Некоторые критерии и формулы для анализа изгибно-крутильного флаттера Текст научной статьи по специальности «Физика»

__■____УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м XV 198 4

№ 3

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.422:629.7.025.1

НЕКОТОРЫЕ КРИТЕРИИ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ АНАЛИЗА ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНОГО ФЛАТТЕРА

Г. А. Булычев

Излагается вывод критериев и формул для параметрического исследования изгибно-крутильного флаттера на основе анализа форм и частот собственных колебаний. Устанавливаются некоторые общие закономерности, приводятся рабочие графики.

Исследования изгибно-крутильного флаттера несущих и управляющих поверхностей летательных аппаратов не потеряли своей актуальности и в настоящее время и одной из узловых задач является отыскание закономерностей, которые бы в дальнейшем могли быть использованы для развития системного подхода к анализу различных форм флаттера. Практическая значимость этой задачи возрастает по мере накопления экспериментальных и расчетных результатов исследования флаттера и потому необходимы поиски эффективных путей ее решения,

1. Рассмотрим известную [1] двухстепенную модель изгибно-крутильного флаттера — упругозакрепленный профиль в потоке воздуха (рис. 1), но при достаточно общих предположениях об аэродинамических, жесткостных и массово-инерционных характеристиках в той мере, в какой они физически могут определяться, например в выбранной за исходную схеме (рис. 1,а), крыльями-различной формы в плане. За обобщенные координаты (как и в (1]) примем (рис. 1, 6): у — вертикальное смещение точки профиля, совпадающей с центром жесткости системы, ф — угол поворота профиля вокруг центра жесткости. Тогда выражения для элементов матриц известного уравнения флаттера

с£+ + (йК2-и <4) ? = 0 (1)

с использованием гипотезы стационарности можно записать в виде:

сп = т, «п = К, <1п = 612 = —7,

с22 = т (г* + о2) 6*. а2з = с, = -(гг №, 622 = -\с1Ь,

^ — ТПъЬ, <1,2 — 0, ^11 ===

(2)

^21 =—”[ЛЬ, Ь 31 — 0, где помимо стандартных, а также указанных на рис. 1 обозначений принято

с;,

7 = с? р/25, вг ----------------*. »- = -2.

с¥ с?

СУ ‘■у

і) расчетная схема

Я

х

Д 0

л

ь

Рис. 1

/га| , — вращательные производные относительно оси, проходящей через центр

жесткости, г — безразмерный [как и другие линейные параметры в (2)] радиус инерции крыла.

Решение уравнения (1) с коэффициентами, определяемыми (2), представим в виде следующих выражений для определения величины критического скоростного напора и частоты колебаний при флаттере:

ж = —2—отношение парциальных, частот, соответствующих обобщенным

КЬ(ХЫЪ*-У1у*3 + %) _ А'Ь (?(% 3)

^5(л3 + 0(гм-Ум^) ^5(г»+е) -Р{*У

„2 _ „1 ег + уЛ (г3 + з2) фл 1 г3 + є

(3)

где

Хн = (г2 + °г)2 е,

Ум = 12г2 ег+(е — °3) (г* + £) — (г2 4- е) Ег] (г3 + о»), гы = Ег [(г2 + е) (г3 + .о*) - ГЧ -

а (г3 + е) — Д* ег>

УЖ = С''2 + °г) 4*.

(4)

координатам <р и у,

Д* = д + V — эффективная центровка,

> —-----— .

... , г . •“ ■=.■ ■

и » — коэффициент относительной плотности,

Р ьо

Е, е* — коэффициенты демпфирования относительно оси, проходящей через центр масс и фокус соответственно,:

Обратим внимание на параметр V. При увеличении массы крыла или уменьшении плотности воздуха величина V уменьшается, но всегда остается положительной. В количественном отношении обычно г<|Д|, поэтому при выводе приближенных формул будем считать А*«Д.

Используя (3) и (4), исследуем возможность обеспечения «абсолютной», т. е. независимой от скоростного напора, динамической устойчивости рассматриваемой системы при различных сочетаниях конструктивных и аэродинамических параметров. Дискриминант уравнения <2(х2) = 0 с учетом (4), а также известных [2] для коэффициентов ег и 6* соотношений

б2 = 8,</+е*; 8* + <* (5)

может быть записан в виде

• £) = (г3 + а*)* (4е* — 8*3) (й — Д)г (г3 + е)з.

Видно, что возможность получения действительных решений уравнения <2(я2)— О определяется только демпфирующими свойствами крыла. Примем, что чисто крутильные колебания крыла в потоке вокруг произвольно выбранного центра являются затухающими. Тогда с учетом соотношений (5) будем иметь 4е* — 8**>0и, как следствие, 1>»0, *^>0, откуда следует, что величина (?(х2) не может быть отрицательной ни при каких сочетаниях параметров крыла и жесткостей системы.

Для оценки в (3) возможных значений знаменателя запишем функцию Р(х3)

в виде Р = ум I — к.3] , откуда следует:, что при некотором (критическом)

\Ум ]

значении

; • „ /-2 -- е* 4- Д3 '<8* . ■ .■

_ — £% Л- '"Д------ <1 — 6*

2 гМ ^___________Д^________

~ у м~ <Р — 2Д +- л3 + Да '

зависящем от массово-инерционных, жесткостных и аэродинамических параметров системы, знаменатель обращается в нуль, что соответствует для системы достижения «абсолютной» устойчивости. Отметим некоторые особенности зависимости (<1).

Положив \’=0 (и соответственно Д*=Д),йз (6)' имеем, что одновременное изменение знаков Д И1 й не влияет на величину хкр, а значению й—А независимо от значений других параметров системы будет соответствовать хкр=1. При v=7^=0 значения Икр, соответствующие 0, будут увеличиваться при Д<0 и уменьшаться при Д>0. Так как знак ум определяется знаком Д, то, учитывая соотношение <2>0, можно заключить, что при Д<0 зависимость (й) определяет верхнюю, а при Д>0 нижнюю границу значений у.2, при которых становится невозможным возникновение флаттера даже при сколь угодно большой величине скоростного напора или индикаторной ско-~ рости (при этом, естественно, полагается неизменным число М потока). Зависимости хкр(^)’ характерные для рассматриваемой системы, представлены на рис. 2. Из них следует, что при сравнительно малых значениях с1 зависимость близка к линейной и значения корней, соответствующие заданной величине Д, довольно сильно отличаются, т. е. Из| №1-

Используя это обстоятельство, из решения уравнения = 0 можно

получить следующие приближенные формулы для вычисления йх и

&*0

А »в

Примем зависимость (й) при у=0 за условие динамической устойчивости системы в потоке. Данное условие определяет значение х„р с некоторым запасом, а потому, строго говоря, является достаточным.

2. Обозначим через Ь и 12 — безразмерные расстояния от центра масс до узловых точек соответственно низшего (с частотой р,) и высшего (с частотой рп) тонов собственных колебаний. Тогда формулы (3) с учетом для рассматриваемой системы условия ортогональности форм собственных колебаний [3] могут быть записа-

ны в виде:

’Кр. фл

тг* ЬФг (I) Ър3

5 (г* + е)я (г» + /3)9 --------------------

—1 ’ * ]

Рфл

чг*

(Г»+Е) (г* + Р)

(8)

где I — Ц — параметр формы колебаний (положительные значения при отсчете

Эра

вперед от центра масс), т|* = —^' — безразмерный параметр разности квадратов

л!

собственных частот, 6; — коэффициент демпфирования относительно оси, проходящей через узловую точку низшего тона собственных колебаний.

Положим \=0 и рассмотрим выражение для Ф2 (/), имеющее вид

(9)

Видно, что значения корней уравнения Фг(1)—0 отвечают указанному выше условию ортогональности форм собственных колебаний и имеет место соотношение

г» _ г» + «* — да ■■ I Д

Можно показать, что в рассматриваемой системе одни и те же формы собственных колебаний могут быть получены при различных значениях х и а, связанных соотношением:

-«* + (/ _£Лв + г*

7.2 =_____________1—1_________

Г* - 3*

Заменяя здесь коэффициент при о из (10) и переходя к переменной ^=а+Д, получим соотношение между х и й, обеспечивающее выполнение условия Фг(0 =0:

■& = --------------------------- (11)

а*— 2ДЙ + Г» + ДЗ 4 ;

Выражение (И), записанное относительно переменной й, совпадает с (6). Отсюда следует, что всем точкам зависимости (Л) при \’=0 на рис. 2 соответствуют одинаковые формы собственных колебаний системы, узловые точки которых отстоят от центра масс (или от фокуса) на расстояниях, определяемых значениями корней уравнения Ф2(/)=0 [или значениями и й2 из (7)]. Соответствие этих значений тому или иному тону колебаний определяется расположением центра жесткости относительно центра масс. Можно показать, что при х>хкр узловые точки низшего тона колебаний будут располагаться вне области, определяемой значениями d^ и йг, а при х<хкр — внутри ее. Это позволяет, учитывая выводы п. 1, сформулировать следующее условие динамической устойчивости по формам собственных колебаний: возможность обеспечения динамической устойчивости при всех скоростях потока, равно как и опасность возникновения флаттера при какой-то скорости обусловлены вполне определенными для заданной системы (рис. 3) формами собственных колебаний. Соотношение (6), определяющее зависимость(</), является аналитическим выражением этого условия через жесткостные параметры системы.

Критерий устойчивости может быть использован при решении различных задач, связанных с выбором рациональных средств устранения флаттера. Он также открывает Возможности и для широкой систематизации результатов исследования влияния различных параметров на устойчивость, так как позволяет сгруппировать все разнообразие систем только в двух классах в зависимости от знака одного параметра Д.

3. Выражение (8) при г=0 может быть преобразовано к виду:

^кр. фл

тгЬ

<?ко. *л = Я (О Ьр\

где

<7(0 =

к(\-к — Г1—)і \ Г* + Р')

I +Д(1— к)

к =

г» + е

(13)

Уточним характер изменения 8;. На рис. 4 показаны определенные в соответствии с (5) для крыльев различной формы в плане и числа М зависимости е* от положения ~ х

*=6сахосн вРащения- Видно, что положение минимума кривых по оси х существенно

l=const

не изменяется и приходится на интервал значений х, характерных для расположения центра масс рассматриваемой системы. Поэтому можно записать

ц = £ + (2Д 4- Ъ*) I + П е + V и формулу (13), вводя обозначения Д = _^_, е представить в виде:

Г ГГ2

д (I) =

к(1~кЦ + /«)

/ + Д(1-*) '

(14)

где к

В соответствии с этим будем иметь следующее выражение для определения частоты колебаний при флаттере:

Рф,'-

1 +Р

(15)

Из (14) следует, _что величина £(е) определяется только двумя аэродинамическими параметрами е и Д, для различных значений которых могут быть построены номограммы типа представленной на рис. 5. Укажем на взаимосвязь характера зависимостей I] (I) с условием устойчивости.

Наиболее сильное влияние на характер зависимостей оказывает величина Д. При Д<0 согласно условию устойчивости • в рассматриваемой области значений I

т Д (1 4- А1)

кривые всегда должны иметь одну асимптоту слева при — ^

1 +в*+Д2

« — ——, а при Д>0 также и справа при 72=—!—. Этим и объясняется

1+1 \ь\

наблюдаемый на рис. 5 характер трансформации кривых при изменении Д.

Значению 1=1 независимо от величин Дне соответствует <7=0,5. При изменении величины Д кривые как бы поворачиваются относительно этой точки, а величина

9тш, как показывает анализ, д^пя значений е и Д, представляющих практический интерес, не превышает значения д=0,4-т-0,5. Поэтому для оценки минимально возможных при заданных собственных частотах значений 9ир. фл может быть предложена следующая формула

<Пфл * °>45 -~- (16)

у

Зависимость дк„ фЛ (&/>») при заданных формах собственных колебаний является

линейной (12). Величина 8ра, если известны значения % и коэффициента инер-С1

ционной связи р = - 12......., может быть определена из выражения

СПС32

П2

Ър1 = я?у>з =----!_ - 2х« (1 - 2<Р) + 1 • (17)

1 — У*

График зависимости л(*) ПРИ различных значениях Р2 представлен на рис. 6. Эти зависимости могут быть особенно полезными при оценке влияния на ^кр. фЛ жесткости на кручение (х~1^С) и особенно в тех случаях, когда можно пренебречь влиянием на величину Укр. фЛ изменения форм собственных колебаний, вызванного вариацией жесткости.

Формулы (12)—(17) позволяют проводить параметрический анализ флаттера, когда формы собственных колебаний не удовлетворяют условию устойчивости. Раздельная оценка влияния на <7кр. фл форм и частот собственных колебаний представ-

ляется удобной при решении задач, связанных с выбором рациональных средств повышения величины 9кР. фл, а также для вывода приближенных расчетных формул.

4. Для иллюстрации полученных результатов оценим флаттерные характеристики прямого крула большого удлинения, полагая флаттер происходящим с первым тОном изгиба и кручения крыла. На рис. 7, а показано характерное для таких крыльев в несжимаемом потоке взаимное расположение по хорде крыла фокуса, центра жесткости и масс. Видно, что имеем систему с Д<0 и при характерных для крыла значениях

* = ЦЩ > 1 эта система подвержена флаттеру. Опасность его возникновения можно

пизг

устранить, сдвигая центр масс вперед, например, с помощью установки выносного балансира, что согласуется с известными [1] результатами. Интересно, что при этом центр масс должен располагаться впереди центра жесткости и величина перебалансировки при этом зависит от исходного значения х: с увеличением х возрастает масса балансира.

При сверхзвуковых скоростях полета не исключается опасность возникновения флаттера (рис. 7,6). Однако величина балансира, необходимая для устранения флаттера, при этом уменьшается.

Аналогичным способом с использованием зависимостей на рис. 5 и 6 может быть проведен анализ влияния конструктивных и аэродинамических параметров на величину <7кр. фл-

ЛИТЕРАТУРА

1. Гроссман Е. П. Флаттер. — Труды ЦАГИ, 1937, вып. 284.

2. Б е л о ц е р к о в с к и й С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях.—М.: Наука, 1975.

3. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле.—М.: Физ-матгиз, 1959.

Рукопись поступила 23/1Х 1982 г. Переработанный вариант поступил 5/1 1984 г.