CC BY
67
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Тон XXI
1990
М 4
УДК 629.7.015.4.025.1
ВЛИЯНИЕ ИЗГИБНОЙ ЖЕСТКОСТИ НЕРВЮР НА КРИТИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ВЕРХНЕЙ ПАНЕЛИ КРЫЛА
А. А. Белоус, В. Ф. Галкин
Решена задача устойчивости многопролетной неразрезной панели, непрерывно-опертой на пояса лонжеронов и дискретно на ряд упругих нервюр. Дана оценка влияния изгибной жесткости нервюр на величину критических напряжений панели крыла.
1. Прямоугольная пластина, опертая на пояса лонжеронов и нервюр, является моделью попанельного расчета устойчивости панелей крыла. В докри-тическом состоянии панель нагружается усилиями в своей плоскости — двумя нормальными Л/2, Их и касательными Ыгх. Дифференциальное уравнение равнов£сия потерявшей устойчивость панели как конструктивно-ортотропной пластины может быть представлено в виде:
где V — прогиб пластины в точке (хг), й\, Ог, £)3 — цилиндрические жесткости на изгиб и кручение ортотропной пластины. Величины этих жесткостей зависят от размеров и конфигураций поперечных сечений панелей, а также от характеристик материала.
Для панели, поперечное сечение которой представлено на рис. 1, цилиндрические жесткости вычисляются по формулам:
где Ь — шаг стрингеров, б — толщина обшивки, Fc, /с — площадь и момент инерции поперечного сечения стрингера относительно центральной оси, параллельной плоскости обшивки, = EJE — коэффициент пластичности,
(1)
>
(2)
£к касательный модуль, определяется по диаграмме о — е, ус — расстояние центра тяжести площади поперечного сечения стрингера от срединной плоскости обшивки, уп — расстояние центра тяжести поперечного сечения панели от срединной плоскости обшивки,
— жесткость стрингера на кручение.
Решение уравнения (1) при шарнирном опирании кромок панели достаточно полно изучено в [1] и результаты его используются при попанельном расчете устойчивости панелей крыла.
Сущность попанельного расчета устойчивости состоит в том, что каждый пролет неразрезной многопролетной
панели рассматривается независимо друг от друга, как однопролетная широкая ортотропная пластина, опертая на пояса лонжеронов и нервюр. При этом величина критического усилия Л/г в /-м пролете определяется по формуле
Рис. 1
N, =С,
(3)
а коэффициент устойчивости С; задается интуитивно и, как правило, завышенным.
Такой способ попанельного расчета не позволяет определить истинную критическую нагрузку на неразрезную панель. Он позволяет установить только пределы, в которых она заключается. Так, полагая в (3) С=1 и применяя эту формулу к каждому пролету, получим п критических сил. Из этого ряда нужно выделить наименьшую (УУг ) нм и наибольшую критические силы (УУг )нб. Истинная критическая сила будет заключаться между ними:
кр
(^2кр) нм < ^гкр < (Л^кр)нб.
Очевидно, в процессе проектирования можно подобрать поперечные размеры каждой панели и расстояние между нервюрами так, чтобы между (Л^г )нм и (Ы2 )н6 не было существенной разницы, тогда получим равнопрочную (равнсГустойчивую) или близкую к ней многопролетную неразрезную панель, форма выпучивания которой будет иметь узлы и точки перегиба на нервюрах или вблизи них.
Вопрос о выборе коэффициента устойчивости исключается, если перейти от попанельного расчета устойчивости изолированных панелей к расчету устойчивости многопролетных неразрезных панелей, непрерывно опертых на пояса лонжеронов и дискретно на ряд упругих нервюр. Только такой расчет, построенный на принципах стоительной механики, удовлетворяющих условиям равновесия, условиям совместности деформаций и соотношениям между напряжениями и деформациями типа обобщенного закона Гука позволит получить единственный критический параметр нагрузки, через который могут быть вычислены критические напряжения во всех пролетах неразрезной панели. Попанельный метод расчета панелей крыла является наиболее простым, более быстро ведущим к цели на стадии проектирования, когда под известные усилия УУг, №х, требуется подобрать сечения панелей
крыла по условиям равнопрочности, используя для этого простые формулы критических усилий, полученные при раздельном их действии. Что касается поверочных расчетов устойчивости панелей крыла, то в этом случае
более правильные, а значит и более надежные результаты могут быть получены только при использовании методов, основанных на рассмотрении многопролетных неразрезных панелей, учитывающих взаимовлияние панелей и нервюр на величину критической нагрузки.
2. Выясним сначала, какую панель можно считать широкой. Для этого рассмотрим прямоугольную стрингерную панель (рис. 1), ширина которой равна расстоянию между лонжеронами В, а длина — расстоянию между нервюрами ¿. В докритическом состоянии панель крыла большого удлинения нагружается усилиями, среди которых усилие Мг, действующее вдоль стрингеров, имеет наибольшую величину. Усилия Ых, действующие в поперечном направлении, по величине незначительны, а потому ими допустимо пренебречь. Усилия Мгх, вызываемые кручением и изгибом крыла, учитывают приближенно в виде поправки к Ыг, используя для этого известное соотношение
(«)
и2Кр \ 1кр/
Таким образом, учитывая изложенное, дифференциальное уравнение устойчивости широкой панели как ортотропной пластины получаем из (1),
полагая = Мгх = О,
+ **&+**!?= о- (5)
Вошедшее в (5) усилие будем считать постоянным в каждом про-
лете между смежными нервюрами и определять по формуле
л^-^л^ + лд,
где Ык-и М— сжимающие панель усилия в сечениях над нервюрами 6 — 1, к. Разность между этими усилиями
Мк - Л/*_, = 2д^к (5')
уравновешивается потоком касательных усилий в обшивке <7 = бт, вызываемых изгибом крыла. Суммируя разность (5') по всему размаху, получим
П
Ып — Ы0-\- усилие, которое передается на бортовое сечение панели.
Преобразуем (5) в уравнение балки-полоски, ось которой параллельна оси Ог. Это преобразование легко выполнить, если учесть, что при достаточно большой ширине панели В граничные условия на краях х = 0 и х — В мало влияют на величину критического усилия. В силу этого для простоты будем считать эти края шарнирно-опертыми. Тогда в (5) можно принять
у (•*, х) = т|(£)5т-2р, (6)
где | = г/Ь, т)(|) — функция распределения прогибов в направлении оси Ог.
Подставляя (6) в (5) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции 11(1):
,у , / Ыг и „ ¿2\ 2 II , ¿4 п
11 +(1?-DГ“2-5Г-F)’^,, "о7"в*' ч ” <7>
Для широкой стрингерной панели, у которой
£т«0-2- <8>
л/:
третьим членом в (7) можно пренебречь, как малой величиной и тогда получим дифференциальное уравнение балки-полоски, сжатой усилием Ыг:
r)IV + v2T)n = 0, (9)
где
' л’ О, о, в’)
Отсюда находим
Л2£>, / v2 D3 ¿2\
— (^ + 2оГж)- <10)
Определим теперь iV2|(p из уравнения пластины, взяв
Т)(£) = Sin л£.
После подстановки в (7) получим:
л/ я!°|/1 , о °з L2 , D2 ¿4ч
N-; = — (1+20Г1Г+ oT-f)' (П)
При у = л выражение (10) отличается от (11) только третьим членом в скобках, которым ранее мы пренебрегали как малой величиной. Теоретически для широкой пластины выражение в скобках формулы (11) равно единице только при В -> оо. Практически это выражение быстро приближается к единице, что видно из табл. 1, где приведены числовые значения выражения в скобках формулы (11) в зависимости от Ь/В и Оз/Э\ для панели, у которой — ^2-
Таблица 1
NV L дЛч в 1 1 2 1 3 1 4 1 "5 1 6 1 оо
1 4 1,56 1,23 1,16 1,08 1,03
0,5 2,5 1,28 1,12 1,08 1,04 1,02 1
0,25 1,75 1,14 1,06 1,04 1,02 1,00 1
0,1 1,3 1,06 1,02 1,00 1,00 1,00 1
0,01 1,03 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1
Данные этой таблицы относятся к панелям, подкрепленным стрингерами открытого поперечного сечения, у которых Б2 и £)3 «С Б\. В случае панелей со стрингерами закрытого поперечного сечения вторым членом, содержащим £>з, пренебрегать нельзя, так как £)3 имеет тот же порядок, что и Ъ\. Этот член учитывается ив (10).
3. Формулы метода перемещений. Многопролетные неразрезные панели крыла большого удлинения могут быть рассчитаны на устойчивость методом узловых перемещений. Основу этого метода составляют формулы для реактивных усилий, возникающих в упругих защемлениях концов балки-полоски (стержня) при их угловых и линейных перемещениях, и уравнения равновесия узлов системы.
Выражения для реактивных усилий на концах балки-полоски могут быть получены, если интеграл уравнения (9) подчинить граничным условиям:
Л(0) = т],к, т](1) = т]к/, т)'(0) = л'(1) = Фк^
на концах / и /г балки-полоски и затем вычислить реактивные усилия на ее концах. Не останавливаясь на подробностях этих вычислений, приведем готовые выражения реактивных усилий взятые в одном из источников [2,3] для двух случаев закрепления концов балки-полоски в узлах.
а) Балка-полоска с жестким закреплением концов. В этом случае реактивные моменты М;>, Мц и перерезывающие силы (¿ц, действующие на концы / и к балки-полоски, положительные направления которых показаны на рис. 2, а, определяются выражениями:
М,*= I,-* (Лф, + 5ср*— Т^>1к),
№¡¡1 = ¿у* (Яфу-Мф* Т^1к),
<г„=<зи---£-1 г (*/+».)-»+,.]•
(12)
где г);* — углы поворота концов / и к стержня / — равные углам по-
ворота узлов / и к стержневой системы, положительные при вращении по часовой стрелке; ф,-* — угол перекоса стержня / — £, положительный при вращении стержня по часовой стрелке.
Величина угла перекоса стержня
Ч>,*;
(12')
где г];*, — перемещения концов стержня в направлении перпендику-
лярном к его оси, положительные направления этих перемещений показаны на рис. 2,
¿¡к — -т——погонная жесткость на изгиб балки-полоски, длиной к,
¿-•¡к
0,к = й 1 — цилиндрическая жесткость, вычисляется по первой формуле (2).
Вошедшие в (12) коэффициенты А, 5, Т, Н являются функциями сжимающих усилий и выражаются формулами:
А =
tg V — V
5 =
мм V
® *2
н
(13)
где V =
~о~
Nr =
у20.
(13')
Для нижнвд растянутых панелей выражения для А, Б, Т, Н получаются из (13) заменой тригонометрических функций гиперболическими.
б) Балка-полоска с шарниром на одном конце (рис. 2, б). Формулы реактивных усилий на защемленном конце можно записать так:
Формулы (12), (13) вместе с уравнениями равновесия узлов и уравнениями неразрывности перемещений в узлах позволяют составить уравнения устойчивости многопролетных широких панелей, непрерывно опертых на пояса лонжеронов и на ряд жестких или упругих нервюр.
4. Уравнение метода перемещений. Уравнения критического состояния для отсека многопролетной широкой панели, сжатой постоянным в пределах одного пролета усилием Л^г и ступенчато меняющимся от пролета к пролету, получим из условий равновесия моментов и сил, действующих на опорные узлы верхней сжатой панели. Для промежуточного узла & имеем:
Здесь gK — коэффициент жесткости k-и нервюры в своей плоскости, его величина определяется выражением:
— для стеночной нервюры
где 6Н = 6С + Гсж/Ь—приведенная толщина стенки нервюры; бс — толщина стенки; ^сж — площадь поперечного сечения стойки жесткости; Л — высота нервюры; Е — модуль упругости; Ь — расстояние между стойками жесткости; — для балочной нервюры
где /н — момент инерции поперечного сечения балочной нервюры с учетом присоединенной ширины обшивки относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости нервюры; В — расстояние между лонжеронами.
Максимальное давление панелей на нервюры, возникающее при изгибе крыла, получается в тот момент нагружения, когда сжимающие усилия верхних панелей достигнут критической величины Л/гкр. В этот момент сжимающие усилия в нервюрах УУН, вычисленные по формуле
Mlk = i¡kA (ф, -г|зу*),
где
>
(14)
tgv —V ’ tg V — V
Для растянутых стержней и широких панелей
А =
v2thv п v3
th v — v ’ th v — v
th v — v
+ Mk,k+t + Mk,k — 0, Qk.k-i — Qk.k+1 + = 0.
(15)
J
(16)
(16')
(17)
должны быть меньше или равны критическим усилиями нервюр (ЛГН =
В противном случае может получиться просадка одной или нескольких нервюр, в результате чего произойдет преждевременное разрушение крыла. Вошедший в (17) параметр V,, определяется из расчета устойчивости неразрезной панели, опертой на нервюры. Секущий модуль £с определяется по диаграмме о~е для данного материала.
Учет Мкк, в (15) следует производить в тех случаях, когда есть гарантия, что нервюры и панели крыла имеют жесткое на изгиб соединение, е^ли такой гарантии нет, то следует считать в запас прочности соединения нервюр и панелей шарнирными и допустимо полагать Мкк, = 0.
Подставляя в (15) выражения моментов и перерезывающих сил из (12), после преобразований получим следующую систему линейных однородных уравнений:
ф*-1аМ-1 + ф*аМ + Ф*+1а*,*+1 +
где
+ г\к-1^к,к-1 + + Л/к-Н^М-И == 0»
Ф*_1 £>*,*_! + ф*Ь*,* + <Р*+1*м+1 +
+ Т|А—, С* + л* 4“ Т1*+1С*.*-Н = 0> к=\,2,...,п,
= *'*5 (у*), = ¿*+15 (у*+1) ,
= -И*+И(п+1) +
Ьк,к-1 = ~г~ Т{Ук). Ьк к+1 = Т(хк+1),
к ^*+1
Ьк.к = ~ т~Т(\к) + Т (у*+1) ,
(18)
Ск,к—1
77^(■''*). ск,к+\ —-¡т~Т{^к+\) > *-*+1
(180
ск,к =-[-цн Ы + 7^7 н (у*+>) + £*] ■
Вошедшие в (18) параметры V*, связанные формулой (14) с сжимающими усилиями N2, должны быть выражены через параметр V — один из параметров V*
V*
-'-л/т-ИМ-1'2...“■
(19)
Здесь индексом к обозначены величины, относящиеся к й клетке неразрезной панели, а величины без индексов относятся к какой-либо произвольно выбранной панели. Например, можно взять клетку панели к = 1, тогда в (18) следует положить
/- = ¿1, N = N1, / = ¿1.
Критические значения параметра V определяются из условия равенства нулю определителя:
ЛК g) = 0, (20)
составленного из коэффициентов при неизвестных перемещениях ф И Т) системы однородных уравнений (18). Для данных размеров панели и нервюр, данных расстояний между нервюрами, корни уравнения (20) при фиксированном значении параметра жесткости нервюр g дают спектр критических значений параметра нагружения. Практическое значение имеет наименьший корень укр,, определив который, найдем из (19) значения V* (к = 1, 2, . . . , п) и затем можно будет вычислить по формуле (13') критические условия панелей, а по формуле (17)—критические усилия в нервюрах.
Если в результате расчета окажется, что найденные критические усилия в панелях и нервюрах будут равны или несколько больше действующих, то расчет можно считать законченным, при этом форма потери устойчивости должна иметь узловые линии, совпадающие с линиями стыка панели с нервюрами или на близком расстоянии от них. Решение уравнения (20) представляет сложную задачу, поэтому все вычисления должны выполняться на ЭВМ по специальной программе.
5. Случай жестких нервюр. Решение задачи устойчивости верхней панели крыла упрощается в том случае, когда нервюры достаточно жестки в своих плоскостях. Достаточно жесткой можно считать ту нервюру, жесткость которой превышает так называемую критическую жесткость:
для стеночнои нервюры
Л кр I*
— для балочной нервюры
0,4
я4£7„
В3
(21)
(21')
В этом случае в (18) допустимо положить прогибы г)* = 0 и тогда получим систему однородных трехчленных уравнений устойчивости многопролетной панели:
Ф101.1 + фгЯ1,2 = 0, ф1Я2,1 + ф2Я2,2 + фзЯг.Э == 0,
фп—\0.п,п—1 —[- фпО-п,п == 0.
(22)
В критическом состоянии равновесия панели углы поворота, входящие в (22) в качестве неизвестных, не равны нулю, поэтому определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, должен быть равен нулю:
А (у) =
«1,1 °1,2 0
°2, 1 а2,2 а2,3
0 °3,2 аз,з
0 ...
а3 4 0
= 0.
(23)
Элементы этого определителя являются функциями параметра нагрузки, определяются по формулам (18').
Рис. 3
Определитель (23) может быть преобразован методом Гаусса и представлен в виде произведений элементов главной диагонали:
Д(у) = и\{\) и2{у) и3(\) . . . ип(\). (24)
Множители, вошедшие в (24), вычисляются по следующим рекурентным формулам:
“1 (V) ==«1.1, и2(\) = а2 2 — ,
а
2
п,п — 1
(25)
Множители в (24) составляют так называемый ряд устойчивости, а сами множители, определяемые формулами (25), называются коэффициентами устойчивости Пуанкаре. По знакам коэффициентов устойчивости можно провести качественный анализ устойчивости исследуемой упругой системы.
Признаком устойчивости неразрезной многопролетной сжатой панели является неравенство: А(у) > 0, при условии, что числовые значения параметра нагрузки находятся в пределах: 0^у<^1кр, где у1кр — наименьший корень уравнения (23).
6. Результаты расчета. Для иллюстрации влияния изгибной жесткости нервюр на устойчивость сжатых панелей крыла самолета просчитаны критические напряжения панелей из материала В95пчТ2 крыльев двух пассажирских самолетов при шарнирном (о“) и жестком (<т*р) соединении панелей со стойками нервюр. Панель № 1 работает в упругой зоне деформирования материала, панель № 2 — в пластической. Расчетная схема представлена на рис. 3. Характер загрузки сжимающими усилиями, геометрия панелей и результаты расчета представлены в табл 2.
Таблица 2
Нервюры 1 2 3 4 5 6 7 8
Л • 10-*, м /ч • 10-\ м2 ]н ■ 10-®, м4 34 2 1,4 35 2 1,4 36 3,3 7 37 3,3 7 38 1,8 1,1 39 1,8 1,1 40 2,2 2 41 4,1 2,3
Пролеты 1 2 3 4 5 6 7
Панель № 1 ¡V, • 103, кг N¡/N1 £ • 10~2, м Р-Ю~\ м2 1 ■ КГ8, м4 а“ • 10, МПа окр • 10, МПа 15.4 1 70 11 5 8.4 9,9 22,8 1,48 70 12 9 .10,9 12,9 31,2 2.03 70 13 14 14.3 16,9 37.8 2,45 70 14 16 15.9 18,8 46.5 3,02 65 15 19 18.6 22,0 57,6 '3,74 65 16 22 21,2 25,1 68,0 4,42 70 17 26 23,8 28,1
_Ж / ш ^кр/^кр - = 1,18
Нервюры 1 2 3 4 5 6 7 8
Л • КГ2, м 23 25 27 29 31 33 35 37
• 10-\ м2 1,4 1,4 2,5 1,4 1,4 1,9 2,0 2,0
/* • КГ8, м4 1,0 0,9 2,6 1,0 1,0 2,0 1,8 2,0
Пролеты 1 2 3 4 5 6 7
М • 103, кг 51,3 56,1 62,2 77,8 75,4 81,6 87,4
од М/ЛГ, 1,0 1,09 1,21 1,51 1,47 1,59 1,70
2 КГ2, м 70 70 70 70 70 70 70
А /=М(Г4, м2 17,7 19,9 21,1 22,9 23,0 23,4 25,2
а ] • КГ3, м4 96 106,3 113,6 120,9 121,9 124,9 133,2
. «о ст“ • 10, МПа 31,4 30,5 31,9 36,7 35,6 37,8 37,5
акр ■ 10, МПа 33,6 32,6 34,1 39,3 38,0 40,5 40,2
с Ж / ш гкр/°кр = 1,07
Как видно из табл. 2, жесткое соединение панелей со стойками нервюр повышает критические напряжения панелей в данных конкретных случаях на 18% в упругой области и на 7% в пластической области деформирования материала. На рис. 4 представлена зависимость критического напряжения регулярной семипролетной панели, сжатой равномерной нагрузкой,
от жесткости опор. Как видно из графика, 6-ю,МПа после £ = 4 • 106Н/м увеличение жесткости
опор практически не повышает критические напряжения панели. На рис. 5 представлена зависимость критического пара-
г10
6 _н_ ' ґі
Рис. 4
Рис. 5
метра нагрузки С = регулярной семипролетной панели от изгибной жесткости нервюр, характеризуемой параметром я = С увеличением жесткости
нервюр параметр нагрузки возрастает, асимптотически приближаясь к своему предельному значению, сохраняющему постоянную величину при дальнейшем увеличении изгибной жесткости нервюр.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоус А. А., Поспелов И. И. Метод расчета на устойчивость панели крыла малого удлинения.— Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1783.
2. Белоус А. А. Устойчивость овальных и рамных шпангоутов.— Труды ЦАГИ, 1937, вып.т 334.
3. Корнаухов Н. В. Прочность и устойчивость стержневых систем.— М—: Стройиздат, 1949.
Рукопись поступила 23/VI 1989 г.
