Кинематически возбуждаемые совместные колебания балок с дискретными массами Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 539.3

КИНЕМАТИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫЕ СОВМЕСТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОК С ДИСКРЕТНЫМИ МАССАМИ

© 2004 г. Х.П. Культербаев, А.М. Казиев

Балки являются наиболее распространёнными упругими элементами машин и оборудования, и классические задачи о них имеют обширную библиографию [1, 2]. Однако многие нетрадиционные случаи ещё недостаточно изучены или для них предложены сложные и громоздкие способы решения. К ним относятся балки сложной структуры: несущие сосредоточенные массы, с гибкими опорами, находящиеся под действием внутренних и внешних сил сопротивления, векторно возбуждаемые гармоническими или стохастическими процессами. Исследований, учитывающих поведение балки при комбинации упомянутых факторов, совсем немного. В их числе [3] - о свободных колебаниях балки с учётом собственной массы и присоединённых дискретных масс при отсутствии сил трения, [4] - о свободных колебаниях демпфированных балок на упругих опорах, несущих сосредоточенные массы.

В данной статье для комбинированной континуально-дискретной балочной системы с учётом сил сопротивления для кинематически возбуждаемых гармонических колебаний найдены функции перемещений и формы распределения амплитуд по длине балки, при случайных колебаниях - спектральная плотность и дисперсии случайных перемещений.

Введение

Рассматривается установившийся режим поперечных колебаний балки (рис. 1), состоящей из пролётов, каждый с размерами 1у, (у = 1,2,...,п), площадью

поперечного сечения Б у, осевым моментом инерции поперечного сечения Iу, из материала с модулем упругости Е и плотностью р, при коэффициенте внутреннего вязкого трения п . На балке расположены сосредоточенные массы Му , (у = 1,2,...,N; N = п + 1), не

смещающиеся в продольном направлении, но колеблющиеся в поперечном направлении с соответствующими коэффициентами демпфирования V. Балка

поддерживается упругими опорами с коэффициентами жёсткости Су. Источниками колебаний являются кинематические смещения опор 2к, (к = 1,2,..., N).

Рис. 1

Механическая модель такого устройства представляет собой смешанную континуально-дискретную систему, состоящую из участков балки с распределёнными параметрами и совокупности сосредоточенных масс. Отсюда следует математическая модель её поперечных колебаний в виде двух систем дифференциальных уравнений. Первая из систем соответствует множеству континуальных участков. В предположении о малости отклонений в поперечном направлении колебаниям каждого пролёта балки соответствует однородное дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа. Тогда в векторной форме можно записать

EI u + mU + nmU = 0 ,

x e (0, l), t >-<» .

(1)

Здесь и далее применяется локальная система пространственных координат х. е [0, I. ] с началом на

левом конце каждого участка; t - время; и(х, t) -вектор-функция векторного аргумента, соответствующая смещениям балки в поперечном направлении; т - вектор погонных масс пролётов балки, ту = р Б у; 0 - нуль-вектор. Значок ◦ означает операцию поэлементного перемножения векторов, так что с = аЬ ^ Су = ауЬу. Здесь и далее точки над буквами

соответствуют дифференцированию по времени, штрихи в индексах - дифференцированию по соответствующей локальной пространственной координате, четыре штриха заменены римской цифрой IV.

Вторая система уравнений состоит из обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания совокупности дискретных масс, составленных с использованием принципа Даламбера и гипотезы о малости перемещений

М у + V у + с (у - х) + Ь(и) = 0,

г > -ж. (2)

Суть каждого из них в том, что сумма проекций на вертикальную ось всех сил, приложенных к массе М,, равна нулю. Первое и второе слагаемые соответствуют инерционным и диссипативным силам. Третье слагаемое учитывает упругие силы в опорах, четвёртое - поперечные силы в сечениях балки слева и справа от массы. у (г) - вектор-функция скалярного аргумента, описывающая отклонения сосредоточенных масс; г(г) - вектор-функция скалярного аргумента, задающая кинематические перемещения опор.

Все векторы считаются вектор-столбцами. Введены обозначения для векторов, размерности которых очевидны

и( х, г)={щ (X!, г), и2( х2, г), ...., ип (хп, г)},

у(г) = {У:(г), ..., Ум (г)}, I = {¡1,..., Iп}, х = ..., Хп},

£ = {^ ..., ^ }, I = {¡ъ ..., 1п }, V = },

г(г)={х !(г), ...., хм (г)}, с=..., ск},

т = {т1, ..., тп }, М = {М1, ..., Мм }, Ь(и)={¿1, ¿2, ..., Ьы}, ¿1 = оЩ'^о, г), ь, = Ощф, г) - О, _-щ"'(1 J_1, г), у = 1, 2,..., п,

Ьм = -<ОпК(1п , г).

О, = Е1, - жёсткость балки на изгиб.

Системе уравнений (1) придадим более удобный вид, С этой целью возьмём уравнение колебаний для произвольного у -го пролёта балки, разделим на О, и

запишем

и ™ + е}йу + ц}йу = 0, Е, = ту /Оу,

ц у = пту / О у 0 < х, < 1}, г > -ж . (3)

Свободные колебания

Свободные колебания данной балки рассмотрены в работе авторов [4]. Получено частотное комплексное трансцендентное уравнение, предложены и реализованы сравнительно простые способы определения коэффициентов затухания, спектров собственных частот и форм.

Кинематически возбуждаемые гармонические колебания

По множеству причин (вибрация несущего оборудования, движение транспорта, землетрясения и т.д.) опоры балки совершают перемещения в поперечном направлении, что служит источником вынужденных колебаний. Пусть возмущения г(г), возникающие по этим причинам, будут гармоническими с одинаковы-

ми частотами & *, но при этом с разными амплитудами ак и начальными фазами фк :

Zk (t) = ake'(at+фк) = Ake'аt, Ak =

к - "к

аке

г фк

(4)

Здесь Ак - комплекснозначные амплитуды, образующие вектор А. В таком случае результирующие колебания, совершаемые балкой и дискретными массами, будут гармоническими колебаниями той же частоты.

Определим функции перемещений и амплитуд для установившихся колебаний. В таком случае начальные условия к системе уравнений (2), (3) не требуются.

Уравнения (2), (3) с учётом (4) имеют общее решение

u(x, t) = H(x)Ae , x e (0, l), t >

(5)

где Н (х) - матрица передаточных функций, элементы которой суть реакции пролётов балки на единичные гармонические возмущения опор. Например, Нк (Ху) является комплексной амплитудой колебаний у-го пролёта балки при автономном гармоническом единичном возмущении к-й опоры £к (г) = .

Рассмотрим подробно реакцию системы на такое возмущение. В развёрнутой форме (5) имеет вид

N

и, (Ху,г) = в'пг X Нк (Ху )Ак , ] = 1, 2,..., п, к =1

Далее проблема состоит в том, чтобы найти матрицу передаточных функций Н(х). Перемещения

у-го пролёта при возмущении к-й опоры £к (г) обозначим Уук (х,, г) и запишем

у (х,, г) = Нук Х )в'ш, у = 1, 2,., п, к = 1, 2, ..., N. (6)

Подстановка у]к, определяемых по (6), в (3) вместо и у даёт уравнения:

НIV(х)-у4,Н,к(Х,) = 0 ; у4, =-е,(1&)2-ц,(/&),

j = 1, 2,..., n, к = 1, 2, ..., N.

Их общие решения имеют вид

Hjk (Xj) = Bjk sin y jXj + Fjk cos y jXj +

+ R]k sh Y¡x¡ + Ljk ch YjxJ , (7)

где Bjk, Fjk, Rjk, L]k - произвольные постоянные

интегрирования для j-го пролёта, при возмущении k-й опоры.

Постоянные интегрирования можно найти из граничных условий и условий сопряжений смежных участков балки. Левый конец балки шарнирно оперт, поэтому изгибающий момент равен нулю

*Рассмотрение колебаний при возмущениях с разными частотами не представляет принципиальных затруднений.

ад (0, Г) = 0, ^ (0, /) = 0.

С учётом (6), (8) имеем

(8)

-Б1к + Я1к = 0.

Колебания сосредоточенной здесь массы М1 описываются первым уравнением системы (2) с заменой У на У!к(0,/), 2Х(Г) на е™Ъ1к

М^ (0, t) + V! ^ (0, t) + с^ (0, Г) +

+ ад (0, о=с^ V. (9)

Здесь и далее 8]к - символ Кронекера. Он позволяет учитывать в уравнении колебаний массы М^ перемещение опоры под ней £^ ^), если таковое имеется. Подставим (6), (7), в (11), введём обозначения

= М10'ю)2 +V1 ('ю) + с 1, = Су)

и получим

- АБ1к + е1р1к + /Лк + е111к = с181к.

На стыке (1 - 1) -го и 1-го участков должны выполняться условия сопряжения:

- перемещения, углы поворота и изгибающие моменты слева и справа от сосредоточенной массы равны между собой

VI-1,к (I; -1, t) = У}к (0, t),

V'-1,к (11 -1,0 = V'1 (0, t), (10)

С;. -^к (1} -1, t) = (0, О

- колебания сосредоточенных масс М1 описываются уравнениями системы (2) с заменой у^ на

v]k (0,t)

М1Vк (0,0 + V V1к (0, t) + с^к (0, t) + (0, t) -

- 0} (/>ь0 = 8д, 1 = 1, 2,..., п. (11)

На правом конце балки должны выполняться граничные условия, аналогичные (8), (9)

<к (1п,t) = 0, МмУ

пк\п> t) + V ^

пк п t)+

+ с^^пк (1п, t) - (1п, t) = сыв'П'8№ . (12) В (9) - (12) подставим (6), (7), введём обозначе-

ния:

Pj = sin y jlj, qj = cos Y ^, rf = h jl

ГГ 1

jj

Wj = chY jlj, Tj = Yj / Yj g; = G; Y2 / G;.y2 j = 1, 2,..., n,

h1 = eN Pn + /„q„, h2 = ^n - fnPn, h3 = eNrn - fnWn, h4 = eNWn - fnrn •

После несложных преобразований придём к неоднородной линейной алгебраической системе (матричному уравнению) относительно постоянных интегрирования

йВ = С . (13)

Здесь 2 - блочная матрица порядка 4п х 4п,

Q =

Vi

W1

W2

Wn-

составленная из блоков У1 ,У2,^, 1 = 1,2,...,п -1,

Г Р1 г} 0 -1 0 -1 ^

11 11 1 -1 0 -10 - Ш}Р] - 1 1 0 1 0 -1

-М -1 -1 -Л+1 е-+1 +1 ^+1

W=

Vi =

( 0 -10 - Л

- f1 e1 f1 e1

(-

V2 =

f n ' qn rn Sn h1 h2 h3 h4

Блоки с нулевыми элементами не указаны. В, С -прямоугольные матрицы размерности 4п х N

D =

( Bii Bin (0 0 0 0 1

B12 Bi„ Ci 0 0 0

Fii Fi2 Fin FiN 0 0 0 0

Rii R12 R1n RiN 0 0 0 0

Lii L12 Lin , C = 0 0 0 0

B21 B22 B2n B2N 0 c2 0 0

Lni Ln2 Lnn LnN 0 0 0 CN

Решение матричной системы уравнений (13) имеет вид

в = 2 _1с.

Далее оно позволяет по (7) легко сформировать матрицу Н(х). Вектор амплитуд колебаний можно найти с помощью (5)

au (х) = \H(x)A •

(14)

Кинематически возбуждаемые случайные колебания

В научной и технической литературе есть многочисленные сведения о том, что зачастую источники вынужденных кинематически возбуждаемых колебаний имеют явно выраженный случайный характер. Как следствие, поперечные колебания балки также будут случайными, и появляется необходимость и целесообразность перехода к стохастическим моделям движений.

Рассмотрим вопрос подробнее. Пусть в (2) вектор-функция z(t) будет стационарным случайным процессом со стационарно связанными компонентами и заданной спектральной матрицей

При определении дисперсий перемещений используем известное соотношение

( s

Sz (ю) =

А

s\T1 S А

(15)

] (ю) = в, (ю).

Тогда и(х, /) и у(/) будут случайным векторным полем и случайным векторным процессом с характеристиками, подлежащими определению.

Будем изучать установившиеся (в вероятностном смысле) колебания системы, поэтому начальные условия к уравнениям (1), (2) не потребуются. Граничные условия будут аналогичны использованным выше при кинематически возбуждаемых колебаниях, но с учётом стохастичности кинематических возмущений опор.

Далее задача состоит в том, чтобы по заданной спектральной матрице (15) найти спектральную матрицу Би (х, ю) случайного поля отклонений балки и

дисперсию. Вопрос об определении математического ожидания не ставится ввиду того, что его можно легко привести к известным детерминистическим задачам с помощью операции осреднения над основным уравнением и граничными условиями.

Для определения спектральной матрицы отклонений Би (х, ю) воспользуемся найденной матрицей передаточных функций Н(х, ю) и запишем

Su ( х, ю) = Н( х,/ю )Sz (ю )Н*Т ( х,/ю). (16)

Здесь звёздочка означает переход к комплексно-сопряжённым величинам, индекс Т - транспонирование матрицы. Результатом вычислений по (16) является квадратная матрица размерности п х п . Элементами её главной диагонали являются спектральные плотности Б] (.х,, ю) отклонений балки в пролётах с

соответствующими номерами ], элементы же побочных диагоналей есть взаимные спектральные плотности (.], хк, ю) процессов отклонений балки в двух различных пролётах с номерами ] и к .

Dj (Xj) = J Sj (Xj, ю) do.

(17)

Для проведения конкретных вычислений возьмём модель кинематических возмущений в виде векторного N -мерного стационарного случайного процесса со стационарно связанными компонентами, имеющими скрытые периодичности (характерные частоты). В таком случае элементы спектральной матрицы Sz

можно представить в виде

ski (ю) =

0и =а 2 + ß2i,

2 аkl 9И Pkl

г/ 2 п2 ч2 Л 2 2п , "kl аkl

п[(ю2 -92i)2 + 4а2 ю2]

k, l = 1, 2, ..., N.

Здесь ак1, Ри - параметры широкополосности и характерной частоты, рк1 - элементы нормированной неотрицательно определённой корреляционной матрицы, |рк1| < 1, ркк = 1; ак, а; - среднеквадратиче-

ские отклонения.

Выполнить интегрирование в правой части (17) аналитическими методами не удаётся. Выход из такого затруднения состоит в применении численных методов.

Пример

Рассмотрены колебания балки постоянного сечения с тремя пролётами при следующих входных данных:

Б, = 78,5мм2, I, = 490,9 мм4, ] = 1,2,3,

р = 7800 кг/м3, Е = 200 МПа, п= 0,5 с

I = {1,2, 1, 0,8} м , с = {2, 5, 5, 3}кНм, М = {1, 2, 3, 1}кг, V = {5, 10, 10, 15}кг/с

Для балки с такими параметрами по методике [4] получены первые собственные частоты

ю = {39,7, 48,4, 112,3,.......}с-1 и соответствующие им

собственные формы, представленные кривыми на рис. 2.

1 " 1,5

Рис. 2

s

s

12

s

s

s

21

22

s

NN

При кинематических возмущениях опор с амплитудами а = {10,5,5,10} мм и сдвигах фаз между ними ф = {0, 0, 0, 0} выполнены расчёты и построены графики рис. 3.

1,5

Рис. 3

Кривые соответствуют возрастающим значениям частоты возмущений: ^ = 10 с-1 (кривая 1); 30 с-1 (кривая 2), 47 с-1 (кривая 3), 60 с-1 (кривая 4), 115 с -1 (кривая 5).

Анализ графиков показывает следующее. Сначала при сравнительно небольших частотах возмущений колебания происходят по первой форме свободных колебаний (сравните кривые 1, 2 рис. 3 с кривой 1 на рис. 2). Наибольшие отклонения соответствуют массе М1, так как она крайняя и опирается на пружину наименьшей жёсткости, а значит, более слабо сопротивляющейся перемещениям дискретной массы. При приближении О к первой собственной частоте амплитуды увеличиваются (кривая 2) и достигают наибольших значений при равенстве ^ = ю1 = 39,7 с-1, т.е. при резонансных колебаниях. Соответствующая кривая здесь не показана, наибольшая амплитуда достигает 93 мм . С дальнейшим ростом частоты возмущений ^ = 47с-1 (кривая 3), очертания кривой уже находятся под влиянием второй собственной формы. Превышение второй собственной частоты ведёт к увеличению многоволновости (кривая 4) в форме колебаний и понижению амплитуд.

При анализе кривой 5 следует учитывать, что она имеет узловые точки, соответствующие неподвижным точкам балки. Кроме того, они разделяют участки балки, колеблющиеся в противофазе. На кривых рис. 3 изображены амплитуды, определённые по формуле (14) и потому могущие иметь лишь положительные значения. Отсюда следует, что изломы балки в упругой линии 5 являются кажущимися. Реальные отклонения слева и справа от таких точек имеют на самом деле разные знаки. Кривая 5 соответствуют вынужденным колебаниям вблизи третьего резонанса, поэтому форма распределения амплитуд близка к третьей собственной форме (см. рис. 2, кривая 3). При этом колебания носят почти резонансный характер.

Теперь перейдём к изучению влияния сдвига фаз между возмущениями на колебания балки. С этой целью проведены вычисления и построены графики (рис. 4) при сохранении тех же параметров. Вычисления проведены при частоте возмущений ^ = 10 с, амплитудах и сдвигах фаз в виде векторов а = {10, 10, 10, 10} мм , ф = {0, 0, 0, 0} - кривая 1; {п /2, 0, п/2, 0}- кривая 2; {п, 0, п, 0} - кривая 3.

1

3 /

0,5

1,5

Рис. 4

2,5

В первом случае все возмущения синхронные, форма колебаний - почти прямая линия. Во втором случае возмущения с нечётными номерами опережают возмущения с чётными номерами на п / 2 . Поэтому в упругой линии появляются существенные кривизны, которые, по-видимому, приводят к резкому повышению внутренних сил в сечениях. Третья кривая соответствует случаю, когда нечётные и чётные возмущения находятся в идеальной противофазе. Поэтому амплитуды колебаний меньше, чем в предыдущих случаях. Как показано на рисунке, участки балки, соседствующие с возмущениями, также находятся в противофазе.

Выполнены расчёты для изучения влияния характерной частоты возмущений (рис. 5) и степени корре-лированности компонентов входного процесса (рис. 6) на реакцию системы. Определены дисперсии по формуле (17), а затем и среднеквадратические отклонения

Яи ( х).

20

10

1 1 ► 1 1 \ 1 1 \ 1 1 Оч/-\5 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 /1 1 //

TQVr*— / 1 \ 1 -О ' i"--J 1 / j i / { * i jf f л

/ 1 1 / 1 1 г" "■-■. 1 J

ш / 1 i-X-S-J b, 1__ \ 1 \ 1 L г ^ S^Ki > / 1 \ / ■ 1 W

1i 1 1 \ / 1/ 1 1 V | | it. ¡у* 1 \

0,5

1,5 2 Рис. 5

2,5

а,. мм

X. м

а,. мм

X. м

1

н

3 /

0,5

1,5 Рис. 6

2,5

Для одновременной проверки достоверности теоретических результатов за счёт выбора параметров случайных процессов возмущений обеспечена их близость к гармоническим возмущениям. Во-первых, элементы корреляционной матрицы приняты единичными рк1 = 1, k,I = 1, 2, 3, 4, что в вероятностном

смысле соответствует отсутствию сдвига фаз между возмущениями, как в примере при построении графиков амплитуд гармонических колебаний. Второе сходство по величине возмущений создано за счет их среднеквадратических отклонений, т. е. их численными значениями

ог = {10, 5, 5, 10} мм ,

совпадающими с амплитудами гармонических возмущений. Третья близость достигнута за счёт малости параметра широкополосности, а = 0,01с-1. Четвёртая аналогия в примерах обеспечена за счет значений характерной частоты случайного процесса вк1, которые совпадают с соответствующими частотами гармоник ^ в к1 = 10 с -1(кривая 1); 30 с -1 (кривая 2), 47 с -1 (кривая 3), 60 с -1 (кривая 4), 115 с -1 (кривая 5).

Такие меры делают возможным последующее непосредственное сравнение среднеквадратических отклонений <и (x) (см. рис. 5) с ранее найденными амплитудами гармонических колебаний au (x) (см. рис. 3).

Шаг численного интегрирования подынтегральной функции в формуле (17) после вычислительных экспериментов принят равным 0,01с_1. При проведении расчётов учтена чётность подынтегральной функции, т. е. нижний предел интегрирования принят нулевым с последующим удвоением конечного результата. При этом критерий остановки вычисления несобственного интеграла устанавливался с использованием I -нормы в линейном векторном пространстве Rm

(

= £А Di <8

¿=1

Л

n(m>ßkl),

(18)

Здесь т = 61 количество точек по длине балки через каждые 5 см, для которых подсчитывалась дисперсия, / - номера точек, АД - приращения дисперсии в /-той точке на текущем шаге интегрирования, 8 = 10-6- задаваемая точность счёта. Второе условие в (18) введено по следующим соображениям. Обнаруживается, что при больших значениях в и норма в первом условии может оказаться малой величиной уже при небольших значениях ю, и это влечёт ложное прерывание вычислений, в то время как область интегрирования со сравнительно большими значениями подынтегральной функции ещё не достигнута. Наличие второго условия исключает такую ситуацию.

Как и следовало ожидать, при малых значениях параметра широкополосности а к1 (ориентировочно до а к1 ~ 1) результаты стохастической и детерминистической задач почти не различаются.

Выполнены примеры (рис. 6), являющиеся стохастическими аналогами предыдущего примера по изучению влияния сдвига фаз гармонических возмущений (рис. 4).

Здесь параметры приняты следующими:

ог = {10, 10, 10, 10}м , ак1 = 0,01 с_1,

ва = 10 с_1, к, I = 1, 2, 3, 4

при сохранении остальных.

Нормированные корреляционные матрицы в трёх рассмотренных случаях имеют вид

Pi =

(1 1 1 (1 0 1 01

1111 0 1 0 1

1111 , P 2 = 1 0 1 0

1111 V У 0 V 1 0 1 У

P 3 =

( 1 -1 1 - 1Л

-1 1 -1 1

1 -1 1 -1

-1 1 -1 1

k, I = 1, 2,3,4.

Численные значения их элементов обеспечивают близкое сходство случайных возмущений с гармоническими по сдвигу фаз. Первая матрица соответствует идеальной абсолютной коррелированности возмущений. Вторая матрица соответствует абсолютной кор-релированности между первой и третьей, второй и четвёртой возмущениями, в то время как указанные пары абсолютно не коррелированны. И, наконец, третья матрица описывает случайные возмущения, когда указанные пары, будучи внутри идеально положительно коррелированными, межпарно абсолютно идеально отрицательно коррелированны.

амм

x, м

Анализ кривых, номера которых совпадают с номерами корреляционных матриц, показывает, что наибольшие среднеквадратические отклонения имеют место при идеально положительных корреляциях возмущений (кривая 1). И, наоборот, наименьшие среднеквадратические отклонения наблюдаются при идеально отрицательных корреляциях (кривая 3). Когда нечётные компоненты между собой внутри пар идеально коррелированны, в то время как между парами корреляция абсолютно отсутствует, среднеквад-ратические отклонения имеют промежуточные значения между вышеуказанными (кривая 2).

Сравнение графиков рис. 5 с рис. 3 и аналогично рис. 6 с рис. 4 показывает, что они весьма близки по значениям и форме. Это подтверждает достоверность математических моделей задач, теоретически полу-

ченных результатов и эффективность использованного компьютерного программного обеспечения.

Литература

1. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. Т. 1: Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М., 1978.

2. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник: В 3 т. Т. 3 / Под ред. И. А. Биргера, Я.Г. Пановко. М., 1968.

3. Калбергенов Г.Е. Изгибные колебания балок с сосредоточенными массами // Аналитические, численные и экспериментальные методы в механике. М., 1995. C. 70-76.

4. Культербаев Х.П., Казиев А.М. Свободные колебания балки с сосредоточенными массами // Наука, техника и технология нового века (НТТ-2003): Материалы Всерос. науч.-техн. конф., г. Нальчик, 25-27 сентября. Нальчик, 2003. С. 15-21.

30 апреля 2004 г.

Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик

УДК 620.178.16

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ШЛИЦЕВЫХ СОЕДИНЕНИЯХ КАРДАННЫХ ВАЛОВ, РАБОТАЮЩИХ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

© 2004 г. Р.Г. Ялышев, В.В. Коновалов

Постановка задачи

Температура на фрикционном контакте является функцией параметров режима трения и свойств контактирующих материалов. В условиях существенных тепловых воздействий при трении исходные физико-механические свойства материалов пар трения в значительной мере изменяются. В процессе трения имеет место существенная взаимосвязь тепловых и физико-химических процессов.

Прогнозирование максимальных температурных напряжений, возникающих в шлицевых соединениях карданных валов, составляет основную цель данного исследования.

Напряженное состояние шлицевого зацепления под действием поля температур рассмотрим на следующей модели (рис. 1).

Рис. 1. Схема шлицевого зацепления

Хвостовик карданного вала 2 и скользящая вилка 3 закреплены на валах 1 и 4 и нагружены моментом м(г). На части зубчатой поверхности е¥, отмеченной на схеме пунктиром, задано выделение тепла (считаем ее нагруженной поверхностью), на остальных участках зубчатой поверхности имеет место поглощение тепла, обусловленное наличием смазки в зазоре зубчатого зацепления. Для решения задачи будем считать хвостовик и вилку сплошным полым цилиндром. В теле цилиндра, в каждой точке внутренней нагруженной поверхности имеется источник тепла, определяемый по формуле

^(г, е, г, г*, е*) = а1 (г)5(г - г*)5(б - е*),

где (г*,е*) - текущая точка, принадлежащая нагруженной поверхности; 5(х - х0) - дельта-функция Дирака А1(г) - интенсивность источника, зависящая от момента м(г), скорости осевого смещения валов, характеристик трущихся поверхностей и других факторов.

В каждой точке внутренней свободной поверхности считаем заданным сток тепла:

(г, е, г, г *, е*) = а2 (г )5(г - г * )5(е - е*),

где (г *, е*) - точка внутренней свободной поверхности; а2(г) - интенсивность стока, зависящая от зазора, наличия и типа смазки и некоторых других факторов.