Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки

А.М. Казиев, В.Х. Хуранов, О.В.Костенко

ФГБОУ ВО «Кабардино-Балкарский государственный университет им Х.М. Бербекова»,

Аннотация: Исследованы поперечные колебания балок постоянного сечения с учётом демпфирования. Рассмотрены случайные колебания балки под действием векторных кинематических и динамических воздействий. На примерах показаны влияние коэффициентов корреляции на среднеквадратические отклонения сечений балки. Определены внутренние силы в виде изгибающих моментов и поперечных сил. Приведён пример действия случайного процесса со скрытой периодичностью.

Ключевые слова: балка, демпфирование, прогиб, изгибающий момент, поперечная сила, случайный процесс, спектральная матрица, корреляция, вектор, матрица, передаточная функция.

Балки и колонны в виде стержней постоянного сечения самые распространённые конструктивные несущие элементы, применяемые в строительстве и в других областях. Многие внешние воздействия имеют случайный характер [1], [2], [3]. Эти действия могут быть динамическими, кинематическими [4] и комбинированными [5]. Действие таких нагрузок, в виде случайного процесса со скрытой периодичностью, исследовалось автором в статье [6]. Этим вопросам посвящались и работы зарубежных [79] и отечественных авторов [10], [11].

В данной работе автор рассматривает одновременное действие таких нагрузок. Причём учитывается их матрица коэффициентов корреляции, с помощью которого можно регулировать их «синфазность». Получены формулы для определения перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил.

Нальчик, Россия

Вынужденные случайные колебания

U

Рис. 1. Установившиеся колебания

балкис шарнирно опертыми концами (рис.1) в общей постановке имеет вид

и + 2ви + а4и1У = /1(г),/1(г) = ц(г)/р8,хе (0,/),г> - да.

и(0,г) = /2(г), EJu'(0, г) = Яг). и(1, г) = /4(г), Е^'(/, г) = Яг).

Допустим на балку действует возмущение, которое является случайным стационарным и векторным

Л*, г) = {/1(г), /2(г), /з(г), /4(г), /з(г) }, где компоненты являются стационарно связанными, математическим ожиданием равным нулю и с заданной спектральной матрицей

(5П (ю) 512 (ю) ••■ 515 (ю)^ я21(ю) Я22(ю) 525(ю)

5/ (©) =

я51(ю) я52(ю) - я55(ю).

(1)

^ 51 ^52 V / 55 V ' у

*

и являющуюся эрмитовой, и в результате чего5*гу(ю) = (ю).

В установившемся режиме и(х,г) - центрировано пространственно-временное случайное поле, стационарное во времени и неоднородное в пространственной координате. Далее ставится задача имея спектральную матрицу входного случайного процесса необходимо определить спектральную плотность и дисперсию выходного процесса. Функция математического ожидания перемещений сеченийбалки по заданному вектору математических ожиданий возмущенийш/х) = { т1, т2, т3, т4, т5 } является традиционной.

Для этого используем передаточные функции

Щх, ¿ОД ) = 1, 2, ..., 5.

Спектральная плотность случайного процесса колебаний вычисляется по следующей формуле

^(х,ш)=ТТНк(хН*у(х т) (со).

к у

В векторно-матричной форме

Би (х, ю) = Нт (х, ¡ю)8у(ю)Н* (х, ¡ю), (2)

где Н(х, т) - вектор-столбец.

Теперь дисперсия отклонений определяется по известному соотношению

да

Ви (х) = 18и (x, ю) ■ (3)

— да

И учитывая чётность Би, можно сократить вычисления

да

£>и (Х) = 21 ^и (X, ю) ■

0

Введём вектор

Х= { Х1,Х2, ...,Хп }, xJ = (/-1)Ах, у = 1, 2, ... , п,

Ах - шаг разбивки. ВекторХустанавливается в соответствии со значением функции спектральной плотности

т *

БиХ ю) = Н (ху, ¡ю) З^ю) Н (xJ, ¡ю), у = 1, 2, ... определяемой формулой (2). Здесь

Н(ху, ¡ю) = {(ху, ¡ю), Н2(ху, ¡ю), Н3(ху, ¡ю), Н4(ху, ¡ю), Н5(ху, ¡ю) }

- вектор-столбец передаточных функций.

Введём норму для функции Би (ху, ю), учитывая то, что спектральная

плотность является положительной величиной, её запишем в виде

К(,ю)|=1£и(ху, ю) юе[0, да). (4)

у=1

Постепенно увеличивая ю норма (4) будет уменьшаться. Тогда с большим шагом увеличивая ю, можно найти её наименьшее значение О, которое удовлетворяет условию

Би (х., о)

< Ц,

где ^ - малое положительное число, от которого зависит точность вычислений.

Пример. Возьмём стальную балку сечением двутавр № 14,/ = 6 м, р = 7850 кг/ м3, Е = 210 ГПа, 5 = 17, 4 см2 / = 573 см4, е = 0.9с"1.

Векторный процесс возмущения примем стационарным со стационарно связанными компонентами и скрытой периодичностью. Элементы матрицы (1) примут вид

. ( ю )

2 а,-,,е

п

дк е дк р ]к ° ] ° к

(ю2 - е2к )2 + 4а 1 ю2

е2к = аук + в2к, к = 1,2,..., 5.

Здесь ад- параметр широкополосности, Рд-=- характерная частота, р.к-элементы нормированной корреляционной матрицы, среднеквадратические отклонения процессов /().

оч = 760 Н/м, о2 = 5 мм, о3 = 1800 Нм, о4 = 9мм, о5 = 950 Нм.

= 2 с-1 (кривая 1), 35 с-1 (2), 46 с-1 (3), 310 с-1 (4), 620 с-1 (5);

у, к = 1, 2,., 5.

Нумерация кривых указана по рис. 3, где приводятся результаты вычислений. Параметры широкополосности примем

у = 0.9 с-1, у, к = 1,

Рис. 2. Зависимость нормы спектральной плотности

2, .. .э.

Элементы нормированной корреляционной матрицы приравняем к единице со знаками, которые учитывают направления

( 1 1 — 1 1 — Л 1 1 —11 — 1

р = — 1 —11 —11 1 1 —11 — 1

ч— 1 — 1 1 — 1 1 ,

Наивысший предел и минимальный шаг интегрирования определяется по методу, описанному выше. График нормы спектральной плотности (4) примет вид, показанный на рис 2 при следующих частотах

у = 210 с-1, у, к = 1, 2, .,5.

Как видно

Си ММ

40

30

20

10

0

3

2

1

4

по графику максимумы собственных частот 319,4 с-1 и 716,5 и далее практически

неразличимы. Для построения графика использована

функция десятичного

логарифма. Максимумы на

0 1,2 2,4 3,6 4,8 6

Рис. 3. Влияние характерной частоты первой собственной частоте ^ возмущений на среднеквадратические

отклонения перемещений. рнал «Инженерный вестник Дона», 2007-2017

79,6 с-1 и характерной частоте возмущений 210 с-1существенно больше, чем на обертонах. Поэтому большое значение будет иметь интегрирование в области, находящихся близко к указанным частотам. Предел интегрирования О можно принят равным 500 с-1. Шаг интегрирования при этом был равным 0,05 с-1.

Для изучения влияния коррелированности случайных возмущений промоделируем с помощью пяти соответствующих нормированных корреляционных матриц

ММ

30

20

10

Р =

( 1 1 -1 1 - Л

1 1 -11 -1

-1 -1 1 -1 1

1 1 -1 1 -1

-1 -1 1 -1 1

,Р2 =

( 1 -1 1 1 - Л

-1 1 -1 -1 1

1 -1 1 1 -1

1 -1 1 1 -1

-1 1 -1 -1 1 у

1

5

/ ^ — 2

4

1

Р3 =

( 1 1 -1 -11 ^

1 1 -1 -11

-1 -1 1

-1 -1 1

1 -1 1 -1

1 1 -1 -1 1

У

Р 4 =

1,2

2,4

3,6

4,8

м

( 1 -1 1 -1 1 ^

-1 1 -1 1 -1

1 -11 -11

-1 1 -1 1 -1

1 -1 1 -1 1 У

Рис. 4. Влияние коррелированности компонентов вектора возмущений на среднеквадратические отклонения

Р5 =

(1 0 0 0 0 ^

0 1 -1 1 -1

0 -1 1 -1 1

0 1 -1 1 -1

0 -1 1 -1 1

У

Проведём вычисления при фиксированных значениях характерных

частот

вк = 10 с-1, у, к = 1, 2, 3.

Результаты представлены на рис. 4, где номера кривых соответствуют номерам корреляционных матриц. Нормированная корреляционная матрица в случайных колебаниях играет ту же роль, что и сдвиги фаз возмущений в гармонических колебаниях.

Максимум и шаг интегрирования, следующие О = 510 с-1, Аю = 0,10 с-1.

Внутренние силы в поперечных сечениях

Для анализа прочности балки необходимо знать величину изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях балки. Как известно, у балки между прогибами и внутренними силами существуют соотношения

М (х,г) = ЕМ'(х,г), Q (х,г) = ЕМ'"(х,г). (5)

Через функции ^х, 1) можно найти внутренние силы.

При гармонических возмущениях общая формула определения перемещений имеет вид произведения векторов

т

и(х, г) = [А, у(хД)] = А v(x,t). Применение операций (4) даёт

М(х, г) = ЕА V ' (х, г), Q( х, г) = ЕАт V ' (х, г). (6)

Здесь А и V - ранее принятые обозначения для векторов комплексных амплитуд возмущений и функций перемещений. Последние, в свою очередь, определяются через передаточные функции

ук(х, г) = Нк(х, ¿ПО вПк<, к = 1, 2, ..., 5.

Следовательно,

Ук (х, г) = Нк (х, lQ)вlQk^ Ук(х, г) = Щ(х, ¡О) в'° кк ■ к = 1, 2, ..., 5. (7) Передаточные функции изгибающего момента и поперечной силы

Н М (х, ¡О1) = Н'{ (х, ¡О1) = Ь1(-С1 бшЬх - С2 собЬх + С3 б^х + С4 chbx). (8)

Н|2 (х, ¡О1) = Н1 (х, ¡О1) = Ь3(-С1 собЬх + С2 бшЬх + С3 сЫх + С4 бМх). (9)

Производные других передаточных функций находятся аналогично

н и (х, /02) = #2(х, /02) = ь2 [-С1 б1пь(/-х)+ С3 бМ(/-х)], (10)

нд (х, /02) = н'2 (х, /02) = ь3 [С1 собЬ(/-х)- С3 ch Ь(/-х)], (11)

ни (х, /03) = Н3(х, /о3) = ь2 [-С1 б1пЬ(/-х)+ С3 sh Ь(/-х)], (12)

Нд (х, /03) = Н3 (х, /03) = ь3 [С1 cosЬ(/-x)- С3 ch Ь(/-х)], (13)

н и (х, /о4) = н4(х, /о4) = : Ь (-С1 sinЬx+ С3 shЬx), (14)

н д (х, /04) = н; (х, /04) = Ь (-С1 cosbx +С3 chЬx), (15)

н и (х, /05) = н4(х, /05) = : Ь (-С1 sinЬx+ С3 shЬx), (16)

н д (х, /о5) = н 5 (х, /о5) = Ь (-С1 cosЬx +С3 chЬx). (17)

Для случайных колебаний задача сводится к определению спектральной плотности, а затем и дисперсии внутренних сил по заданной спектральной матрице возмущений. Соотношения между спектральными плотностями внутренних сил и возмущений аналогичны (2)

Би (х, ю) = Нтм (х, /ю) Б, (ю )Нм (х, /ю)(Е^ 2, (х,ю) = Нтй(х, /ю)Нд(х, /ю\ЕЗ)2 .

Соответствующие дисперсии определяются с помощью интегралов

да да

Би (х) = 21Би (х, ю)dю, (х) = 21(х, ю)dю. (18)

о о

Интегрирование в (18) проведем численным методом по алгоритмам, которые применяются для вычисления дисперсии перемещений.

По известным характеристикам прогибов и внутренних сил, можно определить характеристики нормальных и касательных напряжений при помощи линейных отображений. По известным методам решаем вопросы прочности, выносливости и жёсткости балки.

Рис. 5. Эпюры амплитуд и среднеквадратических отклонений

перемещений, изгибающих моментов

Пример■ Для выполнения вычислений возьмём ту же стальную балку из двутавра № 14 со свободно опертыми концами, которая рассмотрена выше, и имеет параметры I = 6

м,

р = 7850 кг/ м3, Е = 210

ГПа, 5 = 17, 4 см2 / = 573 см4, е = 1 с-1,^ = 16 с-1 (2), оч =800 Н/м, о2 = 6 мм, о3 = 2500 Нм, о4 = 9 мм, о5 = 2000 Нм.

С использованием

полученных формул проведены вычисления и построены эпюры амплитуд и

среднеквадратических отклонений, показанные

графиками рис. 5. Анализ форм этих кривых подтверждает зависимости между и, М и Q, хорошо известные из курса сопротивления материалов.

Литература

1. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука,1979.335 с.

2.Вентцель Е.С. Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.

3.Вольмир А.С., Культербаев Х.П. Стохастическая устойчивость вынужденных нелинейных колебаний оболочек. ПММ.1974.Т.38, вып.5. С. 893-898.

4. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания балок. Инженерно-технические науки.Материалы научно-практической конференции 1994.Нальчик: Каб.-Балк. гос. с/х акад. 1995.Ч. 3. С. 23-27.

5. Культербаев Х.П., Казиев А.М., О случайных колебаниях растянутых балок. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: Сам. гос. тех. ун-т. 2003. С. 100-103.

6. Казиев А.М., О влиянии характерной частоты и широкополосности случайной нагрузки на колебания балок. Вопросы повышения эффективности строительства. Межвузовский сборник. Нальчик: КБГСХА, 2004. Вып. 2. С. 79-83.

7. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. - № 2. - рр. 259-270.

8. Keltie R.F., Cheng C.C. Vibration reduction of a mass-loaded beam. J. Sound and Vibr, 1995. № 2, рр. 213-228.

9. Simion F.P., Decolon Chr., Staicu St. Study of vibrations in a rod submit to viscous frictions. Sci. Bull. D. "Politehn." Univ. Bucharest., 1998.№ 1. рр. 55-59.

10. Хуранов В.Х., Лихов З.Р., Казиев А.М., Шерибов Ш.М. Железобетонные ребристые плиты покрытий с переменным усилием преднапряжения вдоль пролета // Инженерный вестник Дона, 2015, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2015/2893.

11. Шогенов Б.В., Ногеров И.А., Казиев А.М. К вопросу о снижении шума в зубчато-ременных передачах // Инженерный вестник Дона, 2015, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2015/3269.

References

1. BolotinV.V. Sluchajnye kolebaniya uprugih sistem [Random oscillation sofelastic systems] M.: Nauka, 1979. 335 p.

2. Ventcel' E.S. Ovcharov L.A. Teoriya sluchajnyh processov i eyo inzhenernye prilozheniya. [The theory of random processes and its engineering applications] M.: Vyssh. shk., 2000. 383p.

3. Vol'mir A.S., Kul'terbaev H.P. Stohasticheskaya ustojchivost' vynuzhdennyh nelinejnyh kolebanij obolochek. PMM. 1974. T.38, vyp.5. pp. 893-898.

4. Kul'terbaev H.P. Kinematicheski vozbuzhdaemye sluchajnye kolebaniya balok. Inzhenerno-tekhncheskie nauki. Materialy nauchno-prakticheskoj konferencii 1994.Nal'chik: Kab.-Balk. gos. s/h akad. 1995. CH. 3. pp. 23-27.

5. Kul'terbaev H.P., Kaziev A.M., O sluchajnyh kolebaniyah rastyanutyh balok. Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi. Samara: Sam. gos. tekh. un-t. 2003. pp. 100-103.

6. Kaziev A.M., O vliyanii harakternoj chastity i shirokopolosnosti sluchajnoj nagruzki na kolebaniya balok. Voprosy povysheniya ehffektivnosti stroitel'stva. Mezhvuzovskij sbornik. Nal'chik: KBGSKHA, 2004. Vyp. 2. pp. 79-83.

7. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. № 2. pp. 259-270.

8. Keltie R.F., Cheng C.C. Vibration reduction of a mass-loaded beam. J. Sound and Vibr, 1995. № 2, рр. 213-228.

9. Simion F.P., Decolon Chr., Staicu St. Study of vibrations in a rod submit to viscous frictions. Sci. Bull. D. "Politehn." Univ. Bucharest, 1998. № 1. рр. 55-59.

10. Khuranov V.Kh, Lihov Z.R., Kaziev A.M., Sheribov Sh.M. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2015/2893.

11. Shogenov B.V., Nogerov I.A., Kaziev A.M. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2015/3269.