О возможности анализа различных форм флаттера на одной динамической модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 1986

УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.422 : 629.7.025.1

О ВОЗМОЖНОСТИ АНАЛИЗА РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ФЛАТТЕРА НА ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Г. А. Булычев

Исследуется возможность анализа различных форм двухстепенного флаттера на основе одной, выбранной за базовую, динамической модели. Излагается алгоритм идентификации параметров модели, приводятся некоторые результаты анализа применительно к изгибно-крутильному флаттеру несущих и управляемых поверхностей летательного аппарата.

С известными методами анализа флаттера несущих и управляемых поверхностей летательного аппарата (см. [1, 2]) возможен иной подход к решению задачи, когда исходная динамическая система сводится к известной и более простой для параметрических исследований. В результате может появиться возможность изучения различных форм флаттера на одной выбранной за базовую динамической модели, параметры которой должны подбираться в каждом случае так, чтобы обеспечить соответствие динамики ее колебаний с исследуемой системой. Оценим возможность решения задачи в такой постановке, рассматривая флаттер с двумя степенями свободы.

1. Известно [1], что задача о флаттере несущих и управляемых поверхностей с учетом двух степеней свободы сводится (с использованием гипотезы стационарности) к решению системы уравнений вида:

С'ч + йУя + (ВУ* + А) <7 = 0, (1)

где </= к1) — вектор обобщенных координат; С,... Л—матрицы второго по-

\9 2/

рядка, элементами которых являются коэффициенты уравнений флаттера

(С[..., о>1р /, 7=1, 2).

Структура матриц зависит от рассматриваемой динамической системы и выбора обобщенных координат.

За базовую примем модель изгибно-крутильного флаттера, предложенную в [3]. Аналог ее — это упругозакрепленный жесткий профиль в потоке воздуха (рис. Г> при соответствующем выборе его аэродинамических, массово-инерционных характеристиках и жесткости подвески. Выбрав за обобщенные координаты у и <р, связанные с перемещением центра жесткости подвески и поворота профиля вокруг него, будем иметь уравнение вида (1) с диагональной матрицей жесткости А и неполной матрицей аэродинамической жесткости В (Ьц—0, 6г1=0). Матрица О не будет иметь особенностей, но элементы матриц В к О оказываются связанными соотношениями

йц = — 6] 2. (1^ = — 622- (2)

Примем уравнение (1) с матрицами такой структуры за базовое и положим, что для рассматриваемой динамической системы при произвольно выбранных обобщенных

Исходная форма флаттера

"(Я

Алгоритм перехода Ч = иіЧ*

В ~~Взкв > В ~~~Вэ*В

Базовая модель

Рис. 1

координатах д1 и д2 будут' иметь место полные матрицы уравнения и размерности матриц исходного и базового уравнения совпадут. Для приведения исходного уравнения к выбранному в качестве базового используем линейное преобразование координат вида <7 =ич, где <7*—вектор новых координат, и—матрица преобразования, что для матриц уравнения (1) равносильно [4] преобразованию бида (например, для матрицы В)\

В* = и'ви , (3)

где V — транспонированная матрица.

Из (3) прежде всего следует, что при вырожденной искомой матрицы В* (какой она должна быть по условию) решение задачи при \ и\ф$ может существовать, когда: | В | = 0. Это условие является одним из необходимых для идентичности рассматриваемых систем.

Если для исходной системы указанное условие идентичности выполняется,

то — =— =а1 и заданный вид матрицы В* может быть получен [4] с помощью *12 Ьг ' - '

матрицы-1/\ вида:

; , <•>

При решении задачи о дйагонализации матрицы А* потребуем, чтобы матрица Щ нё изменяла вида матрицы В*, полученной в результате первого преобразования координат. Нетрудно убедиться, что это условие обеспечивает матрица

-ЦГ-'К.:

а

где а2

12

11

Отметим, что от одного из этапов преобразования часто можно избавиться при соответствующем выборе обобщенных координат исходного уравнения (1). Например, если их удается выбрать так, чтобы Ьц—0, 621=0, то достаточно выполнить только преобразования вида (5). •

2. Определение параметров идентичной базовой модели флаттера связано с необходимостью выполнения условия (2), которое можно записать в виде

^11^22— 612 ^21 = 0. (6)

Условие (6) является более общим, чем (2), так как в случае его выполнения оно может быть приведено к (2) с помощью следующего преобразования координат: *

<7 =

а3 О

О 1

(7)

где сс3 =

Равенство (6) является также необходимым условием решения задачи о построении идентичной базовой модели флаттера. Можно показать, что (6) инвариантно к преобразованию координат вида (4) и (5). Таким образом, оба необходимых условия идентичности (|#|=0 и (6)) могут быть проверены на исходной системе уравнений (1). В случае их выполнения следует провести преобразование координат вида (4), (5), (7) и определить по следующим формулам необходимые для анализа флаттера исходной системы указанные в [3] определяющие параметры идентичной базовой модели флаттера:

а) массово-инерционные

О **

т = “з С11

** **2, **

с22 ~ с12 IеII

2 **

«3 СИ

с12

**

Я3 С11

б) аэродинамические

— Ж

** ♦♦ }1 3’

С11 "12

22

2 _>*• J — “3 ^11

в) жесткостные

2 **

fc = Яд

22

(8)

3. Если для исходной системы установленные выше условия идентичности не выполняются, необходимо провести некоторую корректировку матриц В и D исходного уравнения (1) с целью получения приближенного решения. Отыскание оптимального варианта приближения в общем виде является сложной задачей, которая, по-видимому, может иметь различные решения в зависимости от особенностей рассматриваемых форм флаттера. Однако можно предложить некоторый общий подход к построению приближенного решения, которое, не являясь оптимальным, тем не менее не должно вносить существенных отличий в результаты анализа флаттера исходной системы.

Идентичность по флаттерным характеристикам двух неподобных систем означает, в частности, их энергетическую эквивалентность при соответственных движениях. Рассмотрим изменение энергии Aw за цикл гармонических колебаний qi = Ог cos (<о t + s/) (г = 1, 2) в потоке при различных для каждой обобщенной координаты qi амплитуды Qi и фазового угла е,-. Для этого матрицы В и D уравнения (1) удобно представить в виде Z> = Z>i + Z>2» В = Вх -f- В2, где Dit /?х — симметрические, a D2, В2 — кососимметрические матрицы. Тогда, используя известное ейотнршение для определения работы сил в гармонических системах, можно записать

Да, =_ пт ^ Q; ^ cos ^ ~ ~!г b<U sin ^

«=1/=1 V

где — элементы матрицы D\, bff — элементы матрицы В2', hj = £< — — раз-

ность фазовых углов.

Потребуем, чтобы величина Дw, определенная для исходной системы при различной величине отношения амплитуд R=Qi/Q2 и сдвига фаз Хц, не изменялась при корректировке матриц В и D уравнения (1). При этом исключим из рассмотрения

* Заметим, что (7) эквивалентно умножению элементов матриц уравнения (1)

с /#/ на а3> а с *=/ = 1 на .

элементы матриц при {=/, которые при решении практических задач часто являются варьируемыми параметрами. В результате для приближенного решения будем иметь:

*11 *12 Л

1> и-* ”экв — I , І •

*21 *22 ] \^21 ^22)

где элементы при 1ф] определяются из соотношений:

*12 *21 = *11 *22 > ^21 = ^11 *2г/*12 >

*12 — *21 = *12 ~ *21 > ^12 + ^21 = ^12 + ^21 •

В дальнейшем процедура преобразования координат и определение обобщенных параметров (8) остается той же, что и в случае точного решения задачи. Отметим, что преобразование /) />экв обычно имеет только формальный смысл, так как й 12, йц

отсутствуют в (8). Заметим также, что замена исходной системы энергетически эквивалентной в соответствии с (9) является только необходимым условием их идентич-

ности по флаттерным характеристикам [5]. Однако в данном случае оно существенно усиливается тем, что корректировка изменяет только аэродинамические факторы, массово-инерционные и жесткостные параметры исходной системы при этом остаются неизменными,

4. Применим разработанный алгоритм к анализу изгибно-крутильного флаттера управляемых поверхностей с прямой осью вращения (рис. 2, а) и крыльев большого удлинения (рис. 2,6). Известно [1], что для таких систем приемлема балочная схематизация, при которой перемещения любой точки поверхности при изгибно-крутильных колебаниях могут быть составлены из прогибов у (г, ^)=Л0/(г)^г1({) оси жесткости и угла закручивания 0 (г, t) =£оф(2)<72М поперечного сечения вокруг оси жесткости ([(г), ср(г)—заданные нормированные функции деформаций, Цг — обобщенные координаты). Поэтому коэффициенты уравнений будут, в отличие от базовой модели иметь вид интегральных выражений, но тем не менее для них сохранится условие |В|=0. Условие же (6) в общем случае не будет выполняться (хотя бы ввиду существенного различия }(г), Ф(-г) и, следовательно, рассматриваемые динамические системы к базовой модели точно не сводятся. Для приближенного решения здесь не-

(10)

(11)

Рис. 2

обходимо определить величину а3 =

dr

и по формулам (8) параметры идентичных

по флаттерным характеристикам базовых моделей.

Задача физически сводится к отысканию такого сечения поверхности, колебания которого в потоке могут быть с определенной точностью смоделированы упруго закрепленным жестким профилем. Координата г этого сечения должна, учитывая, что (7) равносильно умножению /(г) на а3, отвечать равенству а3/(г) =<р(г). Используя это сечение, можно ввести в анализ изгибно-крутильного флаттера удобный параметр форм собственных колебаний. Им по аналогии с базовой моделью будет являться расстояние от точки его пересечения узловой линии низшего тона собственны^ колебаний до обобщенного центра масс, определенного в соответствии с (8). В ре- ' зультате, если известны, например, из частотных испытаний формы собственных колебаний, то отпадает необходимость в их определении для базовой модели. Это обстоятельство является важным при использовании данного подхода к анализу флаттера, а потому такие сечения будем называть по аналогии с «reference section» Тео-дорсена определяющими. • -

При анализе изгибно-крутильного флаттера управляемых поверхностей будем считать их абсолютно жесткими, а всю податливость поверхности на изгиб и вращение сосредоточенной в некоторой точке О, лежащей на оси вращения. В этом случае имеем f (z)=z/t, ф(г) = 1, а величина а3, как показывает анализ, может быть выбрана равной a3«//2j?. Тогда будем иметь zonp=zF и процедура построения базовой модели сводится к следующему (см. рис. 2, а). За хорду модели принимается средняя аэродинамическая хорда (САХ) поверхности и на ней отмечается положение обобщенного

центра масс (параметр о = zF) , центра жесткости (точка пересечения САХ осью

J JQ

вращения) и соответствующее заданному числу М положение фокуса {й^Хр). Аэродинамические характеристики базовой модели будут совпадать с соответствующими характеристиками поверхности, массово-инерционные и жесткостные параметры определяются из соотношений:

1

л

Jx Jz

с = с.

вр.

: Сизг 12{? >

3x1 ^г> ^хг — моменты инерции относительно осей хОг.

Замена исходной системы данной базовой моделью позволяет существенно расширить возможности анализа флаттера различных компоновок управляемых поверхностей. На рис. 3 представлены результаты качественного и количественного анализа

Рис. 3

устойчивости в сверхзвуковом потоке (М=3) управляемой поверхности йри различной частоте вращения (на графике * = где п вр, Лизг парциальные частоты враще~

яизг

ния и изгиба). Качественный анализ ,проведен на основе критерия устойчивости [3], представленного здесь в виде зависимости величины у.2, необходимой для устранения флаттера, от положения оси вращения. Из сопоставления представленных на графике областей устойчивости, соответствующих различным значениям центробежного момента /хг, со структурной схемой базовой модели видно, что возникновение флаттера при /хг>0 возможно при всех значениях я. При заданном х>1 достаточным уело- . вием устранения флаттера является обеспечение /*г = 0, в тб время как при х<1 необходима некоторая величина перебалансировки (/*2<0), причем тем большая, чем меньше величина %. ■" . .. ..... ............ .

Помимо схем для качественных оценок на графике приведены расчётные зави-. симости о’кр. фл(х), определенные по стандартной программе и приближенным фор- ' мулам для базовой модели (в частности, для определения величины <7™рПфЛ указанной

Зхг «2

зависимости использовалась формула 0^”фД ~ 39,5 — “ЗГ ■ Представленные

гр су $ !

зависимости уточняют выводы анализа, а их удовлетворительное совпадение свидетельствует о вполне приемлемой точности предложенного приближенного решения задачи. ■ !

Определяющей формой изгибно-крутильного флаттера крыльев большого» удлинения является обычно флаттер, происходящий при взаимодействии первых тонов изгибных и крутильных колебаний. Выбирая, как и в [1], за /(г) и ср(г) формй" соответствующих парциальных тонов колебаний можно для определения аз получить следующее выражение:

г

^ 6/ <р йг

^ Ь/2 йг о

Видно, что величина а3 зависит от сужения г|, в силу чего может изменяться и положение по размаху определяющего сечения (см. рис. 2, б). Приняв для применяемых компоновок крыльев <Рр «0,75/, оценим величины основных параметров базовых моделей в несжимаемом потоке. Анализ показывает, что для крыльев обычных конструктивных схем взаимное расположение фокуса, центра жесткости и масс в определяющем сечении с приемлемой для практики точностью отражает структуру ^ соответствующих им базовых моделей. Среднее значение других параметров моделей следующее:

т = 0,25 0,35/гаопр /, г = г0Пр, А = — (0,6 н- 0,7) г, е = (0,5 -5- 0,8) (-у-1 .

Характерно, что площадь базовой модели при этом не совпадает с площадью крыла и составляет

I

$ЬЛг

^баз “ “ ” *^кр

“з f ЬРйг о

Установленные соотношения позволяют использовать имеющиеся в [3] критерии и формулы для параметрического анализа флаттера крыльев большого удлинения. В ча-

0,075 \

1 + 0,25 4 ^Г1/

стности, исходя из них, можно получить следующую формулу для приближенного определения величины <7„р. фЛ в несжимаемом пороке:

где рКр, Риэг — собственные частоты крутильных и изгибных колебаний, М — масса крыла, &0 75—хорда в сечении 2=0,75/. Применение этой формулы для ряда ранее исследованных крыльев [1], а также крыльев современных компоновок показало, что вычисленные по ней значения <?кр. фл вполне удовлетворительно согласуются с результатами более точного расчета и эксперимента в аэродинамических трубах. Полученная формула может оказаться полезной для выбора жесткостей крыла на стадии проектиро-' вания летательных аппаратов.

1. Гроссман Е. П. Флаттер. — Труды ЦАГИ, 1937, вып. 284.

2. Рока р И. Неустойчивость в механике. — М.: Изд. иностр. лит.,

1959.

3. Б у л ы ч е в Г. А. Некоторые критерии и формулы для анализа изгибно-крутильного флаттера. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. XV, № 3.

4. Фрезер Р., Дункан В., Коллар А. Теория матриц и ее применение. — М.: Изд. иностр. лит., 1950.

5. Grisp John D. С. The equation of energy balance for flubbering systems with some applications in the supersonic regime. — J. Aero/Space Sci., 1959, 26, N 11.

M b.

‘ ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 27/Х 1984 г.