Специализированный конечный элемент тонкой обшивки, учитывающий упругие закритические деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XVIII 1987

№ 6

УДК 539.4

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ТОНКОЙ ОБШИВКИ, УЧИТЫВАЮЩИЙ УПРУГИЕ ЗАКРИТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ

Н. С. Погодина, Г. И. Сидоров, В. Д. Чубань

Предлагается специализированный конечный элемент, моделирующий плоскую прямоугольную клетку тонкой обшивки крыла и фюзеляжа, стенки нервюры, лонжерона или шпангоута, ограниченную с четырех сторон жесткими подкрепляющими элементами, для расчета методом конечного элемента напряженно-деформированного состояния конструкции самолета при нагрузках, вызывающих упругую местную потерю устойчивости клеток. Методом Ритца строится функция нелинейного закритиче-ского деформирования клетки при комбинации двухстороннего растяжения — сжатия и сдвига, которая используется при формулировке конечного элемента. Приведены результаты тестовых исследований элемента, проведено сопоставление результатов с некоторыми известными данными по деформированию клеток.

Конструкции современных самолетов проектируются с учетом того, что при нагрузках более 25—30% от Ррасч клетки тонкой обшивки крыла и особенно фюзеляжа, клетки стенок лонжеронов, нервюр, шпангоутов могут терять устойчивость (1—3]. Наличие жестких подкрепляющих элементов, обрамляющих клетки, локализует потерю устойчивости размерами клетки, сохраняя тем самым несущую способность клетки до больших уровней нагрузок. При этом фактическая жесткость клетки падает за счет перераспределения мембранных напряжений по ее площади вследствие закритического выпучивания клетки.

Традиционный способ расчетного нахождения напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций самолетов методом конечного элемента (МКЭ) опирается на линейный подход, который не учитывает изменение (редуцирование) жесткости клеток при возрастании внешних нагрузок. Иногда при моделировании конечно-элементных схем применяют так называемые «сдвиговые» элементы обшивки, жесткость которых на сдвиг оценивается, исходя из ожидаемого уровня напряжений с учетом возникновения «диагонального поля» закритических деформаций. При изменении варианта расчетного случая нагружения при таком подходе необходимо перекомпоновывать расчетную модель заново, поскольку зоны, где клетки теряют устойчивость, изменяются.

Большой интерес представляет введение в практику расчетов конечного элемента клетки, который учитывал бы ее выпучивание, при-

водящее к изменению жесткостных характеристик элемента в процессе нагружения. При нагрузках меньше критических такой элемент должен «работать» как обычный мембранный.

1. Основные; предположения. Рассмотрим не имеющую начальной пбгиби прямоугольную в плане тонкую клетку со сторонами а, Ь(а>>Ь) толщиной к (/1<Сб|), выполненную из изотропного однородного упругого материала с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона V (рис. 1). Будем Считать, что при закритических деформациях обшивки ее кромки остаются прямолинейными, лежащими в одной плоскости;

прогибы сопоставимы с толщиной; клетка шарнирно оперта по кромкам; закритические деформации клетки остаются упругими, т. е. при снятии нагрузки остаточные деформации отсутствуют; внешние нагрузки на поверхность клетки отсутствуют.

2. Решение нелинейной задачи закритического деформирования клетки. (Внутренняя задача). Введенные предположения позволяют получить приближенное аналитическое решение о закритических деформациях клетки в рамках уравнений Кармана методом Ритца.

Перемещения пластины представим в виде

Рис. 1

' и (х, у, г)' и= 4){х, у, г) = (х, у, г)_

ТЮ° (X, У)

где и0, Vе, ш° — перемещения серединной поверхности пластины. Полный тензор деформаций представим в виде

ди° 1 / (5®°Д2 — дх ^ 2 \ дх ) 4дг дх*

ВУУ = ду° 1 / дш°\2 ду + 2 \ ду ] ; *г = 4у = д2 ш° ду*

2е,у ди° дь° дт° діе>° _ду дх дх ду _ 2 Вху с д8да° _ дх ду_

^/—компоненты тензора мембранных деформаций*; еу— компоненты тензора изгибных деформаций.

Вариация тензора деформаций Ы,} на виртуальных перемеще-нях 8и°, §і/°, 5да° имеет вид

Зе°

~д5и° . дю° дЬ да

дх дх .дх

дЪи° 1 дда° ду дЬха

ду ду

дЪи° , дЪv

_ ду дх —Г

дт° дЬ т° , дт° дЬю*

Ьгг ■■

дх ду

дП о>° “ дх* д38 да0 ду*~

о а» ь ув°

дх ду _

Введем тензор мембранных усилий

Л/2

и

а,у йг

-6/2

и тензор погонных изгибающих моментов

Л/2

м

ду дх

„= Г 0цгйгу

—Л/2

где Ог; — КОМПОНвНТЫ ТвНЗОра напряжений ПЛЭСТИНЫ.

Работа напряжений на вариации тензора деформаций”

А/2 Ь а,

-А/2 О О

(2)

(3)

(4)

(5)

X, у.

* Здесь и далее индексы (, / пробегают значения 1, 2, соответствующие осям Здесь и далее по повторяющимся индексам производится суммирование.

с использованием введенных соотношений (1), (4) и (5) представима в виде

Ь а Ь а

8Л = | | Т1} 8е// йх иу + | | Мц 8е?у- йх йу . оо оо

Напряжения и деформации связаны законом Гука

ахх Е &хх "Ь ™уу

а = Зуу 1 — \>я гуу + vsл^

. аху - .. (1 ~ »)в,у_

(6)

(7)

Используя (1), (4), (5) и (7), нетрудно установить связь между мембранными усилиями и деформациями

(8)

V т 1 1 XX — о о — гхх 4“ УЄуу

т= т Л уу = в о о єуу чехх

т и 1 ху -1 _ ш’ху (!—?)_

и погонными изгибающими моментами и деформациями

" мяя" ~ г і г ~ &хх +

м “ Муу = 0 £уу -І- П*х

- ^ ху - _(1 — У)еіу_

(9)

где В-

Ек

мембранная жесткость пластины. £) =

1— V! 12 (I —V3)

цилиндрическая жесткость пластины.

Подставляя (8) и (9) в (6), получим

8А = 8Л] + 8Л2 у

(10)

где

Ь а

— І | К* + 4 + 2veL• Єуу + 2 (1 — 7)є^у] йхйу ; о о п ь а

Л2= — ^ ^ \_£хх + £і/у -г 2чгхх Еуу -{-2(1 — V) Вху\ йх йу ;

о о

Ах — энергия мембранных деформаций; Л2 — энергия изгибных деформаций.

Полученные соотношения для энергии деформации пластины непосредственно приводят к уравнениям Кармана [4].

Для приближенного решения задачи примем аппроксимацию перемещений срединной поверхности в виде*

ы° = иа Ы* (х, у) + IV2 и (х, у),

■«°= У„ЛГ„(х, у)+\Р2ъ(х, у), гг>° = № но (х, у),

(И)

* Здесь и далее индекс а пробегает значения 1, 2, 3, 4, соответствующие номерам узлов элемента.

где и а, Уа — перемещения узла а (рис. 1) в направлениях Ох и Оу соответственно;

А/* {х, у) — функции формы;

ЛГ,:

(а -х){Ь- у)

х (Ь - у)

аЬ ’ ‘'2 аЬ

и (х, у) V (х, у) — „пузырьковые11 функции;

ху^

аЬ

— *т('Г о*п;

и 16а Ь2 /и5

/и2 (А2 + I)2

Ьт 2л иу + 2к — з!п

+ 1 —сое

271 пу

N.

2те т.

(а — х)у аЬ

вШ — (х — ку) +

% ап2 (А2 — V)

у

2% ткЬ

п п \\ank (й2 + 2 4- ■<)

Р = - Т6-Л1 ~ (*» + I)2 7 ~ • ( 1 ~ с°5 — II 51п — (Х - *У> +

2л пу ^ |

Г 2л т № т2 1

+ [ С08~ (х~кУ) ~ {к + V) ] бШ

63 т2 Ф и2 те а и2 к (к2 + 2 +

2те т а

2л иу

2 л ткЬ

а

\Ш т (Л2 + I)2 -У ЗШ

да (л:, у) — форма закритического прогиба:

— ТС /71 71 Пу

■ш = вт — (л: — £у) эт -г- ,

(12)

— амплитуда закритического прогиба; т, п — числа полуволн в продольном и поперечном направлениях соответственно; & — тангенс угла наклона узловых линий к оси оу.

Аппроксимация прогибов ш и «пузырьковые» функции и, V построены на основе функций, приведенных в [5], стр. 126—167.

Подставляя введенные аппроксимации в выражение для энергии (10), получим

А = 4- СШ* + -± С^^ А' (£/„ V.),

2 4

(13)

где

Ь а

о о

С = С0 + Си а ил + Су« V* ,

дх*' ~г 2 ^ — ^ {дхду) МХ аУ’

■°$иШ+Ш+2'д-^д-^+

Ь а

о О

I, дх

да . дv дх V ду

+

1

2

Ь а

дма ! дй

' ду

, /_йда\2 . V / да>\2

2 \ дх) 2 \ ду) .

ди , дv . дни дш)\ 1 , ,

Ту + т+ЪЪП йхЛу’

+

о о 1 _ ^ дNa / ди

ду

дни ди>\ 1 , ,

~ду ~дх) \ йх &у ,

(14)

С,> о,

А' (и«, Уа) не зависит от УР.

Дифференцируя (13) по и приравнивая производную нулю, получим кубическое относительно Ш уравнение стационарности энергии клетки

Если С>О, то уравнение (15) имеет одно тривиальное действительное решение №=0, что соответствует докритическому состоянию клетки; если С=0, то существуют три тривиальных решения, что соответствует критическому состоянию клетки; если С<0, существуют одно тривиальное решение и два действительных нетривиальных

соответствующих закритическому деформированию клетки.

Алгоритм нахождения параметров т, п, к и прогибов № закритиче-ского деформирования клетки строится следующим образом:

1. Задаем дискретные наборы значений т, п, /г:

а) вычисляем С и С( согласно (14);

б) если С>0, то переходим к п. 2, иначе вычисляем значение энергии А согласно (13) и (14) и переходим к п. 2.

3. Из всех вычисленных значений энергий выбираем наименьшее; соответствующую ему комбинацию №, /И/ , «гл, принимаем за комбинацию параметров Ж, т, п, к, являющихся решением внутренней задачи.

3. Шагово-итерационный процесс нахождения деформаций клетки в конструкции. (Внешняя задача). Согласно принципу виртуальных перемещений клетка будет находиться в равновесии, если работы внешних и внутренних сил на виртуальных перемещениях равны. В нашем случае должно выполняться

где РХа, руа. — силы в узле а.

Вариации Ьгч (2) и 8е^ (3) с помощью (11), (12) и (14) при Ш ф 0 представимы в виде

(15)

(16)

^2) ••• > ^1) ^2> •" >

2. Для очередной комбинации параметров тш, щп, Ыъ гт=1, 2, ... , Nт\ 1п= 1, 2, ... , ^=1, 2 ... , Л^:

Ь а

Ь а

о о

0' о

1*0 = ОцЪил + ОулЪУл, ыг = оЬльиа + огуль 1/а,

дх

дЫ„

ду

§),+2|)5‘'. +1+1К

•2№

ал;

ау

"+^ {(£)’+21}^.

I о IV/ (д®> дт , а« . а^) ^

_ 1Г + 2^Ы'а} + '^ + 'а*}с^ _

й1

аз да аз да

дхг — а*3

а* да Сц„, /?к. = а* да

ауз ^ а 1 г * ауз

0 аз да 0 а2 да

_ дх ду _ _ дхду _

Суа,

си„ =

2 СС1 ’

2 У—ССх

(18)

При НР = О (С> 0) 8 ЦТ-= 0, и выражения для матриц принимают вид (докритическое состояние клетки)

йи =

ал^_ 0

дх о алг.

0 ау

ал^ а^_

ау дх

ВЪ =!%.■= 0

Подставляя полученные соотношения в (17), получим

6 а

11 {оЬ\т+огы М) <1х йу ,

о о

руа= / / № т+*0йх ^ ■

о о

(19)

Оценим порядки величин, входящих в выражение (19), если к<^Ь, №~Л. Принимая Н = к/Ь и используя (18), оценим матрицы

О,

йЬ

п —' ------------- , /} у

Ьк “

1

Ьк

Представляя на основе (1), (8) вектор мембранных усилии Т в виде

где

Ти = В

2

Т*=Ти+Т„,

'Я/'

'Ш’+>(І)2+2-і+2> У+'($+*£+*

дио

Ту

ду

Ту

да

Тх

(1-7) (

дю дт , ди дх ду ду

+1) .

и используя (1) для представления погонных изгибающих моментов (9), оценим векторы

Ти ~ Ек к, Туу — Ек к2, М ~ ЕН* Л2.

Тогда вклад отдельных слагаемых в выражение (19) оценивается следующим образом:

йЬ\ Т = й°ил Ти + Г^~ Ек* + Е&\

ВЫ-М~Ек*.

При 1 членами порядка к3 можно пренебречь, и выражение (19) примет вид

Гу сіх (іу,

Ь а

рул=\ / о7а Ти СІХ йу.

(20)

о о

Несбалансированность элемента по внешним и внутренним силам в узле а определяется вектором невязки

АЕ=

Ь а

РХя- [ | #7. Ти ёх бу

о о

Р*-\] Ву\Тийхйу

(21)

6— «Ученые записки» № 6

8Ї

Используя свойства функций формы

Ev, chV, ()Л'„

yva = const, ^ — 2 Ity" = ^ ’

а а а

легко можно показать, что вектор внутренних сил, определяемый соот-ношениями (20), будет равновесным, т. е. главные векторы сил и моментов равны нулю.

Построим шагово-итерационный процесс решения внешней задачи следующим образом:

1. Задаем последовательность внешнего шагового нагружения конечно-элементной модели конструкции

Ръ Ft, ... , Fs, ... .

2. Обнуляем вектор перемещений узлов модели конструкции

и=0.

3. Формируем матрицу жесткости конструкции К.

4. Нагружаем конструкцию внешними силами, соответствующими шагу нагружения s.

5. Для каждого элемента из вектора U выделяем перемещения узлов элемента {/<*, 14. Решаем внутреннюю задачу для клетки. Определяем распределение мембранных сил и изгибающих моментов для клетки. Находим вектор невязки ДF внешних и внутренних сил для всей конструкции, суммируя вклады (21) отдельных элементов. Если Д F мал, переходим к следующему шагу нагружения (п. 4).

6. Решаем систему уравнений

K±U=AF

и поправляем вектор перемещений конструкции

U: = U-\-AU.

Переходим к п. 5.

Отметим, что схема шагово-итерационного вычислительного процесса строится при постоянной дифференциальной матрице жесткости недеформированной конструкции К-

4. Тестовые исследования. Применение конечного элемента клетки согласно приведенной методике было проведено на ЭВМ. Для тестовых расчетов была выбрана клетка с соотношениями параметров а/Ь = 2, b/h = 240, fe = 240 мм и упругими характеристиками £ = 7,2-104 МПа, v = 0,3. Кромки у = 0, у = Ь свободны, по кромкам х = 0, х = а приложены средние сжимающие напряжения о°. Для полученных в результате расчета с использованием предлагаемого «элемента — клетки» деформаций £х, характеризующих сближение кромок клетки х = 0, х — а, были вычислены редукционные коэффициенты ф по формуле

Е е

значения которых приведены на рис. 2, где п —-----------—. На этом же ри-

°Кр

сунке приведены графики приближенных зависимостей ср(п), построенных разными авторами [5, 6], а также результаты экспериментов [5].

Проведены параметрические расчеты для исследования влияния жесткости подкрепляющих ребер на жесткость клетки. Результаты этих расчетов приведены на рис. 3 для случаев одностороннего сжатия и сдвига.

<р

0,8

О,*

------формула ПалкоВича (/]

------метод сею о к М

— ■ — ф- \/1/п по Маргерру —— ф= у уп по Карману о эксперимент [Я

Ч

Рис. 2

8

Для случая сдвига из результатов расчетов следует, что возникновение «диагонального поля» волнообразования приводит к падению сдвиговой жесткости клетки почти в два раза от начальной величины.

Авторы выражают признательность Г. П. Замуле и В. П. Фомину за ббсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Уманский А. А. Строительная механика самолета. — М.: Оборонгиз, 1961.

2. К а н С. Н., С в е р д л о в И. А. Расчет самолета на прочность. —

М.: Машиностроение, 1966.

3. О д и н о к о в Ю. Г. Расчет самолета на прочность. — М.: Машиностроение, 1973.

4. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. — М.: ГИТТЛ,

1955.

5. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки.—М.: ГИТТЛ, 1956.

6. Прочность, устойчивость, колебания. — Справочник, т. З./Под ред. Биргера И. А., Пановко Я. Г. — М.: Машиностроение, 1968.

Рукопись поступила 1/Х 1986 г.