждой из указанных областей К-разбиения структурные параметры (СП) связаны с КЖУ соотношениями связности
Qk : aC4) = (a2 + в2)2, О,4 = 2(в2 - a2); Qz : а0,4) = в2в|> а24) = в2 + в|; Qt : а04) = —в2^2, a24) = 2(в2 — v2) > 0; Qe : а04) = v2v|, a24) = — (v2 + v|)
(13)
и соответственно на линиях (раздела видов модуляции) ЛРВМ (правыми и левыми ветвями параболы и оси абсцисс a24), a0|4) = 0)
Lk-z : aC4) = в4, a24) = 2в2; Lz-t : а0,4) = 0, a24) = в2; (14)
Lt-E : а04) = 0, a24) = —2v2 < 0; LE-K : а04) = v4, a24) = —2v2 < 0.
В каждой из областей К-разбиения, согласно соотношениям связности (13)-(14), определены изопараметрические линии ЛУЧ (в2 = const = = С2) и ЛУСФ (a2 = v2 = const): семейства взаимно пересекающихся правых и левых ветвей парабол, подобных ЛВРМ и прямых. Вершины парабол смещены на оси абсцисс влево и вправо, а взаимно пересекающиеся прямые, касаются ветвей Lk-z и Le-k параболы ЛРВМ в точках с координатами (LK-Z: а04) = в4, О>4) = в2) и (LE-K: а04) = в4, a24) = —v2) и пересекают ось в точках^#-z: а04) = 0, a24) = в2) и (Lt-E: а04) = 0, a24) = —v2) под углом # = arctgв2 ( при в2 = С2):
(4)
Qk : аС4) = (2С2 — О^)2; Qz U Qy : = С>24) — С2);
(4)
Ок : а04) — (2С2 + «^)2; От и Ое : а04) — —С2(а24) — С2). (15)
На рис. 1 представлены области К-разбиения, линии ЛРВМ и изопараметрические линии ЛУЧ и ЛУСФ, среди которых выделяются линии, соответствующие минимальному значению структурного параметра в2 — вып, с которой связана первая собственная форма при потере устойчивости.
Рис. 1. Области К-разбиения и изопараметрические линии ЛРВМ (сплошные жирные), ЛУЧ и ЛУСФ (тонкие) и траектория нагружения
(^Л - Т («о^ а24)))
Линии ЛУЧ сгущаются вблизи вершины клиновидной области Z. При этом следует отметить важное свойство: линия ЛУЧ с минимальной частотой втт пересекает все остальные в упорядоченной системе точек ( упорядоченными — возрастающими значениями частоты) — линий с большими частотами; остальные (с частотами вс — вк > втт) пересекаются с неупорядоченной системой точек пересечения (с частотами втт < в1 < ••• < вс — вк < вк+1) сначала линий с меньшей частотой, а затем — с большей.
Следует отметить, что при сгущенности линий ЛУЧ в бигармонической области возможны пересечения траекторией нагружения в начале линий ЛУЧ с собственными формами с высшими частотами, а затем линий с низшими частотами. Точки взаимного пересечения линий ЛУЧ в области
Z , имеющие координаты (О^: а04) — в^г,0!4 — в2 + в!), являются точками ветвления (бинарности) двух параметров осцилляции, а точки
касания их линии ЛВРМ с координатами Ьк-^: а04) — в4, «!4) — 2в! — точки ветвления (бинарности) трёх видов модуляции. Положение линий ЛУЧ и ЛУСФ определяется решением детерминантно-краевого уравнения (ДКУ), составленного по заданным краевым условиям линейного дифференциального типа на концах Со — 0, С 1 — Т интервала с однородной правой частью, представленных в общем виде выражением
L(3){w} = ( bi0w + Ьц^~ + + bi3
dw
d2w
dC
dC2
d3w
dC3
= 0, i = 1,2, (16)
5=0,1
при этом общее решение ЛОДУ записывается в форме, отражающей непрерывную зависимость частных решений (СФР) от структурных параметров, например, в виде:
— в области К (крыловской)
_ a sh aC cos вС в ch aC sin вС
w1 = ch aC cos вC; w2 = ------------------------------0 /,0 + •
_ sh aC sin вC _ W3 = ------------—------------; W4
a2 + в2 a2 + в2
a ch aC sin вC в sh aC cos вC
2a^ ’ 4 2aв(a2 + в2) 2aв(a2 + в2) ’
в области Z (бигармонической)
_ cos в1C + cos в2^ _ sin в1 C sin в^
wi = ------- -; W2 = ^^--------------+ •
2
2в1
2в2
W3
cos в^
cos в2C
в1(в2 — в22) в2(в2 — в?)
2
w4
sin в1 C
sin в2C
2в1(в2 — в22) 2в2(в2 — в2)
2
в области T (гармонически-гиперболической)
_ cos вC + ch vC _ sin вC sh vC
W1 =-------------2-; W2 = ЧГ + ~;
W3 = —
cos вC
+
ch vC
2(в2 + v2) 2(в2 + v2 ’
w4 = —
sin вC
+
sh vC
в (в2 + v2) v(в2 + v2) ’
в области E (бигиперболической)
_ ch v1C + ch v2C sh v1C sh v2C
W1 = ------------- ----------------------------------------; W2 = —-+ —-:
2v2
_ ch v1C ch v2C _
w3
+
vv
vv
2
w4
2v1 sh v1 C
+
sh v2C
v1(v2 — v22) v2 (v22 — v2)
2
и на границах раздела Lk-z, Lz-t, Ly-e и Le-k соответственно полиноми-ально-бигармонические, полиномиально-гармонические, полиномиально-гиперболические и полиномиально-бигиперболические:
_ _ sin в^ _ C sin в^ _ sin вC в cos вC
w1 = cos вC; w2 = —-—; w3 = ———; w4 = ■
в
2в
2в3
_ cos в1C + 1 —
W1 = -------------------; W2
sin ^1C + 1; 2в1 + 2 ;
2в2
_ cos в1С — 1 - _ sin в1^ С
W3 = в2 ; W4 = W + в!;
_ ch v£ + 1 _ sh v£ С _ ch v{ — 1 _ sh v£ С
Wl =----------- ------; W2 = —----------------+ -; W3 =----------------2------; W =
o 5 ^2 0 'o’ 3 2 ’ 4 з 2
2 2v 2 v2 v3 v2
- v, t — sh v£ _ wl = ch v£; w2 = -------------------------; w3
С sh v£ _ —; w4 2v
sh v£ v ch v£
2v3
2v 2
Общее решение разрешающего ЛОДУ (11) содержит четыре Сга, п — Т, N, постоянных интегрирования при четырех фундаментальных А„)
решениях из (24)-(28):
w(£, л,C) = ш(С, л, c) + W(С, л), ш(С, л, C) = ^C„w„(£, vra) (17)
n=l
Соответствующая (17) система частотных уравнений относительно постоянных Cn
ECfc L(3){wfc(С,vfc))} = Ьг(3){Ж(С,л)}
fc=l
(3)
5-o,l
5-o,l
(18)
содержит, как минимум, два структурных параметра и имеет множество нетривиальных ограниченных и множество неограниченных решений при условии, что детерминант системы (18) равен нулю, то есть детерминантно-краевая функция (ДКУФ) обращается в нуль при определённых собственных значениях (в2,®2) ^ ^:
D{v„} =
Lf){wfcvk)}
5=o,l
(19)
Для замкнутости к ДКУ (19) следует добавить одно из выражений для соотношений связности (13)-(14) и выражение для траектории нагружения (12):
(а, в) = (а, в)(а24), a04)); (в^) = в^^ ,а04)); (в^) = (в, v)(а24), а04));
4
vi,2 = vl,2(a24),a04)); FT (a04)(Y), a24)(Y)) = О или a04) = »24) (ao4)) • (20)
В результате имеем замкнутую систему (19)—(20) относительно структурных параметров в заданной области при заданной траектории нагружения. На рис. 1 отчетливо видно, что изопараметрические линии ЛУЧ пересекают ось абсцисс в точках а24) = в2, ао4) = О, соответствующих
значениям частот из всего диапазона, поэтому для определения диапазона частот достаточно ограничиться решением «укороченного» ЛОДУ
^ + ^(fl^ =0, 0 < ( К 1, ( = L (21)
Среди критических точек, описанных выше, были указаны точки бинарности в области Z, в которых система принимает значения несущей и модулирующей частот из всего диапазона. Соответствующие им собственные функции обладают свойством изогональности, заключающегося в том, что скалярное произведение их на заданном интервале равно единице при одинаковых индексах и равно константе, отличной от единицы и нуля (в частных случаях, ортогональности):
J{n, m} = J(щ„ ■ wra) =
1
= /Wn(0 ■ wm({)d{ = ( . 1 = rn n при ” = m’ (22)
J nvs/ '"vs/ s = const = {0,1} при n = m. v 7
0
2.1. Задача Лоренца-Тимошенко. Рассмотрим задачу о потере устойчивости тонкой линейно упругой круговой цилиндрической оболочки средней длины. Для случая осевого сжатия цилиндрической оболочки «коэффициенты жёсткости», как функции монотонного параметра нагружения Y = {yi}, положительно полуопределённые или полностью определённые, на плоскости (а2 ~ ао) образуют траекторию нагружения Лоренца-Тимошенко (Л-Т) [10, 14-16] — прямую, параллельную оси абсцисс линию
а24)Ы = 12(1 - ^i2^2i)(L/R)2(R/h)2Yi; а041 = 12c(1 — ^12^21)(L/R)4(R/h)2 = const; (23)
а04) (Y) = const, a24)(Y) > 0.
На этой траектории реализуются три основных вида модуляций: одночастотная амплитудно-фазовая (K) и двухчастотная фазовая (Z) и одна переходная амплитудно-фазовая (L#-z) модуляции. Траектория проходит через две области К-разбиения: крыловскую (К) и бигармоническую (Z) и пересекает линию раздела Lk-z в некоторой
точке (а0(4), а2(4)) и семейство ЛУЧ в точках (a0fc(4), ®2fc(4), k = 1, 2,...). Часть точек пересечения траектории с линиями ЛУЧ лежит в области (К), а другая — в области (Z). Краевые условия приняты для жесткого защемления торцов оболочки
5=0
5=і
При расчётах приняты следующие значения: геометрических Ь/Д = 1, Д/Л, = 100 и механических характеристик ^12 = ^21 = ^ = 0.3 — коэффициента Пуассона. Диапазон изменения частот 0 ^ в ^ 34. Значение коэффициента жесткости а^(4) = 1.092 ■ 105; коэффициент а^(4)(к) принят на траектории Л-Т зависимостью от параметра а24)(к) = а2(4 ' к, к = ст/ох, где (Д/Л,)/д/3(1 — ^2) — «Лоренцева сила» (0 ^ к ^ 2). Детерминантно-краевые трансцендентные и тригонометрические уравнения четвертого порядка в соответствующих областях К-разбиения решались графическим способом, путём построения функции — ДКУФ. При этом учитывалось то, что основные частоты могут быть определены на «балочной траектории Эйлера» а04)(7) = 0, ^24)(7) > 0, то есть по «усечённому» уравнению. Значения первых девяти частот, приведенных ниже, получены с удержанием стольких знаков после запятой, чтобы отклонение от нуля в ДКУ было одинаковым и составляло 10 5 — 10 6. Характер ДКУФ в окрестности нулей (корней — частот) таков, что требовалось до десяти итераций по методу «половинного деления»: в = 8.9868; 15.405; 21.808333; 28.13283; 34.44151; 40.742605; 47.03899; 53.33108. Из приведенных данных следует, что разность двух последующих частот Авк,к-1 = вк — вк-1 ~ 2п равна 2п. Точность определения координат точки нуля существенно зависит от угла подхода ДКФ к оси абсцисс (или, что то же, производной ДКФ) в окрестности нуля; в точке касания особенно. Детерминантно-краевая функция (ДКФ) при значениях параметра 0 < к < 2 в окрестности оси абсцисс может иметь точки касания и точки пересечения, поэтому при определении нулей требуется применять соответствующие процедуры для повышения соответствующей точности (разрядности). На это обстоятельство следует обращать особое внимание и учитывать при решении задач на собственные значения многопараметрических механических систем.
На рис. 2 приведены значения прогиба ш = ш/ш^, отнесённого
к величине прогиба от равномерной (реактивной) распределённой нагрузки = /(А)/а04). На графиках, представляющих модулированные
осесимметрические формы цилиндрической оболочки при осевом сжатии по траектории Л-Т выше порога упорядочения, видно резкое возрастание на два-три порядка величины прогиба. Форма прогиба сложная, с
участками немонотонности: на начальном участке траектории наблюдается переход собственной формы от формы с высшей частотой к форме с низшей частотой. Из приведенных на рис. 2, а графиков видно, что число точек пересечения траекторией критических линий (число осцилляций форм) в области К конечно: равно трем при к = 0.2 и
равно пяти при к = 0.99. В области Z (рис. 2, б) число осцилляций
0
бесчисленное множество. Отметим одну важную особенность решений на траектории Л-Т при пересечении с траекторией Z: собственные значения в\п = 2nn (которые соответствуют решению Лоренца-Тимошенко) определяют численно связь геометрических и механических величин, а именно а0 = 12c(1 — ^12^21 )(L/R)4(R/h)2 = const = = 16n4n. Из этих
соотношений следует эффект «пи-энности», состоящий в том, что указанные характеристики жёстко связаны с иррациональным числом «пи». Решения подобного типа приведены в монографиях [12, 17]. Свойство изогональности для скалярного произведения собственных функций на интервале £ = 0,1 отражено в значениях скалярных произведений, приведенных ниже:
т г Г 1 при n = m, т г [ 1 при n = m
Jec{n,m} = < „ cc- , Jes{n,m} = < n, ,
L J 0.667 при n = m, L J 0.4 при n = m
^ /n m = / 1 при n = m
Jesc{n,m} = < n ,
E y 1 [0 при n = m.
а б
Рис. 2. Крыловские (а) и бигармонические (б) осесимметрические изгибные формы цилиндрической оболочки с жёстко заделанными торцами при осевом сжатии по траектории Л-Т (при нагрузках к = 0, 0.2,
0.4, 0.6, 0.8, 0.99 и к = 1.0568; 1.9705)
Выводы. В области амплитудно-фазовой К-модуляции «наблюдается
расчётно» смена частот (числа осцилляций) при значениях продольного усилия равных к ~ 0.2, то есть ниже «лоренцевой» и более соответствующих экспериментальным значениям. При этом в диапазоне нагрузок к ~ 0.4 — 0.6 происходит «скачок» сдвига фазы. В области бигармонических модулированных форм существует подобласть устойчивости в виде криволинейного треугольника, ограниченного снизу отрезком ЛРВМ (Lz-Т) ~ оси абсцисс до первой критической частоты в1тт, сверху — частью параболы ЛРВМ (Дх-z) и справа — отрезком касательной ЛУЧ к параболе ЛРВМ (Дх-Z), проходящей через конец отрезка ЛРВМ (Lz-E).
3. Круговая пластинка (координатная функция $(«) = «, й1 = 1 + д/с, ао = 0). Рассматривается задача о собственных осесимметрических формах малых собственных колебаний тонкой (толщины Л) круговой (радиуса Я) ортотропной линейно-упругой (по Гуку) пластины при малых (по Коши) деформациях и линейном распределении (по Бернулли-Эйлеру) продольных смещений по толщине. Уравнение малых колебаний при действии равномерных радиальных усилий в традиционной форме имеет вид [7, 18, 19]:
^4ш 2 ш с ^2ш с (4Ь^ч (й2ш д/с^ш\ (4Ъ^Ч „
^ — «2+ «3 я + а2 ^ ( ^ — + а0 ,(-')ш = 0
(24)
где а24)(7), а04)(7) — «коэффициенты жёсткости» ЛОДУ. Умножая на «4 и
П
используя соотношения «Ш1 = {ш} и «гаШ(га) = Л (А — (к — 1)){ш} для
к=1
соответствующих степенно-дифференциальных операторов, уравнение (24) приводится к «стандартной» форме
4 2
Л (А - ^){ш} + а24)(7)С^ (А - ^„)М + а04)(7){4{ад} = 0. (25)
П=1 П=1
Здесь ^1 = 0, ^2 = 1 + д/с и = 1 — д/с, V* = 2 — характеристические показатели эйлеровых операторов в (25), причём такие, что первая пара (VI, ^2) принадлежит и второму и первому операторам и, к тому же, компоненты второй пары первого отличаются от компонент первой пары на одно и то же число (^ = V1 + (1 — д/с), V* = ^ + (1 — д/с)), то есть удовлетворяют условию (8), и потому эти операторы связаны обобщённым преобразованием Ломмеля-Томсона [7, 9] типа {"А{£аА{ш}} = £2а(А + + а)А{ш}. Это значит, что первый оператор в (25) есть двойной оператор второго и, следовательно, исходное ЛОДУ представляется в лапласовой форме:
+ а24)(7)У2ад + а^4)(7)ад = ° У2ад = — (26)
Идентичность форм (24)-(25) следует из приведенных ниже
представлений обобщенных эйлеровых и лапласовых степенно-дифференци-
альных операторов:
^2 г і > 2/>2 й2ш
V? М- {-2 («2 — ^) =
= {-<1+^ • [{-<1-^С)(Ос — (1 + уг))Р£]{ш} = Г<1+^ • Ё!2)М;
4 / «4 ^ +2«3 ^ _с«2 ^ + с«Й^'| = « 1 « ^4 + 2« ^3 С« ^2 + С« 1
= «-4(Б? — 2)(Б — (1 — ^С))(Б? — (1 + ^С))Б? {ш} =
= «-2(1+^/с) [«-2(1-л/с) (б^ — 2)(Б? — (1 — ^С))(А — (1 + УС))А {ш}] =
= «-2(1^,/С)[«-(1^^С) (б — (1 + ^С)Б? {«-(1-^(Б? — (1 + ^С)Б? {ш}}] =
= «-2(1^\/с) [ Е(2) {Е(2)
[^2){^2) {ш}}] = («-
'^2) )2{ш} ^ У4{ш}.
Траектория нагружения задаётся в пространстве «коэффициентов
жёсткости» (КЖ) а24) ~ а04) выражением
Рт (а24)(7 ),а04)(7)) = 0,
(27)
корни соответствующего характеристического уравнения связывают структурные параметры собственных функций (форм) и КЖ соотношениями связности:
(4)
р(Л2) = А“ + а24)("7)А'2 + а04)("7) = 0; АЬ = — %- ±
\
1Т
— а.
(4). 0 ;
а24)(7) = а24)(А1, Л2) = А?(7) + А2(7); а04)(7) = а04)(Л1, А2) = А2(7)А2(7),
(28)
а лапласова форма ЛОДУ представляется коммутативным произведением бесселевых операторов второго порядка
(VI + А2)(У| + А2){ш} = 0
(29)
или
(V2 + А2){ш1} = 0, (V2 + А2){ш2} = 0, ш = ш1 + ш2.
Общие решения (29) — цилиндрические функции представимы рядами: / \
г±1М(«) =
1^(—1)
п=1
п I А? 2
«
2п
2
п
/
Z±2M(C) = Є±м
i +
<ж
V
^(-1Г( f
n=l
е
2n
n! П (±^ + m)
m=l
/
В соответствии с типом ЛОДУ (бигармоническое с постоянными
)
параметрическими) коэффициентами в пространстве КЖУ А: (а04) ~ а (рис. 3) определены следующие четыре характерных области модуляций К-разбиения: кельвиновская (К) : а04) > (а^4^/2)2, бибесселева (В) Ов:
0 < а04) < (а24)/2)2, а24) > 0, бесселево-макдональдова (Т) От: а04) < 0
ао < (а2
и бимакдональдова (М) : 0 < а04) < (а24)/2)2, а24 < 0. Первые три
осциллирующие, а последняя — не осциллирующая. Области К-разбиения отделены друг от друга соответствующими (четыре) линиями раздела видов модуляции ЛРВМ: полиномиально-бибесселева (Ь^ - в) ^к-в:
(4)
-о = (а24)/2)2; а2
(4)
> 0, полиномиально-бесселева (Lg - t) Lb-t: a04) = 0
а24) > 0, полиномиально-макдональдовой (L^ - m) Lt-e: a04) = 0, а24) < 0 и полиномиально-бимакдональдовой Lm_k: a.
(4)
(4)
= (a-24)/2)1
(4)
(4)
2
< 0. В
каждой из указанных областей К-разбиения структурные параметры (СП) связаны с КЖУ соотношениями связности
Пк : a04) = (a4 + в4), a24) = 2a2;
Пв : a04) = AlA2, a24) = Al + A2;
: а04) = Л?Л2 < 0, а24) = А1 + А2; : а04) = А2А2, а24) = (А1 + А2) (30)
и соответственно на линиях (раздела видов модуляции) ЛРВМ (правыми и левыми ветвями параболы и оси абсцисс а24), а04) = 0)
Lk-в : a04) = в'
44) = 2в2; Lb-t : a04) = 0,
a(4) = A2; a2 = Al;
n
Lt-m : a04) = 0, a24) = 2Al < 0; Lm-k : a04) = Al, a24) = 2Al < 0.
В каждой из областей К-разбиения согласно соотношениям связности (ЗО) определены изопараметрические линии ЛУЧ (A2 = const) и ЛУСФ (a2 = A2 = const): семейства непересекающихся парабол, подобных ЛВРМ и прямых.
Вершины парабол смещены по оси ординат вверх, а взаимно пересекающиеся прямые касаются ветвей L^ - в и Lb-k параболы ЛРВМ
в точках с координатами (Lk-в: a04) = в4, a24) = в2) и (Lm-к: a04) = в4,
Рис. З. Области К-разбиения, линии ЛРВМ (жирные) и ЛУЧ (тонкие) для ЛОДУ четвертого порядка бесселева типа
a24) = A2) и пересекают ось в точках (LK-B: a04) = 0, a24) = в2) и (LT-M: a04) = 0, a24) = A2) под углом $ = arctg A2:
a(4)
Пк : a04) = (2C2 - a2_)2; Пв U Пт : a04) = C2(a24) - C2);
(4)
Ок : а04) = (2С2 + ^)2; От и Ом : а04) = -С2(а24) - С2). (31)
В зависимости от значений «коэффициентов бесселевых добавок» (КБД) АП, п = 1,2, в пространстве «коэффициентов жесткости» в выделенных области К-разбиения собственные формы системы принимают соответствующий вид:
— в области (К) кельвиновских модуляций О к: а04)(тО > (а24)(^)/2)2, —
, (4)
-то < a2 )(Y) < +то,
1 + £(-1)
n=l
4
е2n cos n$
n! + m)
m=l
/
w±S' = е±м X] (-1)
n=l
ІАЦ
4
Є2п sin n$
n! П (±^ + m)
m=l
(где |А2| = д/а4 + в4, $ = аг^(в2/а2) — модуль и аргумент КБД) цилиндрических функций (Кельвина-Томсона) индекса = п;
— в области (В) бибесселлевых модуляций Ов: 0 < а04)(7) < (а24)(7)/2)2,
а24)(7) > 0, система фундаментальных решений — функции Бесселя первого рода индекса = п
n
n
n
n
/
= е±м
^±2М = е±м
1^(—1)
\2 \ п п I А1
п=1
е
2п
4 ) п
п! П (±^ + т)
т=1
і^(—і)
2п
п А2
V
п=1
е
2п
4 у п
п! П (±^ + т)
т=1
вторая пара решений принимается в форме, пригодной для непрерывного перехода — продолжения по структурным параметрам:
^±12^
^±1^. ^±2^
А1— А2
— в области (Т) бесселево-макдональдовой модуляции От: 0 > а04)(7) — цилиндрические функции Бесселя и Макдональда:
/
^±1^
= е±м
\
1^(—1)
2п п А1
п=1
е
2п
п! П (±^ + т)
т=1
/
^±2^
= е±м
\
1 + Е
п=1
А22 п
е
2п
п! П (±^ + т)
т=1
/
— в области (М) бимакдональдовой модуляции Ом: 0 < а04) (7) < <
< (а24)(7)/2)2, а24)(7) < 0 — функций Макдональда первого рода индекса = п:
/
^±1^
^±2^
= е±м
= е±м
1 + Е
ГО / х2 \ п
п=1
е
2п
п! П (±^ + т)
т=1
1 + Е
ГО / \2 \ п
е
2п
V
4 У п п=1 4 7 п! П (±^ + т)
т=1
\
/
\
/
целесообразно вторую пару решений ФСР принять в форме, пригодной для непрерывного продолжения по структурным параметрам
4
4
1
4
2
— ^±1^. ^±2^ ад±12М = а2 _ А2
— на линии раздела ЛРВМ Як-в: а04) = (а24)/2)2, 0 < а24) <
полиномиально-бибесселевой модуляции — функции Бесселя и произведения
функций Бесселя на полином
/
^±1,2^
= е±"
1 + £(_1)
п=1
\2 - п А1,2
\
£'
2га
п! П (±^ + т)
т=1
/
™±12^ л& Л2 - Л2
^±1^ ^±2^
— на линии раздела ЛРВМ ЬВ-т: а04) =0, 0 < а24 < +то полиномиальнобесселевой модуляции — функции Бесселя и полином (или логарифм)
/
^±1М = £±м
\:
п / А1
V
п=1
2 \ п
е
2га
п! П (±^ + т)
т=1
2
= е^,
/
— на линии раздела ЛРВМ Ьт- м: а04) =0, 0 > а24) > —то
полиномиально-макдональдовой модуляции — функции Макдональда и полином (или логарифм)
^±1М = е ±м
( \
го / а 2 \ п е2п
1 + £ (А2) ^------------------------
п=1 п! П (±^ + т)
2
= е^,
т=1
/
— на линии раздела ЛРВМ Як- в: а04) < (а24^2)2, 0 < а24 < +то полиномиально-бимакдональдовой модуляции — функции Макдональда и произведения функций Макдональда на полином
/
^±1,2^
=е±м
1 + Е
п=1
А21
2 \ п
2
\
е
2га
^±12М = 11т
^±1^ ^±2^
л2——л2 Л1 Л2
п
4
4
4
Значения параметров сдвига и наклона изопараметрических линий определяются из линейных граничных условий дифференциального типа общего вида, записанные в форме
и43)(^3))М ’ = £ <тЕ<Йм
^ п
п=0
п=0
= 0, т = 1,2
(32)
относительно искомой функции эд(£), которая представляется суммой произведений произвольных постоянных С±-р{п) и фундаментальных (ФСР) решений ад±1,2М ({)
w
(33)
п=1
пригодной для предельного перехода от одного вида модуляции к другому.
Детерминантно-краевая функция ДКФ двух переменных, представленная в виде
длП) =
0
(Л1)) ^(ш^ДЛ^) и1(Ш2М(Л2)) ^1(Ш-2М(А2))
ЦгСш^ (Л1)) ЦгСш-^Л^) и2(^2м(Л2)) и2(ад-2М(Л2))
^3(^1^ (Л1)) иэ(ад-1М(Л1)) из(^2М(Л2)) из(ад-2М(Л2))
(Л1)) и4(ад-1М(Л1)) и4(ад2М(Л2)) ЦДад^^))
(34)
и дополненная соотношениями связности (33)-(34), и траектории (ТН) нагружения (27) составляют полную систему нелинейных трансцендентных уравнений относительно искомых структурных параметров (Л1, Л2).
3.2. Собственные формы при свободных колебаниях. Уравнение свободных колебаний круговой пластины в лапласовой форме имеет «коэффициенты жёсткости»
4%) = о,а04)(7) = -(Р0Е1^3)/(12(1 - М12М21 ))71 = ^
где 71 = ш2 — круговая частота собственных установившихся колебаний; р — плотность материала пластинки; д = 9.80 М/сек2 — ускорение силы тяжести.
Область К-разбиения — нижняя часть полуплоскости —то < а24)(7) < +то,
а02)(7) < 0. Траектория нагружения — нижняя часть оси ординат а24)(Т) = 0, (2)
ао 47) < 0. Модуляции бесселево-макдональдовы
W±1^
і + £(-ч
п=1
д2Ч п
4
С
2п
і
3
3
п
й±2м = С±М
/ \
го / \ 2 \ п л 2га
1 + Е (т) -----------
П=1 п\ П (±^ + т) I
\ т=1 )
= 1±ДС)
цилиндрические функции Бесселя ^ДЛС) действительного и функции Макдональда /±ДЛС) мнимого аргументов индексов = ±(1 + д/с)/2, зависящих от коэффициента ортотропии с = Е1/Е2. Соотношения связности даются выражениями
а04) = Л1Л2 = -Л4; а24) = Л2 + Л2 = 0 ^ Л2 = -Л2 = |Л2|.
Общее решение есть сумма произведений частных фундаментальных решений
и(С) = С!ад_1ДЛ£) + С2^м (ЛС) + Сзи_2М(ЛС) + С^ДЛ^)
и произвольных постоянных интегрирования Сп, п = 1, 2, 3, 4, определяемых из краевых условий рассмотренных ниже двух видов в центре пластины:
— центр защемлен: в центре прогиб и(0) = 0 равен нулю, а изгибающий радиальный момент М1(0) =0 и перерезывающее усилие ограничены и отличны от нуля $(0) = 0, и при этом перерезывающее усилие в центре и на внешнем контуре связаны соотношениями $1(0) = 2п$1(1), вытекающими из уравнений равновесия в целом, (угол поворота и1 (0) = 0 равен нулю тождественно)
М1(0) = -А ( и11 (С) + ^211 и1 (С) 1с
= 0,
5=0
^1(0) = -а (и;111 (с) + (С) - (С)
= 0,
5=0
при этом следует, что С1 = -С3 (при выводе этого соотношения используется представление системы фундаментальных решений в форме обобщенного степенного ряда, где учитываются первые два-три слагаемых, а остальные при С ^ 0 обращаются в нуль);
— центр свободен: перерезывающее усилие в центре и на внешнем контуре равно нулю ^1(0) = ^1(1) = 0
$1(0) = - А (и111 (С) + 1 и11 (С) - С2и1 (С)) 5 0 = 0; $1(1) = -А (и111 (1) + и11 (1) - си1 (1)) = 0,
в этом случае из первого условия следует, что С2 = - С4, а из второго — равновесие пластины в целом;
— и одного вида на внешнем контуре — жесткого защемления внешней границы
ь(1) = 0; ь1 (1) = 0.
Соответствующие трансцендентные детерминантно-краевые уравнения О(Л) = 0 представлялись графически в окрестности оси ординат Л отрезками кривых, корни которых определялись методом половинного деления по заданной погрешности отклонения от нуля (равной АО ~ 10-6). При этом значения первых четырех собственных частот (для с = 0.5) равны: для пластины со свободным центром — 2.968, 6.075, 9.209, 12.346; для пластины с неподвижным центром — 4.765, 7.869, 11.007, 14.146.
На рис. 4, 5 приведены собственные формы для четырех значений частот при с = 0.5 (в порядке возрастания собственных частот: сплошная линия — Ло, точки — Лі, точки жирные — Л2 и штрих-пунктирные — Лз). Из приведенных значений видно, что разность Лк — Лк-1 ~ п, к = 1, 2, 3 двух последовательных значений собственных частот независимо от характера закрепления центра с максимальным отклонением АЛк,к-і = 0.036 равна п.
Рис. 4. Собственные формы малых колебаний круговой пластинки со свободным центром при различных собственных частотах и значении
с = 0.5
Рис. 5. Собственные формы малых колебаний круговой пластинки с неподвижным центром при различных значениях собственных частот
и значении с = 0.5
Выводы. Введенное обобщение преобразования Ломмеля-Томсона позволяет выделить (классифицировать тип) коммутативные ЛОДУ высшего порядка бесселева типа, которые сводятся к несвязной системе «стандартных» ЛОДУ бесселева типа второго порядка. В новой (обобщённой) постановке, дополненной выражениями «соотношений связности» между «коэффициентами бесселевых добавок» или «коэффициентами жесткости» и «структурными параметрами» и указанием «траектории нагружения» позволяют учесть все возможные осцилляцион-ные собственные формы круговых анизотропных тонких пластин при малых собственных колебаниях и устойчивости при действии радиальных усилий. Практика вычислений собственных форм показала, что при определении частот достаточно ограничиться двумя-тремя знаками после запятой. Полученное решение совпадает с известным (см., например, [7, 18, 19], изотропная пластина при с = 1).
Список литературы
1. Король Е.З. Операторные методы интегрирования эйлеровых и бесселевых уравнений (Ж + 2М)-го порядка // Вестник МГУ. Матем. Механ. 2001. № 4. С. 31-40.
2. Король Е.З. Новые методы операторного интегрирования обобщённых
эйлеровых и бесселевых уравнений (Ж + 2М)-го порядка // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2003. № 6. С. 8-21.
3. Король Е.З. Операторный и операторно-рекурретный методы интегрирования
обобщённых эйлеровых и бесселевых уравнений порядка (Ж + 2М) //
Избранные проблемы современной механики. М.: Изд-во МГУ, 2011. Т. 2. С. 243-257.
4. Король Е.З. К определению собственных чисел и собственных форм
для краевых задач со многими параметрами // Избранные проблемы
прочности современного машиностроения: сб. науч. статей, посвящённый восьмидесятипятилетию члена-корреспондента РАН Эдуарда Ивановича Григолюка (1923-2005). М.: Физматлит, 2008. С. 124-149.
5. Король Е.З. Эволюция гиперболо-гармонических модулированных осесимметрических форм цилиндрической оболочки при комбинированной траектории нагружения и критические характеристические линии // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2010. № 1. С. 93-101.
6. Король Е.З. Обобщённая постановка задач определения собственных
осесимметрических форм цилиндрической оболочки при нагружении осевой силой и давлением // Упругость и неупругость: матер. Междун. науч. симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвящённого 100-летию со дня рождения А.А.Ильюшина (Москва, 20-21 января 2011 года). М.: Изд-во МГУ, 2011. С. 372-378.
7. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. 287 с.
8. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. 319 с.
9. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч.2. М.: Физматлит, 1963. 327 с.
10. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966. 508 с.
11. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 503 с.
12. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
13. Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1967. 420 с.
14. Кильчевский Н.А., Никулинская С.Н. Об осесимметричной форме потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки // Прикладная механика. 1965. Т. 1. № 11. С. 1-6.
15. Lorenz R. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingeniere. Leipzig.: 1908. V. 52. S. 1706.
16. Тимошенко С.П. К вопросу о деформациях и устойчивости цилиндрической оболочки // Вестник о-ва технол. 1914. Т. 21. С. 785-792.
17. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 352 с.
18. Король Е.З. К решению краевых задач продольно-поперечного изгиба орторопных круговых пластин на упругом основании // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 6. С. 995-1007.
19. Король Е.З. К определению собственных частот малых продольных и поперечных колебаний тонких ортотропных круговых пластин // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 2. С. 163-174.
20. Изгиб тонких цилиндрически ортотропных круговых пластин на упругом оснваниии / Э.И. Григолюк [и др.]. М.: НИИ Механики МГУ, 1997. 89 с. Деп. ВИНИТИ 07.10.97, № 2974-В97.
21. КорольЕ.З. Фундаментальная система решений дифференциальных уравнений N -го порядка бесселева типа и их приложения в МТДТ. Ч. I. Цилиндрические функции N-го порядка. Обобщение формул Неймана-Вебера-Шлефли. М.: НИИ Механики МГУ, 1998. 78 с. Деп. ВИНИТИ 03.04.98, № 990-В98.
22. Король Е.З. Малые прогибы тонких анизотропных конических оболочек вращения. М.: НИИ Механики МГУ, 1998. 62 с.: Деп. ВИНИТИ 30.03.98, № 931-В98.
Король Евгений Захарович (ez_korol@mail.ru), к.ф.-м.н., старший научный сотрудник, НИИ механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Generalized formulation of boundary value problems of its own analysis of the evolution of forms of multivariable system (circular plates and cylindrical and conical shells)
E. Z. Korol
Abstract. Given an extended statement analysis tasks, which include: linear ordinary differential equation of state, consider the trajectory of loading; classification of modulations; classification areas modulation types and their boundaries; ratio connectedness «stiffness coefficients» Linear Ordinary Differential
Equations and structural parameters, «Bessel rating threshold additives», the classification of critical — isoparametric lines (IPL) and points; linear boundary conditions of the differential type; Determinantal-boundary equation (MFIs).
Keywords: proper form multivariable mechanical systems, generalized Bessel and Euler differential equations, area K-partition, the critical points, lines and areas, types of modulations.
Korol Evgeny (ez_korol@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, senior researcher, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.
Поступила 09.07.2013
