CC BY
107
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Т о м XX 1989
№ 6
УДК 629.7.015.4.023.2
МЕТОДИКА РЕДУЦИРОВАНИЯ ПОТЕРЯВШЕЙ УСТОЙЧИВОСТЬ ОБШИВКИ ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ
Г. Н. Замула, К. М. Иерусалимский
Изложена методика редуцирования обшивки подкрепленных авиационных конструкций, основанная на замене реальной выпучившейся клетки обшивки эквивалентной по жесткости невыпучившейся пластиной из нелинейно уцругого материала общего вида. Предложены способы получения и формулы для редукционных коэффициентов при комбинированном нагружении обшивки двухсторонним сжатием — растяжением и сдвигом.
Известно, что обшивка типовой подкрепленной авиационной конструкции может терять устойчивость при нагрузках, значительно меньших разрушающих. Учет ее работы в закритической стадии деформирования осуществляется с помощью редукционных коэффициентов, характеризующих в случае сжатия относительную приведенную (присоединенную) ширину обшивки, эффективно работающую совместно с подкрепляющими элементами (ребрами), а в случае сдвига — относительное снижение эффективного модуля сдвига обшивки. При этом для редукционных коэффициентов в указанных случаях нагружения имеются многочисленные расчетно-экспериментальные данные и эмпирические формулы, а расчет общей прочности конструкции осуществляется методом последовательных приближений. Ввиду распространения в последние годы для расчетов общих напряженно-деформированного состояния (НДС) и прочности уточненных расчетных схем и метода конечных элементов (МКЭ) остро встал вопрос о редуцировании обшивки при комбинированном нагружении, т. е. при действии в обшивке одновременно сжатия — растяжения в двух направлениях и сдвига. Между тем исследования в этом направлении весьма немногочисленны (см. например, [3, 4]), а достоверные, подтвержденные экспериментально, и удобные для применения расчетные методики и формулы отсутствуют.
В настоящей статье сделана попытка общего подхода к указанному вопросу и разработана инженерная методика редуцирования потерявшей устойчивость обшивки путем введения приведенных характеристик материала обшивки с уравнениями состояния, подобными соотношениям деформационной теории пластичности и физически нелинейной теории упругости. Вначале подробно рассмотрен случай двухосного сжатия-—
/ / /
растяжения обшивки, на основе
т" выявленных закономерностей которого далее формулируется общий подход и разработана методика редуцирования, пригодная для общего случая со сдвигом.
✓
Рис. 1
1. Для анализа характера редуцирования обшивки в закрити-ческой стадии деформирования рассмотрим совместную работу прямоугольной пластины с подкрепляющими ее в двух взаимно
перпендикулярных направлениях ребрами (панели, рис. 1). Панель предполагаем фрагментом бесконечно повторяющегося поля таких же панелей, подверженного равномерному сжатию — растяжению в направлениях ребер. Как в до- так и в закритической стадии деформирования обшивки с учетом симметрии каждая панель работает в идентичных условиях, сохраняет прямолинейность кромок и характеризуется деформациями относительного сближения — удаления кромок е*, еу
При этом в деформациях обшивки в закритической стадии учитываются ее прогибы ш(х, у), так что
а НДС пластины описывается уравнениями типа Кармана. После решения последних при заданных величинах ех, еу, граничных условиях по но на кромках и условиях сопряжения обшивки и ребер в плоскости пластины можно однозначно получить средние напряжения в обшивке
где ф(л:, у) —функция усилий, 6 — толщина пластины. Тем самым, при„ варьировании ех, еу, определяются зависимости ах, сгу от ех, еу и, следовательно, жесткостцые характеристики редуцированной обшивки. При этом в ряде исследований (см. [2]) показано, что достаточной точностью обладают решения, обеспечивающие на кромках непрерывность лишь нормальных к ребрам (в плоскости пластины) перемещений и условия «проскальзывания» в направлении ребер. В этом случае при условиях шарнирного опирания по прогибу ш на кромках пластины напряжения ех*, ау в (1) (как и напряжения в ребрах) постоянны по координатам х, у, а редукционные коэффициенты обшивки не зависят от характеристик ребер и определяются лишь величинами ех, еу и параметрами пластины. В координатах ах, ау, ех, еу обшивка ведет себя как пластина из упруго-пластического (нелинейно упругого) материала с уравнениями состояния общего вида при замене ех, еу на є*, еу. При этом роль предела пропорциональности играет критическое напряжение потери устойчивости и делается аналогичное принятому в деформационной теории пластичности предположение об активности нагружения и
о/2
Г ди 3 Их
—а/2
а
X
— Ь! 2 —а! 2
(1)
однозначности в этих условиях кривых деформирования, т. е. закрити-ческого поведения обшивки. Проиллюстрируем сказанное на относиг тельно простом случае одноосного нагружения (^ = 0) удлиненной (а>Ь) панели. Для анализа воспользуемся полученным впервые К. Маргерром и приведенным в [2] приближенным решением задачи за-критического деформирования упругой пластины. При оговоренных выше упрощениях граничных условий и приближенном представлении прогиба в виде
, . тъх ятсу
т(Х, у)=1!)0СО5-----------сое—~
, т, /1=1, 3, 5,
(2)
соответствующем симметричной форме потери устойчивости пластины с числом полуволн т и п, это решение в несколько преобразованном виде дается формулами
еу
°х °у к2 т2 •>
—_ — у —--------------------------70)*
Е Е 8а2 0 ’
“у
Е
тс2 Я2
-гРИ ( тъ , и2 \3 *тг * я2
+ ~Ь*) + + аУЬ
№ 0’ г.2 цр: ЕЬ
\ (3)
+
64
(^+-£)=0'
£53
Здесь О = 12|! _ ^ — цилиндрическая жесткость пластины, а последнее уравнение определяет амплитуду прогиба ад0 при заданных значениях параметров ах, ау, ш, п и критические значения этих параметров из условия появления ненулевого решения гшоф0. В случае а>6, оу = 0 критические значения равны
X Кр
4л2 О 628
л кр •
°х кр
~Е~
3(1— V2)
Подставляя их в (3), преобразуем (3) к виду
— V ■
8*2
+
£
+
863
тс2 гСд £5 326*”
= 0.
(4)
6* 462
Из последнего соотношения (4) находится амплитуда прогиба пласти ны при —стж> —0хкр:
862
(5)
подстановка которой в первую формулу (4) дает следующие две эквивалентные записи связи ах, ех для выпучившейся пластины
л* пр
кр
\
)■
(6)
Приводя (6) к обычному закону деформирования нелинейно упругого материала при одноосном нагружении с заменой ех на гх
о* =£4, (7>
где Ес— секущий модуль упругости, получаем следующие выражения для редукционного коэффициента <? = ЕС1Е обшивки:
<р = 0,5(1 + —^-)= 2_а и, (-ах> — °хкР)- (8)
Первая часть этой формулы соответствует хорошо известному выражению ф = 0,5(1ч-аКр/огр) (см., например [2], ф-ла 3.22), преобразованному к обычно используемой (с введением приведенной ширину обшивки Ькр = ц>Ь) форме, причем под аР=Егх следует понимать напряжение не в ребре, а в прилегающей к нему обшивке [2]. Вторая часть формулы (8) дает эквивалентное выражение редукционного коэффициента обшивки через среднее напряжение ах в ней.
Здесь следует остановиться на одном важном результате, который можно получить подстановкой (5) во второе соотношение (4). Тогда находим выражение
ем— — (V — 1 +
иХ Кр
'У— \ 1 Е ’
приводимое к обычной для нелинейно упругого тела форме
с ^х
ь = — V -р-с редуцированным коэффициентом Пуассона
... 1 , °^кр_
гХ Кр
(9)
°Х Кр
= 0,5 ( 1 -1-1 (1 4- V) — 1=9(1 + V)— 1. (10)
Таким образом, при редуцировании характеристик материала обшивки в закритической стадии (при ср<1) уменьшается не только модуль упругости, но и, согласно (10), коэффициент Пуассона обшивки, что легко объяснимо физически.
Особый интерес представляет последнее выражение (10), определяющее Vе через редукционный коэффициент ср.
УС=Т(1 + V) — 1, (10')
применимое и при других, отличных от (8), способах редуцирования обшивки, причем всегда, поскольку 0<ф<1, выполняется неравенство —1<^с<^<0,5 и при <р->-0, Vе-»-.— 1.
Отметим, что соотношения (7), (9), (10') по форме подобны обычно используем,ым выражениям деформационной теории пластичности, хотя и отличны от них в части зависимости (10')- Вместо постоянства модуля объемного сжатия К для рассматриваемого случая при предположении изотропности материала справедливо равенство
0е =------—____=-------— = 0 (Ш
2(1 + Vе) 2(1 + -V) ’ ' '
т. е. постоянство модуля сдвига б.
Полученные выше для удлиненной пластины результаты справедливы при целых отношениях а/й> 1 (в том числе для квадратной пластины) и приближенно, с достаточной для практики точностью, переносятся на общий случай а>-Ь.
Рассмотрим теперь, на основе того же решения (2), (3), случай двухосного нагружения квадратной пластины а — Ь.
Для этого случая имеем согласно (3):
X кр
К— і»
= к.
1 +
■>у кр •
иУ“Р ______ и ______ Р
а0 ~ у 1 + У кр ^
4п2 И о
■'кр ,
где р = Оу/а^ — отношение напряжений в направлениях осей у ъ х, °°хко’ °укР—критические напряжения при их раздельном дей-
ствии.
Далее получаем из последнего уравнения (3) формулу
8&з /
~х*~ (£
кр
л і Є0 = а0 ІЕ
Е ) ’ кр °кр 1С>
после подстановки которой в (3) находим
у
Е
2а„
'+(!_*) -
Кр
Е
Кр
Е
(12)
Приводя (12) к обычному для анизотропного тела виду с заменой
&у На Ех, 6у
Ес
?с »
(13)
получаем, что эквивалентность записей (12) и (13) обеспечивается при изотропии материала
=££ = Яс = <р£, ^
; ''х *= ')С
и следующих выражениях для редукционного коэффициента ср и ко эффициента Пуассона Vе обшивки:
1 /А ’
^ = ;,т1-4.!м = <р(1 +,)- 1; (Л> 1). (14>
2 — 1/Л
Здесь
Л =
+
х кр
укр
(15)
— специально введенный показатель нагруженности обшивки при двухосном сжатии — растяжении, причем в момент потери устойчивости, при любых р, А = )гх+ку= 1. Выражения (13) полностью совпадают с фор-
мулами (8), (10) при замене в последних отношения <зх/ах кр на А. Таким образом, для квадратной панели, т. е. при одинаковом шаге подкрепления (а = Ь) обшивки в направлениях х, у, вид двухосного нагружения никак не сказывается на способе редуцирования обшивки и редуцирование определяется единым показателем нагруженности А, играющем роль, аналогичную интенсивности напряжений сх* в теории пластичности. Поскольку для всех напряженных состояний, согласно (13)
■ + гу
0-УС)
К + ®у).
то в координатах ох + ау, ех + еу или в безразмерном виде, в координатах А, В = (-^---------Ъ | существует единая обобщенная кри-
' ех ко 8 у кр / ' '
х кр
вая деформирования
в= л,
(1 — V) <р
(16)
аналогичная используемой в теории пластичности в координатах ві, е». Из (16), (14) получается выражение для редукционного коэффициента <р через деформационный показатель В:
ср___________2 + Д(1-^)
т~ 1-4-м + 2В(1 — V)'
Оно обобщает зависимость (8) <р от єж/єжкр и не получается простой заменой Єж/єжкр на В. В случае одноосного нагружения, когда сг^ = р = 0 из определения А, В следует
(1 — Vе) е __ [2— <р(] + у)] Є
* _ 1 •' ’ «кр ’
А = о/о В
(1 — V) ЕКр
и уравнение (16) обобщенной кривой деформирования переходит в используемое для одноосного случая
£ 1 с о ___ д С\7\
екр ? ®кр ’ °кр ^ ®кр ’
описывающее с учетом (14) кривую изотермического сжатия а= Есг.
Сопоставление кривых, даваемых формулами (17) и (16), дано на
рис. 2, вторая из них получается перестроением из первой путем замены
одноосное нагружение
ДЙухосное нагружение = 0,3
13 5 1 £с/8„р
л 1Г/. „6 * ,_2>£(1-*) „_(3-Ук-2
%тт) ■ к— -1 ~тт~'
при б/бцр и £с/£нр±1 при АиВъ1
-----по формуле Маргерра _
Рис. 2
0/<Гкр НЗ Ау б/бкр НЙ В
Там же даны формульные выраже-
2-?(1 +*Г
ния указанных кривых в соответствии с полученными выше решениями
Главное достоинство полученных результатов состоит в том, что они легко переносятся на любые другие случаи сжатия — растяжения обшивки, например, когда панель является квадратной и граница устойчивости в координатах ах1<з°х вр, оу/<з“ кр отлична от линейной, либо при использовании других, отличающихся от рассмотренной, кривых одноосного сжатия, в т. ч. полученных экспериментально. Важно лишь предположить наличие единой обобщенной кривой деформирования и изотропию материала, к которому приводится обшивка в закритической стадии. После этого, с учетом сохранения (10), (11) с использованием указанного правила перестроения кривой одноосного сжатия в обобщенную кривую однозначно определяется поведение обшивки, соотношение (13) и отличный от (14) редукционный коэффициент ф обшивки при двухосном нагружении.
Например, вместо (8) можно применить широко распространенные подтвержденные экспериментально (рис. 3) формулы редуцирования Кармана
где ар для приведенной обшивки определено выше. Принимая во внимание, что Ср=Е-г и е = а/фЕ для одно- и двухосного случая приходим к соотношениям для редукционного коэффициента ф:
в случае применения формулы Маргерра, причем А для неквадратной панели определяется соотношением (15). Результаты расчета по послед-
(8), (14), (16).
1,0
V
0,5
0
1 1,5 2 3 ч 5 5 7 Ю 20 30 40 50 70 100
/6 кр
Рис. 3
или Маргерра
в случае применения формулы Кармана и
(18)
ней, наиболее хорошо подтвержденной экспериментально, формуле даны на рис. 2. Как видим до А, а/акрсЗ-т-4 (|СТр/аКр<5-^7, ф>0,6, см. рис. 3) она дает результаты, незначительно отличающиеся от приведенного выше решения. При этом
V» = «Р (1 + V) — 1, 5(1 — >)<р3(£) + (1 + V) <Р (.в) — 2 = 0.
Для случая удлиненных клеток обшивки (а>Ь) такой подход оправдан при не очень значительной степени двухосности нагружения Р = сг2//сТж<0,25, при невыполнении этого условия становится существенной анизотропия характеристик сжатия — растяжения потерявшей устойчивость обшивки Есх ф Еу, и требуется специальное рас-
смотрение. Кроме того, имеются экспериментальные данные (см. [3] и ниже), показывающие зависимость модуля сдвига потерявшей устойчивость сжатой обшивки от показателя нагруженности А, т. е. невыполнение соотношений (11). Этот эффект при сохранении для коэффициента Пуассона формулы (10') легко учитывается посредством отказа от гипотезы изотропии сдвиговых характеристик обшивки в закритиче-ской стадии: Ос Ф Ес12 (1 + Vе), причем 6е (А) ф О берется прямо
из эксперимента.
2. Для общего случая двустороннего сжатия — растяжения и сдвига рассматриваемых панелей уравнение состояния, обобщающее (13), в предположении изотропии характеристик растяжения — сжатия материала и с учетом пластичности представим в виде:
ел- = £* ~ ау)> *у = Е*(ау — ^ах)> • (19)
При обшивке, не потерявшей устойчивость, соотношения (19) переходят в обычные уравнения деформационной теории пластичности в форме метода переменных параметров упругости, причем для модулей сдвига (3* и объемного сжатия К* справедливо
О* —_____Е* к* =_________§1__— Е_______= к С20)
2(1+к*)» Л 1 — 2 V* 1 — 2 у А' *■>
Из (20) получаются известные формулы деформационной теории
2^ (1 + ч)
Е
3—^(1 -2.)
выражающие V*, й* через одну, получаемую экспериментально, зависимость секущего модуля упругости материала ^ от интенсивности напряжений 04 (или ОТ Ег = 0г/3 б*).
При обшивке, потерявшей устойчивость, согласно предыдущему, соотношения (20) не справедливы и будем вводить два независимых редукционных коэффициента
Е* в*
ЕР °р
относя переменные модули упругости и сдвига к их значениям Е", О* для невыпучившейся обшивки. При этом, имея в виду рассмотренный выше частный случай отсутствия сдвига (тжу = 0), полагаем для коэффициента Пуассона
**-?я(1+>;)-!, (21)
= 0,5 —^(0,5 —V), ^
а модуль объемного сжатия К*ФК выражается формулой
В частных случаях отсутствия выпучивания имеем: 9е = '?о= 1, Е* = Е*р, 0* = (3*, ** = ■¥*, К* = К*р= К; и закритического деформирования в упругой области: Е'р — Е, >*=у, б* = б, £* = <ря£, б* =
9еЕ
= юоб, V* = уЕ(1 + V) — 1, К* — 3_2<ря(1 + ч) ’ пРичем для двухосного растяжения — сжатия
Другой возможный подход состоит в предположении справедливости первого равенства (20), из которого для редуцированного коэффициента Пуассона, вместо (21), получаем соотношение
однако в этом случае при ххуф0, (рв¥=1 не получается установленное ранее соотношение (10').
Зависимость редукционных коэффициентов фв, фс от напряженного состояния обшивки будем выражать через введенный выше показатель нагруженности вида (15), распространяемый на общий случай следующим образом.
В координатах ах, сгу, хху=х существует поверхность критических напряжений для клетки обшивки, отделяющая устойчивые состояния от неустойчивых (граница устойчивости). Уравнение этой границы можно представить в виде:
В (23) кр, о®кр, т°р —критические напряжения клетки обшивки при соответствующих одноосных нагружениях.
Конкретный вид функции (23) устанавливается точно или приближенно из решения задачи устойчивости обшивки при комбинированной нагрузке.
Рассмотрим поверхности, подобные (23):
При А = 1 выражение (24) дает границу устойчивости, а при другом фиксированном значении А> 1 определяет некоторую совокупность за-критических состояний с постоянным значением показателя нагруженности, характеризующим меру превышения критических напряжений обшивки. Отметим, что при А> 1 в выражения для ох, <уу, х входят осредненные значения напряжений ах, оу, х в закритической области. Методику редуцирования обшивки при комбинированном нагружении будем строить, исходя из следующих положений: — при т=0 (и малых значениях т) редукционные коэффициенты фд И ф<; в соответствии с
?е = ?е(А), 90 = <р0(Л), Е* = ЕС, 0* = бс, м* = ус.
(22)
Н0,, °у, '')=!,
/ 0 I 0 __— / о
ах --- °л7°*кр» Оу ------ Оу/Оу кр I Х ---- */*кр .
(23)
где
®у. *) = А.
(24)
предыдущим, имеют постоянное значение на линии /г(ох, ау, 0)=А, т. е. зависят только от величины превышения критической нагрузки А, т. е.
<Р£=<Р£(Л) и 9о = 9со(А)- (25
— при ах = оу = 0, гфО редукционные коэффициенты вычисляются по теории неполного диагонального поля растяжения (НДП) [6]:
<Ря = <рндп; 'Ро = '?СНДП.
(26)
— при совместном действии сжимающих напряжений и сдвига редукционные коэффициенты вычисляются как суммы коэффициентов для указанных выше предельных случаев с весами, пропорциональными вкладу сдвига в меру превышения критической нагрузки (доле т“ в А, а — показатель степени):
= &т ¥ндп + (1 — К) усЕ,
?о = ндп + (1 — ^)?о. (27)
= Т°/Л.
Конкретные формулы для редукционных коэффициентов (25), (26) устанавливаются из рассмотрения одноосных случаев нагружения и сопоставления результатов с данными экспериментов. Например, уравнение границы устойчивости для прямоугольной клетки обшивки может быть с достаточной точностью записано в виде:
3Х + °У + = 1 - (28)
причем для пластин, близких к квадратным, а=2. Показатель нагру-женности А вычисляется в этом случае по формуле
А = вх + оу + т®,
а редукционный коэффициент <р(Л) согласно формуле (18) для одноосного сжатия.
Выражение для редукционного коэффициента фс, устанавливающего изменение модуля сдвига обшивки, потерявшей устойчивость при
© опыты Ладе-Вагнера
1 1,5 2 3 4 5 8 78910 201530
бр/бкр
Рис. 4
Фе =&,15*0$5ч>е , /
Рис. 5
сжатии, может быть приближенно оценено по экспериментальным данным работы [3] (см. рис. 4).
В этих экспериментах панель одноосно нагружалась сжатием в за-критической области. При определенных значениях превышения критической нагрузки прикладывались сдвигающие усилия, вызывавшие приращение касательных напряжений Дт и по замеренным значениям приращения угла сдвига Ду вычислялось значение модуля сдвига б* как отношение Дт/Ду- Аппроксимируя эти экспериментальные результаты, можно приближенно установить связь между ®%(А) и ф(Л)
где = срм (Л) определяется формулой (18) по Маргерру. Зависимость (29) показана на рис. 4. На рис. 5, кроме того, представлено различие между коэффициентами Пуассона V*, подсчитываемыми по формулам (21) и (22) при использовании (29). Редукционные коэффициенты ?ндп и ?ондп вычисляются, кка уже упоминалось, по теории НДП [6].
В выражениях (30) — (35) обозначено:
аР, о? —дополнительные напряжения в продольных и поперечных подкреплениях, возникающие вследствие образования в. обшивке диагонального поля растяжения;
/V,, — площади продольных (по оси х) и поперечных подкрепле-
ний соответственно; а, Ь — шаги продольных и поперечных подкреплений;
8 — толщина обшивки;
а — угол наклона волн диагонального поля к оси х;
— секущие модули упругости для продольных и поперечных подкреплений соответственно.
Если площади продольных и поперечных подкреплений велики, то дополнительные напряжения в подкреплениях малы и а~ 1. В этом случае, выражение (30) упрощается:
Га = 0,15 + 0,85 ?м,
(29)
?ндп = 1 — £;
к_____ / 4 _ _ ау 1ёа \ .
Тез НДП == -
(36)
б — «Ученые записки» № б
81
Необходимо отметить, что в случае совместного нагружения сжатием И СДВИГОМ отношение тДкр, входящее в (31), следует вычислять с учетом влияния сжимающих напряжений [6]. Так, если в выражении (28) положить показатель степени а = 2, то для пластин, близких к квадратным
= 2 (А-*) + У\(А - *)* - ** (37)
На рис. 6 и 7 построены зависимости (27) для редукционных коэффициентов от отношения т/т°р при комбинированном нагружении панели сжатием и сдвигом.
Для построения использовались выражения (28) с а = 2 и формулы (36) и (37). Там же нанесены экспериментальные результаты, приведенные в [3]. Видно, что согласование результатов расчетов и эксперимента удовлетворительное.
ЛИТЕРАТУРА
1. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.—
Л, —М.: ОГИЗ, 1948.
2. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. — М.: ГИТТЛ,
1956.
3. Ладе Р., Вагнер Г. Экспериментальные исследования напряженного состояния в дагонально растянутом поле. — В сб. Исследования прочности тонкостенных кострукций крыла и фюзеляжа. — М.: 1938.
4. Свердлов И. А. О редукционном коэффициенте для пластин, работающих на совместное действие сжатия и сдвига. — ТВФ, 1938, № 5.
5. Рудых Г. Н. Устойчивость круговых цилиндрических авиационных оболочек. — Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1114.
6. Кун П. Расчет на прочность оболочек в самолетостроении. — М.: Оборонгиз, 1961.
Рукопись поступила 20/1 1989 г.
