Исследование в операционной среде Matlab крутильной формы потери устойчивости конструктивно-анизотропных панелей из композиционных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Sherkunov Viktor Georgievich, doctor of technical science, professor, head of chair, sherkunovvg@susu. ac. ru, Russia, Chelyabinsk, South Ural State University,

Vlasov Aleksandr Evgen'evich, postgraduate, vlasovaleksandr. 74@gmail.com, Russia, Chelyabinsk, South Ural State University,

Pino Tese, candidate of technical science, docent, pino. tese@sms-siemag. com, Germany, Hilchenbach - Dalbruh

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ В ОПЕРАЦИОННОЙ СРЕДЕ МЛТЬЛБ КРУТИЛЬНОЙ ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКТИВНО-АНИЗОТРОПНЫХ ПАНЕЛЕЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

В.В. Фирсанов, Л.М. Гавва

Приводятся соотношения математической модели для исследования задачи устойчивости конструктивно-анизотропных панелей из композиционных материалов. Уточняется математическая модель при закручивании подкрепляющего элемента, находящегося в условиях одностороннего контакта с обшивкой. Жесткости подкреплений вводятся дискретно с помощью аппарата обобщённых функций. Учитывается влияние процесса технологии изготовления панелей: остаточных температурных напряжений и предварительного натяжения армирующих волокон. На основании вариационного принципа Лагранжа получены разрешающее уравнение восьмого порядка и естественные граничные условия. В операционной среде MATLAB разработан пакет прикладных программ. Проанализировано влияние параметров конструкции на уровень критических сил крутильной формы потери устойчивости.

Ключевые слова: панели из композиционных материалов, эксцентричный продольно-поперечный набор, тонкостенный стержень, дискретные рёбра, силовое и технологическое температурное нагружение, вариационный принцип Лагранжа, крутильная форма потери устойчивости, MATLAB.

В операционной среде МЛТЬЛВ построены программы и реализован процесс компьютерной многокритериальной оптимизации конструктивно-анизотропных панелей из композиционных материалов, которые находятся в условиях силового воздействия, приводящего к различным формам потери устойчивости.

Рассматриваются задачи устойчивости плоских прямоугольных многослойных панелей из полимерных волокнистых композиционных материалов с эксцентричным продольно - поперечным набором (рис. 1, 2). Панели находятся под действием постоянных погонных усилий, приложенных к кромкам в плоскости обшивки. Граничные условия на контуре являются согласованными в отношении плоской задачи и задачи изгиба.

Тонкостенные панели несущих поверхностей летательных аппаратов (ЛА) из высокомодульных и высокопрочных композиционных материалов усилены дискретным набором, в том числе, с целью предотвращения потери устойчивости, к которой могут привести сжимающие и сдвигающие распределённые усилия, приложенные к кромкам в плоскости обшивки. Таким образом, исследование устойчивости плоских прямоугольных конструктивно-анизотропных композитных панелей является актуальным с точки зрения практики проектирования.

Согласно традиционной схеме, используемой при проектировании, наибольший интерес для практических расчётов представляет

- определение критических сил общей изгибной формы потери устойчивости рассматриваемой тонкостенной системы, когда число полуволн много меньше числа стрингеров,

- определение критических сил многоволнового крутильного выпучивания, связанного с изгибом обшивки в направлении нормали к поверхности между узлами пересечений и поворотом рёбер без искажения формы профиля (рис. 1).

^. Ь IV

Рис. 1. Плоская прямоугольная панель, эксцентрично усиленная ортогонально расположенными ребрами жесткости.

Многоволновая форма потери устойчивости

Для исследования крутильной формы потери устойчивости жестко-стные характеристики стержней следует вводить дискретно с помощью аппарата обобщённых функций.

В рамках предлагаемой расчётной модели рассматриваются тонкостенные подкрепляющие элементы, которые находятся в условиях сложного сопротивления вследствие одностороннего контакта с обшивкой.

Дальнейшее развитие теории тонкостенных упругих стержней применительно к общей контактной задаче для обшивки и ребра с уточнением модели последнего при закручивании отражает научную новизну работы.

Задача устойчивости так же, как и задача о докритическом напряжённом состоянии, является связанной, то есть не разделяется на плоскую и изгиб пластины.

Согласно гипотезе Кирхгофа для компонент вектора перемещений к-ого слоя обшивки

Эw

и

(к )(х, у,2 ) = ио (х, у (X, У )-(к >

Эх

V

(к )(х, у, - ) = ^ (х, у (х, у(к)

ау

w

х, у, 2) = w(x, у )

(1)

где и0(х,у) и v0(x,y) - перемещения и и V при 2 = 0, то есть в плоскости приведения.

С использованием соотношений Коши, физических уравнений с учётом влияния температуры и предварительного натяжения армирующих волокон, а также формул преобразования напряжений при повороте осей координат компоненты тензора напряжений к-ого слоя обшивки опреде-

ляются [1], [3] равенствами

оЛ

о

у

X

ху

(к)

011 012 016

0_12 °22 0_26 016 °26 °66

(к)

X

X

V

Эи

о

Эх

Эу

Эи0 + Эv0 Эу Эх

где ,

^-(к) -7к)ДГ -е

2

Эх

Э 2w (к)

Эу 2 ЭхЭу

-2

ч

«2к )ДТ

"(к) Н1

е(к) е Н 2

) -а(к)дт -е(к)

6

Н 6

(2)

, , = 1, 2, . - жёсткости слоя; 7%), , = 1, 2, . - коэффициенты темпе-

ратурного расширения слоя; е

"(к)

Ну 1 = I 2 6

- деформации натяжения слоя,

приведённые к осям координат панели; ДТ - разность между комнатной температурой и температурой отверждения при расчёте остаточных температурных напряжений, либо интенсивность внешнего температурного поля.

В силу совместной работы в одностороннем контакте с обшивкой элементы набора находятся в условиях косого изгиба и стеснённого кручения. Для определения напряжённо-деформированного состояния рёбер жёсткости применяется предложенный В.З. Власовым [2] вариационный метод расчёта тонкостенных пространственных систем в перемещениях, дающий возможность построить теорию тонкостенных упругих стержней без введения гипотезы об отсутствии деформации сдвига срединной поверхности профиля. Перемещения и углы поворота панели и подкреплений по линиям контакта считаются равными.

Компоненты напряжённо-деформированного состояния к-ого слоя композитных стрингеров вычисляются по формулам

и

V

X, * ) = и0 (х )

,(к Чх, * )=

^ (х),(к)

Эvг

Эх Эх

Цх);'(к) + ^(х)/к)

(х)у(к) +[и4 (х)Йк)(*)

(х )р\к ](*)

Э^

Эу

(3)

(к) х1

г

(к) ху1

Эио Э Эх Эх:

(к).

ЭЧ у (к)

Эх2 у

Э(и4 )1 ^(к)

Эх

а? )АТ-

е(к) еН 1

Э 2 о \(к)

эхэУГ+рр) +

(и4 Р

(4)

Здесь депланация поперечного сечения и4(х) полагается свободной, )(*)

строится в соответствии с эпюрой секториальных площадей для открытых контуров. Учитывается деформация сдвига при кручении тонкостенного стержня, которая определяется его поворотом относительно выбранного полюса, а также относительно центра изгиба в рамках поправок по теории

«чистого» кручения. р(к )(*), р^С*) - длины перпендикуляров, опущенных на касательную к контуру в рассматриваемой точке из точки контакта стрингера с обшивкой и из центра изгиба, соответственно, р° (*) определяет дополнительный момент инерции продольного ребра при «чистом кручении».

Аналогичным образом строятся перемещения и напряжения рёбер жесткости, расположенных по оси у.

Ниже рассматривается упрощённый вариант математической модели, соответствующий предположению о малости нормальных напряжений, обусловленных изгибом подкреплений в плоскости панели и депланацией их поперечных сечений. Используя асимптотические свойства и пренебрегая членами, соответствующими краевым эффектам, в выражениях (3), (4), будем считать, что стержни работают на растяжение-сжатие, изгиб из плоскости пластины и кручение. При этом в дальнейшем задача сводится

+

к исследованию медленно меняющегося основного напряжённого состояния в рамках разрешающего уравнения восьмого порядка в частных производных.

Уравнения равновесия и естественные граничные условия выводятся с помощью вариационного принципа Лагранжа в результате минимизации функционала полной потенциальной энергии системы

53 = 0,

где

э=я/к у; иох, иоу; ^х, ^у; w, ^х, ^у, ^; (и4 )1, (и4 )2 ^у . (5)

Уравнения равновесия панели при действии внешней погонной нагрузки в направлении нормали к поверхности представляют собой систему трёх дифференциальных уравнений относительно искомых функций перемещений - и0 (х,у), V0 (х,у), w (х,у).

Система дифференциальных уравнений равновесия может быть сведена к одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка, относительно потенциальной функции Ф(х,у), через которую выражаются все расчётные величины задачи.

Естественные граничные условия позволяют построить выражения для внутренних силовых факторов, согласно которым усилия и моменты зависят как от функций продольного и тангенциального смещений в плоскости обшивки - и0(х,у), v0(x,y), так и от функции прогиба w(x,y). В рассматриваемой постановке задача не разделяется на плоскую и изгиб пластины.

Решение задачи устойчивости осуществляется на основе общего дифференциального уравнения устойчивости восьмого порядка, построенного на основе дифференциального уравнения равновесия с учётом приведённой нагрузки от действия нормальных - Их, Иу и тангенциальных -

Иуу, Иух усилий, которое имеет следующий вид:

* Э8Ф АГ Э^ (.т .т \Э2w .т Э2w ...

^ К8-чТ*ТГ7 = Их ТТ + (Иху + Иух + Иу ТГ. (6) I=0,1,2... Эх Эу Эх У ЭхЭу у Эу2

Прогиб w(x,y) связан с потенциальной функцией Ф(х,у) соотноше-

нием

w =

Э 4 Э 4 Э 4 Э 4 Э 4 Л

^40-^ + + Щ22 2 2 + ^ +

Эх Эх Эу Эх Эу ЭхЭу Эу

Ф (7)

Коэффициенты Щ , 1=4,3,....,0 , ]=0,1...,4 в формулах связи (7) и Ку , 1=8,7,...,0,]=0,1..,8 в разрешающем уравнении (6) - постоянные величины, зависящие от упругих свойств материала и геометрических параметров конструкции.

Если структура композитной панели ортотропна, задача сводится к исследованию дифференциального уравнения, в левой части которого содержатся чётные производные Ф(х,у) по каждой из координат, а нечётные производные в правой части связаны со сдвигом, то есть

К80 Э8Ф к

+

62

Э8Ф

к

44

Э8Ф

к

26

Э8Ф

К08 Э8Ф

а8 Эх8 а6Ь2 Эх6Эу2 а4Ь4 Эх4Эу4 а2Ь6 Эх2ду6 Ь8 ду

8

МХЯ40 Э 6Ф

6 Л 6

а Эх (МхЯ22 + КуЯ40) Э6Ф

(Мху + Мух )^40 Э6Ф а5Ь Эх5Эу Иу + Мух )Я22 Э6Ф

а4Ь2

Эх 4Эу 2

3.3

аЬ

Эх3Эу3

+

(^х^04 + МуЯ22 ) Э6Ф (Мху + Мух )^04 Э6Ф

а2Ь4

24

Эх Эу

аЬ~

ЭхЭу~

Му^04 Э6Ф

(8)

Ь6 Эу6

Все компоненты напряжённого состояния и внутренние силовые факторы - усилия в плоскости обшивки могут быть выражены через потенциальную функцию Ф(х, у)

Мх = ЬМхФ - М

Т

■М

н

м

мх

' ху ~ ^МхуФ Мху Мху, М ух = ьМух^ ^ ух

где, например, для ортотропной структуры линейный дифференциальный оператор

Т

■М

н

у

Му

ьНу Ф - мТ - МН

ЬыухФ - М

Т

М

н

(9)

Ьмх = р

Э

6

60

Эх

6

+ Р

Э

6

42

Эх 4Эу 2

+ Р

Э

6

24

Эх 2Эу 4

+ Р

Э

6

06

Т лТ лТ

Т

Эу н

6

н Мн, Мн

Мх, Му , Мху, Мух - температурные усилия и моменты; Мх , Му , мху, м ух - усилия и моменты от натяжения.

Коэффициенты Р^, \ =6,4,2,0 , ] =0,2,4,6 так же, как и коэффициенты в

формулах связи (7), определяются геометрией и упругими характеристиками материала конструкции.

При непосредственной подстановке соотношений (9) в правую часть уравнения (8) задача устойчивости конструктивно-анизотропной композитной панели становится нелинейной, и, с точки зрения прямого подхода, её исследование в точной постановке связано с определёнными математическими трудностями. Ограничиваясь в дальнейшем приближённым решением, для определения критических сил применим метод линеаризации.

В целях изучения характера распределения нормальных и сдвигающих усилий, вызванных внешней нагрузкой, рассмотрим напряжённо-деформированное состояние конструкции при продольном изгибе, то есть докритическое основное напряжённое состояние, которое согласно предложенной расчётной схеме является сложным, так как не разделяется на плоскую задачу и изгиб пластины. Далее задачу устойчивости, из решения которой может быть найдено дополнительное по отношению к исходному деформированию искривление поверхности приведения, будем формулировать как задачу о собственных значениях, определяя критические нагрузки из условия нетривиальности системы однородных линейных алгебраических уравнений, полученной при удовлетворении заданным условиям на контуре.

Рассмотрим определение критических сил общей изгибной формы потери устойчивости плоской прямоугольной несимметрично подкреплённой композитной панели ортотропной структуры. По двум противоположным сторонам распределены равномерно нормальные сжимающие усилия интенсивности P. Граничные условия соответствуют шарнирному опира-нию в отношении изгиба и скользящей заделке в тангенциальном направлении в отношении плоской задачи, когда края панели нагружены потоками касательных сил.

Для исследования изгибной формы потери устойчивости панели правомочной является математическая модель, построенная на основе принципов конструктивной анизотропии с «размазыванием» жесткостей подкрепляющих элементов.

В первом приближении, пренебрегая переменностью докритическо-го напряжённого состояния, положим, что до потери устойчивости

Nx = - P, Nxy = Nxy = Ny = 0.

Тогда уравнение изогнутой поверхности запишем в виде

K80 э8Ф+K&L э8Ф + Ä4L э8Ф + э8Ф + Kos Э^Ф+

a8 Эх8 a6b2 Эх6Эу2 a4b4 Эх4Эу4 a2b6 Эх2Эу6 b8 Эу8

+ P

R40 Э6Ф + R22 Э6Ф + R04 Э6Ф а6 Эх6 а4b2 Эх4Эу2 a2b4 Эх2Эу4

= 0, (10)

где х = х/а, у = у/Ь - относительные координаты: а, Ь - длина и ширина панели, соответственно.

Интеграл уравнения (10), удовлетворяющий краевым условиям м^[(0; 1),у ] = Мх [(0; 1),у] = Уо [(0; 1),у] = Мх [(0; 1),у] = 0 ф, (0; 1)] = Му [х, (0; 1)] = ^ [х, (0; 1)] = Иу [х, (0; 1)] = 0 представим двойным тригонометрическим рядом

232

¥ ¥

Ф(*,У)= X X/шп зш(шях)вт(пру),

(12)

ш=1п=1

где ш и п - параметры волнообразования. Тогда равенство

Р =

р

2 К80

Г Л 8 ' ш ^

+ К

62

у

Г \6

I ш )

V С У

п2 + К

44

Л 4 I ш )

V с У

п4 + К

26

2

I ш )

V с У

6 , ^ 8 п + Ко8П

Ь

Я,

4

ш

4о

+ Я

22

V с У

I ш 1

V С У

2

24 п + Яо4п

2

ш

У

(13)

где с = а/Ь, при ш = 1, 2, 3,... и п = 1, 2, 3,... даст спектр значений параметра Р, при котором становится возможным деформирование поверхности приведения вида (12).

Для определения критического значения нагрузки Ркр выражение (13) необходимо минимизировать по параметрам волнообразования, то есть решить экстремальную задачу.

Считая в дальнейшем число полуволн п в направлении стороны Ь фиксированным и полагая, таким образом, усилие Р функцией одной пе-

- 3 / •• ЭР „

ременной Х= ш/с, приравниваем нулю ее производную — = 0 .

Э1

Если соотношение сторон с удовлетворяет условию с = , где ш

- целое число, а X - наименьший положительный действительный корень алгебраического уравнения двенадцатого порядка

(К8о Я40 )112 + (2 К80 Я22 ^ + (- К44 Я40 + Кб2 Я22 + 3^о Я)4 )18п 4 +

+ (- 2К26Я40 + 2К62Я04 ^^ + (- 3К08Я40 - К26Я22 + К44Я04 ^^ +

+ (- 2К08Я22 )12п10 +(- К08Я04 )п12 = 0, ( 14)

в выражении (13) следует положить ш = ш', и полученное значение критической силы будет наименьшим из всех, определяемых по этой формуле.

Для уточнения величины критического усилия строятся соотношения между параметрами волнообразования и отношением сторон панели с в том случае, когда при одной и той же критической нагрузке окажутся возможными две формы равновесия: с ш полуволн и с (ш + 1) - ой полуволной в направлении стороны а.

Традиционный подход к построению функции Ф(х,у) в виде разложения ее в двойные ряды по системе тригонометрических функций (12) позволяет исследовать критические параметры панелей с граничными условиями лишь частного вида, которые соответствуют шарнирному опира-нию в отношении изгиба, а в отношении плоской задачи - защемлению в тангенциальном направлении при нагружении контура потоками касательных сил.

(15)

Если краевые условия отличны от условий (11), представляется возможным оценить влияние технологии изготовления на несущую способность конструктивно-анизотропной композитной панели: остаточных температурных напряжений, имеющих место при охлаждении после завершения процесса отверждения, и предварительного натяжения армирующих волокон. Решение строится в одинарных тригонометрических рядах или методом однородных решений, либо принимается во внимание докритическое напряжённое состояние конструкции.

Рассмотрим задачу многоволновой крутильной, например, в направлении оси у формы потери устойчивости плоской прямоугольной панели из композиционных материалов, эксцентрично подкреплённой ортогонально расположенными рёбрами жёсткости (рис. 1, 2). Деформация конструкции осуществляется сжимающими усилиями интенсивности Р, равномерно распределёнными вдоль торцов. Края панели закреплены в соответствии с граничными условиями частного вида (11).

Дискретно расположенными будем считать продольные стержни, жесткости поперечного набора по-прежнему «размажем».

Искривлённую поверхность панели с граничными условиями (11) при у = 0 и у = 1 представим

и0 (х,у) = и0 (х )вт(пру) ^0 (х,у ) = ^0 (х )соб(«ру )

w(x,y) = w(x )вт(пру)

где п - фиксированное вдоль у число полуволн.

С учётом (15) выражение полной потенциальной энергии системы (5) будет функционалом, зависящим от одной переменной х, где жесткости стрингеров вводятся дискретно с помощью аппарата обобщённых функций

я (у - у().

Реализация принципа минимума данного функционала позволяет построить систему трёх уравнений равновесия подкреплённой панели, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Далее полученная система с помощью операторного метода сводится к одному разрешающему обыкновенному дифференциальному уравнению относительно потенциальной функции Ф(х).

Решение разрешающего уравнения с учётом приведённой нагрузки для задачи устойчивости, удовлетворяющее граничным условиям (11) при х = 0 и х = 1, в предположении, что до потери устойчивости

Их = - Р, Мху = Мху = Му = 0.

представим тригонометрическим рядом

¥

Ф(х)= ^ /т $т(тпп) , (16)

т=1

где т - число полуволн в направлении оси х.

234

Формула для усилий Р с точностью до коэффициентов Ку и Я^ совпадает с формулой (13)

Р =

р

2 К80

Г Л 8 ' т х

+ КГ.

62

/

Г т ^ V с /

6

и2 + К

44

Г т ^ V с )

4

и4 + К

26

Г т ^ V с /

2

6 , Т> 8

и + К08И

Я

4

т

40

+ Я?-

22

Vе/

2

I т | V с /

24 и + Я04И

2

т

V

(17)

Здесь коэффициенты К•, у = 0, 2, 4, 6, 8 и Я^, у = 0, 2, 4 определяются через

обобщённые жесткостные характеристики, когда осреднение жесткостей элементов продольного набора по обшивке заменяется дискретным вводом

1

-->

с1

2 N 2 -X вШ (иру )

Ьг=1

2 N 2 — X соб (ирУ/)

С] - расстояние между стрингерами, у1 - координата у дискретно расположенного стрингера (рис. 1).

При рассмотрении процесса потери устойчивости системы, связанного с изгибом обшивки между неподвижными в смысле поступательных перемещений узлами пересечений с последующим «заваливанием» элементов набора следует положить число полуволн и = к (И + 1), к = 1, 2, ..., И; N - число стрингеров.

Процедура минимизации усилия Р (17) по параметру волнообразования т аналогична нахождению минимума функции (13).

В соответствии с изложенным алгоритмом разработан пакет прикладных программ для РС на языке операционной среды МЛТЬЛВ. Программы предназначены для проведения расчётов на устойчивость и оптимизации процесса проектирования конструктивно-анизотропных панелей из композиционных материалов.

В качестве примера на рис. 2 представлены результаты определения критических параметров эксцентрично подкреплённых в продольном направлении прямоугольных панелей из углепластика, находящихся под действием постоянной погонной сжимающей нагрузки; и - число полуволн в направлении координаты у, т - число полуволн в направлении координаты х.

Для коротких панелей при отношении сторон с < 2,0 характерно многоволновое крутильное выпучивание и = 6, т = 2, 4, 5, 7, 11. При отношении сторон с = 2,0 панель становится равноустойчивой. При с > 2,0 панели теряют устойчивость по общей изгибной форме и = 1, т = 1.

Рис. 2. Стрингерная панель, сжатая в продольном направлении.

Изгибная и крутильная формы потери устойчивости.

Зависимость критических усилий от отношения сторон панели

Выполнена компьютерная многокритериальная оптимизация конструктивно-анизотропных композитных панелей ЛА. Так как решение строится точными аналитическими методами, время расчёта варианта минимально, что представляет интерес с точки зрения практики проектирования с использованием параметрического анализа. Результаты расчётов на устойчивость дают возможность снижения и оптимизации весовых характеристик конструкции.

Список литературы

1. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 269 с.

2. Власов В.З. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1962. Т. 1.

528 с.

3. Молодцов Г. А., Гавва Л.М., Осинская Е.А. Устойчивость плоских панелей из слоистых композиционных материалов несимметричной структуры по толщине с учётом технологических факторов. М.: МАИ, 1987. 22 с.

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) МАИ,

Гавва Любовь Михайловна, канд. техн. наук, доц., k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) МАИ

THE INVESTIGATION IN OPERATING MATLAB SYSTEM OF THE TORSION FORM OF BUCKLING FOR STRUCTURALLY-ANISOTROPIC PANELS MADE OF COMPOSITE

MATERIALS

V. V. Firsanov, L.M. Gavva

The mathematical model relations for buckling investigation of structurally-anisotropic panels made of composite materials are presented. The mathematical model of stiffening rib being torsioned under one-side contact with the skin is refined. Rib stiffeners are considered as discrete ones using ó - functions method. One takes into account the influence ofpanel production technology: residual thermal stresses and reinforcing fibers preliminary tension. The resolved eight order equation and natural boundary conditions are obtained with variation Lagrange procedure. Computer program package is developed using operating MATLAB system. The influence of the structure parameters on the level of critical buckling forces for torsion form has analysed.

Key words: panels made of composite materials, un-centric longitudinal and lateral set, thin-walled rib, discrete rib, force and technology temperature action, variation Lagrange procedure, buckling, torsion form, MATLAB.

Firsanov Valeriy Vasilyevich, doctor of technical science, professor, head of chair, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University) MAI,

Gavva Liubov Michailovna, candidate of technical science, docent, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University) MAI