CC BY
45
УДК 539.3:534.1
Г. В. Тертышный
ВЛИЯНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И ПОДКРЕПЛЕНИЙ НА ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ
Ключевые слова: свободные колебания, оболочка, ребра жесткости.
Приводятся теоретические и экспериментальные результаты исследования свободных колебаний пологой упругой изотропной круговой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости с учетом их расположения относительно срединной поверхности при различных граничных условиях.
Keywords: free oscillations, panel, rigid reinforcements.
Theoretical and experimental results of free oscillations of cylindrically curved isotropic panel with rarely arranged rigid reinforcements are presented, their arrangement relatively to the mid-surfase shell is taken into account. The boundary conditions of the panel are different.
При проектировании конструкций, подвергающихся воздействию динамических нагрузок, необходимо обеспечивать надежность их работы и одновременно стремиться к уменьшению их веса. К таким проблемам относится, в частности, задача о свободных колебаниях пологой цилиндрической панели с ребрами жесткости.
Рассмотрим тонкую пологую цилиндрическую панель прямоугольную в плане с дискретно расположенными ребрами жесткости. Пусть и, V, w - перемещения в направлениях х, у и ъ, которые совпадают с образующей, направляющей и нормалью к цилиндрической поверхности.
Используя б - функцию Дирака [4] потенциальную и кинетическую энергию оболочки с подкреплениями можно записать в следующем виде:
П
Eh jjjfSU^ С Sv w ^
2(1 -v2)iijtaxJ R
+ 2v — Sx
du ( Sv w ^ 1 - v (Su Sv ^
Sy R
+ ■
2
+
Sy Sx
+
J
+ -
12
(S2w^ (S2w 1 Sv^
Sx2
+
Sy2 R Sy
22
+ 2v
S2w
Sx2
S2w 1 Sv^ ы. \i
—T +--1 + 2(1 - v I
Sy2 R Sy J v A
( S 2w 1 Sv ^
+
SxSy R Sx
+
1-v2 p
+"EFT S
X 6(x - x, ) +
1-v 2 л
EF
_-_-h Sy R
1 Sy2
(Sv w , S2w^ ^ , (S2w 1 Sv^ (S2w 1 Su^
+ E|
- + —
Sy2 R Sy
+ Gj'kp.i
■ + —
SxSy R Sy
+
Eh s
Eh j=1
f
EJFJ
S 2w ^2
Su
--hi 2
Sx J Sx2
+ ej'j
(S 2w ^2
v Sx2 j
+ Gi'kp.j
( S 2w 1 Sv ^ -+--
SxSy R Sx
J
ô(y - yj ))xdy (1)
1 ab T = ?"
2 00
m0 +]rm|5(x - x| )+Smj ô(y - yj )
i=1 j=1
1 ab + ?"
2 00
m0 +Smi 6(x - x| ) i=1
j=1
'Sv ^ 2 1 ab
J dxdy+2»
f Jdxdy+
m, +;Smj5(y - y, )
j=1
U dxdy
(2)
В соотношениях (1) и (2) введены следующие обозначения: Е - модуль упругости; И -толщина оболочки; V - коэффициент Пуассона; И - расстояние от нейтральной оси I -го
2
2
2
2
2
h
2
х
2
шпангоута до срединной поверхности оболочки; ^ - аналогичная характеристика ] -го
стрингера; Ер,, Е,!,, О^^Ер Е^, Оф!крф - жесткости растяжения, изгиба и свободного
кручения поперечных и продольных ребер жесткости; т0 - масса оболочки, отнесенная к
площади срединной поверхности оболочки; т,, т^ - массы I -го и ] -го ребер жесткости,
отнесенные к длине соответствующего ребра жесткости.
Пусть оболочка совершает гармонические колебания и имеет на контуре однородные граничные условия. Граничные условия будут выполнены, если представить перемещения в следующем виде:
и - Ат,п , Хт Л т V
W = Ст,пХт
Г Л тхч ]Уп Г Л
V а )п V
1Х ^Уп Г Лп у ]
)п V Ь )
Ь х/'ГЛпУ V ГЛтХ
Ь
V = В —У 1X
т,п п т
Л п V Ь )
а
(3)
где Хт и Уп - балочные функции; т и п - число узловых параллелей и меридианов, включая узловые линии, совпадающие с закрепленными контурными линиями оболочки; Л т и Л п -собственные числа т -ой и п -ой балочной функции.
Подставляя (3) в (1) и (2) и применяя процедуру метода Релея - Ритца и считая колебания панели изгибными получим следующую формулу для определения частот свободных колебаний пологой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости:
^т,п
Ко
/К1
, где
(4)
Ко = Р1Р4Р6 + 2Р2РЗР5 - Р^2 - Р4Рз2 - Р6Р22 ; К = Р9 (Р1Р4 - Р22)+Р8 (Р1Р6 - Р32)+Р7 (Р4Р6 - Р52) ;
1 _V2 п 1 _ V 2р II2
Р1 = Л2Бзй1 + 0,5(1-V)м2Б2й2 + —— ЕЕ,Р,Л2Бзй^ + —— £ О^^Б»
Еп 1=1 Еп ,=1 К2
Р2 = vЛ|Б 4Р4 + 0,5(1 - V )Л|Б 2Р2 ;
Р =-п _
Рз = К Б4° ЕИ ^ТГ^5
1_V 2 п 1_V 2р 1
1 у ЕЕф Л3Бзй51 +ЕО^ДЛм^Б6, ;
Еп ,=1 К
Р4 = м2Б1Р3 + 0,5(1- V )Л 2Б 2Р2 + —
12
Б,ОЗ + Л 2Б 202
+
+ ■
1-V2 р Г
ЕИ "£
М
Л
ЕР|М2йзБ5|+ Е^йзБ 5 К
+ -
1 - V 2 Л
£ ел
л 2
Б 2й6:;
Еп р1 ^р2 2 ф
Р5 =- £б104 + 51
5 К 1 4 12
'к бл + ^б 404 +б 202
1 - V2 р Г
Еп ,=1
М
К
Е,РК04 + Е,Р|п,м30з - Е111 МК°^51
1 - v2 п
+ е Офл 2мб 206ф;
1 2.
Еп н~Гкр'К
Р6 =-1 Б1Р1 + — [л 4бзР1 + м4б1Рз + IV Л 2м2б 4Р4 + 2(1 - V) 2|2Б 2Р2 ]-
+ -
К2
1-V2 р
+
Еп 1=1
1-V2
еп £
ЕР,
П_2 12
Г01+И2М40з + 1ПМ1п 1 К2 , 3 К
б 5, + Е^РзБ 5, + О,!кр, Л 2м2Р2Б
, кр
'2^6,
+
£ (ЕфРфП2 Л 4Б з05ф + Е^ Л 4Б з05ф + Л 2|2Б 20^)
Рт =
Р9
1-V2
ЕП
1-V2
т0Б 2О1 +£ 20ч
]=1
1 - V2
ЕП
т0Б1й2 +Е т^Б 5, ,=1
ЕП
р п
т0Б1й1 +£ m|D1Б5| +£ т^А
,=1 ф=1
; Л Л т ; М Л п
;Л = —; м = —
а Ь
1а~2 . . а . С _ а а^т.. а а
Б1 = -| х;Сх ; Б 2 = Л. | Х;> ; Б3 = | х;2Сх ; Б 4 = | ХтХ;т Сх ;
Л т 0 Л т 0 Л т 0
а0 1Ь,
Ь Ь„
Ь3 Ь„
ЬЬ
01 =-|У2Су ; 02 = ^|У;2с1у ; 0з = ^|У;2Су ; 04 |У^Су ;
Ь
Л
Л 4
Л1
1„2 Г Л
Б5, = ~ Хт
а
тХ,
а
; 0 = — У2
; 05^ ь Тп
и,2 Г Л пуФ 1
Ь
а
; Б6, = Х!
/г2
Л
2 т
Лтх,
а
Ь
; 06; = -,г У
Г'2
Г Л у;
п;
6;
Л
2 п
Л
Ь
)
V ~ )
Для определения Лт, Б1,Б2,Бз,Б4 использовались трансцендентные уравнения и формулы работ [1,3,6]. Числовые значения Лт, Б1,Б2,Бз,Б4 были вычислены с точностью 10" .
1. Края панели х = 0 и у = 0 жестко защемлены, а края х = а и у = Ь - шарнирно оперты
Математическая запись граничных условий на контуре оболочки будет иметь следующий вид:
и = V = w = wx = 0 при х = 0, V = w = wxx = их = 0 при х = а, и = V = w = wy = 0 при у = 0, и = w = wyy = vy = 0 при у = Ь. (6)
Условия (6) будут выполнены, если фундаментальные функции Хт и Уп выбрать в
виде:
Хт = вт Лх - вП Лх - д(сов Лх - сИ Лх), Уп = sIп му - вП му - (сое му - сП му )■
Были проведены числовые расчеты для стальной пологой цилиндрической панели с ребрами жесткости, которые имеют прямоугольное поперечное сечение. Механические и геометрические характеристики панели и ребер жесткости были следующие:
Е = 196 • 109 н/м2; р = 7800кг/м3; V = 0,3; а = Ь = 0,15м; И = 0,0006м; К = 1,8м; Р,1 = 0,3• 10-6м= 0,9• 1013м4; Р,2 = 0,6-10-6м2;^ = 0,729• 1012м4;
х1 = 0,075м;х2 = 0,05м;х3 = 0,1м;а1 = 0,005м., а1 -ширина ребра жесткости. С целью проверки достоверности расчетной формулы (4) было проведено экспериментальное исследование спектра собственных частот гладкой и ребристой пологой цилиндрической панели. Испытания проводились на специальной установке, описанной в работе [7,8]. Панели изготавливались из стальной рулонной ленты, радиус кривизны которой совпадал с радиусом кривизны оснастки. Оснастка представляет собой стальную цилиндрическую панель толщиной 5 мм, которая имеет отверстие по форме испытываемого образца. Панель крепилась к оснастке с помощью точечной контактной сварки. Этим обеспечивалось выполнение граничных условий жесткого защемления на границе х = 0, у = 0 . Ребра жесткости крепились к оболочке также с помощью точечной контактной сварки,
п
а изготавливались из той же стальной рулонной ленты, что и сам испытываемый образец панели. На краях оболочки x = a и y = b на расстоянии 2мм от края отверстия оснастки проделывалась канавка. Получившийся в результате этого буртик около отверстия закруглялся, а испытываемый образец зажимался между двумя оправками.
Результаты расчета и эксперимента приведены в таблице 1. Расхождение теоретических и экспериментальных результатов для основного тона колебаний не превышает 17%, для более высоких тонов колебаний составляет 1 - 14%.
2. Края оболочки x = 0, x = a и y = 0 - защемлены, а y = b - шарнирно оперт
Граничные условия на контуре панели для данного случая можно записать следующим образом:
u = v = w = wx = 0 при x = 0,a,
u = v = w = wy = 0 при y = 0, u = w = wyy = vy = 0 при y = b. (7)
Условия (7) будут выполнены, если балочную функцию Xm взять в виде:
Xm = sin Ax - sh Ax - g(cos Ax - ch Ax). (8)
Функция Yn берется в виде (8), где заменяются A ^ |J,x ^ y , а £ ^ ^ . Используя процедуру метода Релея - Ритца можно вычислить значения частот свободных колебаний цилиндрической панели как с ребрами жесткости, так и без них. Численные и экспериментальные данные приведены в таблице 2. Параметры оболочки и ребер жесткости оставались прежними. Экспериментальные результаты ниже теоретических на 2-18%.
3. Критическая жесткость ребер жесткости при свободных колебаниях пологой
цилиндрической панели
Пусть на пологую цилиндрическую панель нанесены p дискретно и равномерно расположенных поперечных ребер жесткости, которые имеют прямоугольное поперечное сечение, причем все ребра жесткости имеют одинаковые размеры. Сделаем также допущения, что жесткость изгиба в касательной плоскости и жесткости кручения ребер малы и ими можно пренебречь. При дальнейших расчетах также не будем учитывать эксцентриситет расположения ребер жесткости относительно срединной поверхности оболочки.
Исходя из понятия критической жесткости подкреплений, когда становятся равновозможными колебания как оболочки с ребрами жесткости, так и отдельного отсека, приравниваем частоту колебаний основного тона оболочки с подкреплениями частоте свободных колебаний основного тона отсека, при этом будем считать, что на ребре жесткости выполняются граничные условия типа шарнирного опирания. Итак, имеем:
Wm,n = Wm,n+N- (9)
где wmn - частота колебаний основного тона панели с ребрами жесткости; ш mn+N - частота
колебаний основного тона отсека, на которые разбилась панель вследствие нанесения на нее шпангоутов. Частота свободных колебаний панели с поперечными ребрами жесткости находится по формуле (4), которую можно записать в следующем виде:
Ш m,n
K0
Ki
где К0 и К1 выражаются через Р1,Р2,...Р9 так же, как в соотношениях (5). Р1,Р2,...Р9 имеют следующий вид:
Р1 = А 2Б зй1 + 0,5(1- V У Б 2й2; Р2 = vAмБ 4й4 + 0,5(1 - V >1^02; Р3 =- ^Б ;
К
Таблица 1
т =2 т =3
П=2 3 4 5 6 7 П=2 3 4 5 6 7
----------'Л теория 381 468 771 1232 1829 2557 546 669 972 1430 2027 2756
эксперимент 349 440 1230 1700 2541 524 700 1331
р Д.Х теор. 377 463 764 1224 1820 2545 545 666 969 1428 2023 2753
1 )1 эксп. 320 410 1224 1796 509 658
Г! ' 'м л! теор. 378 495 852 1386 2074 2911 543 669 980 1451 2063 2813
эксп. 324 430 2594 507 980 -
р Д. Х. Х теор. 376 461 762 1221 1816 2540 530 647 947 1402 1995 2721
<л—ч-л-Л эксп. 322 484 600 1358 1991
1 / ) /У р д . Х1 . Х теор. 377 504 880 1438 2157 3031 520 667 1037 1594 2317 3202
эксп. 329 2048 481
Таблица 2
т=2 т=3
п=2 3 4 5 6 7 п=2 3 4 5 6 7
Л.----------.у теория 398 484 782 1241 1837 2564 598 717 1013 1465 2057 2781
3 к эксперимент 354 475 1158 1689 548 698
р1^1 теор. 392 477 774 1231 1825 2549 598 717 1013 1465 2057 2781
эксп. 327 449 1231 536 687
р2-|2-Х1 П 1 'м Л1 теор. 392 512 875 1418 2121 2975 598 717 1013 1465 2057 2781
эксп. 325 480 1248 538 679
р Д.Х. Х1 теор. 391 475 772 1229 1823 2546 573 686 973 1426 2015 2735
эксп. 324 470 - 481
р Д. Х1. Х1 теор. 391 517 890 1447 2166 3041 558 705 1080 1650 2303
эксп. 332 500 461 702
Р4 = м2БА + 0,5(1- V )Л 2Б 202
2 р(
+
1- V2 Р
М
+
12
б10з + Л 2б 202
+
Л
E|Р|М2DзБ5| + Е,!, К^зБ ,
Р5 =- -МБ104 + П1 5 К 1 4 12
М
vЛ 2М,
К Б^з + Б404 +
2(1 - V )Л 2м
К
Б 202
1-V2 р Г
ЕП й
Е,Р,М04 - Е! м30з^ ч , , К 4 II К 3)
Б 5,;
1 П2 Г 1
Р6 = К1Б101 +12 [л [ + м4б10з + IV л2м2б 404 + 2(1 - V )л 2м2б 202 ]-
1-V2 р Г 0 + ^ЕЕЕ,| Р,-0! + !,М40
ЕП мЛ , К2
+ !,м40з |бя;
1-V2 1-V2
Р7 т0Б 201; Р8 =-!—:-
7 ЕП 0 2 1 8 ЕП
т0Б102 +£ т02Б5, ,=1
Р
1 - V2
ЕП
т0Б101 +£ т!01Б5! ,=1
Л,М..Д 4 аналогичны выражениям в соотношениях (5). Частоту колебаний отсека можно найти по следующей формуле:
/М
ш
т,п+Ы
где М = К0 и Л = К1, причем в коэффициентах Р1...Р9, через которые выражаются К0 и К1,
р
отсутствуют слагаемые в которых содержится знак суммы £ .
¡=1
Будем искать критическую жесткость ребер при фиксированной их ширине. Для этого необходимо решить уравнение (9), где неизвестной является высота ребер жесткости Н. Для решения уравнения (9) будем использовать численный метод Ньютона, который для нашего случая запишется следующим образом:
Нк = Нк-1 - ,
где в = Шт,п - Ш
т,п+Ы'
в1 =
К0К1 - К0К1 ^К0К3
к0 = Р№ + Р1Р4Р(" + 2Р2Р3Р5 - 2РДР5 - Р4Р32 - Р(5Р2,
К 1 = Р9(Р1Р4 - Р22)+Р9Р1Р4 + Р8(Р1Р6 - Р32)+Р8Р1Р6 + Р7 (Р4Р6 + Р4Р6 - 2Р5Р5),
,2
Р4 = ^Ее!а1М2Д3 + 0,25а1Н2К1 Д3 ]Б5,,
Р5
1 - V2 р Г М 2 м3
—— ЕЕЕ, а^Д4 - 0,25а1Н2^Д3 ЕП ,=1 , К К
Л
б5
Р6 =^ ЕЕе,ГД ■ 0 25а Н2М4
6 ЕП , V 1К
ЕД1 + 0,25а1Н2м4Д3 |Ба,
1 - V2 р 1 - V2 р
Р8 =-ЕП-ЕР^Д2Б5,, Р9 = -Е— ЕР^Д^.
ЕП ,=1 ЕП ,=1
Были произведены числовые расчеты для стальной пологой цилиндрической панели прямоугольной в плане с одним поперечным ребром жесткости при х, = 0,5а . Панель в одном
П
3
случае считалась шарнирно опертой, а в другом жестко защемленной по всему контуру. Геометрические размеры панели были те же, что и у панели, рассматриваемой в первом параграфе, а ширина ребра жесткости а1 = 0,005 мм. Расчеты показали, что равновозможны колебания как оболочки с ребром жесткости, так и отсека при а = 8,5 для жесткого защемления и при а = 10,5 для шарнирного опирания, где а - отношение толщины ребра жесткости к толщине оболочки.
Были произведены также числовые расчеты для стальной пологой цилиндрической панели шарнирно опертой по всему контуру с ребром жесткости при x ш = 0,5a. Геометрические размеры панели и ребра жесткости были следующие: a = 0,15м;Ь = 0,075m;R = 0,107м;И = 0,00018м;а1 = 0,005м. Основной тон колебаний у панели с ребром жесткости наблюдается при m = 2 и n = 3, а у отсека, на которые разделило ребро жесткости первоначальную панель, наблюдается при m = 2 и n = 4. Расчеты, произведенные по методике, описанной выше, показывают, что происходит смена форм колебаний при а = 6. Эксперименты, выполненные в работе [2] для аналогичной панели и аналогичного расположения ребра жесткости, дают а = 4 . Граничные условия в эксперименте [2] были несколько жестче, чем шарнирное опирание. Первый же пример показывает, что происходит смена форм колебаний для жестко защемленной панели при а меньшем, чем для шарнирно опертой панели, поэтому во втором примере а экспериментальное очевидно будет несколько выше, если идеально реализовать шарнирное опирание на контуре пологой панели.
Выводы
1. Критическая жесткость ребра низшего тона свободных колебаний для жестко защемленной панели ниже, чем для шарнирно опертой панели.
2. Теоретические результаты хорошо согласуются с результатами эксперимента.
3. Ребра жесткости могут как повышать, так и понижать частоту свободных колебаний пологой панели.
4. Ребра жесткости не изменяют частоты свободных колебаний панели, если они стоят в узловых линиях панели.
Литература
1. Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. -М.: Физматгиз, 1960. - 434с.
2. Волошановский, Ю.П. Свободные колебания цилиндрических панелей, подкрепленных дискретными ребрами жесткости / Ю.П. Волошановский, А.К. Шалабанов; Каз. гос. ун-т. - Казань, 1977. - 7с.
3. Гонткевич, В.С. Собственные колебания пластинок и оболочек / В.С. Гонткевич. - Киев.: Наукова думка, 1964. - 261с.
4. Назаров, Н.А. О колебаниях пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости /Н.А. Назаров // Прикладная механика. - 1965. - Т.1, №3. - С.24-31.
5. Иванов, В.А. К определению собственных значений в задачах математической физики/ В.А. Иванов // Вест. Казан. технол. ун-та.-2011.-№8.-с.207-209.
6. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1967. - 472с.
7. Шишкин, А.Г. Исследование собственных колебаний прямоугольных пластин, ослабленных вырезами различных очертаний / А.Г. Шишкин, Ю.Г. Коноплев // Сб. асп. работ. Теория пластин и оболочек. Казань. Изд-во КГУ. - 1973. - Вып.3. - С.11-14.
8. Шишкин, А.Г. Свободные колебания цилиндрических панелей и оболочек с вырезами / А.Г. Шишкин, Г.В. Тертышный // Сб. асп. работ. Точные науки. Математика. Механика./ Казань. Изд-во КГУ. - 1975. - С.160-163.
© Г. В. Тертышный - ст. препод. каф. машиноведения КНИТУ, vingva@yandex.ru.
