ВКБ приближение для температур подсистем псевдоожиженного слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 542.47

ВКБ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУР ПОДСИСТЕМ ПСЕВДООЖИЖЕННОГО СЛОЯ А.П. Бырдин, А.А. Сидоренко, В.Г. Стогней

В работе рассмотрено ВКБ приближение для температур подсистем псевдоожиженного слоя. Получены аналитические решения исходных уравнений модели

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, подсистема, теплоемкость, массообмен

1. Введение.

Особенностью многих направлений совершенствования сушильной техники является требование интенсификации рабочих процессов, в которых тепло- и массообменные взаимодействия протекают при достаточно умеренных температурах. В основе модельных уравнений, описывающих термо- и мас-соперенос, лежат простые физические закономерности - законы сохранения энергии, массы и количества движения. В результате такого общего подхода к проблеме получается, как известно, система дифференциальных уравнений в частных производных, содержащая нелинейные члены, коэффициенты которой, вообще говоря, зависят от координат и времени. В случайно неоднородных пористых средах уравнения, описывающие массообмен, оказываются интегродифференциальными уравнениями в частных производных [1].

Таким образом, изучение процессов, связанных с переносом тепла и массы, в том числе и в дисперсных слоях, базируется во многих работах на двухконтинуальной модели. И легкая, и дисперсная фазы слоя рассматриваются как сплошные среды, взаимодействие между которыми осуществляется посредством тепло- и массообмена. В практических расчетах в качестве упрощающего предположения в подобных моделях часто используется квазистацио-нарное приближение, в соответствии с которым коэффициенты теплопроводности, теплообмена и другие считаются постоянными величинами. Но и при таком упрощении уравнений решение задачи хотя и допускает аналитическую форму, но получается в труднообозримом виде.

Другие подходы к проблеме реалистического описания процессов обмена в слое основывались либо на методиках приближенного решения систем дифференциальных уравнений [2-3], либо на возможности ее замены упрощенными уравнениями, учитывающими физические особенности процессов и компонентов слоя [4]. Для упрощения уравнений принимались, например, допущения [5], связанные с игнорированием особенностей переноса вблизи отдельных частиц материала, малость отношения

Бырдин Аркадий Петрович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (4732) 52-46-68

Сидоренко Александр Алексеевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732) 52-46-68

Стогней Владимир Григорьевич - ВГТУ, профессор, тел. (4732) 52-53-54

времен релаксации процессов, протекающих в частицах материала, и процессов в межзерновом пространстве, равенство температур поверхности материала и несущей фазы [1].

В настоящей работе рассматривается открытая термодинамическая система, состоящая из двух подсистем, взаимодействие между которыми осуществляется процессами тепло- и массообмена. Первая подсистема представляет собой твердый дисперсный материал, в порах которого заключена жидкость. Вторая подсистема - барботирующий газ, содержащий пары этой жидкости. В результате барботажа газа (теплоносителя) организуется динамический двухфазный слой, каждая фаза которого является двухкомпонентной подсистемой.

Предполагается, что частицы дисперсного компонента слоя находятся в одинаковых термических условиях, что обеспечивается неизменностью толщины слоя и турбулентностью газовых струй. При этих условиях можно игнорировать зависимость температуры частиц материала от их положения в слое. Для вращающихся слоев (например, в сушилках пищевых продуктов), такие условия можно обеспечить специальной конструкцией газораспределительной решетки [6]. Предполагается также, что в рассматриваемом интервале температур все термодинамические характеристики компонентов слоя от температуры не зависят, все частицы имеют одинаковый размер и представляют материал одного сорта.

В представленной работе изучается температурная динамика газовой и дисперсной подсистем псевдоожиженного слоя при естественном для ряда случаев условии малости отношения масс легкого и тяжелого компонентов.

Это условие накладывает некоторые ограничения на характер динамического слоя: для материалов невысокой плотности ожиженность слоя должна быть не слишком высокой (исключаются давления газовой струи, приводящие материал в состояние “витания”). Для материалов высокой плотности (например, песка) набухание динамического слоя может быть и достаточно большим.

2. Исходные физические соотношения.

Для описания термического поведения двух подсистем динамического слоя потребуется два уравнения для температур этих подсистем и два уравнения массообмена, определяющих содержание пара в теплоносителе и жидкости в дисперсной среде. Одна из возможных схем получения

необходимых уравнений заключается в использовании следующих соотношений [7-9]:

- соотношение баланса потоков тепла

82 г = <2м + <2н + <2п , (1)

где 82г - количество тепла переданное в единицу времени теплоносителем частицам материала; 2м

- количество тепла, расходуемого в единицу времени на изменение температуры материала; 2н -количества тепла, расходуемого в единицу времени на испарение жидкости с поверхности частиц материала; 2п - количества тепла, расходуемого в единицу времени на повышение температуры пара;

- соотношение баланса потоков энтальпии

1Г(вх) -1Г(вых) =1МЖ +1ГП, (2)

где, Iг(вх) и Iг(вых) - потоки энтальпии на входе

в слой и выходе из слоя; 1мЖ и IГП - скорости изменения энтальпий подсистем “материал-жидкость” и “газ-пар”;

- соотношение баланса компонентов жидкость- пар

Ч(вых) Ц(вх) = q ж Цп

(3)

где, Ц(вых) и Ц(вх) - массовые потоки влаги на

выходе из слоя и входе в слой; qж и дп - скорости изменения масс жидкости в материале и пара в теплоносителе;

- соотношение, определяющее модель массообмена между дисперсной и газовой подсистемами слоя

q ж = f ({p}) (4)

где {p} - совокупность переменных и параметров,

регулирующих массообмен.

Как известно [8], на разных стадиях процесса термической релаксации дисперсной подсистемы слоя соотношение (4) принимает различные формы. В настоящей работе рассматривается только такая фаза процесса, для которой характерно постоянство скорости массообмена между подсистемами.

В работе [8] на основе анализа значительного числа экспериментальных данных показано, что при “мягком” режиме тепло- и массообмена, т.е. при относительно невысоких температурах и скоростях движения теплоносителя и его достаточно высокой влажности, для материалов с большой удельной поверхностью, начальные значения влагосодержа-ния которых больше критического, убыль влагосо-держания в единицу времени является величиной постоянной, начиная с некоторого момента времени. Эксперименты также показывают, что предшествующая указанному периоду стадия прогрева материала хотя и не описывается линейным законом изменения влагосодержания по времени, но весьма непродолжительна и на кривой сушки мало заметна.

В силу указанных обстоятельств в качестве соотношения (4) для периода квазипостоянной температуры материала в слое принимаем феноменологическое уравнение Лыкова [8]:

dll\T = - N о , и\ (0) = и0, (0 <r<rj), (5)

ат 1

где щ (г) - масса жидкости в материале, отнесенная к массе сухого материала (влагосодержание материала), и° - начальное значение влагосодержания;

N - скорость сушки в первом периоде процесса (эмпирический параметр, определяемый методом графического дифференцирования кривой сушки),

N. , ,

N0 = — ; г = ]г - временная переменная, г - время, ]

г1 - продолжительность периода постоянной скорости; ] - массовый поток сухого газа в слое, отне-

сенный к массе сухого материала.

Из соотношений баланса для потоков теплоты и теплосодержания вытекают уравнения, описывающие температурную динамику подсистем слоя. Объединяя соотношения (1) и (2), имеем:

ав 1 л _ _

— = (В(г)) -4 (Г; Г)в + /(г), в (0) = во, (6)

аг

где

в = со1оп(в1 (г), в2 (г))

Тк (г)

= colon(l,l).

(т) = -

Tk0 = Тк (0) (к = 1,2), 8 =

_ _ Т20

Тк0 ’ Ли ' V ’ ” Т10 ’

f (т) = (C'0 (т))-1 f0, f0 = colorl N 0 ri,1 N(0 r2

C°(t) = diag^^), C®(т)), 4(y; т) = (С0(т)) 1 ^(г),

„ „ 1 C0(r) „ „

В(т) = E + 88 0 E0, E0 = Ey Y88c C2(t)

Er = diaggXy),

Y = 0 1

A0 (Y) =

-a

(-)

Л-2

y8

8a2 ) ^2 +1

Y

(7)

С0(т) = , Ck0 = C0 (0), (k = 1,2),

Ck 0

С1(т) = C1 + с ж щ(т), С 2 (т) = с 2 + сп и 2(т);

8с = -^, а\> =8с (а2 -^2), а2 = .

40 ]с 20

с г

^2 = N0 —, Гк = ——, (к = 1,2), с20 ск 0Тк 0

Т1 (г), Т2 (г) - температуры влагосодержащего материала и газопаровой смеси; Тю и Т20 - начальные значения температур подсистем; с1, с2 , с ж , с п (кдж/кг ■ К) - удельные теплоемкости

сухого материала, сухого теплоносителя, жидкости и пара; г (кдж/кг) - удельная теплота испарения

жидкости; а (Вт/м 2К) - коэффициент внешнего

теплообмена; 5 = Б/М (м2/кг) - удельная поверхность частиц материала, Б и М - полная поверхность и полная масса сухого материала;

у (кг сухого газа/кг сухого материала) - удельное

(-)

as

Y

газосодержание слоя; £д - матрица проектирования на первую ось; Е - единичная матрица.

Отметим, что введенные в формулах (7) величины С\ (г) и С2 (г) являются теплоемкостями подсистем слоя, отнесенных к массам сухого материала и сухого газа соответственно. Величины Ск (г) , отнесенные к начальным значениям, будем называть в дальнейшем приведенными теплоемкостями.

Объединяя вытекающее из соотношения (3) дифференциальное уравнение с соотношением (5), получим уравнение для введенных в равенствах (7) приведенных теплоемкостей подсистем слоя “материал-жидкость” - С° (г) и “газ-пар” - С10 (г):

где

Еу -Т+ Е(0)^О(г) = -Ы(£вТ), С0(0) = О, С.Т) = (С0(т) - І, £(0) = ііш (у, ЕГ1),

С в (т) = diag

1 с

0

п с10

с10 N0 с20 сж

С0(т)

(8)

(9)

О - нулевая матрица.

Таким образом, система уравнений (6), (8) описывает тепло- и массообмен в динамическом слое в периоде постоянной скорости массообмена.

3. Преобразование температурных уравнений для подсистем слоя.

Прежде всего из уравнения (8) получим выражения для приведенных теплоемкостей подсистем динамического слоя. Используя идемпотентность

матрицы Е(0), решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (8), можно записать в виде:

С*0(0)Т) = е -т/г*0 Е(0),

где ^0 = ||%|| (і,] = 1,2) - постоянная матрица,

элементы которой определяются из начального условия. Частным решением уравнения (8) является, очевидно, матрица

С°Н) (т) = diag (-Лт, Л2),

где Л1 = No с ж/с10 •

Используя начальное условие (8) и определение

матрицы С* (т), получим матрицу приведенных

теплоемкостей в виде

т'")). (10)

Остановимся далее на рассмотрении динамики изменения температуры дисперсной и газовой подсистем слоя. Будем предполагать при этом, что безразмерный параметр газосодержания слоя мал -у << 1. Из уравнений (6) получим температурные уравнения для этих подсистем

£&1 (т) + Р(т)6>1 (т) + 0(т)01 (т) + Я(т) = 0, (11)

С°(т) = diag(1 -Лт, 1 + Л2(1 - е

01(0) = 1, 6&1 (0) =---------

с10

где

Р(т) =

в(т) =

С10(т)

. 0 С,0 (т) (_)

(т) + (а2 +1) ■-Л--------------------------+ а' )

а

.(-)

?C10(r)C^°(r)

Я(т) = 0(т)

С0(т)

ЛГ а2 +1

N0^1 „— 8

а

(-)

Преобразуем уравнение (11) к двучленной форме, введя новую зависимую переменную

т г

¥ (т) =01(т)

с0т) т/ 2

См т1/2

. 2 7

где

01(т) = в\(т) -0ст, %Т =8-

а2 +1 а(-) ’

(13)

(14)

а

.(-)

т =-

-Л1

а2 +1

Л Л2 +1

В результате выполнения подстановки (13) уравнение (11) примет стандартный для асимптотического анализа вид:

¥(т) = -2

г

2,

^0(т) + Г^1(т) + Г ^2 (г)

¥ (т),

(15)

¥ (0) = 0(0), ¥ (0) = 0(0) + - Р(0)0(0),

где Р(0) =

= 02+1 + а(-)

+ а2 - Л\, ^0 (т) =

а2 +1 ,2С2<г),

Р2(т) =

ад =

(а2-))2 - (СУ))2

4(С10(т))2

а2 +1 х

2d°(т)(c2°(т))2

C10(r)C°(г) -C°(т)C°(т) + а2 )°2-1 С0(т)

(16)

Уравнение (15) относится к типу сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в силу условия у << 1. В замкнутом виде найти его решение не удается в виду разнотипности временной зависимости функций (16), входящих в коэффициент при У (г). Это уравнение, однако, совпадает по форме с уравнением Шредингера, описывающим движение квантовых частиц в классически запрещенной области [10]. Техника построения решений подобных уравнений изложена в монографии [11] и основана на представлении решений дифференциальных уравнений сходящимися рядами по малому параметру. Модификация метода на более общий случай зависимости коэффициентов уравнения от малого параметра выполнена в ряде работ Г. Джеффриса [12]. Последним, получившим назва-

1

с

т

2

7

х

ние метода ВКБД, мы и воспользуемся для построения приближенного решения уравнения (15).

Выполним преобразование Лиувилля и подберем независимую переменную так, что бы в коэффициенте при зависимой переменной выделилась постоянная главная часть. Введем новую функцию и новое независимое переменное соотношениями:

г

У(т) = (х(т))121(х\ х(г) = |^/Ф(Y,7)dт

0

2

(17)

(18)

Ф(у,г) = Р0(г) + тР\(г) + Г /(г), где корректирующая функция / выбрана так, чтобы переменная часть коэффициента при новой функции обратилась в достаточно малую величину. Это требование приводит к следующему виду корректирующей функции:

ч2

/(г) = ^(г) +

4/&0(г)^з(г) - 5(^0 (г))

ч2

(19)

(4Р0 (г))

Учитывая (15) и (17)-(19), запишем дифференциальное уравнение для новой функции

1

й 2 г

,1 2 2 йХ Г

■г = ур да,

(20)

где,

р (Х(г)) = 2^ 10(г) + ййL^jjJя1(«2 +1) -

-а2 )(«2 -1)

11 (г) + 2(«2 +1)12 (г) г—

С20(г)

а(-)

12(г) +

С2 (г)

^0(г)

(а2 -1) - М1 С0 (г)

й

- Щ(г)

10 (г) =

С20(г)

С2 (г)

1\{г) = - й^(С0(г) • С0(г))-1, /2(т) = --^ йг 1 2 С°(г)

Таким образом, уравнение (20) получено из уравнения (11) в результате выполнения трех преобразований: первое из них - (14), устраняет неоднородность в уравнении; второе - (13),

приводит уравнение к двучленному виду; третье -преобразование Лиувилля (17), не изменяя двучленной формы уравнения, специальным образом трансформирует коэффициент при искомой функции.

4. Построение ВКБ - асимптотики.

Сохраняя в уравнении (20) лишь главный член, получим ЛГ - функции для уравнения (11) в виде:

3,(±)<г) =

2

а 2 +1'

С0(г) т1

С 20(г). т-1

(21)

х ехр

_ т г ±Х0(г)

2 7

т у Х0(г) = — г + -

+ 1п

[(г)

]т-1

С0(г)]Р

а2 +1 (-)

а

Р =-

а2 -1

М а2 +1

-1.

Таким образом, в первом приближении метода ВКБ получена фундаментальная система решений дифференциального уравнения (11). Можно показать, что рассматриваемое уравнение не имеет точек ветвления, то есть полученное приближение пригодно всюду в интервале (0, г\).

Привлекая начальные условия для определения постоянных интегрирования в общем решении, используя функции (21) запишем решение системы температурных уравнений (6) в приближении ВКБ:

6 гг = 0ст - (1 -6ст )

[с0 (г)]:

1-4Чг)+м

С0 (г)

Гтг

7

--^г)

С)

(23)

62 (г) = -

8а.

(-)

С0(г)6[(г) + а2 )бl(т) + N0т\

С 0(г) - С 0(0)

2(а2 +1)

т\ +1

а 2 +1'

М2

2(а2 +1)

Для получения решения в виде (23), определяя постоянные интегрирования из начальных условий, сохранялись только главные члены в соответствующих алгебраических уравнениях.

Рассмотрим поведение температур дисперсной и газовой подсистем слоя в начальной стадии тепловой релаксации, а также при значениях г, соответствующих окончанию периода постоянной скорости массообмена между подсистемами.

В начальной стадии процесса - при

г < 1п(1 -у) У, удерживая в выражениях для температур подсистем (23) члены первого порядка малости, получим:

6 (г) * в£Т + А М2, а2)С2 г 2 С2 (0), (24)

862(г) * А2(М2,а2) + А (М2, а2 ) х

С0 (г) С0(^) - С0(Г) + С0(г) - с2(0)

(-) уау2 ’

2

где &СТ = 1 + М2(@ст _1),

А1(М2,а2) = (6сТ -1)

1-

2

(М2 +1) • а2 +1

М2 +1 (а2 +1)2

х

1

п =

4

2

х

х

х

х

1

Г

А2(Л2,а2) = 1-Л

2 СТ

-1) +

N 0 r1 а(-)

Отметим, что на рассматриваемом временном интервале приемлимым приближением для теплоемкости подсистемы “газ-пар” является выражение

С0 (г) * 1 + ^2^7- Из формул (24) видно, что на

ранних стадиях процесса тепло- и массообмена между газовой и дисперсной подсистемами слоя динамика релаксации дисперсной подсистемы определяется изменением приведенной теплоемкости легкой фракции псевдоожиженного слоя, а газовой подсистемы - изменением приведенных теплоемкостей С0 (г) и с20 (г).

В завершающей стадии периода постоянной скорости массообмена подсистем (г ~ г\) изменение температур подсистем динамического слоя определяется приближенным выражением:

2

ОТ) и Ост+(1-(Л2Ґ)(1 -Ост)

C. Т) j.

(25)

8О2Т) иоСТ - (ост - і) •Cj,

СТ

где О(2) =ОСТ + СТ СТ

а2 +І

N 0 Г а(-)

Таким образом, на этой стадии процесса релаксации, как видно из (25), температурная динамика диктуется временной зависимостью приведенной теплоемкости дисперсного компонента.

Литература

1. Мошинский А.И. Некоторые вопросы теории переноса тепла и массы в дисперсных средах // ИФЖ, 1990. Т. 58, №3. С. 461-470.

2. Буевич Ю.А., Перминов Е.Б. Нестационарный нагрев неподвижного зернистого массива // ИФЖ, 1980. Т. 38, №1. С. 29-37.

3. Федяев А. А. Программное обеспечение для численных исследований нестационарных полей движущих сил во влажных капилярно- пористых материалах // Тр. 2-ой Международной научно-практической конф. “Современные энергосберегающие тепловые технологии (сушка и тепловые процессы)”. Т.1. М.: Москва: Издательство ВИМ, 2005. С. 199-2002.

4. Буевич Ю.А. К теории переноса в гетерогенных средах // ИФЖ, 1988. Т. 54, №5. С. 770-779.

5. Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А. Щелчкова И.Н. О переносе тепла и массы в дисперсном потоке // ИФЖ, 1976. Т. 30, №6. С. 979-985.

6. Агапов Ю.Н., Бырдин А.П., Лукьяненко В.И., Стогней В.Г. Влияние высоты псевдоожиженного слоя на параметры конструкции газораспределительной решетки // Вестник Воронежск. гос. техн. ун-та - 2006. - Т.2. №6. - С. 139-142.

7. Шишацкий Ю.И., Бырбыткин В.А., Лавров С.В. Математическое описание процесса сушки дисперсного материала в псевдоожиженном слое // Вестник Воро-нежск. гос. техн. ун-та - 2006. - Т.2. №6. - С. 56-61.

8. Лыков А.В. Теория сушки. - М: Энергия, 1968. -472 с.

9. Бырдин А.П., Лукьяненко В.Н., Стогней В.Г., Блинов П. С. Зависимость квазистационарной температуры и времени ее установления от термодинамических параметров четырехкомпонентного слоя // Материалы XI Международной конференции и Российской научной школы. Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий. М.: Радио и связь, 2006. Т.2. Ч.5. С. 26-33 с.

10. Бом Д. Квантовая теория. М.: Наука, 1965. - 728 с.

11. Фрёман Н., Фрёман П.У. ВКБ - приближение. М.: Мир, 1967. - 168 с.

12. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. Вып. 3. - М.: Мир, 1970. - 344 с.

Воронежский государственный технический университет

WKB APPROXIMATION FOR THE TEMPERATURE OF SUBSYSTEM'S IN THE PSEUDOFLUIDIZED BED A.P. Byrdin, A.A. Sidorenko, V.G. Stogney

The approximation of WKB metod to the temperature of subsystem's in the pseudofluidized bed is considiret in the paper. It has obtained the analitical solutions of initial of approximate model

Key words: differential equations, sub-system, thermal capacity, mass exechange