CC BY
85
УДК 534.11 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-4-100-106
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВЕРТИКАЛЬНОГО СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
MATHEMATICAL MODELING OF FLEXURAL VIBRATIONS VERTICAL
RODS WITH VARIABLE SECTION
© 2015 г. Х.П. Культербаев, М.Х. Алокова, Л.А. Барагунова
Культербаев Хусен Пшимурзович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Теоретическая и прикладная механика», Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик, Россия. E-mail: kulthp@mail.ru
Алокова Мадина Хасановна - аспирант, кафедра «Теоретическая и прикладная механика», Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик, Россия. E-mail: madina-alokova@yandex.ru
Барагунова Лялюся Адальбиевна - ст. преподаватель, кафедра «Теоретическая и прикладная механика», Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербе-кова, г. Нальчик, Россия. E-mail: baragunoval@mail.ru
Kulterbaev Husen Pshimurzovich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Theoretical and Applied Mechanics»; Kabardino-Balkarian State University of H.M. Berbekov, Nalchik, Russia. E-mail: kulthp@mail.ru
Alokova Madina Hasanovna - post-graduate student, department «Theoretical and Applied Mechanics»; Kabardino-Balkarian State University of H.M. Berbekov, Nalchik, Russia. E-mail: madina-alokova@yandex.ru
Baragunova Lyalyusya Adalbievna - Senior Lecturer, department «Theoretical and Applied Mechanics»; Kabardino-Balkarian State University of H.M. Berbekov, Nalchik, Russia. E-mail: baragunoval@mail.ru
Рассматриваются свободные и вынужденные изгибные колебания вертикальных стержней переменного сечения. Предложена математическая модель, включающая основное дифференциальное уравнение поперечных колебаний и граничные условия. Для вынужденных колебаний рассмотрен пример, показывающий действие динамических и кинематических возмущений. Обнаружена зависимость амплитуды и формы вынужденных колебаний стержня от близости частоты возмущений к собственным значениям и от сдвига фаз компонентов векторного процесса возмущений.
Ключевые слова: спектральная задача; свободные и вынужденные колебания; собственные значения и функции; амплитуды и формы вынужденных колебаний; сдвиг фаз возмущений.
We consider free and forced flexural vibrations of vertical bars of variable section. A mathematical model, which includes basic differential equation of transverse vibrations and the boundary conditions. For the forced vibrations considered an example showing the effect of dynamic and kinematic disturbances. The dependence of the amplitude and shape of the forced vibrations of a rod from the vicinity of the frequency of disturbances to their own values and the phase shift of the vector components of the disturbances.
Keywords: spectral problem; free and forced vibrations; eigenvalues and functions of the amplitude and shape of the forced oscillation; phase shift disturbances.
Введение
Вертикальные стержни в качестве опор линий передач, дымовых труб, прожекторов, антенных устройств и т.д. широко распространены в строительной практике. Они обеспечивают эфирное и спутниковое телевидение, любительскую и профессиональную теле- и радиосвязь, пейджинг, сотовую связь, наружное освещение улиц и площадей; работу систем удалённого радиодоступа, радиорелейных систем, систем телеметрии и телеуправления, ветроэнергетических установок, метеорологических приборов и оборудования; являются носителями рекламы и вывесок, аэроуказателями, маяками для водного и воздушного судовождения и т. д. Столь обширное примене-
ние вертикальных стержней стимулирует значительный интерес к их колебаниям от разнообразных возмущений.
Впервые постановка краевой задачи о свободных поперечных колебаниях вертикальных стержней постоянного сечения с учётом собственного веса, но без учёта сил сопротивления была предложена в работе [1]. Здесь же утверждается, что найти собственные значения получающихся дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в замкнутой форме не удаётся. В работах [2, 3] приближённым методом Релея - Ритца изучались родственные задачи для стержней постоянного сечения при действии различных осложняющих факторов, а именно, наличие
сосредоточенных масс и моментов инерции, промежуточных опор, осевой нагрузки. Аналогичные задачи, но численным методом конечных разностей, рассмотрены в статьях [4, 5].
В данной работе исследуются поперечные колебания вертикального стержня переменного сечения при действии векторного гармонического возмущения, компонентами которого являются динамическая неравномерно распределённая поперечная нагрузка, линейное и угловое перемещения нижнего конца. Разработанные и используемые здесь детерминистические математические модели могут стать базовыми для создания более адекватных стохастических моделей, особенно, если учесть случайный характер реальных ветровых нагрузок и сейсмических возмущений, наиболее опасных для данного класса сооружений.
Математическая модель колебаний
Однородный вертикальный стержень (рис. 1 а) длины I с погонной массой ш(х), с осевым моментом инерции поперечного сечения 3 (х), из материала с модулем упругости Е совершает изгибные поперечные колебания, описываемые функцией ы(х, /). Источником колебаний является векторный процесс возмущений
f (х,Г)={/ (х,Г), / (0, / (0} с компонентами, изображёнными на рис. 1 а.
fl(x, t) -
т
u(x, t)
M + dM ' N + dN
-3-t
u + du
Чу-t)
hit)
f<t)
дифференциал даламберовой силы инерции; dR -дифференциал силы вязкого трения (диссипации). Инерционная и диссипативная силы направлены влево и являются следствием движения со скоростью и ускорением, направленными вправо. Следующие силовые факторы находятся в известных соотношениях с параметрами
x
N(x) = jp(^)d^ , dl=mudx, dR=r\imidx. (1) о
Здесь и далее точкой над переменными обозначены производные по времени, ^ - удельный коэффициент линейно-вязкого трения.
Пользуясь технической теорией изгибных колебаний балок, будем считать, что справедлива гипотеза плоских сечений, т. е. поперечные сечения при деформировании остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси стержня, прогибы и углы поворота сечений являются малыми величинами, деформацией продольной оси можно пренебречь, продольные волокна стержня не надавливают друг на друга.
Применяя принцип Даламбера к силам, показанным на рис. 1, б, получим уравнение движения в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на горизонтальную ось
= 0,
Q - Q - dQ - dI - dR+Nu' -(N + dN)(u' + du') + fxdx = 0 .
Выполним очевидные сокращения поперечных сил. Введём обозначение для жёсткости стержня на изгиб b(x)=EJ(x) . Воспользуемся известными соотношениями
Q=(bu")', dQ=Qdx=фи")"dx
и запишем
-фи")" dx- mil dx - цтй dx+Nu' -
-Nu' - dNu' - Ndu' - dNdu' + fdx=0.
Исключим одинаковые слагаемые с разными знаками и предпоследнее слагаемое второго порядка малости. Продольную силу N учтём по (1) и после несложных преобразований получим дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа
Рис. 1
Для вывода уравнения колебаний выделим элемент стержня длиной dx (рис. 1 б) и покажем внутренние и внешние силы, приложенные к нему: М -изгибающий момент; / (х,£) - поперечная неравномерно распределённая нагрузка; Q - поперечная сила в сечении; р(х) =ш(х)g - продольная неравномерно распределённая нагрузка; N - продольная сила; dI -
фи")"+тй+г\тй+ри' +Nu" = /j.
(2)
Для удобства дальнейших выкладок в уравнении (2) первое слагаемое представим подробнее и запишем
buIV +2 b'um + Fu" + pu' + mii+r\mü=/j.
x e(0, l) , t > -x. Здесь введено обозначение
l
x
x
б
а
Р=Ъ + N .
Уравнение (3) содержит производные до четвёртого и второго порядка по переменным x и t соответственно. Поэтому в математическую модель колебаний в дополнение к основному уравнению (3) должны включаться граничные и начальные условия достаточного количества. Для свободных и вынужденных установившихся колебаний стержня при гармонических возмущениях, рассматриваемых ниже, начальные условия не потребуются, а граничные условия будут определяться конкретной задачей.
Свободные колебания
В этом случае внешняя нагрузка (х,/) = 0 , в силу чего основное уравнение (3) становится однород-
buIV +2Ъ'ит+Fu"+ри'+тй + цтй=0 ,
x е
(0,/) , t >-» .
(4)
Нетрудно заметить, что условиям закрепления концов стержня, изображённым на рис. 1, а соответствуют следующие однородные граничные условия:
и"(0, /) = 0, [Ъи"(0, /)]'=0 , и(1, /) = 0, и'(/, /) = 0. (5)
Далее проблема состоит в необходимости определения спектров собственных значений и функций задачи (4), (5).
Пользуясь методом разделения переменных, представим функцию и( х, /) как произведение
u(x,t) = X (x)e
xt
(6)
где Х=-ц+ую - характеристический показатель; (ц, ю) - собственная пара, состоящая из коэффициента затухания и частоты свободных колебаний; ] -мнимая единица.
Подстановка (6) в (4), (5) даёт
ЪХ1Г + 2Ъ'Хт+ЕХ" + рХ' + тАХ = 0 ,
Л = Х(Х+^) , хе(0,/) . (7)
Х"(0) = 0 , [ЪХ"(0)]' = 0, X' (I) = 0 , X(I) = 0. (8)
В задачах (7), (8) X является собственным значением, при котором собственная функция должна быть нетривиальной, т.е. Х(х):£0. Определить X аналитическими методами не удаётся. Выход состоит в применении численных и других приближённых методов. С этой целью воспользуемся методом конечных разностей [6] и от аналитической модели (7), (8) перейдём к численной.
Заменим область непрерывного изменения аргумента 0 < х < 1 дискретным множеством точек (сеткой) с шагом И = // (п -1) и семейством сеток
Щ ={X =( , -1)И,, =1,2,...,п}, зависящих от шага h как от параметра. Вместо функции непрерывного аргумента Х (х) введём сеточную функцию дискретного аргумента у(х )=у , i - номер узла сетки. Таким образом, далее Х (х) будет представляться вектором У = {у, у2, . ., Уп}, компоненты которого заменяют в узлах сетки аналитическую функцию приближённо, т.е. уг «Х(х,) .
Нетрудно показать, что замена производных с точностью О (и 2) в (7) по обычным правилам метода приведёт к алгебраическим уравнениям
Г,У,-2 + С,У,-1 + d,У, + е, У,+1 + ^У+2 = 0,
г = 3,4,...,п-2 , (9)
где обозначено
Гг = Ъ -ИЪ'; ег =-4Ъг + 2ИЪ" + И2Рг -0,5И3р,;
^ = 6Ъг -2И2р + И4тгА ; е =-4Ъг -2ИЪ" + И2р + 0,5И3р;
5 = ъ + ИЪ'.
Аналогичные замены произведём в граничных условиях (8) и получим
2 У1- 5 У2+4 Уз- у4=0; « У1+ р У 2 + У Уз + 8 У 4 + е У 5 = 0; Уп = 0, Уп-2 - 4Уп-1 + 3Уп = 0 . (10)
Здесь а = 2Ъ'И - 2,5Ъ; Р=-5Ъ'И+9Ъ;
у =4Ъ" И -12Ъ1; 8=-Ъ;И + 7Ъ1; е = -1,5Ъ1.
Объединение уравнений (9), (10) приводит к однородной алгебраической системе уравнений, которую можно переписать в матрично-векторной форме
G(A)Y=0,
(11)
где О (А) - квадратная диагональная разреженная матрица порядка п
("2-5 4-1 а р у 8 е
5
G (A)=
Г d^ e^
r4 d4 e4 s4
n-2 ^n-2 n-2 2 V2
1 -4 3 1
нулевые элементы не выписаны.
Элементы на главной диагонали ^ являются функциями А, а значит, и характеристического пока-
зателя X, т. е. собственного значения задачи (7), (8). Условие существования нетривиального решения системы уравнений (11) даёт характеристическое уравнение
йеЮ(А) = 0, (12)
из которого определяются собственные значения, т. е. спектр {Аь А2,...} .
Уравнение (1 2) с учётом того, что его левая часть представляет комплексную функцию, можно переписать в виде (ц,ю) +]'у2(ц,ю) = 0 .
Отсюда следует, что коэффициент затухания ц и частота свободных колебаний ю должны определяться из системы двух нелинейных алгебраических уравнений
V(ц,ю) = 0, у2 (ц,ю) = 0 .
Решение системы уравнений будем находить далее с помощью метода координатного спуска.
Пример 1. Найдём собственные значения и функции свободных колебаний стального прямолинейного стержня переменного поперечного сечения с общими параметрами:
I =15 м, п=1001, -л = 0,02 с -1 ,
р= 7810 кг/м3, Е=210 ГПа, т(х)=120 + 8х кг/м, 3=ах2 + Ьх+с м4, а = 0,000000371 м2,
Ь = 0,0000134 м3, с=0,000121 м4.
Здесь п - число точек сетки (мощность дискретного конечного множества точек). От его конкретного значения зависит точность итоговых результатов. Выше введено семейство сеток
Д ={х =(г -1)И, г =1, 2,...,п} ,
зависящих от шага И=¡/ (п -1) и, значит, от п как от
параметра. В данном примере это число выбрано по результатам численных экспериментов, проведённых в системе МЛТЬЛБ и имевших целью достичь высокой степени точности за ограниченное время. Собственные частоты считывались с экрана монитора как абсциссы точек пересечения графиком оси ю при многократном увеличении рисунка (рис. 2).
В нижеследующей таблице представлена эволюция собственных значений в зависимости от п.
Таблица
№ n ю, с-1
1 51 10,965 57,020 151,242
2 101 10,872 56,716 150,150
3 151 10,812 56,565 149,883
4 1001 10,806 56,562 149,733
При этом на ввод данных (т. е. числа п) и получение графика для одной строки тратилось в среднем менее одной минуты. с!е1 С?(а>)
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
20 40
60 80 100 Рис. 2
120 140 ю, с-1
Примем для последующего использования в примерах частоты в последней строке при п = 1001
ю={10,81; 56,56; 149,73} с-1.
Легко заметить, что решения конечноразностной задачи быстро сходятся к некоторым точным значениям, близким к ним. Те же три собственных значения, определенные на вычислительном комплексе «Лира» для проверки достоверности полученных результатов, незначительно отличаются от них:
ю={10,80; 55,93; 147,39} с-1.
Соответствующие собственные функции представлены графиками рис. 3. Они близки к кривым, приводимым в литературе для консольных балок и вертикальных стержней постоянного сечения [7, 8], что является необходимым условием их достоверности.
-1
0
1
10
15
х, м
2 1 / 1 JX 3
Рис. 3
Вынужденные колебания при гармонических возмущениях
Рассмотрим задачу о вынужденных установившихся колебаниях при гармонических возмущениях, представленных поперечной распределённой нагрузкой - / (/) (динамическое возмущение), горизонтальными и угловыми перемещениями нижнего конца - /(0 , / (0 (кинематические возмущения).
0
5
Основное уравнение и граничные условия в совокупности образуют задачу
Ьиш +2Ь'и'"+Ри"+ри'+тй + цтй=/ДО ,
х е(0,1), / >-» . (13)
и"(0, /) = 0, [Ъи" (0, /)] ' = 0 ,
и(1, /)=/2 (/), и'(I, /)=/3 (/) . (14)
В отличие от предыдущих случаев, теперь основное уравнение и граничные условия являются неоднородными.
Три возмущения являются компонентами векторного гармонического процесса
/(') = {/! (')> /2 ('), /3 (0} ,
которые имеют частоты О к и начальные фазы у к. Их удобно представлять как комплекснозначные функции
/ (/)=аке]{°кШП), к=1,2,3 .
Здесь а^ - вещественная амплитуда гармонических возмущений. Введём обозначение для комплексной амплитуды Лк = аке-'Ук и упростим описание возмущений
/к (/)= ЛкеОк, к=1,2,3 .
Выходной процесс и(х, /) в общем случае не будет гармоническим и даже периодическим. В то же время он будет суммой трёх гармоник с разными частотами Ок . Периодическими такие колебания будут лишь в том случае, если отношения Оу / Ок окажутся
рациональными числами.
Если три частоты возмущений одинаковые, т. е. О1=О2=О3=О, то выходной процесс будет гармоническим. Для этой задачи можно определять, кроме решения и (х, /), и амплитуду колебаний. Рассмотрим
данный случай подробно.
Решение задачи (13), (14) ищется с помощью метода разделения переменных как произведение
i(x,t)= X (x)e
xt
(15)
где Х = уО - характеристический показатель; Х(х) -
функция амплитуды вынужденных колебаний, подлежащая определению.
Подставим (15) в (13), (14) и получим ЪХ1У + 2Ъ 'Х"'+рХ"+рХ'+тАХ=Л1,
А=Х(Х+^), хе(0,/) , (16)
Х "(0) = 0 , [ЪХ" (0)]' = 0 , Х(/)= Л2, Х'(/)= Л.
От дифференциального уравнения (16) перейдём к конечноразностной схеме. Нетрудно показать, что будет получено конечноразностное уравнение
r,y,-2 + c,y,-1 + d,y, + ei y+1 + s,y,+2 = q q = A1h4 , i = 3, 4,...,n-2 ,
(17)
где коэффициенты имеют прежние значения.
Граничные условия (14) приведём в соответствие с методом конечных разностей и запишем:
- на верхнем конце:
2 У1- 5 у 2+4 У3- У4=0; аУ1 +РУ2 +УУ3 +8У4 +еУ5 = 0 , (18)
- на нижнем конце:
Уп-2-4Уп-1 + 3Уп = Чп-\; Чп-1=2ИЛ3;
Уп = Чп , Чп = Л2 . (19)
Уравнения (17) - (19) образуют неоднородную алгебраическую систему, которую можно переписать в матрично-векторной форме
О(Х)у=я, (20)
где О(Х) - квадратная матрица порядка п,
Я = {0,0, Чз,..., Чп-2, Чn-1, Чп} .
Решение системы уравнений (20) даёт вектор У=О-1Я,
а далее и вектор амплитуд колебаний по формуле
аи (х, )=|У .
Пример 2. Рассмотрим действие гармонических возмущений / (/), /2 (/), /3 (/) на вертикальный
стержень с параметрами примера 1. В качестве вещественных амплитуд возмущений возьмём
a1 = 200+100cos
Н/м,
а2 = 0,05 м, а3 = -0,005 рад.
В примере 1 для данного стержня определены три элемента спектра собственных частот, представленные выше.
Изучим влияние возрастающих значений частоты возмущений
0={0; 3,3; 4,5; 45; 127} с
на амплитуду колебаний при отсутствии сдвига фаз, т. е. при =у2 = у3 = 0.
Результаты счёта показаны кривыми рис. 4 с номерами в порядке следования элементов вектора О .
Очевидно, что по мере роста частоты возмущений, а значит, приближения колебаний к резонансным
на первом собственном значении, амплитуды возрастают, и форма их распределения по длине стержня совпадает с первой собственной функцией (кривые 1, 2, 3). При совпадении первого собственного значения с частотой возмущений колебания становятся резонансными, и амплитуды становятся большими (соответствующие кривые здесь не показаны). После первого резонанса при повышении частоты возмущений колебания происходят уже по второй собственной функции (кривая 4), а далее по третьей (кривая 5) и т. д.
0 5 10 15 20
10
15
V ¡1} 2/з
iSl J it 4 _f
в Y I ff It/ if
у |. см
Рис. 4
На основании такого анализа можно прийти к выводу: при вынужденных колебаниях вертикального стержня величина и формы распределения амплитуды вдоль его оси существенно зависят от спектров собственных значений и функций порождающего однородного дифференциального уравнения с однородными граничными условиями.
Пример 3. Рассмотрим колебания того же вертикального стержня при различных сдвигах фаз возмущений при одинаковых частотах 0.=7 с 1 и амплитудах возмущений
ах =200 1 /1 , а2 =0,011 , аъ =-0,001 даа.
Изучим влияние начальных фаз у на амплитуду
колебаний. В такой задаче существенное значение будут иметь не величины начальных фаз, а разницы между ними (сдвиги фаз). Наиболее характерными будут три случая:
¥ = [(0,0,0); (0, -2%/3, 0); (0, 0, -%)].
Первый из них соответствует синфазным возмущениям, при этом возмущения направлены в одну и ту
же сторону, т. е. одновременно увеличиваются (уменьшаются). Во втором случае второе возмущение имеет сдвиг фазы по отношению к другим. В третьем случае угловое перемещение находится в антифазе с другими возмущениями.
Результаты счёта по компьютерной программе представлены на рис. 5.
0
6
8
10
15
Рис. 5
Как и следовало ожидать, первый случай сдвига фаз (кривая 1) даёт наибольшие отклонения, третий -наименьшие, а второй - промежуточные между ними. Частота возмущений меньше первого собственного значения, поэтому распределение амплитуд происходит в основном под влиянием первой собственной функции.
Полученные результаты дают возможность проводить расчёты на прочность, жёсткость, усталость, оценить возникновение наиболее опасных резонансных колебаний и определить меры по их преодолению или недопущению.
Литература
1. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968. 504 с.
2. Kim C.S., Dickinson S.M. On the analysis of laterally vibrating slender beams subject to various complicating effects // J. Sound and Vibr. 1988. Vol. 122, № 3, P. 441 - 455.
3. Auciello N.M. A study of the numerical convergence of Ray-leigh-Ritz method for the free vibrations of cantilever beam of variable cross-section with tip mass // Eng. Trans.. 1996. Vol. 44, № 3-4, P. 375 - 388.
5
5
x. м
x. м
4. Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю., Барагунов Т.М. Вынужденные колебания континуально-дискретной многопролётной балки при учёте инерционных сил вращения // Вестн. ВолгГАСУ. Серия: Строительство и архитектура. Вып. 26(45), Волгоград, 2012. С. 48 - 55.
5. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые колебания континуально-дискретной многопролетной балки // Тр. Х Всерос. съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вестн. Нижегор. гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011, № 4, Ч. 2. С. 198 - 200.
6. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
7. Справочник по динамике сооружений / под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1972. 511 с.
8. Барштейн М.Ф., Бородачёв Н.М., Блюмина ЛХ. [и др.]. Динамический расчёт сооружений на специальные воздействия: справочник проектировщика / под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М: Стройиздат, 1981. 215 с.
References
1. Kollatc L. Zadachi na sobstvennye znacheniya (s tehnicheskimi prilozheniyami) [Problem on eigenvalues (with technical appendices)]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 504 p.
2. Kim C.S., Dickinson S.M. On the analysis of laterally vibrating slender beams subject to various complicating effects. J. Sound and Vibr., 1988, 122, no. 3, pp. 441-455.
3. Auciello N.M. A study of the numerical convergence of Rayleigh-Ritz method for the free vibrations of cantilever beam of variable cross-section with tip mass. Eng. Trans, 1996, Vol. 44, no. 3-4, pp. 375-388.
4. Kul'terbaev H.P., Chechenov T.Yu., Baragunov T.M. Vynuzhdennye kolebaniya kontinual'no-diskretnoj mnogoproletnoj balki pri uchete inercionnyh sil vrascheniya [Forced vibrations of continuous-discrete multi-span beam with taking into account the inertial forces of rotation]. Vestnik VolgGASU. Seriya: Stroitel'stvo i arhitektura, Volgograd, 2012, vol. 26(45), pp. 48-55. [In Russ.]
5. Kul'terbaev H.P. Kinematicheski vozbuzhdaemye kolebaniya kontinual'no-diskretnoj mnogoproletnoj balki. Trudy H Vse-rossijskogo s'ezda po fundamental'nym problemam teoreticheskoj i prikladnoj mehaniki [Kinematically excited oscillations of a continuous-discrete multi-span beams. Proceedings of X all-Russian Congress on fundamental problems of theoretical and applied mechanics]. Vestn. Nizhegor. gos. un-ta im. N.I. Lobachevskogo, 2011, no. 4, vol. 2, pp. 198-200. [In Russ.]
6. Samarskij A.A. Teoriya raznostnyh shem [Theory of difference schemes Theory of difference schemes]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 656 p.
7. Spravochnikpo dinamike sooruzhenii [Reference book on dynamics of constructions]. Edit by B.G. Koreneva, I.M. Rabinovicha. Moscow, 1972, 511 p.
8. Barshtein M.F., Borodachev N.M., Blyumina L.Kh. i dr. Dinamicheskii raschet sooruzhenii na spetsial'nye vozdeistviya. Spravochnik proektirovshchika [Dynamic calculation of constructions on special influences. Reference book of the designer]. Moscow, Stroiizdat Publ., 1981, 215 p.
Поступила в редакцию 17 июля 2015 г.
