Методика расчета массы крыла самолета с учетом ограничений по аэроупругости Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Том XXXVII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

20 06

№ 3

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.422:629.7.025.1 629.735.33.013.001.2

МЕТОДИКА РАСЧЕТА МАССЫ КРЫЛА САМОЛЕТА С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ ПО АЭРОУПРУГОСТИ

В. М. ЛИТВИНОВ, Е. В. ЛИТВИНОВ

Представление аналитических зависимостей для определения критических скоростей изгибно-крутильного флаттера крыльев большого и малого удлинения без двигателей и с установленными на них двигателями. Использование этих зависимостей для разработки приближенных методов весового анализа силовых элементов конструкции и способа выбора рациональных ее параметров на начальных этапах проектирования с учетом требований прочности и жесткости. Результаты расчетных исследований влияния ограничений по аэроупругости на массу крыла самолетов различного назначения.

Сравнительный анализ результатов расчета по предлагаемым методам с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Одной из основных характеристик, существенно влияющих на летно-технические и экономические показатели самолета, является масса его конструкции. Следовательно, конструктор уже на начальном этапе проектирования должен стараться обеспечить весовое совершенство конструкции и тем самым создать безопасный и конкурентоспособный на мировом рынке самолет. Решить эту задачу можно только в том случае, если разработчик имеет методы проектирования самолета, составной частью которых является расчет массы силовых элементов его агрегатов

с учетом требований статической прочности и ограничений по аэроупругости.

Анализ современного состояния методов определения массы самолета показал, что подавляющее большинство работ посвящено расчету массы крыла, как наиболее нагруженного агрегата, с учетом требований статической прочности. Отсутствие надежных методов расчета массы крыла с учетом ограничений по аэроупругости приводит к существенной ошибке величины массы, а, следовательно, к ошибке выбранных проектных параметров самолета. Поэтому в настоящее время стали уделять большое внимание разработке таких методов.

В связи с этим в настоящей работе предложены аналитические зависимости для оценки массы силовых элементов крыла с одновременным учетом требований статической прочности и ограничений по аэроупругости (изгибно-крутильной форме флаттера).

1. Приближенное решение уравнений изгибно-крутильного флаттера крыла. Представляется важным рассмотреть такие формы флаттера, которые существенно зависят от жесткости крыла, и, следовательно, от массы его силовых элементов. К ним следует отнести изгибно-крутильный флаттер крыла. Элеронные и «шассийные» формы флаттера, которые устраняются за счет изменения параметров элерона и элементов крепления шасси к крылу, приводят к незначительному увеличению общей массы крыла. Поэтому данные формы флаттера на предварительных этапах проектирования можно не рассматривать.

При разработке весовых формул, которые учитывают требования прочности и безопасности от флаттера, необходимо получить простые аналитические зависимости для определения величины критической скорости через основные проектные параметры самолета.

1.1. Критическая скорость флаттера крыла большого удлинения. При решении задачи

о флаттере ограничиваются только определением границы устойчивости упругих колебаний

конструкции в потоке воздуха. Поэтому рассматривают малые колебания. Предполагается, что колебания происходят в установившемся потоке, а все аэродинамические характеристики линейны по углу атаки. Силами внутреннего трения в конструкции пренебрегают.

Допуская, что собственная форма колебаний конструкции самолета в пустоте такая же, как и в потоке, уравнение движения конструкции можно записать в общем виде [1—3]:

dt

дT дU

1 П П 1 п п

где Тс= ^ гк г к — кинетическая энергия; и = —

г=1 к=1 .11-1

агк q1qk

(1)

потенциальная энергия;

г=1 к=1

&г = ^(Ъ^к + dlkqk) — обобщенная сила; qi, qi — обобщенная координата и ее производная по

г=1

времени; сгк, агк, Ъл, dlk — инерционные, жесткостные и аэродинамические коэффициенты.

Для установления связи между критической скоростью флаттера крыла и его геометрическими, аэродинамическими, упруго-массовыми параметрами используем биквадратное уравнение, полученное в результате частного решения системы уравнения (1), в следующем виде [3]:

Ьу4 + МУ,2 + N = 0.

(2)

Здесь

Ь = ^2 (-В1С2 — ^2 А); М = В1С2 + ВС £>2 — в1 Е2 — 2 0^2 А1;

N = В1С1°1 — В1 Е1 — °1 А1; А1 = с11с22 — с12с21 ;

В1 = с22^1 + c11d22 c12d21 с21^2; С1 = с11а22 + с22а11;

С2 = с11Ъ22 с21Ъ12 + d11d 22 dl2d 21; °1 = а^11а22 + d22а11; °2 = d11Ъ22 — d21Ъ12; Е1 = а11а22; Е2 = а11Ъ22 .

(3)

Жесткостные (агк ), инерционные (сл ), аэродинамические (Ъл, dlk ) коэффициенты являются функциями параметров и записываются следующим образом:

а11 =| EJ

ч )

“; а22 = ^GJ0 I .

0

d ф

^0 — % I Ъ2ф2.

Ъ Ъ 1

Ъ12 =— 2 С>01 Ъfфdz; Ъ22 =— 2 С>0 } I 0 0 ^ 1 11 сц =| mf2 dz; с12 = с21 = — | то# фdz; с22 = | Jm ф2 dz;

0 0 0

dll = 2С>01Ъ/2dz; dl2 =— 1 С>|Ъ2 I4 — Ъ)fфdz;

0 0 ^ )

2 Ос 1 (Ъ — ) ъ2 #ф^;

d?, — С

21 2

X

Ь3 ф

Сравнение произведений коэффициентов dllЪ22 и d2lЪl2 из (4) показывает, что подынтегральные выражения, входящие в эти произведения, отличаются только величиной степени функции # и ф, характер зависимости которых от z приведен на рис. 1. Несмотря на это, коэффициент В2 представляет собой разность близких величин и практически стремится к нулю. Поэтому, принимая О = 0, уравнение (2) запишем в следующем виде:

0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 1

му2 + N = 0,

(5)

где М = В1С2О — В2Е2; N = В1С101 — В2Е1 — О2А1.

Из уравнения (5), предварительно введя обозначение юр = А/ В1, получаем выражение для критической скорости:

( Е л

С1 1 — юрА1 V юР )

( Е л С Е2

С2 2

V ЮР )

(6)

Следует отметить, что в коэффициенте С2 можно пренебречь двумя последними членами (dlld22 — dl2d2l), так как их разность на два порядка меньше по сравнению с разностью первых

двух (с11Ъ22 — с21Ъ12 ).

Подставим в (6) вместо С, С2, Е1, Е2 их значения, выраженные через жесткостные, инерционные и аэродинамические коэффициенты, а также введем обозначения: а11/с11 = ю|

(квадрат собственной частоты изгиба), а22/с22 = ю^ (квадрат собственной частоты кручения), тогда получаем:

Ур = —

22 V Ъ22 )

1

юг

ю

1-

12 с11с22

1 — с21Ъ12

(7)

с11Ъ22 юр

Представим параметр юр (квадрат частоты флаттера) через значения коэффициентов В1 и В1 из (3) в виде:

юр =

^1а22 + d22а11

^1с22 + с11^22 с12 (d12 + d21)

(8)

После алгебраических преобразований зависимости (8) запишем:

(

юр = юк

1 +

С22^1

1 + С11^22 _ С12 (^12 + ^21)

V С22^11

С22^11 )

Для крыльев большого удлинения выражение СпА?22/ С22^11 близко единице, а величиной

2/2

ю„ /ю можно пренебречь из-за значительного превышения частоты кручения по отношению

к частоте изгиба, поэтому запись уравнения (9) можно упростить:

К „л ^ (л 'Л

2 2

юр = юк/

1 + С11^22 _ С12 (^12 + ^21) С22^11 С22^11

Подставляя (10) в (7) и делая ряд преобразований, находим:

(10)

V2 =

22

22

1 _

1 _ С2! Ь12

Сі і Ьоо

(11)

Проанализируем из соотношения (11) следующие четыре группы коэффициентов:

( и ^ Ки V

С2

С12

С11С22

= ц =

V о

) / V о

) о

С12 (d21 + ^2 )

С22d11

= о

3 х° |ь2/фdz

2= '

С21Ь12 = о = -і^3 -■

С11Ь22

|ЗтФ2dz |Ь/2

ч° ) о

¥ і

| та/ фdz _| Ь/фdz

V о

)V о

|т/2^ _КХт _ %р\ь2ф2^

c11d22

С22<^11

= о4 =-

Г

Г і I | т/ 2 dz V о ) 3 Хо | п Ь2ф2 dz

.П Ь Ь ) о4 у 4 Ь V | хо Хр | а 8 V Ь- ~Ь ) Су ,

і Г і |

I ^тф2 ^ |Ь/:

dz

V о

(12)

Учитывая близость закона изменения функций /и ф от г крыла большого удлинения без больших сосредоточенных грузов (двигателей), используя статистические данные о распределении его параметров вдоль размаха и применяя теорему о среднем, представим интегральные зависимости (12) в следующем виде:

С2 с(2Ха - 1) С

О =---------• ——0----О =----------------• О =

1 —2 —2* 2 —2 — 2 ’ 3 — — ’ 4

(Х0 - ХР )

0.75-х0 --

;( хо - хе ) с

у

С + г

С + г

х0 - Хр

С2 + г2

где с = I-------I — относительное расстояние от центра жесткости до центра масс в сечении

Ь Ь

- г крыла; г = —

Хо хр

относительным радиус инерции сечения крыла; —, — — относительные

Ь Ь

координаты центров давления и жесткости в сечении крыла (отсчет ведется от носка); С“ — производная коэффициента подъемной силы крыла по углу атаки; Ь — хорда сечения крыла; хт

— положение центра массы в сечении крыла.

Подставляя в (11) зависимости (13) и пренебрегая отдельными членами, мало влияющими на конечный результат, пользуясь теоремой о среднем при упрощении жесткостного (022) и

аэродинамического (Ь22) коэффициентов, а также заменяя сложную связь параметров на более

простую функцию, но дающую достаточно близкий результат к исходному значению, получаем следующую аналитическую зависимость для оценки критической скорости от основных параметров крыла:

V2 = Ур =

2.60^

о

Ро^22С;(с

-Х02 - ХР2,

1 --

1

(8/ су) + 20 (0.5 - Хо2 )2

(14)

где GJ0 — жесткость крыла на кручение в сечении г = г (рис. 2); р0 — плотность воздуха; I — длина консоли крыла; Ь2 — хорда крыла в сечении г = г2 (см. рис. 2); Хо — относительное положение центра жесткости в сечении г2 крыла; хр — относительное положение фокуса в сечении ^2 крыла; С2 — относительное положение центра массы в сечении ^ крыла

(с = хт - х0 ).

Индекс «2» для параметров Хр, Хо, Ь , с показывает принадлежность их к сечению крыла г = ^2 (см. рис. 2).

Чтобы пользоваться формулой (14), необходимо знать положение сечений ^ и ^ по

размаху крыла, в которых GJ0, Ь21 —0 —— I равны средним значениям этих функций в

I Ь Ь )

выражениях а22 и Ь22 . Точное положение сечений и Z2 вдоль размаха крыла может быть найдено после задания функции распределения углов закручивания (ф) вдоль размаха и ее производной (ф'), которые определяются методом последовательных приближений в процессе

точного расчета. Исходя из общего характера закона изменения функций GJ0 и (ф')2 , Ь2 и ф2 вдоль размаха крыла, можно отметить, что сечение z1 находится ближе к корневой, а сечение Z2

— к концевой части крыла. На основании статистических данных положение сечений Zl и Z2 можно принять 0.3 I и 0.71 соответственно.

Аналогично выводится формула для оценки критической скорости флаттера для крыльев, имеющих жестко присоединенный сосредоточенный груз (противофлаттерный балансир):

VI =

2.60/,

о

р^22с;(с

Хп X Т7 С г

02 ^2 і

1 --

1

1Са+ 20(0.5 - х0)2

(15)

ткЬ2

-2

относительное положение центра массы груза в сечении крыла, где

тё — масса противофлаттерных грузов; тк — общая масса консолей крыла, от сечения

z = 0.5^ до конца крыла; й — расстояние от центра массы груза до оси жесткости крыла (считается положительной, когда центр массы груза находится впереди оси жесткости крыла); zg — относительное положение центра массы противофлаттерного груза на оси жесткости

крыла.

Для стреловидных крыльев в формулы (14) и (15) необходимо вводить поправочный коэффициент 1/с08Х (Ур = Ур/С08% или Ур = Ур /С08%), если коэффициент С“ и остальные

\ X X § / }

параметры (I, Ь , с , —0) задаются для «распрямленного» крыла.

у

Рис. 2

Если коэффициент Су задается для стреловидного

крыла, то критическая скорость флаттера стреловидного крыла определяется по формулам (14) и (15) без поправочного множителя 1/со8 х. При этом значения

I, Ь , х0, с можно брать или как для «распрямленного» крыла (I — по оси жесткости и Ь — перпендикулярно оси жесткости), или в системе координат, для которых одна из осей параллельна потоку, а другая перпендикулярна ему (Ь

— по потоку, а I — перпендикулярно потоку).

Таким образом, получены формулы для определения критической скорости изгибно-крутильной формы флаттера крыла, в которые вошли такие параметры, как жесткость крыла на кручение (р^0), плотность воздуха (р0), хорда

(Ь) и длина консоли (I) крыла, относительное положение

центра жесткости (х0), центра масс (с), фокуса (хр) и

производная аэродинамического коэффициента подъемной

силы крыла по углу атаки (С“). В случае установки

V ^ > Рис. 3

противофлаттерных грузов на изменение величины Ур

оказывает влияние еще параметр сё. Следовательно, в данные формулы вошли параметры, которые значительно влияют на величину Ур.

Опыт экспериментальных и теоретических исследований других авторов показал, что для подавляющего большинства самолетов колебания крыла при «безрулевом» флаттере происходят по первому тону изгиба и кручения. Поэтому в основу получения формул для весового анализа конструкции крыла могут быть положены методы определения флаттерных характеристик самолета при взаимодействии двух низших тонов (изгиба и кручения).

1.2. Критическая скорость флаттера крыла с установленными на нем двигателями. Ранее полученные аналитические зависимости позволяют оценить величину критической скорости изгибно-крутильного флаттера крыла без установленных на нем двигателей. Наличие двигателей на крыле (рис. 3) может привести к существенному изменению критической скорости. Следовательно, при формировании облика самолета и весовом анализе его конструкции необходимо учесть и этот факт.

В работах отечественных и зарубежных авторов [3 — 8] показано, что установка двигателя на крыле в его корневой части (вблизи бортовой нервюры) практически не изменяет величины критической скорости флаттера. Наличие двигателя в концевой части крыла приводит даже к некоторому увеличению критической скорости, но эти преимущества теряются из-за увеличения статических и динамических нагрузок. Поэтому в практике самолетостроения рациональным местом расположения двигателя является средняя часть консоли крыла, хотя это может привести к заметному снижению критической скорости флаттера. Вследствие этого разработка простых аналитических зависимостей, позволяющих определить величину критической скорости по ограниченному числу исходных данных и известных на предварительных этапах проектирования, является весьма важной.

Известно [3], что уравнения изгибно-крутильного флаттера для крыла большого удлинения с установленными на нем двигателями и без двигателей будут отличаться лишь инерционными коэффициентами сл, которые имеют следующий вид:

С11 = |т ( 2) /2 ( 2) ^ + Ё т ^ Ъ , С22 = | Зт ( Ъ )ф2 ( 2) ^ + Ё Ф2 ( Ъ ) ’

1=1 о 1=1

Г П

с21 = -1т (Ъ)с(Ъ) f (Ъ )ф( Ъ) &+Ё т 51 ^ ( ъ )ф ( ъ )•

С12 = С1 = I

При получении приближенных формул для оценки критической скорости флаттера крыла с установленными на нем двигателями воспользуемся результатами упрощающих преобразований в разделе 1.1. Отношение квадратов частот собственных изгибных и крутильных колебаний крыла можем записать с учетом (16) в таком виде:

ю

2 _ 0

Г / чГ^/(г)^ Н 2 2 ёг | ^т ( г ) ф2 ( г) ёг + Ё '/1 фг2 ( г1) _0 1=1 _

|т (г)/ 2 (г) ёг+Ёт1/2 (г) _о 1=1 _ 1ОЛ ( г )[ ^ , 0 ^ ^ 2 ёг

(17)

Согласно статистическим данным функцию изменения вдоль размаха крыла жесткостей изгиба и кручения принимаем в виде (1 - г )2'5, а момент инерции массы крыла представим через его параметры Зт (г) = т (г) с2 (г) + Ъ2 (г)-2 (г) . Тогда, предварительно проведя ряд упрощающих преобразований, соотношение (17) представим так:

_ 5Ъ22 ф22 (/£)2 т?2 (с2 + -2 Оп -+- —

2 л 2 / ч2 2^ % 2,

Г т£^./^3 (ф^4)

"(с2 2 + -2 )

Ё (5^ + - 2 ) т1^2Ф? (г1) ) т^ 2Ъ^2ф22

(с? 2 + 2

т? з/2з

• (18)

Рассмотрим следующие соотношения инерционных и аэродинамических коэффициентов:

о. =

Сі 1 ё>

11и22

С22ё11

|т(г)/2(г) + ^т/2 (г) 0 і=1

2 с> | !щ_Ь

I 1т ( г ) Ф2 ( г) ёг + І 1і фг2 (г-)

0 1=1

3 _ х0 (г)

4 Ь ( г )

8с а

Х0 (г) _ Хр Ь ( г ) Ь

ЬЪ (г)ф2 (г)ёг

°б =

+ ё21)

11 у 12 21

С22ё11

•с п

Iт (г Мг)/ (г )ф( г)ёг+І т ъг/ (г )фї (г)

0 ї=1

С^аРо N

11т ( г) Ф2 ( г ) 4 фг2 ( г ) 2 СаРо IЬ ( г) /2 ( г) ё

0 І=1 0

У (19)

где

^=1 ъ2 (г ^ 4 - Ъг))/ (г )ф( г) ёг+1( Ьг1-^) ъ2 (г) / (г )ф( г) ёг.

После упрощающих преобразований, аналогичных для (18), соотношения (19) будут иметь

вид:

о5 =

_1 [( 0-75 _ Х0?1)( Х0? 1 _ хР^1) _ п 8С

Ь

0 =

(°2 2 + г?2 )М “^2С^3 (2Х0^2 _ 1)Н

(^2 + Г22 )М

(20)

Здесь ^1 и ^2 — статистические поправочные коэффициенты;

І тї/2 ( гі) Ь = 1 + -----------;

т

М = 1 + -і=1

І (5і2 + гі2) ^2 ті ф2 (г)

(°22 + Г?2 ) Ь22 т? 2ф22

І тА Л ( гі )фі( гі )

Я =

=1

т? 2^

2 Л 2 Ф; 2

_ 1.

Используя соотношения (20), представим знаменатель формулы (9) следующим образом:

X

1 + О5 _ Об =1 —

+

Ь

(5? 2 + ГЙ )М

к2С^3 (2Х0?2 1) Н

(ст22 + ^2 )

у(б І2 + г2

=1

) і2 т-ф? (гі)

(а^2 + Г;! )М

Обращаясь к формуле (9), запишем отношение квадратов частот флаттера и собственных крутильных колебаний крыла в виде:

Ю

р

Ю

К

V С22ё11 У

Ю

К

1 + О5 _ Об

(22)

Подставляя в (22) соотношения (18), (21), 05 и выполняя ряд упрощающих

преобразований, получим:

1 5Ь22 ф2 2 ( /1)2

п2 г2

Ю р 2" Юк

/з(ф? 4 Г

3 _

4

1 ](3

Х0? 1 |( Х0^1 Хр? 1) п/8Са

Т

(23)

Здесь Т = 1 _

3 _

4

Х0^1 |( Х0? 1 Хр?1) П 8 ^

к1Ь

(с^2 + ^2 )М + р

р =

сг;3 (2 Х0? 2 1) к2 Н

(с^ + ^2 )М

Используя зависимости (18) и (23), получим следующее выражение для отношения квадратов частот собственных изгибных колебаний и флаттера крыла:

Ю2 5Ь(22ф22 (/д.) (°22 + Г2)

Ю

р

2 /23 (<* 4 )2

(24)

т,

% 3/2

и

Здесь

3 _

4

Х0^1 |(Х0? 1 Хр?1) П8С.у к1 +с?3 (2Х0?2 1)к2Н

|(

Ь

М (^2 + г?2)’

и ^_ 5Ь22ф22 (/1) і2/"3 (ф?4 )2

3 _

4

— Х0^1 |( Х0? 1 Хр^1) П 8 С

к1.

Запишем в развернутом виде следующие зависимости:

і

1 о 1 1 £ п -{т(2)с(2)/(2)ф(2)ё2 + 2т5/ (2)фі (2) _ 0 і=1 _ 2

н 1 ся ся о4 ч { т (^) / 2 (^^ + 2т;^2 (2) 0 і=1 { ^т ( 2 )ф2 ( 2) ё2 + Т;'/> ф? ( 2і ) 0 і=1

С21Ь12 ^ п -|т(2)с(2)/(2)ф(2)ёг + Xті&і/і (2 _ 0 і=1 )фі (21)

= 2 2 0й & п 1т (2)/ 2 (2)+x т/ ( 2і ) 0 і=1

2С>]{(хо (2) - хр (2))Ь2 (2)ф2 (2)^

(26)

Пользуясь статистическими данными о законах изменения параметров, входящих под знак интеграла, применяя теорему о среднем и проводя некоторые сокращения, соотношения (25) и (26) представим в таком виде:

1 --^ = 1 -С11С22

І=1

2 с

- 1

(С2 + Г?2 )

т

'? зДз

X(5г2 + Г 2 )^2тф2 (2і )

і=1_____________________

(с22 + Г^2 )Ь?2ті;2ф22

(27)

С21Ь12

С11Ь22

X ті8/ ( 2і )фі ( 2і )

і=1

т? 2с,

^ 2Л 2ф? 2

-1

( х0^ з 3 )

X т/2 ( 2і )

і=1

т

% зкз

(28)

х

Подставляя в формулу (7) соотношения (18), (23), (24), (27), (28) и пренебрегая отдельными членами, мало влияющими на конечный результат, определим величину критической скорости флаттера:

V2 = --

2 2 5 1 + ^ф22 (Д"1) (С2 + 2 1 + 2 И , \2 Г? 2 +Г? 2 _ ^/"Э (ф?4 ) ) М - б

2 2 1 С?3И

( Х0? 3 - Х}^ 3 )ь

(29)

где

б -

1 56^ 2 ( /1 )2

/ (ф?4 )2

3 _

4

>](3

Х0^3 |(Х0^ 1 Х}? 1) V8С

}

1-

ЯИ

М

} = 1 -

(^2 + Г 2

я -

3 _

4 Х

0^ 1

|(

Х0? 1 Х} ? 1) П 8 С.

1 С^ 3 (2Х0^1 1) к2И

С^о + Г;22 ) М

2 2

с^ + г-2) М

2 2

Для избавления от интегралов в коэффициентах и ^, входящих в соотношения (4), воспользуемся ранее применявшимися приемами упрощения. Тогда отношение коэффициентов а22 и Ь22 представим через следующие параметры крыла:

г22

5/ (ф^1) к3

Ь22 р0С^ ^ Ь!^2ф^2 (Х0?2 Х}^2 )

(30)

где /Ц — статистический поправочный коэффициент.

Подставив (30) в (29), проведем упрощающие преобразования. Для этого параметры крыла с( г) и Х0 (г) заменяем в отдельных членах их среднестатистическими величинами, которые мало влияют на конечный результат. Проводим замену сложной функциональной связи параметров, входящих в эту формулу, более простой функцией, но дающей достаточно близкий результат к значению первоначальной функции. Наконец, после некоторых алгебраических преобразований и выделения характерных сечений для параметров крыла на основании анализа общего характера закона изменения их функций аналитическую зависимость для оценки критической скорости изгибно-крутильного флаттера крыла с установленными на нем двигателями запишем в виде:

2.60/,

1 -

(в/ с;)+20( 0.5 - Х02 )2

Х02 ХЕ 2 + С2^

”(5*)’

(31)

0081 Пг | + 0.24пт5г- tg3 [Пг1 + (г - птв 13г 2)

где п — коэффициент, учитывающий количество установленных двигателей и зависящий от положения их вдоль размаха крыла; т — отношение массы двигателя к массе консоли крыла;

X

5г- — безразмерная величина, характеризующая положение центра масс системы «крыло + двигатель» относительно центра жесткости крыла; zi — относительное положение двигателя на крыле вдоль его размаха.

1.3. Критическая скорость флаттера крыла малого удлинения. Несмотря на некоторые конструктивные отличия крыла малого удлинения, методология получения из уравнений флаттера приближенной зависимости для оценки величины критической скорости остается практически такой, как и для крыла большого удлинения. Особенностью предлагаемого подхода упрощения уравнений флаттера крыла малого удлинения является сохранение форм изгибных и крутильных собственных колебаний крыла в виде самостоятельного параметра.

Современные методы расчета на флаттер с числом степеней свободы п = 20—40 предусматривают запись колебаний упругой системы в потоке в виде [9, 10]:

С^ + си1 + V 2В^ + гои1 = 0, (32)

где С! — матрица жесткости; С — инерционная матрица; В, Б — аэродинамические матрицы;

V — скорость потока; и! — вектор обобщенных координат (и! = и0е5, 5 = 5 + т ).

При решении уравнения (32) для крыла малого удлинения с двумя степенями свободы получено характеристическое уравнение флаттера, по структуре аналогичное уравнению в разделе 1.1, но имеющее некоторое отличие в соотношениях для коэффициентов. После упрощающих преобразований запишем формулы для определения критической скорости и частоты флаттера:

22

V} = --

1

Юр =

а11С22

Л

11

-Ю

2 с22

} '

С11Ю}

22

Г 2 ^

1 - С12

V 2 2 О4

(

22

1 - С21Ь12

11

С11Ь22 СПЮ} у

ё11С22 + С11ё22 с12 (ё12 + ё21)

(33)

Здесь жесткостные (а к ), инерционные (Сл ), аэродинамические (Ь к ) и (ё л )

коэффициенты являются сложными функциями параметров крыла и записываются следующим образом:

С22 = I Jm ( г )(2 ( г) Лг; С12 = С21 = -|т ( г М г) / ( г)(( г ) Лг;

0 0

1 1 1 1

ь12 = -^с>и|ь(г)/(г)((г)Лг; ь22 = -^с“ря|(хо-хр)ь2(г)ф2(г)Лг; 0 0 1 1 1 1 Ліі = 2с>01ь(г)/2(г)Лг; Л12 = -^с>01ь2(г)(075-хр)/(г)ф(г)Лг; 0 0

1 1

Л21 = 2 с>|( х0- хр ) ь2 (г)/ (г )ф( г)Лг;

Л22 = 2

( 0.75 - х0 )(х - Хр )-

8с а

Ъъ (г)ф2 (г)Лг.

Делая алгебраические преобразования в системе (33) и введя дополнительные обозначения

ю! = —11, ю2 = , представим формулы для критической скорости и частоты флаттера в таком

22

41

виде:

'22

Ур = а22

2 2 2

Ю р

2 2 2

Ю2 Ю р Ю2

Юр = Юк

Ю

Юг,

2 Л

V С22Л11 )

( С 2 ^

1 - 12 V С11С22 у

+ 11 22 V С22Л11

22

( і 2 ^ 1 - С21Ь12 -Ю_

С11Ь22 Юр

С12 (Л12 + Л21)

Л

С22Л11 У

(35)

Подставляя соотношения (34) в (35), представим их составляющие зависимости через осредненные параметры крыла. Например, отношение квадратов собственных частот изгиба и кручения крыла после упрощающих преобразований, предварительно используя статистические данные по распределению его жесткостных, инерционных и геометрических характеристик, имеет вид:

Юл

2

Юк

Ь22Ф22 (/1) (^2 + ^2)EJz 1

^2/23 (ф4 ) ^0^4

(36)

где Ь^ 2, ^ 2, ^ 2, / з, /1, ф^2, Ф^ 4, EJ^1, ^/0^ 4 — некоторые промежуточные значения функций параметров Ь(г), с(г), х(г), /(г), /"(г), ф(z), ф'(г), EJ(г), GJ0(г) на участке консоли крыла.

Как и для зависимости (36), были проведены упрощающие преобразования с остальными соотношениями, входящими в систему (35), после чего имеем:

С11^22

°22^11

( 075 Х0? 2 )(х0?2 2 ) 8С„

с12 (^12 + ^21)_ С?3 (2х0? 2 ■%? 2 0

•75).

°22^11

12

-2

3

С1 1С9

^2 + У 2

2 + У 2

С21Ь12

С11Ь22

х0? 3 3

Воспользовавшись соотношениями (35) — (37) и коэффициентами 022, Ь22, в которых предварительно избавились от интегралов при помощи теоремы о среднем, пренебрегая величинами второго порядка малости и отдельными членами, мало влияющими на конечный результат, а также заменяя сложные функциональные зависимости параметров на более простые и используя статистические данные о диапазоне изменения некоторых параметров крыла малого удлинения, получим следующую приближенную формулу для оценки величины критической скорости изгибно-крутильного флаттера:

3GJо (фО2

V2 = -

3 -

1- 03

(1/ с;)+10(0.5 - хо)2

р0Ь2£ (ф2 ) (ХТ XF ) Су

(38)

где GJо — жесткость крыла на кручение в сечении г = г ; £ — длина консоли крыла; Ь2 — хорда крыла в сечении г = ^ ; ф2, ф} — относительное значение функции распределения углов закручивания крыла и ее производной соответственно в сечениях г = ^ и г = г ; Хт , XF — относительное положение центров масс и давления крыла в сечении г = ^ ; Х0 — относительное положение центра жесткости крыла в сечении г = ^ .

Исходя из общего характера закона изменения параметров GJ0 (г), Ь (г), ф(г) и ф' (г) вдоль размаха крыла малого удлинения, можно в первом приближении принять сечение г1 = 0.4£ и г2 = 0.8£ .

Для определения критической скорости необходимо знать форму собственных крутильных колебаний крыла. Ее величину обычно получают экспериментальным путем на готовом изделии. На начальном этапе проектирования форма задается на основе статистических данных.

2. Разработка весовых формул для силовых элементов крыла. Для определения массы продольного набора и стенок лонжеронов крыла с учетом требований статической прочности и безопасности от флаттера необходимо воспользоваться аналитическими зависимостями, полученными в первом разделе по оценке критических скоростей. С этой целью жесткость крыла на кручение выражаем через его геометрические параметры и механические характеристики материала. Затем выделяем группы силовых элементов крыла, удовлетворяющие раздельно требованиям прочности и жесткости. После этого определяем добавочную массу крыла, которая обеспечит самолету безопасность от возникновения изгибно-крутильного флаттера.

Величину жесткости крыла на кручение в сечении г1 , входящую в аналитические зависимости (14), (31) и (38), определяем с учетом требований статической прочности по приближенной формуле [11, 12]:

GJо = 2М2, (39)

Ь1 + И1

где £4 — поправочный коэффициент, который по статистическим данным можно принять £4 = 1.1; 5о — толщина обшивки кессона (среднее значение для верхней и нижней панелей); Ь1 — ширина кессона; // — максимальная высота кессона (толщина крыла); G — модуль упругости второго рода.

Представим толщину обшивки кессона в следующем виде:

5о = 5Е, (40)

2Ь1

где 5 — отношение толщины обшивки к средней толщине продольного набора; Е — площадь поперечного сечения продольного набора и стенок лонжеронов крыла (сумма площадей сечений верхней и нижней панелей), удовлетворяющая требованиям статической прочности конструкции.

Сравнение площади поперечного сечения продольного набора консоли крыла в сечении г со средней площадью поперечного сечения продольного набора для крыльев ряда самолетов различного назначения с центропланом показало, что эти величины близки между собой. Тогда

величину площади сечения продольного набора можно определить по приближенной

зависимости:

Е = £5 т ер5 х, , (41)

у Ь

где £5 — коэффициент пропорциональности, определяемый по статистическим данным; т — масса

продольного набора и стенок лонжеронов крыла с центропланом в подфюзеляжной части, удовлетворяющая требованиям статической прочности; Ь — размах крыла (перпендикулярно потоку); Х1 — угол стреловидности по линии 0.6 хорд.

Если массу крыла составляют консоли (без центроплана), тогда формулу (41) можно представить в виде:

Е = , (42)

У Ь (1 - гп)

где т1 — масса продольного набора и стенок лонжеронов консолей крыла, удовлетворяющая требованиям статической прочности; гп — отношение диаметра (ширины) фюзеляжа к размаху крыла.

Подставив в формулу (39) приближенные зависимости (40) — (42) и заменив при этом

произведение £4£5-1— коэффициентом £6 , получим аналитические зависимости для оценки

Ь1 + /1

жесткости крыла на кручение в сечении г:

а) с центропланом

G = £б£ьЩ2^ соз X. ; (43)

у Ь

б) без центроплана в подфюзеляжной части

^ £б £ь Х1

о = , ч2 , (44)

У Ь (1 - ^ )2

где £Ь — коэффициент, учитывающий вырез в конструкции крыла под шасси (в случае

отсутствия такого выреза, принимаем £ь = 1.0).

Подставляя соотношения (43) и (44) в аналитические зависимости (14), (31) и (38), предварительно заменяя Ь, И и другие характеристики крыла через его параметры S, Я, п, с, гп, можно записать приближенные формулы для определения критической скорости изгибно-крутильного флаттера крыла с различными конструктивными особенностями:

1. «Свободнонесущее» крыло большого удлинения.

Gm5 008Х1 (с)2(п + 0.5)2

Урч - 64кь -

1 -

(8/ С?) + 20( 0.5 - х0 )2

УРо (1 - гп )Р (5Я)Ъ'2 с<а (п + 2)2 ( ХТ - ХР2 )

(45)

где р — показатель степени, который принимает два числовых значения: р — 2, если берем т, и р — 4, если берем т1.

2. Крыло с установленными на нем двигателями.

V 2 ур 2

44кьОтЪ(с)2 008х1 (п + 0.5)2 1 1 В

(^ С?) + 20( 0.5 - Х02)

УР0 (1 - ^)р (5 Я)3/2 с;(п+2 )2 пт5'/2 ( 4 5'/3 г - г>2') Х02 - Хр +С2 • е К '

Здесь В — <| 0081 Пг 1 + 0.24пт5г- tg3 1Пzi | + zi

\13-

1 - пт (5i)

3. Крыло малого удлинения.

Gm5co8х1 (с)2 (п + 0.5)2 (ф )

^3 — 64^ь

2

1 -

0.3

(1/ са) +10( 0.5 - Х02 )

УР0 (1 - гп) (5Я) “(П + 2) (хт - хР )(ф2)

Величину т можно определить следующим образом [5]:

т — 4у

^ + 008х'

008х * ас(г)с„ 0 ас(г)с„

*п 0

(46)

(47)

(48)

где у — плотность материала; с^ — допускаемое нормальное напряжение; с(г) — толщина профиля в сечении крыла; а — коэффициент полноты профиля; х — стреловидность крыла; Мх(г), М2(г) — изгибающие моменты соответственно от воздушной и распределенной нагрузок крыла.

Используя соотношения (45) — (47) и выполняя условие Vp > ^тт в соответствии с требованиями Норм летной годности [13], получим аналитические зависимости для определения массы обшивки консолей крыла с учетом требований по обеспечению безопасности от изгибно-крутильного флаттера:

1. «Свободнонесущее» крыло большого удлинения.

у(1 - г„ )4 (5я)3/2 (п + 2)2 су (хт - хР2 ) к2ап

т01 =■

32квб (с )2 008 Х1 (п + 0.5)2

1-

(^ С?) + 20 ( 0.5 - Х02 )2

(49)

2. Крыло с установленными на нем двигателями.

т02 =-

у(1 - ^ )4 (5 я)3/2 (п + 2)2 с; пт(°г )12 {4°г1/32г--^1 Х02 - Хр2 +^2 4 ^ к 2а Ч.тт

22квО(с)2 (п + 0.5)2 008х 1 1 в

(8/ с;)+20( 0.5 - Х02 )2

(50)

3. Крыло малого удлинения.

- \4/Слч3/2/ , оЧ2^а(- - \г~ \2 ,_2 .

т03 =■

У(1 - ) (5 ^) (П + 2) СУп (х - х 2 )(ф2 )к 4

32квО (с )2 008 Х1 (п + 0.5)2

1-

0.3

(V С?) +10 (0.5 - Х02 )2

(51)

—I \2

(ф!)

где к — коэффициент запаса по скорости [13]; атт — предельный скоростной напор.

Воспользовавшись соотношениями (45) — (47), (49) — (51), запишем формулы для определения общей массы силовых элементов крыла с учетом требований прочности и безопасности

от изгибно-крутильного флаттера:

1. «Свободнонесущее» крыло большого удлинения.

,(1 -5)

«1 = т (1 - о ) + тт или т = т

01

"1

1

-(^12 -1)5

2. Крыло с установленными на нем двигателями.

т2 = т (1 -5) + т02 или т2 = т

3. Крыло малого удлинения.

У -1)5

'(1 -0)

т3 = т (1 - о ) + т03 или т3 = т

-(V2 -1)5

(52)

(53)

(54)

- кУ - кУ - кУ

Здесь у = ~^тт; У2 = ~^тт ; У3 = - тт

У

У

У

' Р1 Гр 2 ур 3

3. Сравнение результатов расчета с теоретическими и экспериментальными данными других авторов. Прежде чем предлагать методики расчета массы силовых элементов конструкции самолета с учетом требований статической и динамической прочности для внедрения в практику проектирования авиационных конструкторских бюро, следует их апробировать. Вначале необходимо убедиться в достоверности получаемых результатов по аналитическим зависимостям (15), (31), (38), (45) — (47), которые являются составной частью методики весового анализа конструкции крыла с учетом требований статической прочности и безопасности от воздействия динамического нагружения в полете. Для этого целесообразно провести расчетные исследования по выявлению влияния основных параметров летательного

аппарата на величину критической скорости флаттера. Полученные результаты расчетов следует сравнить с данными теоретических и экспериментальных исследований других авторов. При удовлетворительном их соответствии можно приступить к апробации весовых формул (52) — (54). По ним проводим параметрические расчеты массы силовых элементов конструкции крыла для существующих и перспективных летательных аппаратов.

3.1. Расчетные исследования по оценке критической скорости изгибно-крутильного флаттера крыла. Одной из основных характеристик аэроупругой потери устойчивости летательного аппарата в полете является критическая скорость, величина которой зависит от геометрических, упруго-массовых характеристик конструкции и режимов полета. Это относится и к такому явлению аэроупругости, как флаттер. Поэтому весьма важно провести расчетные исследования по приближенным формулам, представленным в разделах 1 и 2, с целью подтверждения пригодности их для оценки критической скорости флаттера. В виде примера остановимся на более детальном анализе результатов параметрических расчетов по аналитической зависимости (15).

По теоретическим и экспериментальным работам отечественных и зарубежных авторов [1—3], [14] известно, что наибольшее влияние на величину критической скорости изгибно-крутильного флаттера оказывают геометрические, жесткостные и аэродинамические параметры крыла. Можно отметить, что все эти параметры содержатся в предлагаемых аналитических зависимостях. Так, например, в работе [2] параметрические расчеты показали, что критическая скорость флаттера изменяется обратно пропорционально хорде и длине консоли крыла. Аналогичное изменение величины критической скорости в зависимости от этих параметров следует также и из формулы (15). Влияние на критическую скорость жесткости консоли крыла на кручение по формуле (15) хорошо согласуется с аналогичными данными из работы [2]. При изменении жесткости крыла на кручение в 1.5—3 раза погрешность приближенного расчета не превышала 5% (рис. 4).

Сравнение результатов расчета по (24) и исследований, проведенных в работе [2] для ряда моделей крыльев, показало удовлетворительную их сходимость в широком диапазоне изменения относительных положений центров массы с и жесткости х0, представляющем в отдельных случаях лишь теоретический интерес (центры масс и жесткости расположены на передней кромке крыла). В реальном диапазоне изменения этих величин (хт = %о + с = 0.35 - 0.5 и Хо = 0.3 -0.45) расхождение значений критических скоростей флаттера не превышало 10% (рис. 5).

Законы изменения критических скоростей флаттера от плотности воздуха Р0, определяемые по формуле (15) и в работе [2], хорошо согласуются между собой. Взаимное отклонение полученных кривых не превышает 3% (рис. 6).

Существенное влияние на величину критической скорости оказывают аэродинамические характеристики крыла, например, производная коэффициента подъемной силы крыла по углу

атаки Су и положение центра давления (фокуса) хр по

хорде. Эти параметры вошли в предлагаемые формулы, по которым можно провести параметрические исследования о влиянии аэродинамических характеристик крыла на критическую скорость флаттера, так как с увеличением

скорости полета меняются параметры Су и хр . Причиной

изменения аэродинамических параметров является влияние сжимаемости воздуха. Сравнительный анализ результатов приближенного расчета и экспериментальных данных исследований других авторов [4], [6], [15] о влиянии сжимаемости воздуха на величину Ур показал удовлетворительное их соответствие. При этом в области, близкой к трансзвуковым скоростям полета, критическая скорость имеет наименьшие значения (рис. 7).

Рис. 4

Рис. 5

г

1/ь

3

з

\д У

6 флаттера нет

и флаттер

приближенный

расчет

■ эксперимент

0.3

0.6 0.9

Рис. 9

1.9

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

1 1

[ 1

1 1 1 1

\ 1 . . 1 1 .

\ 1

\ 1 \'

\\ * \1 с \\ 5 1 а:

\ /о V в V £ о

§

,

• приближенный расчет

■ точный расчет

0 0.2 0.4 0.6 0.8 о

Рис. 10

0.05 0.1

Рис. 6

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 м

Рис. 7

0о8<Ь ' .А •

*« ■ модели

I* эксп о самолеты

1 2 3 4 5 6 7 8 )

Рис. 8

Для проверки достоверности получаемых результатов расчета по аналитическим зависимостям (15), (31), (38), (45) — (47) были использованы исходные данные по существующим самолетам и тематическим моделям с крыльями, диапазон изменения удлинения которых лежит в пределах 1.5 < X < 14. Проведенные расчетные исследования по этим формулам показали, что величины критических скоростей флаттера удовлетворительно согласуются с аналогичными данными в работах [2—4], [16] (рис. 8). Наибольшее расхождение между величинами критических скоростей флаттера, полученными расчетным путем и в эксперименте, не превышает 10%.

По аналитической зависимости (31) были проведены параметрические расчеты критической скорости изгибно-крутильного флаттера в зависимости от изменения центра массы двигателя по хорде и положения места установки его вдоль размаха крыла. В качестве примера были рассмотрены самолеты различного назначения. Сравнение результатов приближенного расчета с аналогичными расчетно-экспериментальными исследованиями [3—6], [8] показало удовлетворительную их сходимость как по величине, так и по закону изменения критической скорости от положения центра массы двигателя относительно оси жесткости крыла и места установки его на крыле (рис. 9, 10). При этом следует отметить, что величина критической скорости флаттера значительно уменьшается с увеличением расстояния между осью жесткости крыла и центром массы двигателя, а также при размещении двигателя на крыле в районе ~2 = 0.45 ± 0.55.

Таким образом, расчетные исследования показали, что по аналитическим зависимостям (15), (31), (38), (45) — (47) можно с достаточной точностью на начальных этапах проектирования оценить величину критической скорости флаттера и правомерно использовать их при выводе весовых зависимостей, которые учитывают требования безопасности от изгибно-крутильного флаттера.

3.2. Влияние динамического нагружения на массу силовых элементов крыла. По

предложенным весовым формулам (52) — (54) были проведены расчетные исследования влияния ограничений по динамическому нагружению на массу силовых элементов крыла летательного аппарата. Такому исследованию были подвергнуты существующие и перспективные летательные аппараты различного назначения, взлетная масса которых изменялась от 5000 до 200 000 кг. Например, по аналитической зависимости (53) были проведены параметрические расчеты по выявлению влияния ограничений изгибно-крутильного флаттера на массу силовых элементов крыла большого удлинения с установленными на нем двигателями для перспективного самолета.

т

1.80

1.60

1.40

1.20

1.00

0.80

0.60

0.40

0.20

/ /V.

и / V.

/ / / / /

✓ / V.

1

£ |

1

- изменение массы крыла от положения двигателя вдоль размаха

т - исходная масса крыла

----эксперимент

— — • приближенный расчет

ООО о.20 0.40 0.60 0.

Рис. 11

Рис. 12

флаттер О статическая прочность

Рис. 13

Рис. 14

При параметрических расчетах исследовалось изменение массы силовых элементов от положения двигателя по размаху крыла 2 и выноса центра массы двигателя 5г- относительно оси жесткости крыла. Результаты расчетных исследований по предложенным аналитическим зависимостям сравнивались с данными аналогичных экспериментальных исследований других авторов, т. е. исследовалось влияние параметров 2 и 5г- на изменение массы (жесткости) крыла (рис. 11, 12). При этом наибольшее расхождение между расчетными и экспериментальными данными не превысило 6%.

Расчет по приближенным формулам (52) — (54) массы силовых элементов крыла маневренных и неманевренных самолетов показал, что для большинства из них определяющим динамическим нагружением является изгибно-крутильный флаттер (рис. 13). Следует отметить, что максимальная добавка массы силовых элементов крыла для устранения изгибно-крутильного флаттера относительно требований статической прочности составила 38%.

С помощью предложенных весовых формул проведены расчетные исследования влияния удлинения крыла на закон изменения массы его силовых элементов при удовлетворении требованиям прочности и безопасности от флаттера. Исследования показали, что функции

изменения массы от удлинения соответственно для двух ограничений («^(Х) и «^(Х))

существенно отличаются между собой. Например, с увеличением удлинения крыла функция

т2 (X), удовлетворяющая ограничениям по флаттеру, значительно опережает рост функции

«^(Х), определенной по требованиям статической прочности (рис. 14).

Таким образом, проведенные расчетные исследования подтверждают актуальность учета ограничений по аэроупругости и правомерность использования предложенной методики расчета

массы силовых элементов крыла с учетом требований безопасности от изгибно-крутильного флаттера на начальных этапах проектирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бисплингхофф Р. Л., Эшли Х., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость / Перевод с англ. — М.: Изд. иностр. лит. — 1958.

2. Гроссман Е. П. Флаттер // Труды ЦАГИ. — 1937. Вып. 284.

3. Гроссман Е. П. Курс вибраций частей самолета. — М.: Изд. оборон. пром. —

1940.

4. Альхимович Н. В., Попов Л. С. Моделирование флаттера самолета в аэродинамических трубах // Труды ЦАГИ — 1947. Вып. 623.

5. Баничук Н. В., Бирюк В. И., Сейранян А. П., Фролов В. М.,

Яремчук Ю. Ф. Методы оптимизации авиационных конструкций. — М.:

Машиностроение. — 1989.

6. Макаревский А. И., Чижов В. М. Основы прочности и аэроупругости летательного аппарата. — М.: Машиностроение. — 1989.

7. Шульженко М. Н. Конструкция самолетов. — М.: Машиностроение. — 1971.

8. Lambourne N. C., Westen D. An ехрепшеп1а1 investigution of the effect of localized masses an the flutter of a moden // Wing London: his majesty’s Statainery offise. —1951.

9. Буньков В. Г. Расчет на флаттер крыла малого удлинения // Труды ЦАГИ. —

1964. Вып. 905.

10. Буньков В. Г. Расчет оптимальных флаттерных характеристик методом градиента // Труды ЦАГИ. — 1969. Вып. 1166.

11. Литвинов Е. В. Влияние ограничений по флаттеру на массу силовых элементов крыла с установленными на нем двигателями / Тезисы доклада 4-го международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». — М.: ГРАФГОС. — 1998.

12. Сорокин А. П., Фролов В. М. Исследование влияния геометрических параметров на весовые и жесткостные характеристики конструктивно-силовых элементов крыла // Труды ЦАГИ. — 1975. Вып. 1700.

13. Нормы летной годности гражданских самолетов. Межгосударственный авиационный комитет (АП-25). — 1994.

14. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. — М.: Физматгиз. — 1959.

15. Белоцерковский С. М., Кочетков Ю. А., Красовский А. А., Новицкий В. Д. Введение в аэроупругость. — М.: Наука. — 1980.

16. Гроссман Е. П., Кричевский С. С., Борин А. А. К вопросу о потере устойчивости конструкции крыла в полете // Труды ЦАГИ. — 1935. Вып. 202.

Рукопись поступила 27/III2005 г.