Проектирование тонкостенных конструкций с учетом закритического поведения композитной обшивки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXIV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 00 3

№ 3—4

УДК 629.7.015.4.023:62—419.8

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ЗАКРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ КОМПОЗИТНОЙ ОБШИВКИ

В. И. ГРИШИН, О. В. МИТРОФАНОВ

На основе замкнутых решений задач о закритическом поведении ортотропных прямоугольных панелей предложены методики проектирования и определения жесткостных параметров тонкостенных конструкций с учетом достижения предельных по прочности напряжений при закритическом поведении обшивки и различных вариантах разрушения композитных материалов.

Применение композитных материалов (КМ) связано с необходимостью снижения веса проектируемых конструкций. В статье рассматриваются некоторые задачи, возникающие при создании эффективного в весовом отношении крыла легкого самолета с учетом концепции проектирования, согласно которой для обшивки допустима местная потеря устойчивости при нагрузках выше эксплуатационных. Предлагается проектировать композитные панели с учетом закритического поведения обшивки. Для оценки несущей способности предложены замкнутые решения, которые позволяют сводить задачи рационального проектирования к уравнениям относительно толщины панели.

1. Особенности проектирования многозамкнутого закрылка из композитных материалов. Рассмотрим многозамкнутый композитный закрылок крыла легкого самолета. Полагаем, что нижняя обшивка нагружена сжатием. Особенностью конструкции (рис. 1) является наличие усиленной продольными слоями КМ обшивки в зоне, прилегающей к стенкам. Определим предельную нагрузку, исходя из возможности выпучивания усиленной обшивки.

Аналогичная многозамкнутая конструкция закрылка при наличии силовых продольных жгутов (без усиления обшивки) приводится в работе [6]. Рассматривается случай, когда ширина типовой обшивки значительно больше ширины усиленной обшивки Ьтипов > Ь и, кроме того, для толщин обшивки (5) имеет место характерное неравенство 5 > 5типов. Отметим, что тонкая типовая обшивка весьма рано теряет устойчивость от сжатия. Предельная нагрузка, воспринимаемая обшивкой, может быть определена из решения задачи о закритическом поведении ортотропной прямоугольной пластины (ОПП) при наличии одного свободного и одного жестко защемленного края (при а > Ь, рис. 2). Принятый вариант закрепления соответствует опиранию толстой пластины на более тонкую, потерявшую

устойчивость панель. Отметим, что решение рис. 1. Фрагмент многозамкнутого закрылка

Рис. 2. Сжатая прямоугольная панель

задачи устойчивости ортотропной панели при опирании на край, жесткость опоры которого должна быть связана с прогибом тонкой выпученной обшивки, аналитическим образом затруднительно.

Приведем некоторые результаты решения геометрически нелинейной задачи, полученные методом Бубнова — Галеркина. Предположим, что форма потери устойчивости ОПП описывается формулой

W = f sin ax sin Pj,

тогда продольные напряжения в срединной поверхности потерявшей устойчивость панели определяются по формуле

f\ _

^x 32 Eap Px’

(l)

где f — амплитуда прогиба, a-nm, Р = —--------параметры волнообразования, Ex (Ey )

п О А ' У'

х х х------ ^ X, У, модуль

а 2Ь

упругости композитного пакета в направлении оси х (у) (см. рис. 1), Оху — модуль сдвига композитного пакета в плоскости ху [1] — [2],

4a 2r4 a 2r2

Eap - Ex 4a2 cos 2Py + Exa2 cos 4Py-----------------cos 2axcos 2Py +---------cos 2axcos 4Py,

Gap G4p

.4 f

G =—-aP e

y

1 2ц

xy

'a2p2 +El g4P=ee1 ^ 1

Ex Ey

xy

\ 2n2 1бР4

4a 2P2 + ——

Уравнение относительно амплитуды прогиба может быть записано в виде:

^ Етп + йП1П 52 = %,

4 а2

(2)

где

D = 3_________—_________+ 8—

mn 12(1 _UxyUyx)

E = И E + E^ + ^ + 32РІ mn 1б x y a4 Gap G4P

\

a

2 f u E

>xy x

2

G

xy

V

12(l _UxyUyx ) 6

■16-!

a' 12 (l _UxyUyx )

В случае малых прогибов для плоских панелей при рассматриваемых условиях опирания из последнего равенства можно получить выражение для критического сжимающего потока:

0,76^ВхВу + 0,6В3 ,

(3)

0 7£/-< Е

при соответствующих параметрах волнообразования т = —

- и п = 1.

Исходя из равенства (2), запишем выражение для определения толщины ОПП, исключая величину / с помощью выражения (1). При этом полагаем, что продольные напряжения достигают предела прочности сх. Тогда, считая, что на ОПП действует погонная нагрузка дх, для определения толщины запишем уравнение, допускающее аналитическое решение:

Заметим, что входящие в последнее равенство критические параметры волнообразования т и п зависят только от соотношения сторон и укладки КМ. Кроме того, прогиб описывается периодической функцией. Для определения множества точек (х1, уг-), в которых будут

реализовываться напряжения тах |сх|, необходимо провести численное исследование функции

Еар (х, у). В данной работе это выполнялось стандартными методами программы МаШа^

Отметим, что аналогичная методика использовалась и в нижеприведенных методах.

На рис. 3 показана зависимость толщины ОПП от сжимающей нагрузки при проектировании с учетом закритического поведения. Рассмотрена панель с геометрическими параметрами а х Ь = 120 х 30 мм. Относительные толщины слоев углепластика (КМУ-4) равны соответственно И0 = 0,3, к±45 = 0,7. Предел прочности пакета равен спроч = 36,5 кГ/мм2, а

критические напряжения скрит = 5,91 кГ/мм . Кривая 1 соответствует проектированию гладких

композитных панелей по условию обеспечения устойчивости (3), а нижняя кривая 2 получена при обеспечении условия прочности с учетом закритического выпучивания (4). Отметим, что из приведенного примера видна возможность снижения веса на 15...20% при условиях допустимости потери устойчивости и допустимости закритического поведения в зависимости от величины предела прочности.

При возможном расслоении композитной обшивки методика проектирования может быть модифицирована на основе определения трансверсальных касательных напряжений [2]. Например, для касательных напряжений туг имеем

53 +5

= 0.

(4)

(5)

где Втп — жесткостные параметры [2].

Для рассматриваемого варианта опирания при условии достижения предела прочности по трансверсальным напряжениям т у2 можно получить

'=;£-• Втп=В2^+2в,з)(пт)2|п. (6)

^ ^тп 4 у 4 у

Как уже отмечалось ранее, прогиб описывается периодической функцией, кроме того, количество полуволн тип определяется соотношением геометрических и жесткостных

параметров. В этом случае напряжения тах|т^ реализуются в нескольких точках с

кха куЬ

координатами х1 =---, у1 = ^—, в которых кх, ку являются целыми числами: х1 е|0, а I,

2т 2 у

уI е[0, Ъ]. Подставляя (6) в равенство (2), получим уравнение для определения толщины

обшивки при потере

устойчивости от сжатия и разрушения при расслоении:

- й 3? Е (8т ж)

А^6 - Ях-^53 + Ет~^~ = 0. (7)

а 4 В2

mn

Аналогичное квадратное уравнение, допускающее аналитическое решение относительно величины 83, может быть получено и для других случаев опирания ОПП, а также для напряжений т ^.

Для полноты методики проектирования композитного закрылка с позиции механизмов разрушения КМ представим еще вариант определения толщины обшивки по суммарным нормальным напряжениям. Запишем выражение для напряжений:

_ _ _мемб . изгиб _

СхZ-Cx + Сх - Px +—

2 / \2 2

где £ар - Бпа sin ах (sin fty ) + Б122р sin ах cos2Py.

Приравнивая суммарные нормальные напряжения пределу прочности и выражая амплитуду прогиба, можно после подстановки результата в равенство (2) получить следующее нелинейное выражение для определения толщины композитной пластины минимального веса:

б, мм 3,5

Рис. 3. Зависимость толщины ОПП от нагрузки при проектировании по несущей способности

Носок

Типовая панель

Лонжерон

Рис. 4. Типовое сечение элерона

2

> = 0.

(9)

Аналогичным образом можно получить выражение для определения толщины относительно толстой композитной пластины при учете только изгибных напряжений. В результате имеем:

Отметим, что нелинейные уравнения (9), (10) решаются только численным образом.

2. Оценка закритического поведения ортотропной пластины при изгибе и особенности проектирования обшивки механизации крыла легкого самолета. Стенки нервюр и лонжеронов в конструкции крыла воспринимают перерезывающую силу и «работают» на изгиб. Для легких самолетов, как правило, допускается местная потеря устойчивости гладкой стенки от изгиба. Кроме того, практический интерес представляет задача о несущей способности обшивки механизации крыла. Типовое сечение элерона крыла легкого самолета и схема нагружения обшивки показаны на рис. 4, 5. Полагаем, что касательные потоки в данном случае незначительны. Это связано с тем, что при реальном проектировании механизации крыла стремятся по возможности совместить центр жесткости поперечного сечения элерона с центром давления распределения аэродинамической нагрузки по хорде. В случае, если местная потеря устойчивости недопустима, то толщина обшивки может быть определена из условия устойчивости при изгибе (рис. 5). В ситуации возможной потери устойчивости при расчетных нагрузках надо рассматривать геометрически нелинейную задачу о закритическом поведении.

(10)

Представляя в первом приближении для случая всестороннего шарнирного опирания прогиб

в классическом виде [2], [7]

(11)

и используя метод Ритца при линейном изменении нагрузки

Рх =^|1 -°У\, (12)

можно получить следующее уравнение относительно амплитуды прогиба:

52 Д.

2 г2 п І

16

Етп = Х| — | |1 --

а 2 (13)

Рис. 5. Схема нагружения фрагмента обшивки элерона

где

Дтп

Е„

о

ху

12 (1 М'хуМ'ух) а 12 (1 ^ху М'ух) 6 ^ а 12 (1 М'ху ^ух)

Е = т

тп 4

ачЬЕ Ь аЕ

у

В рассматриваемом случае (см. рис. 5) при а < Ь и а = 1 будем считать в первом приближении, что т = 1 и п = 1. Запишем выражение для определения напряжений в срединной поверхности:

І2 „ п2т2 2ппу

С,. =---------------— 008--------------Рх.

х 2 а

(14)

Исходя из равенств (13), (14), можно по аналогии с п. 1 предположить, что продольные

2ппу

напряжения достигают предела прочности сх, а 008-

Ь

= 1. Тогда при действии погонной

нагрузки дх = рх 5 получим для толщины панели следующее уравнение:

-5 =

Е с

ДтпЕар Дтп

( 2 т

а2 Еар

= 0,

(15)

допускающее аналитическое решение.

Полученное равенство так же, как и выражение (4), определяет толщину композитной обшивки с учетом закритического поведения при расчетных нагрузках, что является дополнительным источником снижения веса проектируемых конструкций.

Отметим, что задача устойчивости при неравномерном сжатии исследована И. Г. Бубновым. В работе [2] отмечено, что для изотропных пластин при а < 0,6 указанный для первого приближения прогиб дает удовлетворительные результаты. По аналогии с п. 1 можно

модифицировать методику проектирования с учетом реализации различных механизмов разрушения композитной структуры. Кроме того, вместо прогиба, определяемого по формуле (11), можно во втором приближении взять в выражении для прогиба два члена [2]:

W =

ZlSin| yj + /2sinf^

sin

nx

В этом случае вместо уравнения (13) надо будет рассматривать систему двух нелинейных уравнений второго порядка относительно амплитуд /1 и /2.

3. Определение редукционного коэффициента при расслоении обшивки из композитных материалов. Как уже отмечалось выше, одной из вероятных причин разрушения композитных ПП является расслоение обшивки из-за достижения предельной величины по трансверсальным касательным напряжениям тили т. Рассмотрим для примера ОПП при

условии всестороннего шарнирного опирания. При решении геометрически нелинейной задачи может быть получено следующее выражение:

m 2

Dmn — Px 2 + Emn/ =

x 2 a

(16)

где

D = —

mn

о

4 2 2 4

^ m m n ^ n

D11 ——+ 2Do —-—~ + D22 —т 11 4 3 2 l2 22 l4

a a b b

E = —

mn

16

4 4

Exm- + E n-a4 yb4

Для вычисления трансверсальных касательных напряжений воспользуемся равенством

т xy

f 0 . | nmx 1 I ппу

-----sin I------I cos'

(17)

из которого следует, что максимальная величина напряжений т yZ реализуется при sin

nmx

= 1

ппу

и cos| —j— | = 1. Таким образом можно определить амплитуду прогиба:

/=

у

B,

ар

(18)

где

_ 52 пп BaP = VT"

B221 ™ |2+(«12+2 «66 )(nm'2

Традиционный путь нахождения редукционного коэффициента для сжатых ОПП предполагает следующее. Во-первых, записывается выражение для напряжений в срединной поверхности

= -

cos

2nny

(19)

Во-вторых, исключая из (19) величину / с помощью выражений для нормальных продольных напряжений, получаем равенство для максимальных напряжений

Ех п2т2

т п

Рх 2 Дтп

(20)

Далее редукционный коэффициент определяется по формуле [3], [4]:

1 + ЕУ

ф=

па

па

Ех ^ тЬ

па

Ех ^ тЬ

4 а.

(21)

где ®тп

2 2^ П п

5Ь

Д

11

тЬ

па

Д

22

па

тЬ

Д

предел прочности.

Проводя аналогичные преобразования и используя для исключения амплитуды равенство (18), можно получить выражение для редукционного коэффициента:

ф =

1

1 +

I- 2 2

Е п т

(22)

-уг

8

2

Д»

г2 ^

‘'Ж

д

ар

.2 Дар

т

которое определяет редуцирование композитной обшивки в случае расслоения.

Для примера рассмотрим шарнирно опертую панель с геометрическими параметрами а х Ь = 400 х 100 мм. Толщины слоев углепластика (КМУ-4) равны соответственно 5о = 0,3 мм,

5±45 = 0,7 мм. Предел прочности равен апроч = 36,5 кГ/мм2. На рис. 6 показана зависимость

коэффициента фред при редуцировании по трансверсальным касательным напряжениям.

Предельная величина редукционного коэффициента, определенная традиционным образом по формуле (21), равна ф = 0,569.

Таким образом, наименьший коэффициент фред при редуцировании по нормальным или

касательным напряжениям соответствует наименьшей предельной нагрузке. При выборе применяемых КМ можно путем построения графиков, аналогичных рис. 6, делать выводы о применимости той или иной методики редуцирования.

2

х

Рис. 6. Зависимость редукционного коэффициента от предела прочности по трансверсальным касательным напряжениям

Отметим, что в данном случае рассмотрены только касательные напряжения т ^ и вариант

всестороннего шарнирного опирания. В общем случае при реальном проектировании можно аналогичным образом рассматривать напряжения тхг и конкретные варианты закрепления.

4. Влияние анизотропии на несущую способность прямоугольных панелей. Рассмотрим влияние анизотропии на устойчивость и закритическое поведение многослойных пластин. Полагаем, что форма выпучивания описывается формулой вида:

Ж - / 8Ш (пу/Ь ) 8Ш [п( х-ау )/,? ],

(23)

где а — тангенс угла наклона волн при выпучивании, 5 — расстояние между узловыми линиями.

Решая геометрически нелинейную задачу методом Бубнова — Галеркина по аналогии с ОПП [6], получим следующее выражение:

г 2

— (а1 + а2 ) + Рх

ОъГ

2а2

+ Ру

п2 а2п2

Ь2+“7^"

ап

а

+ 2 р

ху

Дар - 0,

(24)

где

а - —

п2 а2

8 Ь2Оа,

п2 Е.

а

, а2 = , Га = + а^31 +а &22 + а Й3 + —

8 5 Еу Ех

= Пу, ху + Пху, у = 1 Нху Н'ух = Пх,ху + Пху ,х

Й1 = Г 5 ^22 = Г Е ? ^13 = Г

гху гху Еу Ех гху

Дав= ДД (т )4 + 2-ДТ (т 2

2 / \2 п ] (ап |

Ь) +Г5)

Д

22

2 / \2 п ] (ап |

Ь) +Г5)

+ 4

2 г \2 п ] ( ап |

5 )

4Д

16

ап

5

а| —

5

31 п|2 + („'2

Ех, Еу, Оху — осредненные характеристики композитного пакета, п

|у, ху’ пху, у

— коэффициенты

влияния [3].

п

Вводя обозначение у -(Ь/я)2 и рассматривая малые перемещения (/ ^0) при решении задачи устойчивости, можно получить следующие системы уравнений для определения критических параметров волнообразования. Имеем в случае сжатия (Ру - рху - 0):

1 Д11 + 2Д11а2 + Д22а4 - 4Д16а - 4Д26а3

Д

22

2Д12у2а + Д22 (12а + 4а3у) - 4Д16у - 4Д26 (3а2у + з) = 0, и в случае сдвига (рх = ру = 0):

(25)

Д-1 + 2Д12а + Д22а3 - 4Д16 - 4Д26а2 а

У

Д22 / а

V а2У

1 . о 2

+ 6 + 3а у

- 8Д26ау = 0,

(26)

системы, которые сводятся к нелинейным уравнениям относительно а.

При решении задачи о закритическом поведении анизотропных панелей, как правило, принимается гипотеза о неизменности формы выпучивания после потери устойчивости; при этом могут быть использованы равенства (25) или (26).

При вычислении редукционного коэффициента запишем выражение для напряжений в срединной поверхности в виде:

/■2 2 І п

2п / ч

а2 008 — (х -ау)

ь оа

Ь р 2пу

Ех 008--------

52 х Ь

(27)

Величина амплитуды определяется из уравнения (24):

.2

І2 =-

п

уар - рх 2 52

ДаР- Р:

Е,

ар

(28)

где

Еар=тг(а1 + а2

2s

2а2

п2 а2п2

Ь2 + "Т”

ап

2

Проводя преобразования, аналогичные п. 3, получим уравнение для определения редукционного коэффициента анизотропной панели:

1

Ф = -

85 2 Е,

ар

2 г. 2

а Ь

оаь+5у

8Е

ар

2 г. 2

а Ь

Д

ар

(29)

Отметим, что подобная методология верна и в случае комбинированного нагружения сжатием со сдвигом. В этом случае последний член равенства (29) следует переписать в виде

2

У

1

1

А

ар

Аар

2а п

ху

откуда видно, что редуцирование зависит от знака сдвиговом на-

грузки.

Отметим, что полученные выше соотношения (24) и (27) могут быть использованы для определения толщины анизотропной панели с учетом закритического поведения.

5. Замечание о влиянии изгибных напряжений на величину редукционного коэффициента и толщину ортотропных панелей при проектировании с учетом закритического поведения. Отметим, что эффект редуцирования панелей зависит от толщины, а для композитных

панелей это является существенным фактором. На рис. 7 для примера приведено распределение нормальных мембранных и изгибных напряжений для шарнирно опертой пластины. Исходные данные: геометрические параметры панели а х Ь = 400 х 100 мм; укладка слоев из углепластика КМУ-4 — к0 = 0,5; Л+45° = 0,5 и нагрузка дх = 100 кГ/мм. На рис. 8 показано распределение суммарных напряжений по ширине пластины для тех же исходных данных, что и для рис. 7, при варьировании толщины панели.

Рис. 7. Распределение нормальных мембранных (1), изгибных (2) и суммарных (3) напряжений в крайних волокнах пластины

Из приведенных графиков видно, что в некоторых случаях относительно больших толщин обшивки необходимо рассматривать максимальные напряжения, входящие в традиционное определение редукционного коэффициента, как сумму мембранных и изгибных напряжений. Тогда для шарнирно опертой пластины имеем редукционный коэффициент

Ф =

1

1 + П2[ЁХЁ

8Ь х •

008

2ппу

1-

а

едео

Я п2 Еу + Я п2

1)11 Ь2 Т+ А2 Ь

81П

ппу 1 рх аедёо

Ь Рх\ Е ^тп

где

2 4 2

Е = Е — + Е П а тп х а2 УЬ2т2

Ь

Заметим также, что при больших толщинах обшивки классическое редуцирование вообще теряет смысл, поскольку максимальные напряжения реализуются по середине пластины (см. кривую на рис. 8 при 5 = 3 мм). То есть гипотеза Кармана может быть применима для тонких пластин и панелей средней толщины. Последнее определение весьма условно, и область применимости формул для вычисления редукционных коэффициентов должна определяться

проектировщиком в конкретной ситуации.

Рис. S. Распределение нормальных максимальных суммарных напряжений при различных толщинах ОПП

Отметим также, что изгибные напряжения должны учитываться при проектировании композитных панелей с учетом закритического поведения. Для примера рассмотрим шарнирно опертую пластину и перепишем равенство (16) в виде, удобном для проектирования:

— о л m

Dmn63 + Emnf2 б-qx — = 0, a

(30)

где Dmn =

D

mn 3

б3

= px б — погонная сжимающая нагрузка.

Запишем выражение для суммарных нормальных продольных напряжений:

2

мемб изгиб

/’2 2 2

f г п m

= px +~ Ex 2““

8 a

cos

2nny і бf

—B,

'ap>

(31)

где

_ і m і . mnx . nny „ і n і . mnx . nny

Bap = B11 HI sln-----S1n^“ + B12 HI S1n-------S1^^T.

'a I a b V b I a b

Приравнивая суммарные напряжения к пределу прочности композитной структуры, выразим из (31) амплитуду прогиба и подставим затем в равенство (30). В итоге имеем нелинейное уравнение относительно толщины ортотропной пластины

3 — m

б Dmn - qx + Emn

-0,5бй,

0,25Bapб2 -4EaP

-ax

2E.

ap

= 0.

(32)

В заключение отметим следующее. Во-первых, в работе предложена методика проектирования многозамкнутого композитного закрылка, исходя из закритического поведения обшивки с учетом различных механизмов разрушения КМ. Во-вторых, рассмотрен вариант проектирования обшивки элерона по несущей способности при достижении предельных по прочности напряжений при выпучивании после потери устойчивости от изгиба. В-третьих, предложены выражения для определения редукционного коэффициента в случае расслоения композитной обшивки по трансверсальным касательным напряжениям. В-четвертых, получено

замкнутое соотношение, позволяющее определить степень влияния анизотропии на

редукционный коэффициент. В-пятых, записано выражение для редукционного коэффициента, где кроме мембранных учтены изгибные нормальные напряжения. Все представленные

методики, естественно, могут быть использованы и для проектирования металлических

конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вольмир А. С. Гибкие пластины и оболочки.— М.: ГОСТЕХИЗДАТ.— 1956.

2. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки.— М.: ГОСТЕХИЗДАТ.— 1947.

3. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов.— М.: Машиностроение.— 1988.

4. Замула Г. Н., Иерусалимский К. М. Закритическое поведение и

редукционные коэффициенты потерявшей устойчивость композитной обшивки/«Проектирование и расчет на прочность авиационных конструкций»//Труды ЦАГИ.— 1996. Вып. № 2623.

5. Митрофанов О. В. К вопросу о методологии проектирования конструкций крыла с учетом особенностей композитных материалов//ТВФ.— 2000, № 5.

6. Митрофанов О. В. К вопросу о проектировании многозамкнутых конструкций из композитных материалов с учетом закритического поведения обшивки//ТВФ.— 2001, № 1.

7. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем.— М.: ФИЗМАТЛИТ.— 1963.

Рукопись поступила 29/III2002 г.