Расчетно-экспериментальный метод учета влияния перетяжеления модели на флаттерные характеристики летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIV 1993 № 4

УДК 629.7.015.4:533.6.013.422

РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД УЧЕТА ВЛИЯНИЯ ПЕРЕТЯЖЕЛЕНИЯ МОДЕЛИ НА ФЛАТТЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО

АППАРАТА

М. С. Галкин, Л. П. Лущин

Излагается метод коррекции результатов испытаний на флаттер перетяже-ленных упругих моделей в аэродинамических трубах дозвуковых, трансзвуковых и сверхзвуковых скоростей. Приводятся различные способы определения поправки на неподобие по массовому параметру в определении критического скоростного напора флаттера для модели с перетяжелением. Существенной особенностью предлагаемого метода является сравнительно слабая зависимость результатов от ошибок при задании исходных данных и простота решения.

В статье предложен расчетно-экспериментальный метод коррекции результатов испытаний на флаттер перетяжеленных динамических подобных моделей в аэродинамических трубах дозвуковых, трансзвуковых и сверхзвуковых скоростей, который на основе одной исходной перетяже-ленной модели позволяет определять зависимости:

КкР = А<р = /(«); 4кР = /(«)>

где V* — критическая скорость флаттера; <7Кр — критический скорост-

кр

ной напор при испытаниях на сверхзвуковых и трансзвуковых скоростях; п — перетяжеление модели.

Показано, что конструкционное демпфирование и различные по характеру «добрый» и «злой» флаттеры изменяют зависимость критической скорости (плотности) от перетяжеления.

1. Вывод основных уравнений. При испытаниях на флаттер динамически подобных моделей в аэродинамических трубах часто не удается выполнить подрбие натуры и модели по массовому параметру:

где р — плотность воздуха, Ъ — характерный линейный размер, щ — масса модели.

Как правило, модель «перетяжелена» в п раз. Это может служить причиной погрешности в определении критического скоростного напора. Устранить или уменьшить эту погрешность можно с помощью метода коррекции. Такой метод может быть применен в тех случаях, когда коэффициенты характеристического уравнения по каким-либо причинам не могут быть определены чисто расчетным путем, например, при трансзвуковых скоростях. Экспериментальное определение коэффициентов характеристического уравнения ранее применялось в [1] для экстраполяционного определения критической скорости флаттера.

Чтобы выделить в характеристическом уравнении явную зависимость коэффициентов от перетяжеления модели, воспользуемся матричным уравнением колебаний модели в потоке:

п[т]{у} + {р[Аг} + [Л]) {у} + [р[А{\ + [*]){у} = 0, (1)

где [ml — матрица масс модели; п — коэффициент перетяжеления модели; {>>} —вектор перемещений точек модели; [А2]—матрица аэродинамического демпфирования; [А] —матрица конструкционного демпфирования; —матрица «аэродинамической жесткости»; [А]—матрица жесткости.

Предполагается, что число Маха потока М = const. При флаттере решение (1) имеет вид

- У = {/}еФ, где {/} — комплексная форма колебаний при флаттере:

Если рассматривать {//} и {/2} как координатные функции в методе Бубнова — Галеркина, то решение в рассматриваемых диапазонах скоростных напоров будет иметь вид

{у} = [я\{А) + qiihfy*1 ■ (2)

Подставляя (2) в (1) и применяя метод Бубнова — Галеркина, находим систему алгебраических уравнений для qy и q2 с неортогональными координатными функциями:

<h(n??Cn + Apd^i + Xh\\ +pby 1+Яц) +

+#2(M2c12 + fyd 12 + ^12 + pb 12+ fli2) = qi(nJ?C2i + A-pdjx + ЛЛ21 + p^2i + a2l) +

+Я2 (nJ?C22 + Apdji + + pb 22+ Я22) =

где

с,7 ={/},. [т]{/}., <ІІ] = {/},. [Л2 ]{/};, ъа ={ДИі]{/}7- hiJ={f}i[h\{f}J,

'/ = 1,2 .У = 1,2

где {/}. = {Л,/2}. - вектор-строка.

Предполагается, что при изменении рил изменением {/}. и {/}2 можно пренебречь. В соответствии с этим предположением вблизи критического режима флаттер со многими степенями свободы можно представить как флаттер с двумя степенями свободы, которые определяют форму колебаний модели при флаттере. Характеристическое уравнение для системы (3) без конструкционного трения запишется следующим образом:

Л4п2 + Л?рпА^ + Л2(пА2 + рпА% + р2А^) + +Л(р2А5 + рА6) + р2А 7+ рА 8 + А9 = 0;

Л = 5+і р.

(4)

При флаттере, когда 5=0 и Л = ір (р— частота флаттера), выражение (4) распадается на два выражения, составляющие действительную и мнимую части:

р4п2 = р2(А2п + рпА3 + р2А4) + (р2А7 + рА% + А9);

р2п = рА_ + А А А

(5)

После подстановки выражения для р2п из второго в первое равенство системы (5) получим:

п =

А$ Ал рл+л

. А А

р2А4

(6)

РА+А А А

р-~ + \(А2 + рА3) + (/£А7 + рА& + А9)

Это выражение описывает поведение искомой функции п = /(/?). Приравнивая знаменатель выраженйя (6) нулю, получим выражение для асимптоты ра, соответствующей п -> оо:

Ґ л \2

А А

А

А

Аъ + Ап

+ Ра

.а5а6 а5 а6

а--А----Т 2 ~~л~А + А&

А А А А

( А ^2

Аа

ҐА,'

V Л1

А2 + Ад

= 0.

2. Выражение для частоты флаттерного тона, следующее из метода малого параметра. Представим характеристическое уравнение (4) в безразмерном виде:

Аф Рщ>

кий декремент колебаний, р — частота колебаний.

Введем малый параметр е0. Считаем, что с1^ ~ е0, где ¿¿¡к —коэффициенты матрицы аэродинамического демпфирования.

Представим безразмерные коэффициенты А,- из (8) в виде:

Рассмотрим случай е0 = 0, (¡¡к = 0, что соответствует решению Ж. Рокара [2].

Характеристическое уравнение нулевого приближения запишем в виде:

Вычитая (10) из (8), составляя уравнение в приращеиивх и приравнивая к нулю члены с первой степенью £, получим:

Решение характеристического уравнения нулевого приближения (10) имеет вид:

Если положить А0 = (/ + у)~со, где у при р ^ Ркр характеризует затухание колебаний в системе с (¡¡к = 0 и также является вблизи флаттера малой величиной, то после подстановки в (12) и выделения действительной и мнимой частей получим:

А = ¿о Л(1);

А4 =е042)'>

а7 = а\щ + 442);

А0 = Л\+ Л0(А^р+А2) + А^р2 + А^р+ >49 = о. (10)

-4 ер4 + ре0-^(-р2А^р +А^р2 + А^р) + 2£р2{А^ р + А2) = 0. (11)

\П

(-\ + г2)Ъ2=-±(А^р + А^),

Из (13) при ф2 = р2 следует:

-2 у2р2 + 2р2 = А^~р + А}.

Подставляя это выражение в (11), получим:

+ А<р~р2 + А^р) = 4 р4у2е. (14)

V«

Для решения (14) применим метод коллокаций. Если мы выберем точки коллокаций вблизи флаттера в диапазоне значений р, где

у2е * 0, то из (14) следует:

-р2А^р + А<р'р2 + А*;р~р = 0. (15)

Из (15) следует:

р2 =25-7, + -^-. (16)

* А<‘> А«У

Щ 1 1

Это выражение, в частности, при флаттере совпадает с выражением для частоты флаттера в (5), однако выражение (16) получено для частоты вблизи области флаттера. Поэтому представляется возможным использовать выражение (16) для описания поведения частоты флаттерного тона вблизи флаттера с точностью до членов ~ у2е. Подставляя в выражение (16)

значения коэффициентов , в окончательном вице получим:

♦ _ _ .

Я ==-? + =-• (17)

Ах А1

Задавая два разных значения ~р{р\ и Р2 Рг (например, одно значение при флаттере, а другое вблизи него), найдем и значение коэффициентов

4*5

Ь)

и

3. Расчетно-экспериментальный способ нахождения коэффициентов характеристичесщго полинома. Для модели с перетяжелением п после проведения экспериментальных работ известны следующие величины: Ркр — критическая плотность (скорость) флаттера; Рщ, — частота флаттера; р{0 — собственные частоты колебаний модели в пустоте.

После определения зависимости перетяжеления п от плотности потока р (или скорости V) можно найти для любого перетяжеления значение критической плотности ркр (или ^кр ) относительно исходного варианта, условно принятого за единицу.

А. Если форма колебаний при флаттере известна, то можно выбрать и собственные частоты /?10 и Рю в пустоте двух ведущих ТО-

нов, определяющих эту форму колебаний при флаттере. Из характеристического уравнения (8) при р = 0 получим*:

^2 - />іо + ^20 ’ ¿9 = Рю ' Р20-

(18)

Здесь

Рю - Ло/^кр » Р20 = Р2о/Ркр •

Б. Из (17), зная ркр, ркр и рх, р1 вблизи флаттера, получим:

В. Для определения коэффициентов А3, А1 и А8 обратимся к характеристическому уравнению «рокаровской» системы (10), из которого поведение частоты как функции плотности определяется выражением

Воспользуемся одним свойством частоты флатгерного тона «рокаровской» и полной систем.

На рис. 1 представлен типичный график зависимости расчетных частот системы с двумя степенями свободы от плотности потока р и

//.р соответствует флаттеру системы с ^ = 0.

’Сведения о форме флаттера необходимы только для того, чтобы определить и р2о- По существу, мы получаем (18) методом Ритца, используя неортогональные коорди-

ще, вообще говоря, рю и р20 нам неизвестны, но, принимая во внимание сравнительно слабую зависимость собственных частот, вычисленных методом Ритца или Бубнова — Галер кина, от малых изменений формы координатных функций, которая широко используется при составлении формы при флаттере из малого числа собственных форм колебаний в пустоте, мы сделаем обратное предположение и примем:

Возможны И другие способы определения коэффициентов Л2 и Ау, например путем увеличения числа точек коллокаций.

I ^1) А Аф ^6 _ -РкрА ~ Аср-Ркр

(19)

^і) Рі Аф

Р4 “ Р^(^2 + Р^Ъ) + 1 + Р<А8 + ^9) = 0-

(20)

зависимость частот для «рокаровской» системы с (¡ік=0. На рис. 1

---система с 1еппфироШием(1^*0)

---„рокароЬская” система (йц=0)

Рис. 1. Поведение частот системы с демпфированием и этой же системы без демпфирования («рока-ровская» система) при расчете на изгибно-крутильный флаттер

При р ^ р*, где р*—величина плотности, при которой достигается максимальное демпфирование в потоке флатгерного тона, расчеты показывают, что частота флаттерного тона исходной полной системы практически совпадает с частотой флатгерного тона «рокаровской» системы.

Следовательно, если задать при трех различных плотностях р1, ~р2> Р5 три частоты ~рх, р2, Рз, из (20) получим систему алгебраических

уравнений для определения коэффициентов А7> А$:

Рис. 2. Построение границы устойчивости в зависимости от пере-тяжеления (трансзвук, М = 0,9) тремя способами и сравнение их с исходной функцией, полученной расчетным путем для двухкилевого самолета, расчет на флаттер которого проведен по 10 тонам колебаний

Р{ -р}{^2 + А'^з) + +яД8 + ^9) = 0; * = 1> ■ ■ • »3.

Г. Последний оставшийся коэффициент А4 определим из первого уравнения (5) при флаттере:

- ._^-^(4г+Аф^з) + (^^7+Аф^+4>) „1Ч

•^4 - _л _л *

01 V1 кр

Таким образом, все коэффициенты для построения зависимости п = /(р) по формуле (6) найдены. Необходимо отметить, что мы использовали на дофлатгерном режиме только зависимость частоты флаттерного тона р от р и не использовали величины декрементов. В из-

ложенном выше способе вовсе необязательно нахождение всех коэффициентов характеристического уравнения (4), необходимо нахождение только части этих коэффициентов.

4. Построение зависимости п = /(р)- В настоящей работе предлагается строить зависимость перетяжеления модели в функции плотности (или скорости)* потока

« = /(р); n = f(V) двумя способами, используя только одну исходную перетяжеленную модель.

Первый способ. На дофлаттерных режимах путем изложенного выше расчетно-экспериментального метода определяются коэффициенты и строится искомая зависимость п = f(p) согласно (6).

Второй способ. В работе [3] излагается способ построения зависимости п = /(р), имея две перетяжеленные модели и зная их критические плотности (или скорости) потока. Иными словами, по двум точкам (рх, щ) и (р2, п2) строится зависимость n = f(p).

Предлагается отказаться от создания второй перетяжеленной модели, а в качестве второй точки ( р2, п2) взять п -> » и Pas — значение асимптоты, которая определяется согласно (7). Далее, воспользовавшись двумя точками:

( Рнсх> ^исх) И (/^2 = Pas > п ~* °°)> по формуле из работы [3] предлагается построить искомую кривую

и = /(р)-

Например, на рис. 2 сплошной линией построена кривая А = А(п) {А = р/ро, где ро = 0,125 ж 10-3 кг/м3), полученная из расчета двухкилевого самолета при М = 0,9, когда расчет велся по 10 тонам колебаний. Кривая 1 получена согласно формуле (6). Кривая 2 получена по фор-

* Для несжимаемого потока характеристическое уравнение (4) запишем в следующем

виде:

Я4/!2 + Л3У2пЛ1 + Л2(пА2 + У2пЛ3 + У2А4) +

+ х(у4а5 + У2А6) + у4а7 + у2а8 +а9= 0.

Подставляя при флаттере X = ¡р и разделяя мнимую и действительную части, получим аналогично (5) и (6):

vi4l + -4l

У2Ал

у2 éL + ââ.

1 А\ А\) 1 A А\)

(А2 + У2А3) + (у4а7 + У2А% + А9)

т. е. ввд выражения аналогичен (6), если заменить р -* V2 только в одном месте, в числителе, получается не V4, а V2.

муле из работы [3] по двум точкам (Р1-1>696, «1=2) и

(Р2 =1,54, п2 =3). Кривая 3 получена согласно работе [3], где в качестве одной точки взята точка (р\= 1,696, «1 = 2), а в качестве второй точки взято асимптотическое значение (Рг = Рав> т. е.

кривая 3 построена комбинированным способом.

Видно (см. рис. 2), что все кривые удовлетворительно описывают расчетную кривую, представленную на рис. 2 сплошной линией.

На рис. 3 сплошной линией представлена зависимость V = ¥(п) для дозвука (несжимаемый поток), полученная расчетным путем для планера «ЛАК-15» по свободной схеме, когда расчет на флаттер проводился по 10 тонам собственных колебаний самолета. Видно, что кривая имеет сложный характер поведения. На рис. 3 кривая 1 получена согласно формуле (6); кривая 2—по формуле из работы [3] по двум точкам (Уу =393 км/час, «1=1) и (У2 =368 км/час, п2 =3); кривая 3—согласно работе [3], где в качестве одной точки взята точка (Уу =393 км/час, «1=1) , а в качестве второй точки взято асимптотическое значение (У2 = Уа&, п2 -юо), т. е. кривая 3 построена комбинированным способом.

Как. показали многочисленные расчеты для конкретных примеров самолетов, оба предложенных способа дополняют и контролируют друг друга. В качестве кривой п = / (р) может быть выбрана средняя кривая.

5. Влияние демпфирования и характера флаттера на поведение функции перетяжеления. На рис. 4 построена граница устойчивости для крыла 3 из [4] для изгибно-крутильного флаттера, когда в расчет брался первый тон изгиба и кручение крыла.

Около нее построены линии равного декремента (инкремента) колебаний как в области устойчивости, так и в области неустойчивости, вдоль которых декремент (инкремент) принимает различные, указанные на рис. 4 значения. Среди них границу устойчивости (декремент колебаний ,9 = 0) можно рассматривать как одну из линий равного декремента. На рис. 4 представлен характер поведения семейства линий равного декремента в зависимости от вариации а — расстояния между осью жесткости и центром тяжести крыла, когда ось жесткости остается без изменения:

Пунктирной линией представлена кривая устойчивости для «рока-ровской» системы, т. е. когда с1,к = 0. Видно, что в области значения параметра к = 4, т. е. в области совпадения границ устойчивости исходной и «рокаровской» систем, наблюдается предельное сгущение линий равного декремента, «изодекр». Иными словами, в области значения параметра к = 4 наблюдается так называемый «злой» флаттер, так как при незначительном превышении V инкремент колебаний принимает значительную величину. Наоборот, в области значений па-

Рис. 3. Построение границы устойчивости в зависимости от пе-ретяжеления (дозвук) тремя способами и сравнение их с исходной функцией, полученной расчетным путем для планера «ЛАК-15», расчет на флаттер которого проведен по 10 тонам колебаний

Рис. 4. Типичный характер поведения линий равного декремента около границы устойчивости, вдоль которой декремент 9 = 0, и определение характера флаттера: 1 — граница устойчивости «ро-каровской» системы ((¡ік =0); 2—граница устойчивости системы с демпфированием (¿у. * 0)

раметра к = 1,5 наблюдается предельное разряжение «мзодекр», что соответствует «доброму» флаттеру.

Причем видно, что линии равного декремента могут и не повторять поведение линии границы устойчивости, вдоль которой & = 0 в отличие от выводов, сделанных в работе [5]. Таким образом, имеем две различные области по характеру поведения линий равного декремента вблизи VKр — критической скорости флаттера.

На рис. 5 представлен характер поведения критической скорости изгибно-крутильного флаттера для системы с «добрым» (кривая Г) и «злым» флаттером (кривая II), в зависимости от перетяжеления и. Видно, что в случае неизменной матрицы демпфирования (изменяется только величина а в матрице инерции) при близких значениях самой FKp для исходной системы с перетяжелением п = 1 характер поведения кривой V = f(n) —разный, в зависимости от характера поведения декремента (инкремента) при приближении к границе устойчивости. Причем в случае «злого» флаттера (кривая II) исходная система близка к «рокаровской» системе и поэтому близка к автомодельности по пере-тяжелению. Наоборот, в случае «доброго» флаттера исходная система

Рис. 5. Влияние характера флаттера на Рис. 6. Влияние демпфирования на

поведение функции границы устойчи- поведение функции границы устой-

вости, построенной в зависимости от чивости, построенной в зависимос-

перетяжеления ™ от перетяжеления

существенно отличается характером поведения декремента колебаний при приближении к границе устойчивости от «рокаровской» системы и поэтому имеет место неавтомодельность по перетяжелению.

Таким образом, если построены две модели летательного аппарата, у которых критическая скорость флаттера близка, но имеется отличие в параметрах, которые могут изменить характер поведения декремента колебаний при приближении к флаттеру, то и зависимости Укр =•/(/1), ркр = f(n) у них будут отличаться между собой.

В заключение в работе исследовался вопрос о влиянии демпфирования на поведение кривых р = f(n) и V = /(и). Так же, как и в работе [3], оказалось, что самое сильное влияние на характер поведения этих функций оказывает матрица демпфирования. В качестве примера на рис. 6 представлен характер изменения поведения кривой VKp = f(n) Для крыла 3 из [4] при изменении матрицы демпфирования djk.

Этот пример также указывает на то, что если конструкционное трение в двух динамически подобных моделях будет разным, то разным будет для них и поведение кривой V = /(л) и р= fin).

1. Брянцев Б. Д., Каркле П. Г. Некоторые результаты определения критической скорости флаттера экстраполяционными методами //Труды ЦАГИ. — 1976. Вып. 1772.

2. Рокар Ж. Неустойчивость в механике.—М.: Изд. иностр. лит-ры,

1959.

3. Булычев Г. А. Анализ задачи и метод введения поправок в результаты испытаний на флаттер моделей, неподобных по масштабу масс // Труды ЦАГИ. — 1989. Вып. 2481.

4. Гроссман Е. П. Флаттер//Труды ЦАГИ.—1937, № 284.

5. Пархомовский Я. М., Попов Л. С. О коэффициентах «запаса по флаттеру» и «запасах по реверсу*//Ученые записки ЦАГИ,—1988. Т. 19, № 6.

Рукопись поступила 16/1 1992