CC BY
60
Том XX
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1989
№ 1
УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.422 : 629.7.025.1
ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНОЙ АНИЗОТРОПИИ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРЫЛА И КРИТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ ФЛАТТЕРА
На примере простой балочной модели анизотропного прямого крыла большого удлинения анализируется влияние анизотропии на динамические характеристики крыла и критическую скорость флаттера и исследуется физическая картина этого влияния. Прослеживается зависимость динамических характеристик не только от угла ориентации анизотропии, но и в зависимости от изменения массы и жесткости подкрепления. Выявляется качественное отличие положительных и отрицательных углов ориентации подкрепляющих волокон. Простая модель позволяет решить задачу аналитически без привлечения больших вычислительных средств, что на начальном этапе проектирования дает возможность качественно оценить влияние анизотропии.
1. Дифференциальные уравнения упругих деформаций для анизотропного крыла большого удлинения. Рассматривается прямое крыло большого удлинения, упругая взаимосвязь мёжду изгибными и крутильными деформациями которого осуществляется с помощью конструктивной анизотропии. Панели такого крыла, моделируемого балкой, подкреплены продольными элементами, расположенными под углом Т] к условной оси жесткости. Следует отметить, что ось жесткости в такой конструкции отсутствует, поэтому исходная ось, относительно которой записываются уравнения, выбирается в качестве оси жесткости исходной балки. Дифференциальные уравнения движения такого крыла выводятся на основе пластинной аналогии.
Потенциальная энергия крыла в этом случае
3. К. Данилова
(1.1)
где г) і — направление подкрепления пластины:
х
2
БІП Г] СОБ Г)
— средняя по хорде крыла жесткость подкрепления, Ог, Огх — цилиндрические жесткости, <7 — погонная нагрузка, № — прогиб, х — направление по хорде крыла, г — направление по размаху, I — полуразмах крыла, хг — координаты краев силового кессона.
Прогиб НР можно представить линейно по хорде крыла, а именно, в виде
где GJK — жесткость на кручение неподкрепленного крыла, £7 — жесткость на изгиб неподкрепленного крыла.
Введем обозначения:
где G/k2 — суммарная жесткость на кручение крыла с подкреплением, — суммарная жесткость на изгиб крыла с подкреплением, b(z) —хорда крыла.
Тогда после интегрирования по х выражение (1.1) для потенциальной энергии деформации подкрепленной пластины примет вид
где, кроме уже введенных обозначений, р — погонная изгибающая нагрузка, гп\ — погонная моментная нагрузка.
W(x, z) = f0(z) +xfi(z),
*•
где fo(z) и f\(z) — функции ПО Z.
Тот же прогиб в координатах г| і и ті
^(Лі. Л) = /о(лі cos л) + Лі sin ті/, (їц cos ті).
Запишем вторую производную прогиба по направлению тіь
Учтем формулы
^ 4Dzxdx = G/K и ^ Dzdx = EJ,
El4 = E^b{z), tf0tl =
= -\-Е]ц{4 + х ,х2 + *Ї), R0 = \>Dzxdx,
Rx = \Dzx2dx, /?1£= /?, + #!„ cos4 ті,
а также
/?ої = Ro + Яо,, cos4 Т), G/k2 = GJK + EJ^ sin2 2т),
(1.2)
£У2 == EJ -4" cos4 т],
о
+ 2 /?0т] cos2 Л sin 2л — Pfo —m\fi}dz,
(1.3)
Уравнения Эйлера вариационной задачи для функционала (1.3) дают уравнение движения
(EJJ'o')" + (R0J'{)" + " cos2 Л sin 2ц = - p,
(RiJ'O" + (RoJ'ó)" + (RoJ'i)" eos2 л sin 2л - (G/d/í)' -— (EJJ'ó)' eos2 л sin 2л — (/?„,/")'cos2 л sin 2л = — mi
и естественные граничные условия на свободных краях для функции fo-(EJJ'o')' + (RoJ'O' + (£/„ cos2 л Sin 2л^)' = о,
EJzfo + Rozf" + EJ„ cos2 л sin 2л^ = 0.
То же для функции fi:
(RiJ'i + Rojo + Rop cos2 л sin 2r\f\)' — GJKJ1 —
— £/4 cos2 л sin 2л/о' — /?оч c°s2 Л sin 2л/" = 0,
RiJ" + floz/o + /?ол cos2 л sin 2лf'i = 0,
где штрих обозначает дифференцирование по z.
Пренебрегая коэффициентами /?1Z, Roz, R0v которые существенны только для пластины малого удлинения и обычно не учитываются в крыльях большого удлинения, получим следующую систему уравнений движения:
(EJJ'Ó)" + (EJJ'i)"cos2 л sin2л + р = 0,
+ (EJJо К cos2 л sin 2л + m, = 0
и естественно граничные условия при z = /:
(EJzf 6')' + (Я/ч cos2 л sin 2i\f'i)' = 0, EJJо + Е/п cos2 л sin 2лЛ = 0,
EJ cos2 л sin 2r\fo + GJKzf\ = 0.
(1.4)
(1.5)
Рассматривая два последних уравнения (1.5) как систему для определения /о'(/) и f\(l) и учитывая, что определитель системы не равен нулю, получим условия: fo (/) = 0 и f\il) = 0. Вторые слагаемые в уравнениях
(1.4) являются связями, создаваемыми конструктивной анизотропией. В рассматриваемом случае примем EJ^ — const, £/s = const, С/к2 = const.
Применим полученные уравнения деформирования к задаче о флаттере. В уравнениях флаттера принято обозначать
fo(z)=f(z) и Mz)=<p(z),
где f(z)—функция изгибных перемещений, <p(z)—функция углов кручения.
Отметим, что при установке анизотропных ребер исходная масса возрастает как
т = т( 1 ос), момент инерции изменится по формуле
J т = J т{ 1 Ч” «) >
где
EJ_
а =
Е1
т и ¡т — масса и момент инерции крыла без подкрепления, т и ]т — масса и момент инерции подкрепленного крыла. С учетом изменения массово-инерционных характеристик уравнения собственных колебаний рассматриваемого жестко заделанного в корневом сечении анизотропного крыла — балки будут:
Получение уравнения упругого деформирования конструктивно-анизотроп-ного крыла первоначально применим к задаче о собственных колебаниях.
2. Методика решения системы дифференциальных уравнений колебаний анизотропного крыла в пустоте. Для качественного анализа используется метод Галеркина с выбором координатных функций, удовлетворяющих «смягченным» условиям, т. е. по крайней мере кинематическим граничным условиям. Для определения собственных частот предположим, что функции Дг) и ф(г) известны. Для анизотропного крыла функции колебаний будут связанными изгибно-крутильными, однако, в первом тоне будут превалировать изгибные деформации, во втором — крутильные. В качестве координатных функций метода Галеркина берутся собственные функции прямого крыла при £7,, = 0 и ст = 0:
Применительно к задаче (1.6) — (1.8) эти функции (2.1) будут удовлетворять полностью только кинематическим граничным условиям (1.8).
Для определения собственных функций обычно применяется метод последовательных приближений [1], в данном случае ограничимся первым приближением (2.1). Ищем интеграл системы (1.6), задавая искомые функции в виде
EJ^f"" + cos2 т) sirtériq/" + р = 0, GhzW" + EJ4 cos2 л sin 2т)f'" 4- mi = 0,
(1.6)
где
Естественные граничные условия при z = /:
EJJ'" + EJn cos2 ті sin 2т|Ф" = 0; f" = 0; q/ = 0,
(1.7)
и кинематические граничные условия в заделке при 2 = 0 будут:
/ = 0; Г = 0; ф = 0.
(1.8)
fo(z) = — [ (cos kz — ch kz) + 0,734(sh kz — sin kz) ],
где
удовлетворяющие следующим граничным условиям:
при 2 = 0, f0 = 0, f'o— о, фо = 0; при z = l, f'o' — 0, f'4 = 0, фо = 0.
(2.2)
f(z, і) = А{о(г)ек‘, ф(г, 0 = Ву0{г)еи, где постоянные А, В и к подлежат определению.
(2.3)
Аналогично операциям, изложенным в работе Гроссмана Е. П.*, применим к решению системы уравнений (1.6) процедуру метода Галеркина, используя соотношения (2.3). Берем получившиеся интегралы по частям, учитываем, что в первом приближении взяты функции (2.1), удовлетворяющие граничным условиям (2.2). В дальнейшем, имея в виду функции (2.1), будем опускать индекс ноль. Тогда интегралы для первого из уравнений (1.6) примут вид
i
а*, = EJZ ^ f"'fdz = ^f-аа = (1 + acos4 ц) а„ , (2.4)
О
I
где а,, = Е]^ (f") dz — аналогичный коэффициент работы [1] для колеба-о
ний крыла в пустоте;
а» = Р í Vmfdz = p|V (/)/(/) +( фГ*] = Ра,2 - (2.5)
/
Здесь обозначено а12 = ф"(/)Д/) y'f"dzy
о
I
стп = ñi^fdz = ■^¡■сп = {\ + а)си, (2.6)
О
I
си = т^ f2dz— аналогичный коэффициент работы [1] для колебаний крыла о
/
си = m^fdz.— аналогичный коэффициент работы [1] для колебаний крыла о
в пустоте.
Интегралы для второго из уравнений (1.6) будут следующие: i
а22 = G/*2 J ф"фdz = — а22 = — ^1 + sin2 2т))а22, (2.7)
О
/
где а22 = (ф')2dz — аналогичный коэффициент работы [1] для колеба-
0
ний крыла в пустоте,
i i
<4. = Р ^ Г Ф<*г = - р( Г ф' йг = - ра21 . (2.8)
О о
I
Здесь обозначено а2\ — ^ Р'ф'йя,
о
I -
4г = ?т\42<1г = т:-с22 = (1+а)с22, (2.9)
3 т
. О
I
где C22 = Jm^ц>2dz — аналогичный коэффициент [1] для колебаний крыла в
о
пустоте.
* Гроссман Е. П. Флаттер. — Труды ЦАГИ, 1937, вып. 284.
Сравнивая (2.8) с (2.5), можно записать соотношение между коэффициентами а\2 и й2\:
а,2 = ф"(/Ж/) +а21. (2.10)
Учитывая выражения для интегралов (2.4) — (2.9), получим систему уравнений для неизвестных величин X и Э = В/А
[ (1 -(- а сое4 т))ац + (1 -)-а)С1 [Я2] Ора)2 = 0, ]
(211>
Эа21 + £)[(1 + 7 8ш22т1)а22 + (1 + а)с22А,2] = 0, ] где, кроме уже приведенных соотношений и обозначений,
Р = сое2 Ц БШ2 Т1, V = ,
Ом, Си, а22, с22 — коэффициенты, аналогичные приведенным в работе [1] для прямого крыла без анизотропных ребер; Я12 и а21 — коэффициенты при параметре р, существенно отличные от С\г и Си для прямого крыла рассмотренного в работе [1], но выполняющие упругую связь, аналогичную инерционной связи через та, где а — расстояние оси центров тяжести от оси жесткости. Характеристическое уравнение для системы (2.11) запишем в виде
Рк* + <ЭА,2 + R = О,
где
Р= (1 + а)2СцС22,
Q= (1 -f-а) [(1 + vsin22ri)ciia22+ (1 + a cos4 л)ацС221 R = (1 + a cos4 т() (1 + у sin2 2r\) ü\\Ci22 — P2ai2a2i.
Вместо к вводим величину р: X2 = — р2, где р — действительное число, представляющее собой частоту совместных изгибно-крутильных колебаний, тогда р2 определяется из уравнений:
по формуле:
Рр4 - Qp2 + R = О
(2.12)
Найдя значения р2 из (2.12), подставляем их в уравнения системы (2.11), каждое из которых дает формулу для определения 0 = В/А. Если р2 определено точно, то обе формулы должны дать одно и то же значение для £). Обычно же при конкретных расчетах в одной из формул встречается разность двух близких величин, и эта формула дает практически менее точное значение для £), чем другая. Следует брать поэтому ту из формул, где разность близких величин не встречается.
Таким образом, найдены для каждой частоты р значение й = В/А или Э~Х = А/В. Та частота, для которой отношение А/В больше, чем для другой, условно называется изгибной, а другая — крутильной.
Совместные деформации определяются по формуле:
W = Af -f- хВу или W = В (^- f + .
3. Анализ влияния конструктивной анизотропии на динамические характеристики крыла и критическую скорость флаттера. Используя гипотезу стационарности [1] и соответствующую известную методику расчета на флаттер,
приведены параметрические расчеты для прямого крыла из работы [1], подкрепленного наклонно ориентированными ребрами. Ребра, создающие анизотропию, имеют жесткость EJ4 = aEJ и ориентированы под углами щ: ±15°, ±30°, ±45°, ±60°, ±80°. Коэффициент относительной жесткости подкрепления принимает значения: 0,1; 0,2; 0,3; 0,5. Частоты собственных колебаний в зависимости от этих параметров представлены на рис. 1 и рис. 2. Видно, что значение эффективной изгибной и крутильной жесткостей при включении армирующих волокон подчиняется сложным закономерностям. Наибольшее увеличение частоты крутильных колебаний наблюдается при угле ориентации армирующих волокон rj = 45°. Эффективное включение армирующих волокон в изгибную жесткость происходит при углах ориентации rj < 25°, при г) >25°, их влияние на увеличение частоты изгибных колебаний уменьшается. Особенно это становится заметным, когда удельная жесткость арми-
рующих волокон возрастает (а=0,3 и 0,5). Угол ориентации волокон может быть как положительным, так и отрицательным. Положительный угол соответствует случаю, когда при инерционной связи центр масс находится позади центра жесткости. При изменении знака угла ориентации значения частот сохраняется, меняется только знак отношения коэффициентов А/В. Это обстоятельство оказывает заметное влияние на величину критической скорости флаттера, показанную на рис. 3 в зависимости и от коэффициента относительной жесткости подкрепления, и от угла положительной или отрицательной ориентации подкрепляющих ребер.
На рис. 3 прямой линией отмечено значение критической скорости флаттера для исходного крыла без инерционной связи, при наличии только аэродинамической связи, т. е. при а=0 и а = 0. По сравнению с таким крылом видно, что включение упругой связи уменьшает критическую скорость при малых углах ориентации т) порядка 15°, очевидно, за счет сближения изгиб-ных и крутильных частот. В дальнейшем за счет заметного увеличения крутильной жесткости, изменение которой оказывает существенное влияние на критическую скорость флаттера для крыльев рассматриваемого типа, критическая скорость возрастает и достигает максимального значения при положительных углах ориентации для т] = 45° и а =0,5 в соответствии с максимумом крутильной частоты.
Штриховой линией на рисунке показана критическая скорость исходного крыла без подкрепления с инерционной связью для о порядка 9% хорды крыла. При отрицательной ориентации армирующих волокон наблюдается существенное увеличение критической скорости флаттера, как это хорошо видно на рис. 3. Есть даже диапазон углов ориентации: —30о<Ст)<0, гДе У*е для а =0,2 и дальнейших значений а не существует критической скорости флаттера в действительной области. С точки зрения аэроупругости это самое эффективное расположение волокон объясняется разным знаком отношения А/В для форм колебаний при положительных и отрицательных значениях угла ориентации подкрепления, в результате чего на отрицательных углах ориентации, особенно, в диапазоне —30°<Т1<;0 максимальных крутильных деформаций, происходит демпфирование колебаний крыла в потоке воздуха.
Это явление аналогично расположению центра масс впереди оси жесткости в инерционной взаимосвязи.
За счет искусственной анизотропии можно обеспечить создание необходимой упругой взаимосвязи между перемещениями, которая будет иметь тот же эффект, что и традиционная инерционная связь, создаваемая массовой балансировкой. Весовой анализ рассматриваемого крыла показывает, что при возрастании критической скорости флаттера крыла в два раза применение конструктивной анизотропии требует не больше весовых затрат, чем использование сосредоточенного на конце крыла балансира. Но тут надо учитывать, что статическая прочность анизотропного крыла будет выше, чем прочность крыла с балансиром. Если суммарный вес крыла (вес кессона и вес подкреплящих продольных элементов) сохранить таким же, как исходный вес, то критическая скорость возрастет на значительную величину. Она будет выше критической скорости флаттера крыла с балансиром примерно на 5— 10% при сохранении исходного веса. Вопрос о том, какой способ повышения критической скорости флаттера является более предпочтительным с точки зрения и весовых затрат, и технологических трудностей требует еще дополнительного изучения.
Автор выражает благодарность )В. М. Фролову!за помощь в проведении работы.
Рукопись поступила I/VI 1987 г.
