Устойчивоcть подкрепленных анизотропных цилиндрических конструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVIII 199 7

№1

УДК 629.7.015.4.023:62-419.8

УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ

Г. Н. Замула, К. М. Иерусалимский

Представлен эффективный численный метод анализа устойчивости сложных композитных, металлических и комбинированных конструкций при докритическом нагружении усилиями сжатия и сдвига, переменными по контуру. Метод основан на формулировке однородной краевой задачи, разделении переменных и численном решении уравнений устойчивости для конструктивных элементов с использованием метода дискретной ортогонализа-ции. :

Рассмотрены примеры расчета композитных панелей, нагруженных сжатием и сдвигом и имеющих симметричную и несимметричную укладки.

Исследовано поведение сжатой композитной пластины, имеющей начальное расслоение.

1. Конструкция представляет собой цилиндрические и слабоконические системы взаимодействующих стержней, пластин и оболочек, выполненных из композиционных и металлических материалов, при механическом и термическом нагружении.

Учитываются как переменность кривизны, нагрузок и толщин, начальных прогибов и докритических деформаций системы вдоль контура, так и многослойность, анизотропия элементов, дискретность подкрепления и возможность появления общих и местных форм выпучивания.

Метод основан на формулировке соответствующей однородной краевой задачи, разделении переменных и точном численном решении уравнений устойчивости для конструктивных элементов с использованием метода дискретной ортогонализации. Алгоритмы метода конечных элементов используются для объединения всех элементов в систему.

Рассмотрим отдельную некруговую анизотропную цилиндрическую оболочку, нагруженную в докритическом состоянии усилиями №3{$, /), А^(5, /) (рис. 1), где / > 0 — параметр роста нагрузок. Общие уравнения устойчивости, описывающие эффекты выпучивания этой оболочки, могут быть записаны в форме трех групп соотношений [2].

I. Уравнения нейтрального равновесия: 3 (»го ди . „о ди

дЫх дБ

---— + —

дх 35

(№ — + № -^)-АГдг°

дх * дх 30 д$ ) 35 V. в

ди о ди

«а* * д*У

дЯ3 .35- , 1 дМа . &

-----------, .... , ___ —-Г-ПГПТ г. . ф ■■ ----'

35

д_

35

дх К дх

я, зех а(?д

Л

* 3* ** I 35 Я

0х =

дх

дМх

дх

дМ&

д$

К дь №гдь н,

Я дх Я I 35 + ЯУ

35

дх

,-(е;+е0)^

Н = ±(МХВ+М5Х)

(1)

И. Соотношения упругости [3], [4]:

[М]

гм

М [Л]'

р] [Я]

ГЫ1 К*} г

(2)

где обозначено:

{ЛГ} = N. »У]Т, {М} = [Мх М, Н\Т, {е} = [_ех в, Ухя]Т, {ае} = (_аех ае5 2веХ5]Т, [А] = [Л,7]- [Л]Т, [Я] = [Я,7] = [В]Т,

[я] = [А7] = [д]т,./, 7 = 1, 2, 3.

III. Геометрические соотношения:

Еу = ------, £, —----------н — + (б® + е0)е

* дх 5 35 Я

ди ди

зГ

Эи Зу — +

55

39,

7x5 = ~—' ------

” 35 дХ 0/3

30 *

ае* = -г5-, ае5 = ае^ =

с?5

дх ’

30,

Эх

36х 1 Зу

35 + Л Эх’

е = _£^ е

* а*’ л 35 д’

(к + Я

(3)

ъ

Здесь и, V, у?, дх, 05 — дополнительные перемещения и углы поворота оболочки; ех, Вз, у^, гех, эеЛ авда — деформации и компоненты изменения кривизны; и'о(я),

м/°{з) — начальные и накопленные

докритические прогибы; , 2?/у,

Ау > 1> ] = 1, 2, 3 — жесткости

оболочки. Граничные условия на краях 5 = 0 и 5 = Ь отдельной оболочки даются формулами:

жесткости

Рис. 1

Ч=0(1-^о) + ^|5=0уо = о>

- 5о) + ^|,=о5о = 0, е^и^Д1 - 5х)+ м4=й81 = °>

—I —I Г (4)

«и0(1 - Фо) + ‘УЦоФО = 0. «и^1 - Ф1) + = °>

°ио(1“'*,о) + -^л|Лж0УЯ =0» уий(1_ + =0,

где постоянные уо, 8о, фо, Ч'о, Уь 51, Фь VI равны 0 или 1 для кинематических или статических условий и ; “

Критическая величина г - /* параметра нагружения находится как

минимальная величина /, при которой имеется ненулевое решение однородной краевой задачи (1)—(4) (при дополнительных граничных условиях шарнирного опирания на краях х = 0 и х = а оболочки). Подчеркнутые члены уравнения обеспечивают возможность расчета общей устойчивости, конструкции наряду с локальным и термическим выпучиванием.

Аналогично уравнения устойчивости могут быть записаны для сложной подкрепленной цилиндрической конструкции, составленной из взаимодействующих цилиндрических оболочек, пластин и стержней. Например, для 1-то дискретного ребра (см. рис. 1) аналогичные (1)—(3) соотношения в местной системе координат Х\у Х-1, Х^ приведены в работе [5], там же даны условия совместности перемещений оболочки и ребра. Уравнения устойчивости пластинчатых элементов конструкции получаются из (1)—(3), если в них положить 1/К = 0.

Все уравнения записываются для каждой оболочки, пластины и для дискретно расположенных ребер. Во всех соединениях оболочек и пластин к ним добавляются условия сопряжения, включающие уравнения равновесия и условия равенства обобщенных перемещений в сое-

динениях (см. [5]). На свободных и закрепленных продольных краях некоторых элементов сохраняются граничные условия (4).

Главное отличие получаемой таким образом системы однородных дифференциальных уравнений от приведенной в [5] состоит в общих, характерных для анизотропных композитных конструкций, соотношениях упругости (2), что существенно усложняет методику их решения.

2. Рассмотрим вначале частный случай отсутствия докритического сдвига и ортотропии элементов системы, когда N^x = 0, Ац = Ац = = В13 = В23 = Аз = -®23 = Искомое решение для каждой оболочки представим следующим образом:

{Р} = {Р„}со8^, —, (5)

' а а

где

{Р} = [и0хух, аеХ55'Ж2ж^, {Р„} = [и„вх„Упеехм Яп Нт,<2х„}Т,

т

{-?*} = М? бдг $ ^5 J )

т

{Рп} = \?п™п®п&хпЬп&хп&пЯхпЯт,МхпМпдп\

и и обозначает число полуволн выпучивания оболочки в ее продольном направлении; функции с индексом п зависят лишь от координаты 5.

Уравнения устойчивости (1)—(3) могут быть преобразованы в этом случае к системе восьми обыкновенных дифференциальных уравнений (при любых п, (, см. [5]):

где

<({“} ИМ, (6)

___ _ у

{«} = |^и'„ 0П Мп (2п и„ х)п Ип «У/* J

искомый векгор-столбец и

<2п=12п-—нп,

а

[С]— квадратная матрица коэффициентов, являющихся известными функциями от 5.

Граничные условия для отдельного элемента могут быть записаны в форме

[Г0]{и(0)| = 0, [Г^иМЬо, (7)

где

[Го], [п] — постоянные (4 х 8) матрицы.

Задача (6)—(7) может быть эффективно решена численно устойчивым методом дискретной ортогонализации (посредством решения некоторых задач Коши). Решение в точке л = Ь дается формулой

{«(*)} = [*(*)] {с(*)}

и условие для получения критической величины t = t^, записывается следующим образом:

ае1р(г)] = о, (8)

где [/)] = [Г^^А)], — определенная (8 х 4) матрица решения.

Для сложной цилиндрической системы действует следующий метод решения. Записываются решения вида (5) для всех элементов. Получаются решения уравнений (6) для каждой оболочки и пластины при единичных кинематических граничных условиях, например, при следующих условиях в точках я* = 0 и йк = Ьк-.

еи = “и =

15 =0

где индекс к обозначает номер элемента. Таким образом, строятся обобщенные матрицы жесткости каждого элемента и всей кон-

струкции ([А"]) при помощи обычных алгоритмов метода конечных

элементов в перемещениях. Результирующие уравнения нейтрального равновесия конструкции записываются в форме линейных алгебраических уравнений (при любых п и /):

[К]{у} = 0, (9)

где {у} — вектор обобщенных перемещений для всех узлов поперечного сечения системы. Вектор {у} образуется из векторов узловых перемещений:

Фи/ ит / = 1, 2,

Уравнение для определения t^: имеет вид

.<&*[.*:(/)] = 0. (10)

Вначале необходимо отыскать из (10) (п при различных п, затем определяется 7* как тш/„ при п = я*. Наконец, из (9) находятся критиче-

П

ская величина {у,} и далее форма выпучивания конструкции.

В общем случае ненулевого докритического сдвига и (или) произвольных соотношений упругости (2) хотя бы для одного из элементов системы решений задачи об устойчивости конструкции представляется в отличном от (5) виде:

{Р} = {Рв}соаН,+ {Р„}8ш^, {Г} = {Г„}*т^ + {#„} соз^уЧ (5')

іде переменные первой группы {Ри}, {Р„} те же, что в (5), а переменные второй группы

{4} = [“»г„ е*,]1,

&хп &хп &п ІЇхп ІЇп Мм Мп ёй]Т.

При этом конструкция предполагается достаточно длинной; / > 0 обозначает длину полуволны потери устойчивости в продольном направлении (в практических расчетах можно брать приближенно / = /„ =а/и, и = 1, 2, 3, ...)•

Подстановка (5') в уравнения устойчивости (1)—(3) оболочки позволяет разделить переменные и получить 16 связанных обыкновенных дифференциальных уравнений вида (штрихом обозначена производная по 5, = 0^ + 0О):

+Ци®5*^п ~ + ^п^хп + + Цй^«0зия>

«и = Ул +№ -^МЪ,

> *п «05

КОлгО-

гО

.2»г аО,

X = ё»

Л

4

0,0».

*п=- ^<е5ч - &■+*;№+лг?К -

-цД + ц„^уи - <Ц„(в„ - 05°е„) - <Ц^„, *^л = + Рп^хп + М-и-^Дул ~ №пиТ1 + Мт^д^л)»

)

где цй = п/1„.

Аналогичным образом преобразуются уравнения для стержней, граничные условия вида (4) и условия сопряжения на продольных краях элементов системы. ,

Подстановка (5') в соотношения упругости (2) позволяет выразить входящие в (11) значения еи, ае„, у„, г„, вг„, у„, Мт, Н„,

Йх„, М^, Нп через базовые переменные

{«}-

м?п 0„ М„ <2п ип ип Ы„ Бп й>„ вй Мп 0п й„ 5„

■ (12)

Так, значения е„, аг„, у„ и г„, ав„, у„ определяются из следующих систем уравнений:

^22+^° В22 Л23 ел ^»+<^„+^Ч°е„

В22 •°22 523 аей . = - ^ ^л

А22 В32 А33 + ЛГ° .У и'. ^л + #»Нл«л - Я?(ц„ё„ - е^Ци^л)

^21Нт» ~^21^п ^*23Ил

ВцР-п -&21 М;п -°23Нл

^31Цл ~^31Нл ^ЗЗ^л

«л

1 *л

§л

(13)

^22 + ^ -®22 -^23

-#22 -®22 ^23

-^32 -®32 ^33 + N

.

' ®л • = •

-Уи.

К-^а„ь„+№е%

БХ

м„

$п- ^Нл«л~ ^(-Цй1»й + 9?Ил*л]

А2№п ^21^1 В23^п

В21Рп ^21^ -АзИл ^31М-л ^ ■^ЗЗМ’и

«л

‘ *и

.V

(14)

\Nxn' ~А\ 1Нт! ~в\3^п “и ~А12 В12 Ап [в»'

Мхп ' = ~ВПРп -Азии • • + В12 Аг Аз

Нп ~В31^п ^31^ -2Х>33цй 0и взг 1>Ъ2 2?зз [Уп.

, (15)

Яхп

Мт • =

Нп

АП»п В11Ц? В13»п

*п Аш^ Ази„

в31^п А1^ 22?33ц„

к А\2 В12 А\г Ёй

• •+ В12 А2 Вп ■ «я

ей В32 &32 взз. Уп.

(16)

Последующая матричная формулировка и метод решения полностью совпадают с приведенными выше, однако размерности всех векторов и матриц удваиваются в связи с добавлением узловых перемещений второй группы, так что в общем случае

{У/} = 0„,-

«и,- И»,-

т ®я/

- : 1Т

*т\ ,

/ = 1, 2,

N.

Интегральные жесткостные характеристики Ац, Вц, Ау многослойных композитных элементов определяются через упругие характеристики монослоев, входящих в различно ориентированных комбинациях в пакет с помощью методики, изложенной в [3, 4]. Отдельные элементы системы могут быть изотропными, металлическими и кон-структивно-ортотропными [2].

Таким образом, разработанный нами в [5] численный метод расчета устойчивости сложных цилиндрических конструкций распространен выше на конструкции, выполненные с применением композиционных материалов.

3. С использованием разработанных методики и программы для ЭВМ могут быть решены как многие классические, имеющие точные и/или приближенные решения, так и новые задачи об устойчивости элементов композитных конструкций, а также сложные задачи об устойчивости составных конструкций из КМ, возникающие в практике проектирования.

Например, в табл. 1 дано сравнение полученных численных результатов с точным решением [4] для шарнирно опертой по всем сторонам прямоугольной ортотропной пластины. Расчеты проводились при следующих значениях параметров: число точек ортогонализации решения на каждом элементе и0 = Ю > число шагов интегрирования по методу Рунге—Кутта между точками ортогонализации ир_ к = Ю, отно-

сительная точность итерационного определения параметра іп нагрузки є =1•10~3.

Таблица 1

Г-1 1 ,1, I ( і л КХЪ2

г 1 і 1 я2

а X

а/Ь А - ап А = ^22 А = = йп + 2 с!зг ъ и» к

Точное решение Численное решение

1 ю4 16А А 200л 2 2,5 2,5011

8 16/>2 104 А 200я 4 2,5 2,5011

1 16/>2 ю4 А 200п 1 4,75 4,7523

1 4-Ю4 А А 200* 1 4,0 4,0006

Как видим, погрешность численного расчета при выбранных параметрах счета на ЭВМ не превышает 0,05%; значение критической нагрузки выше точного.

Аналогичный результат получается при сопоставлении точного значения коэффициента устойчивости к = 7,69 (см. [6]) и полученного численно к = 7,6916 для задачи устойчивости квадратной изотропной пластины с защемленными продольными краями.

Для указанного случая граничных условий представляет интерес оценка точности широко используемого в расчетах композитных пластин приближенного решения, приведенного в [7]. Сопоставление результатов расчета по этому решению с полученными численно представлено в табл. 2. Приближенное решение дает погрешность 1,6—4% в сторону завышения критических нагрузок.

1 ]

1 , !- і , і і і ■ і шш

//////уУ///////// а

* =

ті?7А^2 V,

Таблица 2

є = 1(Г3 п0 = 10 ир- к = 1°

а!ь А - ап ■* </22 А = = + 2</33 6 и. *:

Приближенное решение" Численное решение

1 4 • 104 А А 200тс 2 8 7,6916

1 16А ю4 А 200п 1 6 5,9022

8 ХбИг Ю4 А 200тг 6 5,28 5,1562

Рассмотрена задача о местной устойчивости при сжатии композитной трехслойной панели со стеночным заполнителем. Элемент поперечного сечения такой панели показан на рис. 2, где <1 — шаг стенок, Ъ — расстояние между срединными поверхностями верхней и нижней обшивок.

Панель набрана из монослоев с характеристиками: Еі = 18 ООО кг/мм2, Е2 = 900 кг/мм2, <712 = 514 кг/мм2, V12 = 0,31. Обшивка имеет толщину 1 мм и структуру укладки [+45*(0,2), 0(0,25), 90’(0,1), 0(0,25), -45°(0,2)]; стейки заполнителя толщиной 0,6 мм имеют укладку [+45°(0,2), 0(0,2),-45°(0,2)]. Длина панели а = 205,57 мм, высота стенки Ь = 34,26 мм. На рис. 2 показана полученная с учетом взаимодействия обшивки и стенок зависимость коэффициента устойчивости к от отношения с1/Ь. Там же даны значения к для случаев защемления элементов стенки и обшивки (верхняя штрихпунктирная кривая) и шарнирно опертых элементов стенки и обшивки (нижняя штрих-пунктирная кривая). Видно, что значения коэффициента устойчивости к для трехслойной панели изменяются в интервале, ограниченном указанными кривыми, причем при й/Ь = 0 значение совпадает с коэффициентом устойчивости защемленной стенки. При й/Ь = 1,27 коэффициент устойчивости равен величине для шарнирно опертой стенки. Это означает, что при принятых значениях жесткостей и й/Ь-1,27 стенка и обшивка выпучиваются одновременно, не препятствуя поворотам в их сочленении. При <1/Ь > 1,27 критические значения £ несколько выше, чем для шарнирно опертого элемента обшивки шириной ±

Для сравнения на рис. 2 показана также зависимость коэффициента устойчивости к от й/Ъ для аналогичной панели из изотропного материала (металла) с характеристиками: Е = 7200 кг/мм2, V = 0,3. Эта

зависимость имеет тот же характер, что и для композитной панели, и отличается только величинами к.

Решена задача об устойчивости при продольном сжатии панели из композиционного материала, подкрепленной ребрами прямоугольного сечения. Размеры панели в плане, в мм: а = 500, Ь — 300, шаг ребер — 60, толщина ребра — 3,64, высота ребра — 30, толщина обшивки — 2,34. Ребро имеет укладку [+45'(0,26), —45°(0,26), 0(2,6), —45’(0,26), +45’ (0,26)], а обшивка [+45’(0,26), -45’(0,26), 0(0,52), 90’(0,13), 0(0,65), —45°(0,26), +45’(0,26)]; характеристики монослоя: Ех = 20 930 кг/мм2, Е2 = 800 кг/мм2, <712 = 520 кг/мм2, у12 = 0,26, б = 0,13 мм. -:

Рассмотрены общая форма потери устойчивости (рис. 3, а) п.=1 : , (

при свободных продольных краях I | \ / I

и местная (рис. 3, б) при шар- ______X- — -1----X____

нирно опертых продольных <?3 0 5 ®7 <Р9 Я>11

1 2 4 6 8 10 12

краях. о)

При общей потере устойчивости панель выпучивается по

одной полуволне (и, = 1) И їфИТИ-

/1**5

ческая сила сжатия Р* = 57 500 кг, мл

«з \«5 Щ \99 «11

при местной потере устойчи- б) | ____1 „

ВОСТИ И* = 5, /» = а/и, = 100 ММ и 1 2 " 4 68 ійТг

Р, =92 500 кг. ; ’

Рассмотрена также задача об Рис- 3

устойчивости при сдвиге удлиненной композитной пластинки, а — 2000 мм, Ь — 500 мм, монослой которой имеет характеристики: Ех = 27 000 кг/мм2, Е2 = 2000 кг/мм2, (712 = 980 кг/мм2, у12 = 0,22, 5МС = 0,1 мм. Структура пакета монослоев следующая: [0(1), 90°(1), а (8), 90’(1), 0(1)], где значение а варьировалось от 0 до 90° и от 0 до —90°. :

На рис. 4 показана зависимость критического угла сдвига N3% от угла укладки средних восьми слоев. Видно, что для случая отрицательных углов укладки критическое усилие сдвига имеет максимум в районе —60°. При положительных значениях угла укладки наблюдается существенное снижение критического усилия.

На рис. 5 показана зависимость критического значения усилия сжатия Ых для той же пластины в зависимости от угла укладки восьми средних слоев. Максимальное значение усилия получилось при а = 45°.

Особый интерес представляет исследование устойчивости композитной пластины с отслоением на некоторой длине \ нескольких слоев основного пакета. В этом случае даже если общая укладка монослоев по толщине всей пластины симметрична, в зоне расслоения возникают два пакета с несимметричной укладкой. Для исследования устойчивости такой системы подходят разработанные нами методика и программа, поскольку они позволяют рассматривать непроклей как систему элементов несимметричной структуры, включенных в общую расчетную схему пластины.

Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости композитной пластины с укладкой монослоев: [90°(1), 0(1), 4542), -45’(2), 90° (4),

Рис. 4

0(2), 90°(4), —45°(2), 45°(2), 0(1), 90°(1)]. Каждый монослой имеет характеристики: Е1 =18 000 кг/мм2, Е2 = 900 кг/мм2, <712 =514 кг/мм2, = 0,31, 8МС = 0,05 мм. Размеры панели в плане: длина — а = 120 мм, ширина — Ь = 40 мм. Считаем, что два верхних слоя в середине пластины не приклеены к остальным на длине которая варьируется в процессе расчетов. ,

Результаты расчетов показаны на рис. 6. Там же показана расчетная модель пластины, состоящая из пяти элементов и пяти узлов. Элементы 2, 3, 4 имеют несимметричную укладку.

ы5, кг/мм

3

7,5-

5,0

2.5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Докритическое погонное усилие распределяется в зоне непроклея между верхним и нижним пакетами в согласии с условием совместности деформаций в крайних точках зоны непроклея.

Зависимость критического значения N3 от относительной величины непроклея %/Ь показана на рис. 6 сплошной линией. Штриховой линией показано значение критического усилия для пластины, у которой непроклей отсутствует, а штрихпунктирной линией — зависимость критического усилия для пластины ступенчатого сечения с удаленными слоями в зоне непроклея на длине %.

Из анализа поведения сплошной кривой на рис. 6 видно, что, пока %/Ь < 0,1, зона непроклея не раскрывается и пластина выпучивается как целая по общей форме потери устойчивости. Небольшое снижение критического усилия в зоне 0 < £/£ <0,1 связано со снижением жесткости пакета в районе непроклея.

При %/Ь > 0,1 происходит местное выпучивание тонкой части пластины над зоной непроклея. Сама же пластина остается почти прямой и способна выдержать возрастающую нафузку. При дальнейшем нагружении такой пластины происходит её общая потеря устойчивости, критическая сила которой соответствует критической силе выпучивания панели с ослабленной частью над непроклеем (исчерпание несущей способности).

ЛИТЕРАТУРА

1.Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН.—1961.

Т. 16, вып. 3. ;

2. Замула Г. Н., И е р у с а л-и м е Ки й К. М. К расчету устойчивости каркасированных цилиндрических оболочек // Ученые записки ЦАГИ.—1981, Т. 12, № 3.

3. Ал фу то в Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов,—

М.: Машиностроение.—1984.

4. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки,—М.—Л.: Гостехиз-дат.—1947.

5. Замула Г. Н., Иерусалимский К. М. Устойчивость и термоустойчивостъ цилиндрических конструкций // Ученые записки ЦАГИ.—

1987. Т. 18, № 6.

6.Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем.—М.: Физматгиз.—

1963.

7. Справочник по композиционным материалам. Кн. 2 (пер. с англ.).—

■ М.: Машиностроение,—1988.

Рукопись поступила 13/У11995 г.