Влияние ребер жесткости на частоты свободных колебаний пологой цилиндрической панели Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1

Г. В. Тертышный

ВЛИЯНИЕ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ НА ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ

Ключевые слова: свободные колебания, оболочка, ребра жесткости.

Приводятся теоретические и экспериментальные результаты исследования свободных колебаний пологой упругой изотропной круговой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости, причем учитывается эксцентриситет их расположения относительно срединной поверхности оболочки. Края панели жестко защемлены по всему контуру.

Keywords: free oscillations, panel, rigid reinforcements.

Theoretical and experimental results of free oscillations of cylindrically curved isotropic panel with rarely arranged rigid reinforcements are presented, their arrangement relatively to the mid-surfase shell is taken into account. The edges of the panel are fixed stiffly on the perimeter.

В работе [4] рассмотрены свободные и вынужденные колебания пологих оболочек двоякой кривизны с дискретно расположенными ребрами жесткости. Для решения задачи был использован метод Бубнова-Галеркина. Автор не учитывал эксцентриситета расположения ребер жесткости относительно срединной поверхности оболочки.

Работа [5] посвящена исследованию свободных колебаний пологой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости. Для решения задачи использовались уравнения Эйлера-Лагранжа. Авторами при решении задачи учитывался эксцентриситет расположения подкреплений относительно оболочки. В выше указанных работах граничные условия на контуре оболочки следующие: [4,5] - оболочка шарнирно оперта по всему контуру; [5] - прямолинейные края панели защемлены, а криволинейные шарнирно оперты.

Рассмотрим тонкую пологую цилиндрическую панель прямоугольную в плане. Оси координат расположим, как показано на рисунке 1. Пусть u,v,w - перемещения в направлениях x,y и z.

Рис. 1

Оболочка подкреплена сеткой ребер, причем принимается, что перемещения оболочки и ребер жесткости на поверхности контакта равны. По линиям x = Х| = const и y = У| = const расположены шпангоуты и стрингеры. Работу оболочки будем описывать на основе гипотез Кирхгофа-Лява, расчет ребер жесткости будем выполнять на основе теории стержней Кирхгофа-Клебша.

Компоненты деформации оболочки выражаются через перемещения следующим образом [3]:

£1 =

Su

Sx ’

S 2w

£ 2 -

2 , К 2 — _ 2 ,

йх2 су2 К су йхйу К йх

Используя б - функцию Дирака [4] и соотношения (0.1) потенциальную энергию системы можно записать в следующем виде:

Sv w Sy R ’

S 2w 1 Sv

R Sy

- Su Sv Y Sy Sx ’

S 2w 1 Sv

т - -

(0.1)

П

Eh

a b

- v 2)oo

№11

+

Sy R

+ 2v — Sx

Sy R

+ ■

2

Sy Sx

+

+ -

12

Sx2

+

S2w 1 Sv

—т +— Sy2 R Sy

2

+ 2v

S 2w Гд 2

у

Sx2

S2w 1 Sv l 0/.

—т +----------1 + 2(1 - v7l

Sy2 R SyJ ^SxSy R Sx

S2w 1 Sv

. + —

2

J

+

,_rSv w . S2w

E;F;-----------------------h; -~

Sy R

;2

Sy2

+ E;I;

. + —

Sy2 R Sy

+ GJkp.;

rS 2w 1 Su Y SxSy R Sy ,

x

1 - v2 4

+—— z

Eh

j-1

jj

Su

-------h

Sx

S 2w ^2

j Sx2

+ Ej!j

Sx2

2

+ G;Ikp.j

. + —

SxSy R Sx

у ■ '

6(y - yj)

J

(0.2)

Выражение кинетической энергии оболочки с ребрами жесткости, можно записать следующим образом:

1 ab

T -

2 00

mo +zm;6(x - x; )+]Zmj б(у - yj) ;-1 j-1

1 ab

+ 2И

2 oo

m0 +zm; 6(x - x;) ;-1

j-1

Sv l2 1 ab

,¥J dxdy + 2!'

f Jdxdy+

mo +Zmj6(y - y;)

j-1

fJdxdy

(0.3)

В соотношениях (0.2) и (0.3) введены следующие обозначения: Е - модуль упругости; h - толщина оболочки; V - коэффициент Пуассона; ^ - расстояние от нейтральной оси I -

го шпангоута до срединной поверхности оболочки; ^ - аналогичная характеристика ] -го

стрингера; Е^, Е|1|, О|!кр|,Е^, Е^, О^к^ - жесткости растяжения, изгиба и свободного

кручения поперечных и продольных ребер жесткости; т0 - масса оболочки, отнесенная к

площади срединной поверхности оболочки; т|, т^ - массы I -го и ] -го ребер жесткости,

отнесенные к длине соответствующего ребра жесткости.

Пусть оболочка совершает гармонические колебания и имеет на контуре однородные граничные условия. Граничные условия будут выполнены, если представить перемещения в следующем виде:

u - A

a

л!

Xm

ГЛmx\ ГЛпУ

a

b

v - B,

b.y'i Л пУ Y X Г Л mx

Л

b

Xm

a

w - CX

ГЛmx\ ГЛпУ

(0.4)

a

b

где Хт и Уп - балочные функции; т и П - число узловых параллелей и меридианов, включая узловые линии, совпадающие с закрепленными контурными линиями оболочки; Л т и Лп -собственные числа т -ой и П -ой балочной функции.

2

2

2

h

2

х

Подставляя (0.4) в (0.2) и (0.3) и применяя процедуру метода Релея - Ритца придем к определителю третьего порядка, который должен быть равен нулю [2]:

Р— - ЛР7 Р2 Р3

Р2 Р4 - ЛР8 Р5 =0 (0.5)

Р3 Р5 Рб - ЛР9

Раскрывая определитель (0.5) придем к уравнению следующего вида: К3Л3 - К2Л2 + К—Л - К0 = 0

(0.6)

Практическую ценность представляет наименьший корень этого уравнения, поэтому пренебрегаем членами, содержащими Л3 и Л2. Тогда из (0.6) получим достаточно простую формулу для определения частот свободных колебаний пологой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости:

Ш2. = К0

КГ

(0.7)

Если система совершает изгибные колебания, то формула (0.7) упрощается и выглядит следующим образом:

«Л. = К0

(0.8)

В выражениях (0.6), (0.7) и (0.8) введены следующие обозначения:

-2 ■ К0 = р1р4р6 + 2Р2Р3Р5 - р1р52 - Р4Рз2 - Р6Р22 ;

Кі = р9 (Р1Р4 - Р2)+р8 (РіРб - Р2)+р7 (Р4Р6 - Р52) ■

К2 = Р1Р8Р9 + Р4Р7Р9 + Р6Р7Р8 ■ К3 = Р7Р8Р9 ■

і - V 2 л

Рі = Л2Б3йі + 0,5(1-V)2Б202 + ^ЕД-2Е,,2Б30,+1^; Р2 = уЛмБ 4Р4 + 0,5(і - V )мБ 2Р2 ;

ЕЙ и

БИ С—

кр.і р^2*-

уЛ

і - V 2 л

і - V 2 р

Р3 = Б 401 2 ЕІРІПІЛ Б 3 — 5і + 2 ^і!кр.і ЛМ — 2Б 6і ■

К

ЕЙ и

ей

і=1

К

Р4 = м2Б1Р3 + 0,5(і- V )Л 2Б 2Р2

2р

+

1-V2 р

~ЕП~ 2

м2

+

12

К- Б,Р3 + ^Ку^ Л 2Б А

+

Л

ЕіріМ 03Б5і + Еі>і К203Б5і К

і - V 2 л

Л2

+ БИ и^К2 Б2D6j;

р5 =- -МБ104 + —

5 К 1 4 12

уЛ2Мб 0 , 2(1 - V)Л2м

К

Б 202

і - V 2 р (

ЕП

Еп і=і

.м

К

И2

Е^К^ + Е^Дм^ -Е,1, МК-0^5,

і____V2 ч і

+—ЕпГ ,26''кр'рЛ 2мБ 20

(0.9)

2 6І ’

— П2 г 1

Р6 = -±Б—0— + —[Л4Б30— + м4Б—03 + 2уЛ2м2Б404 + 2(і-у)2м2Б202\-

6_К2

— -V2 р + ЕИ 2 Еп і=і

і-V2 2

БИ І=—

Е,Р

12

(о 2И м2 ^

—— + Иі2М40 + іМ о

К^ пім —3 к

}5і + Еі!¡м —3Б5і + ^і!кр.іЛ м —2Б6і

+

+

2 (ЕЖ л 4Б 3—5) + Е,і, Л 4Б 3—5) + 0,ікр., Л 2м2Б 20б,)

2

п

P7 =

PQ

1 - v2

Eh

1 - v2

т0Б 2D1 +E т;Б 2Ü5j

Eh

j=i

p

1 - v2

Eh

тоБА +Z m¡D2Б 5i i=1

т0БА +Z ¡ 1 ^^5i ^ m jБ1D£

1

¡=1

a a

j=1

a3 a

■ X Xm ■ ,, Xn

. X = — ■ M = T~

a b

a

Б1 = - j xmdx ■ б 2 = x- j xm2dx ■ Б3 = x_ j x;m2dx ■ б 4 = j XmXm dx ■

a 0 X m 0 X m 0 x m 0

1 b,

b b.

b3 b.

bb

D1 = - j Yn2dy ■ D2 = XV J Yn,2dy ■ D3 = -4 j y; 2dy ■ D4 = XV J YnYn"dy ■

b 0 xn 0 xn 0 xn 0

1-2 ГXmx¡ V ГЛ = 1 \/2 fXnyj '! . c = a v,2

Б 5i Xm

a

a

■ D = — Y2

■ D5j b *n

b

■ R V'

’ D6i _ > 2 m Xm

Xmxi

■ D = — Y'2 Г Xnyj

■ D6j = X2 Yn b

Для определения Xm, Б1,Б2,Б3,Б4 использовались трансцендентные уравнения и формулы работ [1,3,6]. Числовые значения Xm, Б1,Б2,Б3,Б4 были вычислены с точностью 10"6 и приведены в таблице 1.

1. Края оболочки жестко защемлены по всему контуру

Для жесткого защемления контура граничные условия выглядят следующим образом: u = v = w = wx = 0 при x = 0,a, u = v = w = wy = 0 при y = 0,b. (1.1)

Условия (1.1) будут выполнены, если балочные функции взять в следующем виде:

Xm = sin Xx - sh Xx - g(cos Xx - ch Xx), (1.2)

Yn = sin ,y - sh ,y - q (cos ,y - ch ,y) sinXm - shXm/ _ sinXn - shXn

cosX - chX

www/'m ,/xm

xosX n - chX n'

Коэффициенты Б5 и Д 5i выразятся формулами:

12 Б5 = — [sin Xx¡ - sh Xx¡ - q(cos Xx¡ - ch Xx¡ )2,

a

Д5j =1 [sin МУу - sh ,yj - q (cos ,yj - ch ,yj).

(13)

Подставляя (1.2), (1.3) в (0.9) и используя числовые значения таблицы 1 мы получим из (0.6), (0.7) или (0.8) значения частот свободных колебаний пологой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости.

Были произведены числовые расчеты для гладкой пологой цилиндрической панели прямоугольной в плане из алюминия и стали. Полученные значения частот сравнивались с теоретическими и экспериментальными значениями частот свободных колебаний гладкой панели, которые получены были другими авторами с использованием других методов решения. Данные для сравнения приведены в таблице 2, где звездочкой обозначены результаты данной работы.

Maddok [10] для решения задачи использовал метод Релея - Ритца с представлением

a ■ b ■

перемещений в виде: w = ZZXmYn; u = Е£—XmYn; v = ££—YnXm . Cheung [9] при

m n m n Л m m n Л n

решении задачи о свободных колебаниях гладкой пологой цилиндрической панели пользовался методом конечных элементов. Как видно из таблицы 2, различие результатов для гладкой панели с результатами других авторов небольшое.

q

т

1 - - 1,875104 - - -

2 к 4,730041 4,694091 4,730041 3,926602 3,926602

3 2л 7,853205 7,864757 7,853205 7,068583 7,068583

4 Л т 3к 10,995607 10,995540 10,995607 10,210176 10,210176

5 4к 14,137165 14,137168 14,137165 13,351768 13,351768

6 5к 17,278759 17,278759 17,278759 16,493361 16,493361

7 6к 20,420352 20,420352 20,420352 19,634954 19,634954

8 7к 23,561944 23561944 22,776542 22,776546

1 - - 1,855645 - - -

2 0,5 1,035936 0,964064 1,035932 0,998447 0,998447

3 Б1 0,5 0,998448 1,001553 0,998448 0,999997 0,999997

4 б 3 0,5 1,000068 1,000000 1,000068 1,000000 1,000002

5 0,5 1,000000 1,000000 1,000000 1,000002 1,000002

6 0,5 1,000000 1,000000 1,000000 1,000013 1,000013

7 0,5 1,000000 1,000000 1,000000 0,999786 0,999786

8 0,5 1,000000 1,000000 0,945313 0,945313

1 - - 2,452955 - - -

2 0,5 0,569640 1,418342 2,291079 0,745525 1,763426

3 0,5 0,745525 1,254820 1,763426 0,858528 1,424413

4 Б 2 0,5 0,818102 0,954527 1,545689 0,902059 1,293825

5 0,5 0,964642 0,964632 1,247574 0,925106 1,224691

6 0,5 0,971063 0,971062 1,202561 0,939501 1,182023

7 0,5 0,975515 0,975515 1,171398 0,948857 1,152575

8 0,5 0,978779 1,148545 0,901408 1,077026

1 - - 0,452954 - - -

2 -0,5 -0,569640 -0,581658 -0,569640 -0,745525 -0,745525

3 -0,5 -0,745525 -0,745172 -0,745525 -0,858629 -0,858529

4 Б 4 -0,5 -0,820312 -0,863581 -0,820312 -0,901693 -0,901693

5 -0,5 -0,893897 -0,893896 -0,893897 -0,925104 -0,925104

6 -0,5 -0,913188 -0,913188 -0,913188 -0,939369 -0,039369

7 -0,5 -0,926539 -0,926539 -0,926539 -0,949070 -0,949070

8 -0,5 -0,936338 -0,936338 -0,956095 -0,956095

Были проведены числовые расчеты для стальной пологой цилиндрической панели с ребрами жесткости, которые имеют прямоугольное поперечное сечение. Механические и геометрические характеристики панели и ребер жесткости были следующие:

Е = 196 • 109 н/м2; р = 7800кг/м3; V = 0,3; а = Ь = 0,15м; И = 0,0006м; К = 1,8м; ^ = 0,3• 106м2;^ = 0,9• 1013м4; ^ = 0,6• 106м2;^ = 0,729• 1012м4; х1 = 0,075м; х2 = 0,05м;х3 = 0,1м;а1 = 0,005м., а1 -ширина ребра жесткости.

С целью проверки достоверности расчетной формулы (0.7) было проведено экспериментальное исследование спектра собственных частот гладкой и ребристой пологой цилиндрической панели. Испытания проводились на специальной установке, описанной в работе [7,8]. Панели изготавливались из стальной рулонной ленты, радиус кривизны которой совпадал с радиусом кривизны оснастки. Оснастка представляет собой стальную цилиндрическую панель толщиной 5 мм, которая имеет отверстие по форме испытываемого

образца. Панель крепилась к оснастке с помощью точечной контактной сварки. Этим обеспечивалось выполнение граничных условий жесткого защемления. Ребра жесткости крепились к оболочке также с помощью точечной контактной сварки, а изготавливались из той же стальной рулонной ленты, что и сам испытываемый образец панели.

Таблица 2

т/п Алюминий а =0,279м; Ь =0,229м; К =2,438м; у =0,0013м. Алюминий а =0,279м; Ь =0,229м; К =2,438м; у =0,0013м. Сталь а =0,175м; Ь =0,143м; К =1,37м; И =0,00058м.

теория эксп. теория эксп. теор. эксп.

[10] * [10] [11] [9] * [11] * [8]

2/2 346 343 231 317 300 312 250 561 410

2/3 471 475 385 357 352 349 299 629 471

2/4 778 794 696 445 448 522 532 945 729

2/5 1225 1256 1128 589 601 797 640

2/6 1795 1842 1746 789 1161 816

3/2 440 441 436 331 332 360 233

3/3 590 599 561 400 399 421 351

% 900 921 861 511 516 600 497

3/5 1347 1392 1283 672 883

3/6 1917 1977 1815 882

4/2 628 635 636 483 471 464 405

4/3 794 810 793 553 540 546 507

4/4 1104 1131 1077 670 730 656

4/5 1548 1611 1492 836 1020 835

4/6 2117 2193 2025 1050 - 1381 1052

Теоретические и экспериментальные данные для гладкой оболочки и панели с ребрами жесткости указанных выше параметров приведены в таблице 3. Теоретические значения частот, приведенные в таблице 3, найдены по формуле (0.7) без учета эксцентриситета расположения ребер жесткости относительно срединной поверхности и без учета жесткости ребер при свободном кручении. Из таблицы 3 видно, что расхождение теоретических и экспериментальных результатов колеблется в пределах от 3% до 26%.

2. Оболочка шарнирно оперта по всему контуру

Данная задача решалась в работах [4,5] методом Бубнова - Галеркина и с использованием уравнений Эйлера - Лагранжа. Теоретические данные не проверялись экспериментально. В данном параграфе задача решается методом Релея - Ритца и теоретические данные сравниваются с экспериментальными результатами. Числовые расчеты производились для панели с ребрами жесткости тех же параметров, что и в первом параграфе. Граничные условия на контуре оболочки

V = w = wxx = их = 0 при х = 0,а, и = w = wyy = vy = 0 при у = 0,Ь будут выполнены, если балочные функции Хт и Уп взять в следующем виде:

Хт = в1п Ах Уп = в1п му.

т=2 т=3

п=2 3 4 5 6 7 п=2 3 4 5 6 7

теория 458 571 895 1383 2010 2768 625 778 1107 1608 2231 2987

/777777?7 эксперимент 375 499 811 1320 1912 2512 600 699 913 1522 2152 -

р1.|11 41^ Л1 теор. 453 565 887 1373 1998 2753 625 778 1107 1608 2231 2987

! ) > эксп. 338 489 832 1319 1829 2497 576 688 913 - - -

^.М теор. 458 612 1006 1585 2323 3214 625 778 1107 1608 2231 2987

эксп. 344 538 844 1368 1899 - 598 726 909 - - -

Fll1.x2.x3 теор. 452 563 886 1371 1995 2750 603 749 1073 1568 2188 2939

1Ш эксп. 337 499 1343 1869 690 991

F2i2.x2.x3 теор. 458 619 1025 1617 2374 3286 594 786 1204 1826 2608 3555

эксп. 340 544 1003 1506 - - 450 746 - - - -

Таблица 4

т=2 т=3

п=2 3 4 5 6 7 п=2 3 4 5 6 7

у теория 255 329 637 1080 1652 2350 475 554 837 1273 1843 2541

): ;) эксперимент 235 - 586 1071 1630 - 447 870 1179 1793 2470

F1. I1. ^ 4)4) Л1 теор. 248 325 631 1074 1644 2340 475 554 837 1273 1843 2541

» ) 3 эксп. 233 - 588 1071 1650 443 560 829 1179 1778 2420

^.М теор. 244 351 705 1213 1867 2366 475 554 837 1273 1843 2541

эксп. 228 699 1106 1658 - 442 548 860 1172 1752 -

FmI1.x2.x3 теор. 245 322 629 1071 1640 2335 460 534 815 1249 1816 2510

Ш! эксп. 230 - 627 1060 - - 415 530 1227 1799

F¡2.l2.x2.x3 теор. 240 360 732 1265 1950 2787 449 544 884 1406 2088 2923

эксп. 226 - - - 1904 - 400 528 905 - - -

Теоретические и экспериментальные данные приводятся в таблице 4. При экспериментальном исследовании панель крепилась на специальной оснастке. Оснастка представляет собой две стальные цилиндрические панели толщиной 5 мм, причем внутренний радиус одной панели равен внешнему радиусу кривизны другой. Обе оболочки имели одинаковые отверстия, которые соответствовали форме и размерам испытываемого образца. На расстоянии 2 мм от края отверстия по всему контуру обеих оправок проделывалась канавка. Получившийся в результате этого буртик около ерстия закруглялся.

Испытываемый образец зажимался между оправками.

Максимальное расхождение теоретических значений частоты с экспериментом составляет для данного вида граничных условий 12%.

Выводы

1. Ребра жесткости могут не только повышать, но и несколько понижать частоту свободных колебаний пологой панели.

2. Ребра жесткости не изменяют частоты свободных колебаний панели, если они стоят в узловых линиях панели.

3. Теоретические результаты хорошо согласуются с результатами эксперимента.

Литература

1. Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. -М.: Физматгиз, 1960. - 434с.

2. Иванов, В.А. К определению собственных значений в задачах математической физики/ В.А. Иванов // Вест. Казан. технол. ун-та.-2011.-№8.-с.207-209.

3. Гонткевич, В.С. Собственные колебания пластинок и оболочек / В.С. Гонткевич. - Киев.: Наукова думка, 1964. - 261с.

4. Назаров, Н.А. О колебаниях пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости /Н.А. Назаров // Прикладная механика. - 1965. - т.1, №3. - с.24-31.

5. Немчинов, Ю.И. Свободные колебания пологих цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости / Ю.И. Немчинов, Ю.А. Талбатов // Строит. механика и расчет сооружений. -1975. - №3. - с.17-22.

6. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1967. - 472с.

7. Шишкин, А.Г. Исследование собственных колебаний прямоугольных пластин, ослабленных вырезами различных очертаний / А.Г. Шишкин, Ю.Г. Коноплев // Сб. асп. работ. Теория пластин и оболочек. Казань. Изд-во КГУ. - 1973. - Вып.3. - с.11-14.

8. Шишкин, А.Г. Свободные колебания цилиндрических панелей и оболочек с вырезами / А.Г. Шишкин, Г.В. Тертышный // Сб. асп. работ. Точные науки. Математика. Механика./ Казань. Изд-во КГУ. - 1975. - с.160-163.

9. Cheung, Y.K. Vibration analysis of cylindrical panels / Y.K. Cheung., M.S. Cheung // J. Sound and Vibration. -1972. -V.22, №1. - p.31-37.

10. Maddok, N.R. Frequency analysis of a cylindrically curved panel with clamped and elastic boundaries / N.R. Maddok, H.E. Plumblee, W.W. King // J. Sound and Vibration. -1970. -V.12, №2. -p.51-55.

11. Sewall, J.L. Vibration analysis of cylindrically curved panels with simply-supported or clamped edges and comparison with some experiments / J.L. Sewall // NASA TN.D. - 1967. - 3791.

© Г. В. Тертышный - ст. препод. каф. машиноведения КНИТУ, vingva@yandex.ru.