CC BY
63
УДК 542.47, бб.09б.5
ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА В ПСЕВДООЖИЖЕННОМ СЛОЕ
ДЛЯ ВТОРОГО ПЕРИОДА СУШКИ
А.А. Надеев, Ю.Н. Агапов, А.П. Бырдин
Рассмотрены процессы тепло- и массообмена в псевдоожиженном слое для второго периода сушки. В рамках теории возмущений получены решения системы дифференциальных уравнений модели процессов обмена. Получены выражения для времен релаксации, которые являются функциями физических параметров слоя
Ключевые слова: псевдоожиженный слой, тепло- и массообмен, асимптотические методы
ВВЕДЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ
В настоящей работе проводится макрокинети-ческий анализ [1] процесса взаимодействия подсистем псевдоожиженного слоя, представляющих собой дисперсный материал, в порах которого содержится жидкость, и сушильный агент - барботи-рующий газ, содержащий пары этой жидкости. Предполагается, что ожижаемый материал имеет направленное перемещение, а массовые расходы материала и сушильного агента постоянны во времени. Принятая в работе модель процессов тепло- и массообмена между подсистемами псевдоожижен-ного слоя относится к классу полуэмпирических моделей [2]. В качестве базовых уравнений модели выбраны феноменологические соотношения баланса тепла и массы [3], [4], [5] для дисперсной и газовой подсистем слоя и эмпирическое соотношение А.В. Лыкова, описывающее изменение влагосодер-жания материала в периоде убывающей скорости сушки [6].
В рамках такой модели принимаются также следующие упрощающие допущения [3], [5]:
- частицы дисперсного материала имеют одинаковые размеры и форму;
- температуры и влагосодержания материала и сушильного агента одинаковы в поперечном сечении слоя;
- не учитывается теплообмен между стенкой аппарата и материалом, а также стенкой и сушильным агентом;
- теплоёмкости всех компонентов слоя и коэффициент теплообмена между газом и материалом не зависят от температуры;
- величина коэффициента сушки, отнесенная к удельному расходу сушильного агента, является малым параметром задачи.
Последнее из сформулированных условий позволяет построить решение модельных уравнений, используя приближенные аналитические процедуры, в отличие от ряда работ, например [3], базирующихся на подобных моделях.
Надеев Александр Александрович - ВГТУ, ассистент, тел. (473) 264-83-16
Агапов Юрий Николаевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 274-85-47
Бырдин Аркадий Петрович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (473) 264-73-55
Перейдем к формированию дифференциальных уравнений модели. Для количественного сопоставления характеристик слоя, имеющих различную физическую природу, а также для учета влияния отношений комплексов таких величин на релаксационные процессы, будем записывать уравнения модели в безразмерной форме.
Учитывая перечисленные выше ограничения на условия протекания процессов обмена в слое, из соотношений баланса масс по влаге в материале и газе можно записать дифференциальные уравнения для влагосодержания этих подсистем. Но поскольку в соотношениях теплового баланса для подсистем слоя содержатся теплоёмкости компонентов этих фаз, удобно соотношения массового баланса переформулировать в виде уравнений, описывающих эволюцию теплоёмкостей.
Таким образом, из соотношений материального баланса по влаге в материале и газе получаем уравнение
Я0(т) + B■ п\т) = b , Я°(0) = colon (1, 1). (1)
Здесь точка над буквой обозначает производную по переменной
t=j ■(t-t), где t - время сушки, с; t* - время начала второго периода сушки, с; j = G2/M1 . c0(t) = colon(C0(t), C20(t));
b = colon[b-Ko (1 - C0),b4- + -
G1
g c
kF1
b = bo+Kg; bo = 7^; Kg = 7^; C =
-G_ Ck (т)
G
G
(2)
J2 V'J 2 k G
c, g = Ck (G) (k = 1, 2); Сі(т) = c + ^^(т);
С2(т) = c2 + c ^2(т); «I = К /«10 , К = «Ї /«20
B = І
bo IT 1 c
где с1, с2, ст , с{ - удельные теплоёмкости сухого материала, сухого газа, жидкости и пара, Дж/(кг К); ^1(г), ж2(т) - текущие значения влагосодержаний материала и газа, кг/кг; w1 д - равновесное влагосо-
0
g
c
держание материала; G1 , G2 - массовые расходы материала и газа, кг/с; F - суммарная площадь поверхности частиц материала в слое, м2; M1 , M2 - массы материала и газа в псевдоожжен-ном слое, кг; у = MjMt - газосодержание слоя, к - интенсивность сушки, кг/(м2 с); параметр К0 играет роль безразмерного коэффициента сушки.
Пренебрегая тепловым влиянием на слой границ сушильной камеры и газораспределительной решетки, из соотношения теплового баланса для материала и сушильного агента можно получить уравнения для температур дисперсной и газовой подсистем слоя в следующем виде
№(t)Q = A(t)0(t) + a(t);
0(0) = colon (1, 1),
где
(З)
0(т) = colon (01(т), 02(т)); 0k (т) =
Tk (т) Tk (0)
(k = 1, 2);
c„Ti(0) r
(4)
C° (т) = diag(C° (т), C°(т)); А(т) = |\ay(т)|| а(т) = colon(а1(т), а2(т)); r1 =-
а1(т) = bo fi - ri (i - C1G(T))] ; r2 ^ (G)
a2 (т) = -гД0 (T) + - fi + r (1 - C2(T))] + b cr (1 - MiG(T));
gL V '] g c^ '
an(T) = - (bo + fo + Cl0 (T)); aio = Soifo
aoi(T) = ~j~Jtfo +bo (i-C0(T))] ;
gd21dc
a22(T) =------
f + C20(T) + gC20(T)
F c c
fo =bo F-; So = Gi -^; Sc = -OG;doi =
S„
a
To(G)
Ti(G)
Введенные в формулах (4) величины имеют следующий смысл: Т1(г), Г2(г) - температуры материала и теплоносителя в слое, К, г - удельная теплота парообразования, Дж/кг; аг21 - коэффициент теплообмена между материалом и газом, Вт/(м2 К); Б0 - термодинамическая контактная поверхность материала, м2. Смысл остальных величин виден из формул (4).
Таким образом, соотношения теплового и материального балансов для дисперсной и газовой подсистем псевдоожиженного слоя и сформулированные выше предположения об условиях протекания процессов обмена приводят к системе четырех дифференциальных уравнений для теплоемкостей и температур подсистем.
РАЗРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАССООБМЕНА
Необходимые в дальнейших исследованиях выражения для теплоемкостей влагосодержащего
материала и сушильного агента получим из решения векторного уравнения (1). В случае различных собственных чисел матрицы В
у(Сі + №1) ф С2 выражения для теплоёмкостей имеют вид:
CO(T) = 1 - Ко
1-C
ip
b
(i - e-bT),
о 1 - Ми
CoG(T) = 1 + Ко -f-bo—^
cm И
-p
1-
-yf3e
1 -gf
(5)
Для совпадающих собственных чисел матрицы В теплоёмкости материала и сушильного агента выражаются следующим образом:
C0(T) = 1 -gKo (i - CiGp) (i - e~T j
cG
CoG(T) = 1+gKo -f- bo (1 - MG)
Cce
1 -I - + 1 I e g
(б)
Формулы (5) и (6) показывают, что при несовпадающих собственных числах матрицы В процесс приближения теплоёмкостей к равновесным значениям определяется двумя временами релаксации
М М1
T1(a)
G
T2(a)
G1 + kF1
(7)
В случае кратного собственного числа процесс характеризуется только одним релаксационным параметром - г'1(Л).
Переходим теперь к вычислению времени начала периода падающей скорости сушки г*. Этот параметр определяет также начальные значения теплоёмкостей и температур подсистем слоя в соответствии с условиями в задачах (1) и (3).
Следуя методике , изложенной в работах [4], [5], для определения параметра воспользуемся выражениями для теплоёмкостей (5) и формулами для теплоёмкостей, полученными из решения уравнения для первого периода сушки, аналогичного уравнению (1). Приравнивая значения теплоёмкостей для первого и второго периодов и их производных при г = г , получим
1 ,
т, =------------ln
bo
І + -
bT
bo (т0+Yk )
І -
тО =-
N
к
(8)
(9)
у 0 0
где Г - безразмерное время окончания первого периода сушки в псевдоожиженном слое при отсутствии движения материала; - значение вла-
госодержания материла в момент начала сушки, кг/кг; Ы0 = N/7 ; N - скорость сушки в первом периоде, 1/с.
При значениях аргумента логарифмической функции в (8) близких к единице, приближенное
G
g
выражение для продолжительности первого периода сушки имеет вид:
т,
т,
.0'
1 - G,K+К
І - G-. 2
т,
.о'
І - G, | тО' + — 11 К
(1G)
где г*, Г* - продолжительности первого периода
сушки в случаях слоя с направленным перемещением материала и без направленного перемещения, с; О? = О1/М1 .
Если отношение массовых расходов материала и сушильного агента является малой величиной -Д0 □ 1, то выражение для времени окончания первого периода принимает вид:
т, «т,
1 + G0 (> + —
2 I К
(11)
В предельном случае G° = 0 из выражения (11) получаем формулу для псевдоожиженного слоя без направленного движения материала (9), совпадающую с соответствующим выражением работы [4].
ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО УРАВНЕНИЯ
1. Решение системы температурных уравнений приведем для случая малых безразмерных коэффициентов сушки: К0 □ 1. В соответствии с методом регулярной теории возмущений решение системы (3) ищем в виде:
0(t) = 0 (0)(t) + K,e(1)(t) +..., (12)
где
0(„)(t) = colon (01и (t), 02„ (t)) (n = 0, 1).
Выполним разложение по параметру K0 содержащихся в уравнении (3) матриц и векторов
(C(t) )-1 = E+K0 (1 - c?p) C(V)+...,
At) = A(0)+K0A(1)(r)+..., (13)
a(T) = a (G) + KGa w(t) +..., где E - единичная матрица;
A(0) =||a(0)|, A(1)(t) = |aV)! (i, j =1, 2);
a,(0) = -(bo+fo); «Іо0) = do-fo; «0і) = ^4
gdoi
«20) = - —; fo f «і,) (т) = - - R,(T);
g dc
«^(t) = 0; a21)(T) = RT
gd21dc
R,(T) = І - e
-Pt .
(14)
«22)(t) = P4(i + Ro(T)), Ro(T) =gboe 7 e
gc
/ ж
-PoT
a(0) = colon(«і0), «0g)
1-gbG
); a(0) = fo; a(« =
C?(1)(T) = colon (a,(1)(T), aO-)(T)); a,(1)(T) = -r, (i - C,Gp)R,(T); «0і = 0;
C(1)(t) = diag| PgR,(t),- c-(i+Ro(T))
В результате проведенных разложений (12), (13) система температурных уравнений расщепляется на зацепляющиеся подсистемы для функций 0(о), 0(1). .Ограничившись учетом в разложениях основных членов и членов первого порядка по К0, имеем:
0 (0)(т) = ^Чо-Г +
(G)
(G)
(15)
(1б)
(17)
[0(0)(0) = colon(1, 1),
|0 (1)(t) = A(o)0 (1)(t) + q(0);
[0 (1)(0) = colon(0, 0),
где обозначено
q(t) = (1 - C0p) [C(1)(r)5(0) + Q(t)0 (0)(t)] + a (1)(t);
Q(r) = C(V) A(0) + A(V).
2. Решение невозмущенной задачи (16) имеет вид:
0(0)(t) = eptL1 + eP2tL2 + r , (18)
где Lt = colon(L1t, L2i) (i = 1, 2); l = colon(l1, l2); P1,2 - собственные числа, L1,2 - собственные векторы матрицы A(0), l - частное решение уравнения (15). Собственные числа матрицы и координаты векторов выражаются через параметры модели следующим образом:
P,2 = -b(^(+) ±Jd); lx = 1 + U; I2 = 1 -10 -£4 2 ^21
(-1)t 1
Lu = 2/= U (d+1 + 2/2), Lt, = fdAt (i = 1, 2);
d = (m(-) )2+тг /1/2; m(±) = -+f, ±
dt =m(-) +(-1). VD ; dз ° d,; f, = f
pG
l do, - І
1 + f2
p0
(19)
1 + / + /2
Учитывая формулы (19) решение невозмущенного уравнения можно записать в виде
©(в(') =' + (~Ч'"‘1‘"' + ЧЧе") • (20)
■ж е, = Ыо,,/ ^, *,= *, + 2/2 < <= , 2).
Решение (20) системы температурных уравнений получено в результате пренебрежения в (3) временной зависимостью теплоёмкостей, т. е. игнорированием изменений влагосодержаний материала и газа в процессе сушки. Для получения оценочных сведений такое приближение использовалось, например, в [4]. Из формул для теплоёмкостей под-
ж
систем (5) видно, что это приближение является удовлетворительным при выполнении условия
M-Ci> □ „шf1; 2,3£20b
b0 + K0 V c10
В этом приближении тепловая релаксация подсистем протекает на двух этапах, каждый из которых характеризуется своим временным масштабом
T1(i) ='
2
t2(i) =
rp0 m(+)+JD
2G0 1+/1+/2
. (21)
00 (т(+) +л/о )г
В случае псевдоожиженного слоя с достаточно малым удельным газосодержанием - Д0 < 1, выражения для характерных времен (21) приобретают вид:
Д г = 1 + ./2
О10 (1+/2 У '■«) О10 (1+/1 + /2). (22)
В этом случае коэффициенты при экспонентах в формулах (20) представляются рациональными функциями аргументов /1 и /2 :
0ю(') »1 +{2 - я2+Ч') -
1 - 2уЬ
/2 (1 + /1 + /2 )
(1 + /2 )2
020 (t) » 1 -
28,1
2 - R+V)+
+2b
/ (1 + /2 - /22 - /1/2 ) ‘ (1+/2 )3
1 +-/+
1+ /2
(23)
где
R(+)(t) = ep0t + ep10t, R2-) (t) = e* - ept,
P0 »- 1 + /2 - /0/2 P0 b 1 + / + ./2
P1 1 . , P2 /^0
(24)
у 1+/2 2 1+/2
3. Решение уравнения (16) для поправочных членов к полученным выше температурам материала и сушильного агента получим методом Лагранжа [7]:
'
0(1)0 = 6(')0-1 (0)0о(0) +1О(г)О, (25)
0
где вектор д определен формулой (17), О - фундаментальная матрица однородного уравнения, соответствующего уравнению (16). Координаты вектора д и элементы матрицы О имеют вид:
д = (1 - $0 )Ш,(г)+д,1(')010(')+д 2(')020(г)];
b0
«1, = -^ d+1ep
02t = -^-ept, (i = 1, 2); d3 ° d^
y82
1 п0
Qt = (1 -/)ВД; at) = —(1 + ВД);
У П
qn(T) = e-b0t-b0 (1 + /1)ВД;
^(t) = p082jrcu);
(26)
q-‘M) “У8Т7
-1 с0
ч-(')=—г [ ад-с+/2) ад],
у с
/ е
где функции Я1(т) и Я2(т) заданы в формулах
(14).
Учитывая начальное условие, из формул (25) и (26) получим формулы для поправочных членов к температурам материала и сушильного агента
0k1(t) =
1 - C 0 2
rrr'S ePtS 0&(г) (к = 1, 2) (27)
2V D t=1 n=0
Введенные в формулу (27) функции выражаются квадратурами вида
г
0вд(') = (-1),+11[Ч^'Ч5)-232М)(5)],
0
'
0(3) (') = (-1),+11 р5 [Ч,+1 (1 - Г1) Л1 (5) + (28)
Ч5;
с:, 2^ ^
02&(') = (-1)' | "
28 c0
+ v • -£0-(!+ад) у
q«(s) + d^(s)
у821 1 i 2
ds,
023())(t) = (-1)t j e-
-^(1 - /1 )ВД - (29)
. g821
- У4 (1+ад)
у c
• <£
ds.
Здесь n = 0, 1, 2; i = 1, 2 и приняты обозначе-
ния:
I0 = 0; l = p; I2 = (-1)t b„VD; 22 qf V)=X m<(n)q1k (t); q2t)(t) = X Ч"Чк t);
mii') = mkn); mk2n) = nkn); mk0) = mk ; mf^ = nk ;
nk0) = nk, n® = m? = lk; nk02) = mk;
m
(0) = nk, n« = mf = lk ; nf) = l0/1 h V„= l0/1
(30)
1 = ^ (1 -mi-’); n = (1+^<11->);
m2=8(1 -т2-)):
n2 = 8(1+т2-))
(-) m(-)+2/2. „(-) yb0m(-) - 2/1
m2 =■
Преобразуя выражения (28) и (39) с учетом формул (26), получим поправочные члены к температурам материала и газа (27) в виде:
K00n(t) = K0
M« + Ё (^^+M®) ep
Mn[) + S Mi1 }ep
(1 - CnVt)),
0
0
k=1
k=1
+
t=1
n=2
t=1
K0021(t) = K0
2
m 1(2)+S (N1?t+m12 ) ep
Mn2)+s Mn?ep
(32)
(1 - Cn0-1(t)).
Коэффициенты в формулах (31) и (32) являются иррациональными функциями параметров у,
Д, /1, /2. Явный вид этих величин не приводим из-за громоздкости выражений.
В случае достаточно малого газосодержания слоя, разлагая т1- в ряды по степеням уД0, получим поправочные члены к температурам материала и сушильного агента в виде
ВД1О) » К [^0)'ер° + М12,0) (1 -ер2')
+
+
м 21Д|+S м 21 -“V
(1 - C0(t)),
(33)
м(ep20t - ep0t) + S (N^he^ +
+м(20 (1 - ep°T)) + fм22•0’ + SM^'V0" I x (34)
x (1 - C0(t)) + M :3,’o’ep0t (C20 (t) -1),
где пренебрегали величинами порядка уК0. Введенные в (33) и (34) коэффициенты выражаются через безразмерные комплексы физических параметров следующим образом:
/ V
J 2^ т
=- N 0 (1 - C0p) /„ |1 --±
-Mf2'0) = (1 - С)
C l /
£- 821 - -/ (1+/1 -
c0 д / *v
AW 12
boh
* v
V
/1
M(1,0) =
12 J
0
(1 -/1 -Д)/2*-11 -д £L8 /.
A'o £0 21l0 5
/1
M™ =- N„
M(1,0) = N / 22 0 0
0
1 -b0 ££г|/2* +—
/2*
f c° f| 1 - ? ^2 c0 /*
Crn */ 2 J
N0 =
(A -1) /2
/2*
N(2,0) =(1 -C0 )1 l2 I 1 - Д /12^
11 ( " )у?0[ b0 cm/2*
f „0
N(2-0) =(1 - C0 )(1 l2) /0/1 Гb Nl2 Г Cl^ /^\2 c0 f * 2
(Л ) V 6m /2 2
(35)
M”=(■ - ^ > 288[l+/-8D J+
+D-<4 [, + £\
2 c! /* I 2 /*
^ Cm У12 V J 2
МГ = (1 -C)^2-l*;^u ; M|i^0’ =-(1 -
M a0) = LA. 21 yb
/2*
1+b0 cmr (/2 - /
/2*
l, -1
M ^ =-
821 (/2*)
м22•0’ = д
д /0/2 + 4 [1+2/2 - /
2 cm V Л
c-[b +1 /--2-
cm д 2 /2* J 8218c
l1+д
1 + r1
M^=--v-; /2* = 1+/2; /122 = /1+/2*;
D =
b0821 -(1 - Г1 ) /^
(821 - 1) /1
Из формул (33) и (34) видно, что малая величина газосодержания слоя приводит к тому, что теплоёмкость парогазовой смеси даёт заметный вклад только в поправочную температуру этой подсистемы слоя. Ещё одно отличие формул (33), (34) состоит в том, что в поправочную температуру для дисперсной подсистемы не входит член, содержащий 'ехр(рО). Легко усмотреть, что максимальный вклад этого члена составляет малую величину
УК0
l0/1/2
■( /*)
0
1 - b L
А И0 ~0 у*
Пт Л
Вклад соответствующего члена в величину температуры газовой подсистемы (34) в начальном периоде процесса теплообмена не является пренебрежимо малым из-за наличия в коэффициенте N1(12,0)
множителя (Д ) 1.
Экспоненциальный член exp (p10t), входящий
в коэффициент при теплоёмкости материала в (34),
также входит со множителем (Д0) 1. Поэтому в
начальной фазе теплообмена для промежутка времени
(1 + /2 )
вклад этого члена будет величиной одного порядка с вкладом входящего в этот коэффициент члена, содержащего exp (p20t).
Отметим, наконец, особенности в поведении температур подсистем псевдоожиженного слоя при больших величинах удельной поверхности материала. С ростом величины геометрической поверхности материала значения параметра /0 возрастают /0 □ 1 . Однако приближенные выражения для температур материала и сушильного агента (23), (33) и (34) остаются справедливыми. При этом, интервал допустимых значений параметра у
Л -1
У<Уo, У
+
t=1
n=2
t =1
2
4
2
t=1
e
0
может оказаться несколько меньшим при Д < (л/2 +1) 8с, чем в случае малых значений параметра /0.
При значениях параметра /0 □ 1 процесс температурной релаксации подсистем слоя определяется только одним релаксационным параметром: время релаксации ) становится по величине пренебрежимо малым. Второй релаксационный параметр ' 1) при возрастании /0 монотонно убывает и при достаточно больших значениях этого параметра аппроксимируется выражением
' = с10М1 с 2(/) ^ ^ ’
с1001 + с2002
В заключение отметим, что подобные результаты можно получить методами сингулярной теории возмущений [8], рассматривая систему температурных уравнений (3) как сингулярно возмущенную по параметру /0..
Литература
1. Фролов В.Ф. Макрокинетический анализ сушки дисперсных материалов / В.Ф. Фролов // Теоретические основы химической технологии. - 2004. - Т. 38. - № 2. -С. 133-139.
2. Рудобашта С.П. Математическое моделирование процесса конвективной сушки дисперсных материалов / С.П. Рудобашта // Известия Академии наук. Энергетика. - 2000. - № 4. - С. 98 - 109.
3. Баумштейн И.П. Исследование сушильных установок с помощью математического моделирования / И. П. Баумштейн, А.В. Лыков, М.И. Людмирский, Ю.А. Май-зель // Тепло- и массоперенос в процессе сушки и термообработки: сб. ст. - Минск: Наука и техника, 1970. - С. 53 - 79.
4. Шишацкий Ю.И. Математическое описание процесса сушки дисперсных материалов в псевдоожиженном слое / Ю.И. Шишацкий, В.А. Бырбыткин, С.В. Лавров // Вестник ВГТУ. - 2006. - Т. 2. - № 6. - С. 56 - 61.
5. Бырдин А.П. Зависимость квазистационарной температуры и времени ее установления от термодинамических параметров 4-х компонентного слоя / А.П. Бырдин, П.С. Блинов, В.И. Лукьяненко, В.Г. Стогней // Системные проблемы надежности, качества, информационных и электронных технологий в инновационных проектах. Материалы Международной конференции и Российской научной школы. - М.: Радио и связь, 2006. - Ч. 5. - Т. 2. - С. 26 - 33.
6. Лыков А.В. Теория сушки / А.В Лыков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергия, 1968. - 472 с.
7. Абгарян К. А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем / К. А. Абгарян. - М: Наука, 1973. - 432 с.
8. Найфе А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфе. -М.: Мир, 1976. - 456 с.
Воронежский государственный технический университет
THE PROCESSES OF HEAT AND MASS TRANSFER IN FLUIDIZED BED FOR THE SECOND
PERIOD OF DRYING
A.A. Nadeyev, Y.N. Agapov, A.P. Byrdin
The processes of heat and mass transfer in fluidized bed for the second period of drying are considered. Within the limits of perturbation theory, solutions of system of differential equations of model of exchange processes are obtained. Besides this, expressions for relaxation times are obtained, they are functions of physical parameters of the fluidized bed
Key words: fluidized bed, heat and mass transfer, asymptotic methods
